제5부 구동·액추에이터·동력전달

5.10 감속기 I: 파동기어(strain wave gear) — 구조·치형·토크 센서 내장형

5.10.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 로봇 관절의 고감속 한 단 감속기로 널리 사용되는 파동기어를 구조·운동학·치형·강성·정격과 수명·토크 감지의 순서로 정리한다. 파동기어는 얇은 컵 모양 외치 기어(플렉스플라인)를 타원 캠(파동 발생기)으로 탄성 변형시켜 안쪽 이 기어(서큘러 스플라인)와 두 곳에서 맞물리게 하는 기구이다. 이 장은 제조사 카탈로그의 정격표·강성표·선정 예제를 직접 읽어 재현하고, 카탈로그에서 빠진 연결(비틀림 모델에서 공진·토크 분해능으로)을 계산으로 채운다.

배우는 것:

• 구조와 운동학 — 세 요소, 여섯 가지 구동 구성의 속도비, 감속비 $R=z_f/2$의 유도와 특허 예 대조.
• 형상과 치형 — 타원 변형량, 둘레 보존 링의 곡률과 굽힘 응력(얇은 링 근사), 물림 영역의 크기에 관한 특허·제조사 서술.
• 강성·이력·정밀도 — 3구간 비틀림 모델, 이력 손실, 올덤 커플링 백래시, 위치 정밀도.
• 정격과 수명 — 평균 토크, 파동 발생기 수명, 충격 허용 회전수, 래칫팅·좌굴과 카탈로그 선정 예제의 재현.
• 토크 센서 내장형 — 플렉스플라인 스트레인 게이지, 위치 차 기반 추정, 분해능과 이력의 한계.

선수 지식: 5.1(액추에이터 지표), 3.9(유연 관절 모델), 3.8(마찰), 4.3(기어 기본).

특히 중요한 독자: 파동기어를 선정하고 정격·수명을 검토하는 관절 설계자, 서보 루프에서 비틀림 공진과 이력을 다루는 제어 엔지니어, 관절 토크 센서의 방식을 고르는 시스템 엔지니어.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: (a) Harmonic Drive LLC, Cup Type Component Sets & Housed Units — CSF & CSG Series 공개 카탈로그 PDF(52쪽, 파일 메타데이터의 제작일 2016-10-28)의 정격표 1~4, 기술 용어·강도·수명(래칫팅·좌굴 표 4~7, 식 7·8), 선정 절차와 선정 예제, 효율·무부하 구동 토크·시동 토크와 역구동 토크(표 36·37)·위치 정밀도(표 40)·비틀림 강성(표 41~43)·이력 손실(표 44)·올덤 커플링 백래시(표 45)와 하우징 유닛의 크로스 롤러 베어링 표. 효율 그래프는 그림에서 근사값만 읽었다. 같은 제조사 제품 페이지 CSG-17-50-2A-R-BB-LW(강성·시동·역구동 토크 값). (b) C. W. Musser의 미국 특허 US 2,906,143(Google Patents 전문 텍스트, 광학 문자 인식 오류가 섞여 있다). (c) Folęga 외(2014, Journal of Vibroengineering)의 서론·모델 개요(오픈 액세스). 초록만 읽은 자료: Kircanski·Goldenberg(1997), Taghirad·Bélanger(1998, 1999)의 내장형 토크 센서 논문과 학위 논문 초록, Zhang·Ahmad·Liu(2015). 서지만 확인: Tuttle·Seering(1996), Taghirad·Bélanger(1998, 모델링). 읽지 못한 자료: MIT 보고서 Tuttle(1992, 접속 차단), 다른 제조사 카탈로그, 파동기어 관련 ISO 표준. 카탈로그 수치는 제조사의 대표값이며(표에 "Numbers are average value"로 표기) 한 제조사·한 판의 공개 주장치이다.

5.10.2 개념 — 잇수 차이 2개로 얻는 감속

결론부터 적으면 다음과 같다. 파동기어는 플렉스플라인(FS)의 잇수가 서큘러 스플라인(CS)보다 2개 적고, 타원형 파동 발생기(WG)가 입력으로 1회전할 때마다 FS가 CS에 대해 이 2개만큼만 상대 이동하므로, 한 단으로 $R=z_f/2$배의 감속을 얻는 기구이다. 기어 요소 자체의 백래시는 0이고 입력과 출력이 같은 축이며, 대가로 비틀림 강성이 비선형이고 이력이 있으며 토크가 일정 한도를 넘으면 FS와 CS의 맞물림이 어긋나는 래칫팅이 일어난다.

구성 요소는 세 가지이다(카탈로그 서술). 플렉스플라인은 CS보다 약간 작은 피치 지름의 외치를 가진 얇은 원통 컵이고, 파동 발생기는 타원 플러그에 끼운 얇은 볼 베어링이며, 서큘러 스플라인은 FS의 이와 WG 장축에서 맞물리는 내치를 가진 강성 링이다. 타원의 장축에서는 이가 완전히 맞물리고 단축에서는 완전히 떨어진다. 카탈로그는 CS가 고정되고 WG가 시계 방향으로 1회전하면 FS가 CS에 대해 반시계 방향으로 이 2개만큼 이동한다고 서술한다.

이 기구의 역사적 기록은 다음과 같다. Google Patents의 서지에는 US 2,906,143(발명자 C. Walton Musser, 출원인 United Shoe Machinery Corp.)의 출원일이 1955-03-21, 공개일이 1959-09-29로 적혀 있다. 특허 전문은 변형파를 전파시켜 접촉 영역을 이동시키는 방식으로 두 기어의 상대 운동을 얻는다고 적고, 목적으로 백래시 없는 기어, 전체 이의 절반 이상이 접촉하는 기어, 낮은 이 미끄럼 속도, 10대 1에서 100만 대 1에 이르는 감속비를 든다. 이 서술은 특허의 주장이며 성능 측정이 아니다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 여섯 구성의 속도비가 카탈로그의 식 1~6과 같고($R=100$에서 $-100$·$101$·$1.01$·$0.990$·$-0.01$·$0.0099$), Musser 특허의 예(FS 198개·CS 200개)의 $99$와 $100$도 같다. 물림 기하 시뮬레이션($z_f=60$, $z_c=62$)에서 WG $360^\circ$ 뒤 FS 회전이 $-12.00^\circ$(이 2개)이다. ② 카탈로그 선정 예제(CSF-40-120)를 재현해 $T_{av}=319.7$ N·m(인쇄값 319), $N_s=1190$, $L_{10}=7611$ h(인쇄값 7610; 평균을 반올림하지 않으면 $7542$ h)를 얻었다. ③ 표 41~43의 37개 조합에서 $\varphi_1=T_1/K_1$이 인쇄값과 중앙값 $1.7\,\%$ 안에서 같고 한 칸(표 43 크기 65의 $T_1=135$ N·m)만 $43\,\%$ 어긋나며 표 42의 $235$ N·m와 비교해 오기로 판단한다. ④ CSG-25-100의 정격 $87$ N·m에서 비틀림은 $6.24$ arcmin이고 정격은 $K_3$ 구간에 있다. ⑤ 부하 관성 $0.30$ kg·m²·모터 회전자 관성 $1.0\times10^{-5}$ kg·m²(가정)에서 공진은 $64\sim87$ Hz이고 MuJoCo 자유 진동과 같다. ⑥ 둘레 보존 타원에서 장축 꼭짓점의 굽힘 응력은 선형 이론보다 $2\,\%$ 크다. ⑦ 이력 손실 $2.9\times10^{-4}$ rad은 $K_1$ 구간에서 $9.0$ N·m(정격의 $10\,\%$)에 해당하며 출력 엔코더 약 $14.4$비트의 1 LSB와 같아, 위치 차 기반 토크 추정은 엔코더가 약 15비트를 넘으면 이력이 오차를 정한다. ⑧ 역구동 토크는 시동 토크의 $R$배에 대해 $0.7\sim1.4$배이다.

5.10.3 원리

5.10.3.1 운동학과 여섯 가지 구동 구성

FS·WG·CS 세 요소 중 하나를 고정하고 하나를 입력, 나머지를 출력으로 삼으면 여섯 구성이 나온다. 결론부터 적으면, 어느 구성이든 속도비는 하나의 선형 관계 $R\omega_{fs}+\omega_{wg}-(R+1)\omega_{cs}=0$에서 나온다. 유도는 다음과 같다. CS와 함께 회전하는 좌표에서 WG가 상대 각속도 $\omega_{wg}-\omega_{cs}$로 회전하면 FS는 이 $n=z_c-z_f=2$개씩 반대 방향으로 이동하므로 FS의 상대 각속도는 $-(n/z_f)(\omega_{wg}-\omega_{cs})$이다. $R=z_f/n$이라 두면 다음 식이 된다.

$$\omega_{fs}-\omega_{cs}=-\frac{\omega_{wg}-\omega_{cs}}{R}\ \Longleftrightarrow\ R\,\omega_{fs}+\omega_{wg}-(R+1)\,\omega_{cs}=0,\qquad R=\frac{z_f}{z_c-z_f}=\frac{z_f}{2}.$$

표의 속도비는 입력 속도를 출력 속도로 나눈 값이며 카탈로그의 식 1~6과 같다. 카탈로그는 감속비표의 $R$이 구성 1(WG 입력·CS 고정·FS 출력)에 해당한다고 적는다. 특허 전문의 예(FS 198개·CS 200개)는 $R=99$이고, FS를 출력으로 하면 "198 대 2, 곧 99 대 1(방향 반대)", FS를 고정하고 CS를 출력으로 하면 100 대 1이라고 적는다. 표의 구성 1·2와 같다. 카탈로그는 구성 1~3을 감속, 구성 4~6을 증속, 구성 7을 차동으로 분류한다. 입력과 출력이 반대 방향인 구성 1에서는 모터 회전 방향과 관절 회전 방향의 부호를 정의에서 확인해야 한다.

5.10.3.2 형상 — 타원 변형과 얇은 링 근사

CS의 이 수가 FS보다 $n$개 많으면 두 피치원 반지름의 차는 $m\,n/2$이고, WG 장축에서 FS 피치원이 CS 피치원과 만나려면 장축 방향 반지름 변형이 $w_0=m\,n/2$이어야 한다($n=2$이면 $w_0=m$). Musser 특허는 이 수 차가 변형 지점 수(로브 수)와 같거나 그 배수여야 한다고 적는다. 변형은 중립선이 늘어나지 않는 얇은 링으로 근사할 수 있고, 이 경우 변형 뒤의 타원은 둘레가 $2\pi r$로 보존된다. 장반경 $a=r+w_0$이면 단반경 $b$는 둘레 조건으로 정해지며(타원적분), 두 꼭짓점의 곡률은 $\kappa_{maj}=a/b^2$, $\kappa_{min}=b/a^2$이다.

변형이 작을 때($w_0\ll r$) 반지름 변위 $w=w_0\cos2\varphi$의 곡률 변화는 $\lvert\Delta\kappa\rvert=3w_0/r^2$이고, 벽 두께 $\delta$인 링의 굽힘 응력은 다음과 같다.

$$\sigma_b=E\,\frac{\delta}{2}\,\lvert\Delta\kappa\rvert=\frac{3}{2}\,\frac{E\,\delta\,w_0}{r^2}.$$

이 식은 원통 링의 평면 변형 근사이며 컵의 축방향 원뿔 변형·이 하중·응력 집중은 포함하지 않는다. 따라서 이 값은 굽힘 응력의 하한 규모를 보이는 데 사용하고 피로 설계 값으로 사용하지 않는다. 특허는 최대 응력이 점 하중 가정에서 파동 꼭대기의 바깥 면에서 생기며 파형에 따라 꼭대기와 바닥의 응력이 달라진다고 서술한다.

5.10.3.3 치형과 물림 영역

물림의 모양은 특허의 설명이 가장 구체적이다. 특허는 FS의 이가 변형파를 따라 이동하면서 맞물림에 들어가고, 완전히 물린 파 꼭대기에서는 이가 서로 닿지 않으며 이 옆의 빈 공간은 틈새가 아니라 이가 파를 따라 한쪽에서 다른 쪽으로 이동하는 데 필요한 공간이라고 설명한다. 특허는 기본 치수의 기어에서 이의 55 %가 접촉하고(절반씩 양쪽 이 면) 토크를 부담하는 이는 27.5 %이며, 최소 공차에서는 접촉 비율이 45 %라고 적는다.

카탈로그는 이 장이 읽은 판의 "S" 치형에서 전통 치형은 전체 이의 15 %가 접촉하는 데 비해 새 형상은 최대 30 %가 접촉하며, 그 결과 저·중 토크 영역의 비틀림 강성이 100 % 증가하고 이뿌리 반지름이 커져 허용 응력과 토크 용량이 늘고 WG 베어링 수명이 두 배 넘게 늘었다고 적는다. 이 값들은 제조사의 공개 주장치이다. 특허의 접촉 비율과 카탈로그의 접촉 비율이 같은 정의인지는 확인하지 못했다 (확인 필요).

5.10.3.4 비틀림 강성·이력·손실 운동

출력축에 토크를 걸고 입력을 고정해 비틀림각을 재면 곡선은 비선형이다. 카탈로그는 이를 세 직선으로 근사하고 강성 $K_1$($0\sim T_1$)·$K_2$($T_1\sim T_2$)·$K_3$($T_2$ 이상)를 표 41~43에 싣는다. 비틀림각은 다음 식으로 계산한다(카탈로그 식과 같다).

$$\theta(T)=\begin{cases}T/K_1,&T\le T_1\\ T_1/K_1+(T-T_1)/K_2,&T_1<T\le T_2\\ T_1/K_1+(T_2-T_1)/K_2+(T-T_2)/K_3,&T>T_2.\end{cases}$$

크기 25의 경우 $T_1=14$ N·m, $T_2=48$ N·m는 감속비에 관계없이 같고, $K_3$는 감속비 30·50·80 이상에서 $2.1$·$4.4$·$5.7\times10^4$ N·m/rad이다. 감속비가 클수록 강성이 큰 것은 표에서 읽은 사실이며 원인은 확인하지 못했다. $K_1/K_3$는 $0.48\sim0.57$이므로 작은 토크를 제어하는 구간의 강성은 정격 근처 강성의 절반 남짓이다. 이 비선형은 3.9의 유연 관절 모델에서 상수 강성 $K$로 두었던 부분을 바꾸는 항목이다.

이력은 입력을 고정하고 토크를 $0\to+T_0\to-T_0\to0$으로 가했을 때 왕복 경로의 차이이다. 카탈로그 표 44는 크기 25에서 감속비 30이 $8.7\times10^{-4}$ rad(3 arcmin), 감속비 50과 80이 $2.9\times10^{-4}$ rad(1 arcmin)이라고 적는다. 카탈로그는 기어 요소의 백래시가 0이고 모터 축 동심 오차를 보상하는 올덤 커플링이 소량의 백래시를 더한다고 적으며(표 45), 크기 25에서 감속비 30·50·80·100이 $13.6$·$8.2$·$5.3$·$4.4\times10^{-5}$ rad(28·17·11·9 arcsec)이다. Kircanski·Goldenberg(1997)는 초록에서 파동기어가 입력 토크를 전부 출력축에 전달하지 못하며 전달 토크가 모터 토크와 감속비의 곱보다 훨씬 낮은 값에서 포화할 수 있고, 이를 FS와 CS 이의 비선형 맞물림에서 비롯된 것으로 서술하며 비선형 강성·이력·소프트 윈드업 모델과 구속 운동 실험을 다룬다고 적는다. Folęga 외(2014)는 비선형 강성과 감쇠를 포함한 동역학 모델을 제안한다.

5.10.3.5 정격·수명·래칫팅·좌굴

카탈로그는 다음 정격을 정의한다. 정격 토크 $T_r$은 입력 2000 rpm에서의 허용 연속 부하이고, 반복 최대 토크는 가감속 때 부하 관성에서 생기는 토크의 한계이며, 평균 토크 한계는 변동 부하를 환산한 평균에 대한 한계이고, 순간 최대 토크는 충돌·비상정지에서의 한계이다. 정격 토크와 반복 최대 토크는 FS의 무한 피로 수명을 기준으로 하며, 순간 최대 토크의 허용 횟수는 충돌 중 입력 속도 $n$과 충돌 시간 $t$로 다음과 같이 제한된다(식 7).

$$N_s=\frac{10^4}{2\,(n/60)\,t}\ (\text{회}),\qquad N_s<10^4.$$

기어의 보통 수명은 WG 베어링의 수명으로 정해진다. 정격 수명은 CSF가 $L_{10}=7000$ h·$L_{50}=35000$ h, CSG가 $L_{10}=10000$ h·$L_{50}=50000$ h이고 기대 수명은 다음과 같다(식 8).

$$L_h=L_n\Big(\frac{T_r}{T_{av}}\Big)^{3}\frac{N_r}{N_{av}},\qquad T_{av}=\Big(\frac{\sum n_it_i\lvert T_i\rvert^3}{\sum n_it_i}\Big)^{1/3},\qquad N_{av}=n_{o,av}R,\ N_r=2000\ \text{rpm}.$$

평균 토크가 정격의 $1.25$배이면 수명은 $0.512$배이고, 평균 입력 속도가 두 배이면 절반이다. 래칫팅은 운전 중 과대 토크에서 FS와 CS 이가 정상 물림을 하지 못하는 현상이며 FS가 CS와 동심을 잃는 "디도이달(dedoidal)" 상태가 될 수 있고, 한 번 일어나면 이가 과마모되어 래칫팅 토크가 낮아질 수 있다고 카탈로그가 경고한다. CSG-25-100의 표 값은 정격 $87$·반복 최대 $204$·평균 한계 $140$·순간 최대 $369$ N·m이고 래칫팅 토크 $650$ N·m·좌굴 토크 $1700$ N·m이다. 순간 최대 토크 대비 래칫팅 토크는 $1.76$배, 정격 대비 좌굴 토크는 $19.5$배이다.

5.10.3.6 효율·시동 토크·역구동

카탈로그 효율은 감속비·입력 속도·부하 토크·온도·윤활제 종류와 양에 의존하며 그래프로 주어진다. 값은 정격 토크에서의 것이며 부하가 정격보다 작으면 효율에 보정 계수(카탈로그 그림 9)를 곱하라고 지시한다. 그림에서 읽은 근사값은 다음과 같다 (그래프 판독). 감속비 80~100 그리스 윤활의 효율은 20 °C에서 입력 500 rpm이 80 %대 중반, 3500 rpm이 70 % 안팎이고 $-10$ °C에서는 3500 rpm에서 30 %대 중반까지 낮아지며, 보정 계수는 정격의 $10\,\%$에서 약 $0.44$, $50\,\%$에서 약 $0.9$이다. 효율이 낮은 영역은 저온·고속·경부하이다.

시동 토크는 출력을 무부하로 두고 입력(WG)이 회전을 시작하는 데 필요한 토크이고, 역구동 토크는 출력 쪽에서 토크를 가해 입력이 회전을 시작하는 토크이다(표 36·37의 최댓값, 전형 값은 1/2~1/3). 카탈로그는 역구동 토크를 유지 토크로 의존하지 말고 안전 브레이크를 사용하라고 적는다. 제품 페이지 CSG-17-50의 시동 토크 $5.6$ N·cm와 역구동 토크 $2.8$ N·m는 $2.8/(50\times0.056)=1.0$으로 입력 환산 마찰이 양방향에서 같은 크기임을 보인다. 이 장은 CSF 표 36·37의 같은 크기·감속비 쌍 66개(감속비 50~160)로 $T_b/(R\,T_s)$를 계산했다(5.10.5의 ⑥).

5.10.3.7 운동 오차와 위치 정밀도

카탈로그의 위치 정밀도는 출력 1회전 동안 이론 위치와 실제 위치의 최대 양과 음의 편차 폭이며 방향 반전 없이 측정한다. 전형 곡선은 출력 1회전 동안 높은 주파수의 진동을 포함한다. 표 40은 크기 25에서 감속비 30이 $4.4\times10^{-4}$ rad(1.5 arcmin, 특수 등급 $2.9\times10^{-4}$), 감속비 50 이상이 $2.9\times10^{-4}$ rad(1 arcmin, 특수 등급 $1.5\times10^{-4}$ rad·0.5 arcmin)이라고 적는다. 운동 오차의 구조(WG 회전에 동기한 성분)와 마찰·컴플라이언스의 상호작용은 Tuttle·Seering(1996)이 모델링했다고 알려져 있으나 이 장은 본문을 읽지 못했다 (확인 필요).

5.10.3.8 토크 센서 내장형

파동기어 관절의 토크 감지는 세 가지로 나뉜다. 첫째, FS 벽에 스트레인 게이지를 직접 붙이는 방식이다. Taghirad·Bélanger(1998·1999)의 초록은 Hashimoto가 제안한 방식을 개량해 로제트 스트레인 게이지 4개를 정밀 위치에 붙이고, 이 맞물림에서 생기는 토크 리플과 정렬 오차 토크를 칼만 필터(4차 조화 진동자 모델)로 제거했다고 서술한다. 별도 탄성체를 더하지 않아 기구가 늘지 않는 것이 장점이다. 둘째, 모터 쪽과 링크 쪽 위치 측정과 파동기어 컴플라이언스 모델로 토크를 추정하는 방식이다. Zhang·Ahmad·Liu(2015)의 초록은 별도 탄성체나 스트레인 게이지 없이 이 방식으로 강하고 민감한 추정을 실현했고 상용 토크 센서 측정과 비교했다고 적는다. 셋째, 감속기 뒤에 별도 토크 센서를 두는 방식이며 6.3에서 다룬다.

둘째 방식의 한계는 3구간 모델에서 계산할 수 있다. 출력 엔코더의 1 LSB는 비틀림 $2\pi/2^b$이고 이에 해당하는 토크는 $K\,2\pi/2^b$이다. 이력은 같은 비틀림각에 대해 상승·하강 경로의 토크가 다르게 대응하는 불확실성이며 영 토크 근처에서는 약 $K_1\varphi_h$로 어림한다. 이 값이 양자화 분해능과 같아지는 비트 수(크기 25에서 약 14~15비트)보다 엔코더 분해능이 높으면 이력이 오차를 정한다. 계산은 5.10.5에 있다.

5.10.4 알고리즘

입력: 크기·감속비 R (z_f = 2R), 부하 패턴 {(T_i, t_i, n_i)}, 부하 관성 J_L, 모터 회전자 관성 J_m, 출력 엔코더 비트 b
1. 속도비:   구성(고정·입력·출력) 선택 → w = −c[입력]/c[출력], c = {wg: 1, fs: R, cs: −(R+1)}, 비 = 1/w
2. 평균:     T_av = (Σ n_i t_i |T_i|³ / Σ n_i t_i)^(1/3),  n_o,av = Σ n_i t_i / Σ t_i,  n_i,av = n_o,av R
3. 판정:     T_av ≤ 평균 한계, 최대 T_i ≤ 반복 최대, T_충돌 ≤ 순간 최대, n_i,av·n_i,max ≤ 속도 한계, N_s < 1e4
4. 수명:     L_h = L_n (T_r / T_av)³ (2000 / n_i,av)  ≥ 요구 수명
5. 강성:     θ(T) = 3구간 식, 공진 f_res = (1/2π) sqrt(K (J_r + J_L)/(J_r J_L)),  J_r = (J_m + J_WG) R²
6. 토크 추정: δT_q = K 2π/2^b,  δT_h ≈ K_1 φ_h,  추정 오차 한계 ≈ 두 값 중 큰 것
출력: 크기 적합 여부, 수명, 비틀림, 공진·반공진, 토크 추정 분해능

5.10.5 풀이 예제 — 선정 예제 재현·강성 점검·공진·타원 변형·토크 분해능

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 카탈로그의 선정 예제가 $T_{av}$·$n_{av}$·$N_s$·$L_{10}$에서 인쇄값과 같다. ② 3구간 강성표의 37조합 중 36조합이 자체 일관성($\varphi_1=T_1/K_1$)을 만족하고 한 칸은 오기이다. ③ 크기 25 감속비 100에서 정격 토크의 비틀림과 공진·반공진이 계산된다. ④ 둘레 보존 타원의 곡률과 굽힘 응력이 선형 이론과 $2\,\%$ 안에서 같다. ⑤ 이력은 약 14.4비트의 분해능과 같은 토크 오차를 만든다. ⑥ 역구동 토크는 입력 환산 시동 토크와 같은 규모이다.

구현. speed_ratio(속도비), twist(3구간 비틀림), avg_torque·avg_speed·life_h·n_impact(선정), f_two_mass(공진), perim·ellipse_b·ring_strain(타원 링), lsb_torque(분해능). 카탈로그 값은 스크립트의 DATA 절에 옮겼고 표·도해·캐시도 스크립트에 있다.

from math import pi, sqrt, sin, cos

def speed_ratio(R, fixed, inp, out):
    """입력÷출력 속도: R w_fs + w_wg − (R+1) w_cs = 0"""
    c = {'wg': 1.0, 'fs': float(R), 'cs': -(R + 1.0)}
    assert fixed not in (inp, out) and inp != out
    w = -c[inp] / c[out]
    return 1.0 / w

def twist(T, T1, T2, K1, K2, K3):
    """3구간 근사의 비틀림각 (T, T1, T2: N·m, K: N·m/rad)"""
    a, s = abs(T), (1 if T >= 0 else -1)
    if a <= T1:
        th = a / K1
    elif a <= T2:
        th = T1 / K1 + (a - T1) / K2
    else:
        th = T1 / K1 + (T2 - T1) / K2 + (a - T2) / K3
    return s * th

def avg_torque(seq):
    """seq = [(T, t, n)] : 속도 가중 3승 평균 토크"""
    num = sum(n * t * abs(T) ** 3 for T, t, n in seq)
    return (num / sum(n * t for T, t, n in seq)) ** (1 / 3)

def avg_speed(seq):
    tot = sum(t for T, t, n in seq)
    return sum(n * t for T, t, n in seq) / tot

def life_h(Ln, Tr, Tav, Nr, Nav):
    return Ln * (Tr / Tav) ** 3 * (Nr / Nav)

def n_impact(n_in, t_s):
    """충격 중 허용 입력 회전수: 1e4 / (2 n/60 t)"""
    return 1.0e4 / (2 * n_in / 60 * t_s)

def f_two_mass(K, Jr, JL):
    """공진·반공진 [Hz]: 반사 관성 Jr, 부하 관성 JL"""
    return (sqrt(K * (Jr + JL) / (Jr * JL)) / (2 * pi),
            sqrt(K / JL) / (2 * pi))

def perim(a, b, n=4000):
    """타원 둘레(심프슨)"""
    h = (pi / 2) / n
    f = lambda t: sqrt((a * sin(t)) ** 2 + (b * cos(t)) ** 2)
    s = f(0) + f(pi / 2) + sum((4 if i % 2 else 2) * f(i * h)
                               for i in range(1, n))
    return 4 * s * h / 3

def ellipse_b(r, a):
    """둘레 2πr, 장반경 a인 타원의 단반경 (이분법)"""
    lo, hi = 0.5 * r, r
    for _ in range(80):
        mid = (lo + hi) / 2
        if perim(a, mid, 400) > 2 * pi * r:
            hi = mid
        else:
            lo = mid
    return (lo + hi) / 2

def ring_strain(r, w0, delta):
    """둘레 보존 중립선 링: 타원 곡률 대 선형 이론"""
    a = r + w0
    b = ellipse_b(r, a)
    k_maj, k_min = a / b ** 2, b / a ** 2
    return dict(b=b, k_maj=k_maj, k_min=k_min,
                e_maj=delta / 2 * (k_maj - 1 / r),
                e_min=delta / 2 * (1 / r - k_min),
                e_lin=delta / 2 * 3 * w0 / r ** 2)

def lsb_torque(K, bits):
    """출력 엔코더 1 LSB에 해당하는 토크"""
    return K * 2 * pi / 2 ** bits

① 속도비와 선정.

평균 토크는 카탈로그의 $319$ N·m와 반올림 안에서 같고, $L_{10}$ 인쇄값 $7610$ h는 인쇄된 정수 입력($319$ N·m, $12$ rpm)에서 재현되며(차이 $0.9$ h) 정확한 평균 토크·속도에서는 $7542$ h로 $0.9\,\%$ 낮다. 카탈로그의 인쇄 수명은 입력 반올림 때문에 약 $1\,\%$ 높게 나온 값이다.

② 정격의 비틀림과 카탈로그 강성표의 일관성.

감속비 80 이상에서 정격 토크 $82\sim87$ N·m는 $T_2=48$ N·m를 넘으므로 $K_3$ 구간이고, 정격에서 비틀림은 약 $6$ arcmin이다. 할선 강성은 $K_3$보다 $16\,\%$ 낮다.

표 43 크기 65의 $T_1=135$ N·m는 $K_1=54\times10^4$ N·m/rad과 $\varphi_1=4.4\times10^{-4}$ rad의 곱 $237.6$ N·m와 맞지 않고 표 42의 $235$ N·m와 맞는다. 카탈로그의 인쇄 오기로 판단하며 확정은 제조사 확인이 필요하다 (확인 필요). 감속비 80 크기 11의 $\varphi_2$ 차이 $8\,\%$는 인쇄값의 유효 자릿수(정수 6) 때문이다.

③ 공진.

반사 관성 $0.513$ kg·m²는 부하 관성 $0.30$ kg·m²의 $1.7$배이고 공진은 $K_1$ 구간에서 $64$ Hz, $K_3$ 구간에서 $87$ Hz이다. 같은 관절의 공진 주파수가 토크 크기에 따라 $35\,\%$ 이동하므로, 서보의 공진 억제(5.9)는 하나의 강성 값으로 설계하면 구간 경계를 지날 때 마진이 달라진다. 이 모델은 선형 두 질량이며 이력과 감쇠를 넣지 않았다.

④ 얇은 링의 타원 변형.

곡률 반지름은 장축 꼭짓점에서 $30.00$에서 $29.109$ mm로 줄고 단축 꼭짓점에서 $30.914$ mm로 늘어, 두 꼭짓점의 굽힘 응력이 $61.2$와 $59.1$ MPa이다. 선형 이론의 $60.0$ MPa는 장축 꼭짓점보다 $2\,\%$ 작다. 이 값은 FS 벽의 둘레 방향 굽힘만 본 것이며 가정 치수이므로 제품의 응력으로 읽지 않는다.

⑤ 토크 추정 분해능.

위 그림에서 $K_1$ 구간의 1 LSB 토크가 이력 환산 $9.0$ N·m와 같아지는 비트 수는 $14.4$이고 $K_3$ 구간에서는 $15.3$이다. 17비트 출력 엔코더의 1 LSB는 $K_1$ 구간에서 $1.49$ N·m이므로 양자화는 이력 환산의 $1/6$이다. 위치 차 기반 토크 추정의 오차는 엔코더를 20비트로 올려도 이력이 정하고, 이는 정격의 약 $10\,\%$이다. 이 환산은 영 토크 근처의 1차 어림이며 이력의 진폭 의존성은 반영하지 않았다.

⑥ 시동 토크와 역구동 토크.

$T_b/(R\,T_s)$는 $0.73\sim1.36$의 범위에서 평균이 $1.17\sim1.25$이므로 역구동 토크는 입력 환산 시동 토크의 $R$배보다 약간 크다. 한 입력 마찰 토크가 양방향에서 같은 규모로 작용하는 것과 맞는다. 파동기어는 자동 잠금이 아니며 카탈로그의 안전 브레이크 권고와 일치한다.

라이브러리 독립 대조

이 장의 계산이 sympy·SciPy·numpy·python-control·MuJoCo와 반올림 안에서 같다. 이 물림 기하 시뮬레이션은 속도비 선형식을 가정하지 않고 FS 이의 호 길이 이동과 CS 이의 위치 격자 정렬만으로 감속비 $-30.000$($=-z_f/2$)을 얻었다. 이상 징후는 둘이다. 첫째, 기하 시뮬레이션의 최대 위상 차이가 $0.013^\circ$(FS 이 한 개 간격 $6^\circ$의 $0.2\,\%$)여서 정렬 판정 허용 오차에 의존한다. 둘째, MuJoCo 최초 시도에서 $111.6$ Hz로 이 장의 $64.4$ Hz와 $73\,\%$ 차이가 났고 원인은 MuJoCo의 balanceinertia가 입력한 관성의 삼각 부등식 위반분을 고쳐 관성 값을 바꾼 것이었다. 물리적으로 가능한 관성($J/2$, $J/2$, $J$)으로 바꾸어 해결했다.

한계. 카탈로그의 대표값(평균)을 사용했으며 개체 산포·온도·윤활 상태·조립 공차에 따른 변화는 계산하지 않았다. 3구간 근사는 한 방향의 정적 시험 곡선이고 이력의 진폭·주파수 의존성과 WG 회전각에 따른 강성 변동(운동 오차)을 담지 않는다. 타원 링은 평면 변형 근사이고 컵의 원뿔 변형·이 하중을 뺐다. 공진 모델은 선형 2관성이며 감쇠·마찰이 없다. 효율 그래프의 수치는 판독값이며 계산에 사용하지 않았다.

견해: 파동기어 관절의 토크 제어 설계에서는 $K_3$ 하나의 강성이 아니라 $K_1$ 구간에서 시작하는 3구간 강성과 이력 폭을 공진 억제와 토크 추정의 입력으로 사용하는 것이 맞다고 본다. 근거는 이 장의 계산에서 같은 관절의 공진 주파수가 $K_1$ 구간과 $K_3$ 구간에서 $35\,\%$ 이동하고, 이력이 $K_1$ 구간에서 $9.0$ N·m(정격의 $10\,\%$)의 토크 환산 불확실성을 만들어 약 15비트 이상의 출력 엔코더가 추정 정확도를 더 올리지 못한다는 점이다. 다만 이력의 진폭 의존성과 개체 산포는 계산하지 않았으므로 최종 값은 개체 시험(5.26)으로 정해야 한다.

5.10.6 설계 트레이드오프 — 관절 토크의 감지 방식

파동기어 관절의 출력 토크를 되먹임하는 방식은 다음 중에서 고른다.

• ① FS 스트레인 게이지(내장형). FS 벽에 로제트 게이지를 붙여 토크를 직접 측정한다. 별도 탄성체를 더하지 않아 기구 강성이 유지된다(학위 논문 초록). FS의 변형률을 직접 재므로 감속기 안의 이력이 측정에 들어오지 않는다는 것은 이 장의 추론이다. 게이지의 부착 위치 정밀도와 이 맞물림에서 생기는 토크 리플·정렬 오차 토크가 오차이며 Taghirad·Bélanger는 칼만 필터로 보정했다. 회전하는 FS에서의 신호 인출은 이 장이 읽은 범위에서 확인하지 못했다 (확인 필요).
• ② 위치 차 기반 추정. 모터 쪽과 링크 쪽 엔코더만으로 파동기어를 스프링으로 보고 토크를 추정한다. 센서가 늘지 않으며 Zhang 외(2015)는 상용 토크 센서와 비교 실험을 보고한다. 이력과 비선형 강성이 오차를 정하며 이 장의 계산에서 이력 환산 불확실성이 정격의 $10\,\%$이다.
• ③ 감속기 뒤 별도 토크 센서. 출력 쪽에 변형체를 두고 스트레인 게이지를 붙인다(6.3). 감속기 이력이 측정에 들어오지 않는 위치에 둘 수 있다. 축 방향 길이·질량·비용이 늘고 센서의 강성이 직렬로 들어와 관절 강성이 낮아지는 것이 일반적인 단점이나 이 장은 수치를 확인하지 않았다.

견해: 정격의 $10\,\%$ 안팎의 토크 정확도가 충분한 협동 운전 수준의 충돌 감지에는 ②를, 정밀한 힘·임피던스 제어에는 ③을 기본으로 두고, ①은 이 장이 읽은 범위의 근거만으로는 양산 관절의 기본으로 추천하지 않는다. 근거는 이 장의 계산에서 ②의 이력 환산 불확실성이 정격의 $10\,\%$로 정해지고, ①의 장점은 초록의 주장에 한정되며 신호 인출·내구성은 읽지 못했기 때문이다.

5.10.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 응용별 수치는 이 장이 확인하지 않았다. 카탈로그의 윤활 표는 그리스 SK-1A·SK-2가 $0\sim+40$ °C, 4B No.2가 $-10\sim+70$ °C라고 적는다.

대표 제품과 현황(기준 시점 2026-11-05). 직접 읽은 제품 자료는 Harmonic Drive LLC의 CSF·CSG 시리즈(컵형 컴포넌트 세트와 크로스 롤러 베어링 내장 하우징 유닛)이다. 카탈로그(제작일 2016-10-28)는 크기 8~100·감속비 30~160(크기별로 다름), CSF 표준형과 CSG 고토크형, 정격 수명 $L_{10}$ CSF $7000$ h·CSG $10000$ h, 크기 25 감속비 100의 정격 토크 CSF $67$·CSG $87$ N·m를 적는다(표 1·3, 모두 (공개 주장치)이며 현행 판은 확인하지 못했다 (확인 필요)). 다른 제조사의 파동기어와 비교는 46.1, 기업 현황은 44.14에서 다루며 이 장은 읽지 못했다.

5.10.8 관련 규격·프로토콜

파동기어 감속기 단품의 국제 표준은 확인하지 못했다 (확인 필요). 표준 번호는 제목으로만 가리켰고 조항의 내용을 단정하지 않았다. 표준 전반은 부록 A.3에서 다룬다.

5.10.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

파동기어를 직접 규정하는 법령·인증 요건은 확인하지 못했다. 간접 연결은 둘이다. 첫째 협동 운전에서 접촉 힘·압력을 제한하는 요구(ISO/TS 15066 등)는 관절 토크 감지의 정확도와 응답, 역구동 가능성(전원 차단 시 낙하)과 연결된다(27.10·28.4·41.9). 둘째 정지 유지와 낙하 방지를 감속기의 역구동 저항에 의존할 수 없다는 카탈로그의 서술은 브레이크를 안전 기능으로 구성하는 설계(5.23·26.6)와 연결된다. 이 장은 규격 본문을 읽지 못했으므로 요구의 구체 값은 단정하지 않는다 (확인 필요).

5.10.10 한계·유의점·미해결

• 자료의 지위. 정격·강성·이력·효율 값은 한 제조사의 한 판(2016) 카탈로그의 대표값이다. 개체 산포·현행 판과의 차이·측정 조건은 확인하지 못했다. 표 43의 오기가 보이듯 인쇄값에도 오류가 있을 수 있다.
• 치형과 응력. 이 장은 치형의 상세(인벌류트와 "S" 치형의 차이), FS의 3차원 응력, 피로 수명의 계산식을 다루지 않았다. 얇은 링 응력은 가정 치수의 하한 규모 값이다.
• 비선형 동특성. 강성 변동(운동 오차), 이력의 진폭 의존성, 소프트 윈드업, 래칫팅 직전 거동은 계산하지 않았다. Tuttle·Seering·Kircanski·Goldenberg·Taghirad·Zhang의 본문은 읽지 못했다.
• 토크 센서 내장형. FS 게이지의 신호 인출·온도 보상·내구성은 초록 수준에서도 확인하지 못했다.
• 미해결. 감속비에 따른 강성·이력·효율 변화의 원인, 저온 효율 저하의 모델, 극한 환경(진공·방사선)에서의 거동(34.26)은 이 장이 다루지 않았다.

5.10.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. $R\omega_{fs}+\omega_{wg}-(R+1)\omega_{cs}=0$을 CS 좌표의 상대 운동에서 유도하고 구성 3·4·5의 속도비를 구하라.
2. 둘레 보존 타원의 두 꼭짓점 곡률 $a/b^2$·$b/a^2$와 선형 이론 $3w_0/r^2$의 관계를 $w_0/r$ 전개로 보여라.
3. $T_{av}$·$N_{av}$·$L_h$ 공식에서 평균 토크가 $1.25$배일 때와 입력 속도가 두 배일 때 수명의 변화를 구하라.
4. 3구간 비틀림 곡선에서 정격 토크의 비틀림과 할선 강성을 구하고 $K_1$ 구간이 정격에 비해 어느 비율인지 확인하라.
5. 반사 관성 $(J_m+J_{WG})R^2$와 부하 관성이 같은 크기일 때 공진 주파수와 반공진 주파수의 비를 구하라.
6. 출력 엔코더 비트 수와 이력 환산 토크가 같아지는 조건을 식으로 적고 $K$가 달라질 때 경계가 어떻게 이동하는지 설명하라.
7. 카탈로그 표 41~43에서 $\varphi_2=\varphi_1+(T_2-T_1)/K_2$ 일관성을 직접 검산하라.

연구 질문:

• 이력의 진폭 의존성을 넣은 모델에서 위치 차 기반 토크 추정의 오차는 어떻게 달라지는가(이 장은 영 토크 근처의 1차 어림만 계산했다)?
• FS 게이지 내장형의 신호 인출 방식과 내구성은 어떤 문헌에서 확인되는가?
• 감속비가 클수록 $K_3$가 커지는 원인은 치형·FS 두께의 변화인가, 입력·출력 환산의 효과인가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• Harmonic Drive LLC, Cup Type Component Sets & Housed Units: CSF & CSG Series, 공개 PDF(52쪽, 메타데이터 제작일 2016-10-28) — 위 첫 절에 적은 쪽을 직접 읽음. 같은 제조사 제품 페이지 CSG-17-50-2A-R-BB-LW — 직접 읽음.
• C. W. Musser, "Strain wave gearing," US Patent 2,906,143, 출원 1955-03-21, 공개 1959-09-29(Google Patents 서지) — 전문 텍스트 직접 읽음(OCR 오류 있음).
• P. Folęga, G. Wojnar, R. Burdzik, Ł. Konieczny, "Dynamic model of a harmonic drive in a toothed gear transmission system," Journal of Vibroengineering 16(6), 2014, doi:10.21595/jve.2014.15571 — 서론·모델 개요 읽음.
• H. D. Taghirad, P. R. Bélanger, "Torque ripple and misalignment torque compensation for the built-in torque sensor of harmonic drive systems," IEEE Trans. Instrumentation and Measurement 47(1), 309–315, 1998, doi:10.1109/19.728840 — 초록만 읽음.
• H. D. Taghirad, P. R. Bélanger, "Intelligent built-in torque sensor for harmonic drive systems," IEEE Trans. Instrumentation and Measurement 48(6), 1201–1207, 1999, doi:10.1109/19.816137 — 초록만 읽음.
• H. Zhang, S. Ahmad, G. Liu, "Torque estimation for robotic joint with harmonic drive transmission based on position measurements," IEEE Trans. Robotics 31(2), 322–330, 2015, doi:10.1109/TRO.2015.2402511 — 초록만 읽음.
• N. M. Kircanski, A. A. Goldenberg, "An experimental study of nonlinear stiffness, hysteresis, and friction effects in robot joints with harmonic drives and torque sensors," International Journal of Robotics Research 16(2), 214–239, 1997, doi:10.1177/027836499701600207 — 초록만 읽음.
• H. D. Taghirad, P. R. Bélanger, "Modeling and parameter identification of harmonic drive systems," J. Dynamic Systems, Measurement, and Control 120(4), 439–444, 1998, doi:10.1115/1.2801484 — 서지만 확인.
• T. D. Tuttle, W. P. Seering, "A nonlinear model of a harmonic drive gear transmission," IEEE Trans. Robotics and Automation 12(3), 368–374, 1996, doi:10.1109/70.499819 — 서지만 확인.
• numpy 2.5.4, SciPy 1.18.1, sympy 1.14.0, python-control 0.10.2, MuJoCo 3.17.0.

다음 장. 5.11은 사이클로이드·RV·유성기어를 다룬다. 파동기어와 같은 정밀 감속기 계열에서 편심 운동과 핀 기어로 큰 감속비를 얻는 사이클로이드 구조, 두 단 구조의 RV 감속기, 한 단 감속비가 작은 유성기어의 운동학과 부하 분담을 같은 방식으로 계산한다.