제2부 기구학

2.18 링크 기구와 캠: 4절 링크·그라쇼프 조건·슬라이더-크랭크·구면 링크·캠

2.18.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 로봇 이전부터 기계의 기본 구조였던 폐연쇄 평면·구면 링크 기구와 캠을 기구학으로 다룬다. 평면 4절 링크의 위치 닫힌 식(프로이덴슈타인 식)과 속도비, 전달각과 사점, 그라쇼프 조건과 크랭크 회전 가능성, 슬라이더-크랭크의 행정·급속 귀환·회전 조건, 축이 한 점에서 만나는 구면 4절 링크의 회전 행렬 닫힘과 평면 링크로의 수렴, 판 캠의 운동 법칙 계수·압력각·기초원 반지름·피치 곡선의 곡률 반지름(언더컷)을 계산으로 확인한다. 링크 치수를 정하는 합성은 2.19, 자유도 계산은 2.1, 폐연쇄 동역학은 3.11, 병렬 기구는 2.13·2.14, 순응 기구는 4.9, 정적 균형 기구는 4.10, 로봇 손의 링크 구동은 7.12와 이어진다.

배우는 것:

• 4절 링크의 위치·속도 — 프로이덴슈타인 식, 두 조립 모드, 속도비 $\omega_4/\omega_2$, 전달각 $\mu$.
• 그라쇼프 조건과 유형 — 크랭크-로커·이중 크랭크·이중 로커·3로커, 크랭크 한 바퀴 조건의 대각선 부등식.
• 슬라이더-크랭크 — 오프셋, 행정, 급속 귀환 시간비, 한 바퀴 회전 조건.
• 구면 4절 링크 — 회전 행렬 사슬의 닫힘, 가동도 1, 링크가 작아질 때 평면 링크로의 수렴.
• 캠 — 운동 법칙의 속도·가속도·저크 계수와 연속성, 압력각과 기초원 반지름, 피치 곡선의 곡률과 롤러 반지름.

선수 지식: 1.6(SE(2)), 1.7(SO(3)·지수 사상), 2.1(자유도·그뤼블러), 2.3(DH 관례).

특히 중요한 독자: 링크 구동 그리퍼·관절을 설계하는 기구 엔지니어, 폐연쇄 기구의 운동 해석을 구현하는 개발자, 캠·링크 기구를 로봇 기구학의 관점에서 다시 정리하려는 학생.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-03이다. 직접 읽은 자료: 이 장을 위해 직접 읽은 1차 문헌은 없다. 프로이덴슈타인 식·속도비·전달각·대각선 부등식·슬라이더 식·구면 사슬의 닫힘·캠 운동 법칙의 식과 압력각·곡률 반지름 식은 이 장이 기하와 닫힘 조건에서 직접 유도하고, SciPy·numpy와 같은 입력에서 비교해 맞는지 확인했다. 서지만 확인한 것(본문은 읽지 못했다): Freudenstein(1955, 4절 링크의 근사 합성; 같은 논문의 2010년 Resonance 재수록), McCarthy·Soh(2011, 링크 설계의 기하 — 평면·구면 다중 루프 링크를 다룬다고 Crossref 목차에서 확인), Chiang(1992, 구면 운동학과 평면 운동학의 대비). 그라쇼프 조건의 원 문헌과 캠 설계 교재(운동 법칙 계수 표)는 확인하지 못했다 (확인 필요). 링크 길이·캠 치수는 모두 이 장이 정한 예시이며 어떤 제품의 제원이 아니다. 수치는 모두 이 장의 순수 파이썬 계산이다.

2.18.2 개념 — 회전을 다른 운동으로 바꾸는 가장 오래된 방법

결론부터 적으면 다음과 같다. 링크는 강체 막대를 회전 관절(힌지)로 이어 폐루프를 만든 것이고, 루프가 닫혀 있다는 조건 하나가 입력 관절의 각을 출력 관절의 각으로 정한다(가동도 1). 평면 4절 링크는 링크 길이 네 개로 입력 크랭크가 한 바퀴 돌 때 출력이 요동하는지(크랭크-로커)·한 바퀴 도는지(이중 크랭크)·모두 요동하는지가 정해지고(그라쇼프 조건), 출력의 각속도비와 힘 전달 능력(전달각)이 자세에 따라 변한다. 슬라이더-크랭크는 회전을 직선 왕복으로 바꾼다. 축이 한 점에서 만나는 구면 4절 링크는 링크가 작아지면 평면 4절 링크가 된다. 캠은 링크 대신 접촉면으로 임의의 운동 법칙을 만든다. 폐루프 기구의 관절 각 사이의 관계는 순기구학(2.4)처럼 사슬의 곱이 아니라 닫힘 조건의 해이므로 해가 둘 이상일 수 있고(조립 모드) 해가 없는 입력 범위가 있다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 프로이덴슈타인 해가 닫힘 잔차 $1.1\times10^{-15}$, SciPy fsolve와 $4.0\times10^{-15}$ 안에서 같고, 속도비 닫힌 식이 중심 차분과 $2.9\times10^{-9}$, 전달각이 기하와 $5.2\times10^{-15}$ 안에서 같다. ② 임의 4절 링크 3000개에서 그라쇼프 조건과 최단 링크로 예측한 다섯 유형이 입력·출력 회전 가능성의 스윕과 모두 일치하고(그라쇼프 $1593$개·비그라쇼프 $1407$개), 크랭크 한 바퀴 조건 $\lvert L_3-L_4\rvert\le\lvert L_1-L_2\rvert$, $L_1+L_2\le L_3+L_4$도 3000개 모두 일치한다. ③ 크랭크-로커 예 $(0.8,0.3,0.9,0.6)$에서 전달각이 크랭크각 $0^\circ$·$180^\circ$에서 극값 $31.59^\circ$·$92.12^\circ$이고 로커 요동각 $69.09^\circ$, 급속 귀환 시간비 $Q=1.2757$이 한계 위치의 닫힌 식과 같다. ④ 슬라이더-크랭크의 행정·시간비·속도가 닫힌 식과 같고 한 바퀴 회전 조건 $l\ge r+\lvert e\rvert$이 스윕과 같다. ⑤ 구면 4절 링크의 해가 평면 링크의 해에 $0.0873\,\varepsilon^2$ rad로 수렴하고(링크 호 길이 배율 $\varepsilon=0.5\to0.01$) 닫힘 자코비안의 계수가 3이다(가동도 1). ⑥ 캠 운동 법칙 계수가 사이클로이드 $(2.0,\ 2\pi,\ 4\pi^2)$·3-4-5 $(1.875,\ 5.774,\ 60)$·4-5-6-7 $(2.1875,\ 7.513,\ 52.5)$이고, 사이클로이드 상승 $20$ mm·$90^\circ$에서 압력각 $30^\circ$ 이하의 최소 기초원 반지름이 $35.0$ mm이다.

2.18.3 원리

2.18.3.1 폐연쇄의 가동도 — 그뤼블러 계산

링크 $n$개(고정 링크 포함)와 1자유도 관절 $j$개로 이루어진 평면(또는 구면) 폐연쇄의 가동도는 $M=3(n-1)-2j$이다(2.1). 4절 링크는 $n=4$, $j=4$로 $M=1$이고 슬라이더-크랭크도 같다. 구면 링크는 모든 축이 한 점에서 만나 각 링크가 회전 3자유도를 가지므로 평면 링크와 같은 식을 적용하며 $M=1$이다. 판 캠은 고정 링크·캠·종동절의 3링크, 회전 관절 1·직동 관절 1·접촉(고차쌍) 1개로 $M=3(3-1)-2-2-1=1$이다. 입력 하나를 정하면 나머지가 정해진다는 뜻이며 이는 닫힘 조건이 풀린다는 가정에서의 결과이다(특이 자세와 해가 없는 범위가 있다).

2.18.3.2 평면 4절 링크의 위치 — 프로이덴슈타인 식

접지 $L_1$(두 고정 관절 $O_2$·$O_4$ 사이), 크랭크 $L_2$($O_2$에서 $A$까지), 커플러 $L_3$($A$에서 $B$까지), 로커 $L_4$($O_4$에서 $B$까지)의 평면 4절 링크에서 $O_2$를 원점, $O_4=(L_1,0)$으로 둔다. 크랭크각 $\theta_2$, 커플러각 $\theta_3$, 로커각 $\theta_4$(모두 접지 방향 기준)는 닫힘 $L_2e^{i\theta_2}+L_3e^{i\theta_3}=L_1+L_4e^{i\theta_4}$을 만족한다. $\theta_3$를 소거하면 프로이덴슈타인 식이 나온다.

$$K_1\cos\theta_4-K_2\cos\theta_2+K_3=\cos(\theta_4-\theta_2),\qquad K_1=\frac{L_1}{L_2},\ K_2=\frac{L_1}{L_4},\ K_3=\frac{L_1^2+L_2^2+L_4^2-L_3^2}{2L_2L_4}.$$

$\cos(\theta_4-\theta_2)$를 전개하면 $A\cos\theta_4+B\sin\theta_4=C$, $A=K_1-\cos\theta_2$, $B=-\sin\theta_2$, $C=K_2\cos\theta_2-K_3$이고 해는 $\theta_4=\operatorname{atan2}(B,A)\pm\arccos\bigl(C/\sqrt{A^2+B^2}\bigr)$이다. 두 부호가 두 조립 모드(접어 올린 모양과 뒤집은 모양)이고 $\lvert C\rvert>\sqrt{A^2+B^2}$이면 그 $\theta_2$에서는 조립되지 않는다(입력 범위 제한). $\theta_3$은 $B-A$의 방향에서 구한다. 이 식은 기구의 위치를 닫힌 식으로 주는 몇 안 되는 폐연쇄이며 병렬 기구(2.13)의 일반적인 경우는 수치 풀이가 필요하다.

2.18.3.3 속도비·전달각·사점

닫힘 식을 시간에 대해 미분하고 $\omega_3$을 소거하면 출력과 입력의 각속도비가 나온다.

$$\frac{\omega_4}{\omega_2}=\frac{L_2\sin(\theta_2-\theta_3)}{L_4\sin(\theta_4-\theta_3)}.$$

분자가 0이면 출력이 정지하고(크랭크와 커플러가 일직선: 로커의 한계 위치, 사점), 분모가 0이면(커플러와 로커가 일직선) 입력이 출력을 움직이지 못하거나 출력 속도가 발산하는 특이 자세(2.9)이다. 커플러와 로커 사이각이 전달각 $\mu$이며 삼각형 $A$-$B$-$O_4$에 코사인 법칙을 적용하면 다음이다.

$$\cos\mu=\frac{L_3^2+L_4^2-D^2}{2L_3L_4},\qquad D^2=L_1^2+L_2^2-2L_1L_2\cos\theta_2.$$

$D$가 클수록 $\mu$가 크므로 $\mu$의 극값은 크랭크가 접지와 일직선인 $\theta_2=0$($D=\lvert L_1-L_2\rvert$, $\mu_{\min}$)과 $\theta_2=\pi$($D=L_1+L_2$, $\mu_{\max}$)에서 나타난다. $\mu$가 $90^\circ$에서 멀수록 로커에 전달되는 힘의 접선 성분이 작아진다. 전달각 허용 범위에 관한 경험칙이 설계 교재에 있는 것으로 알려져 있으나 원문을 확인하지 못했다 (확인 필요).

2.18.3.4 그라쇼프 조건과 유형

링크 길이를 정렬해 최단 $s$, 최장 $l$, 나머지 $p$, $q$로 두면 그라쇼프 조건은 $s+l\le p+q$이다. 이를 만족하면 최단 링크가 이웃한 두 링크에 대해 한 바퀴 돌 수 있다. 고정 링크를 무엇으로 두느냐(기구 반전)에 따라 최단 링크가 접지이면 이중 크랭크(입력·출력 모두 한 바퀴), 크랭크이면 크랭크-로커, 로커이면 로커-크랭크, 커플러이면 이중 로커이고, 그라쇼프 조건을 만족하지 못하면 3로커(어느 링크도 한 바퀴 돌지 못함)이다. $s+l=p+q$는 전이 자세(변환점)에서 기구가 분기하는 경계이다. 입력 크랭크 $L_2$가 한 바퀴 도는 필요충분조건은 대각선 $D$가 모든 $\theta_2$에서 삼각형 부등식 $\lvert L_3-L_4\rvert\le D\le L_3+L_4$를 만족하는 것이고 $D\in[\lvert L_1-L_2\rvert,\ L_1+L_2]$이므로 다음이다.

$$\lvert L_3-L_4\rvert\le\lvert L_1-L_2\rvert\quad\text{그리고}\quad L_1+L_2\le L_3+L_4.$$

이 부등식은 그라쇼프 조건과 최단 링크가 $L_1$ 또는 $L_2$라는 조건과 같다(이 장은 임의 링크 3000개에서 확인했고 대수적 증명은 하지 않았다).

2.18.3.5 슬라이더-크랭크

크랭크 반지름 $r$, 커넥팅 로드 길이 $l$, 슬라이더 선과 크랭크 중심 사이의 오프셋 $e$인 슬라이더-크랭크에서 슬라이더 위치는 다음이다.

$$x(\theta)=r\cos\theta+\sqrt{l^2-(e-r\sin\theta)^2},\qquad \frac{dx}{d\theta}=-r\sin\theta+\frac{(e-r\sin\theta)\,r\cos\theta}{\sqrt{l^2-(e-r\sin\theta)^2}}.$$

한계 위치는 크랭크와 로드가 일직선일 때이며 $x_{\max}=\sqrt{(l+r)^2-e^2}$, $x_{\min}=\sqrt{(l-r)^2-e^2}$, 행정은 $x_{\max}-x_{\min}$이다($e=0$이면 $2r$). 두 한계 위치의 크랭크각은 $\theta_o=\operatorname{atan2}(e,x_{\max})$, $\theta_i=\operatorname{atan2}(e,x_{\min})+\pi$이고 그 차가 $\pi+\alpha$이면 크랭크가 일정한 속도로 돌 때 전진·귀환 시간비는 $Q=(\pi+\alpha)/(\pi-\alpha)$이다(오프셋이 있어야 급속 귀환). 크랭크가 한 바퀴 돌 수 있으려면(슬라이더가 항상 조립되려면) $l\ge r+\lvert e\rvert$이어야 한다.

2.18.3.6 구면 4절 링크

구면 링크는 모든 회전 축이 한 점(구의 중심)에서 만난다. 인접한 두 축 사이의 각 $\alpha_i$를 링크의 호 길이(링크 비틀림)로 두면 관절 각 $\theta_i$와 호 길이로 이루어진 사슬의 닫힘이 조건이다.

$$R_z(\theta_1)R_x(\alpha_1)\,R_z(\theta_2)R_x(\alpha_2)\,R_z(\theta_3)R_x(\alpha_3)\,R_z(\theta_4)R_x(\alpha_4)=I.$$

회전 행렬의 닫힘은 독립 방정식 3개이고 미지 관절 각이 4개이므로 입력 하나를 주면 나머지 세 각이 정해진다(가동도 1). 이 장은 평면 해의 닫힌 식(두 원의 교점)을 초기값으로 한 뉴턴법으로 풀었다. 링크 호 길이를 $\alpha_i=\varepsilon\ell_i$로 두고 $\varepsilon\to0$이면 $R_x(\alpha_i)\approx I+\varepsilon\ell_i[e_x]_\times$가 접선 평면 위의 길이 $\varepsilon\ell_i$인 이동이 되고(방향은 모든 링크에서 같은 $90^\circ$ 회전) 닫힘 조건이 평면 사슬 $\prod R_z(\theta_i)T_x(\ell_i)=I$와 같아진다. 구면 4절 링크의 그라쇼프 유형 판정은 이 장이 다루지 않았다.

2.18.3.7 캠 — 운동 법칙과 연속성

판 캠은 종동절의 변위를 캠 회전각의 함수 $s(\theta)$로 정한다. 상승 구간을 정규화 변수 $x=\theta/\beta\in[0,1]$($\beta$: 상승 각)와 변위 $s=hf(x)$($h$: 상승량)로 적으면 속도·가속도·저크는 다음이다($\omega$: 캠 각속도).

$$v=\frac{h}{\beta}\omega f',\qquad a=\frac{h}{\beta^2}\omega^2f'',\qquad j=\frac{h}{\beta^3}\omega^3f'''.$$

정지(dwell) 구간과 이어질 때 상승 구간 양 끝($x=0$, $1$)에서 $f'=0$, $f''=0$이어야 속도·가속도가 연속이며(변위는 $f(0)=0$, $f(1)=1$), 가속도가 불연속이면 저크가 충격(무한대)이 되어 진동·소음의 원인이 된다. 이 장은 다섯 법칙을 비교한다: 등속 $f=x$, 조화 $f=(1-\cos\pi x)/2$, 사이클로이드 $f=x-\sin2\pi x/(2\pi)$, 3-4-5 다항식 $f=10x^3-15x^4+6x^5$, 4-5-6-7 다항식 $f=35x^4-84x^5+70x^6-20x^7$. 계수 $C_v=\max\lvert f'\rvert$, $C_a=\max\lvert f''\rvert$, $C_j=\max\lvert f'''\rvert$로 비교한다.

2.18.3.8 캠의 압력각과 피치 곡선

병진 롤러 종동절이 캠 회전 중심에서 $e$만큼 옆에 있고 롤러 중심이 그리는 피치 곡선의 기초원(프라임 원) 반지름이 $R_0$이면 $s_0=\sqrt{R_0^2-e^2}$로 두고 압력각(접촉 법선과 종동절 운동 방향의 사잇각) $\phi$는 다음이다.

$$\tan\phi=\frac{ds/d\theta-e}{s_0+s}.$$

운동학 반전(캠을 고정하고 종동절이 캠 둘레를 회전한다고 보는 것)으로 구한 피치 곡선에서 접선의 종동절 방향 성분과 수직 성분의 비로 유도하며 $e>0$은 상승 중 압력각을 줄이는 쪽이다. $\phi$가 크면 종동절을 옆으로 미는 힘이 커져 마찰·끼임이 생기므로 $\phi$의 최댓값 상한(설계 교재에 $30^\circ$ 안팎의 경험칙이 있는 것으로 알려져 있으나 원문을 확인하지 못했다 (확인 필요))을 두고 $R_0$를 정한다. $e=0$인 방사형 종동절에서 피치 곡선은 극좌표 $r(\theta)=R_0+s(\theta)$이며 곡률 반지름은 다음이다.

$$\rho=\frac{(r^2+r'^2)^{3/2}}{r^2+2r'^2-rr''},\qquad r'=\frac{dr}{d\theta},\ r''=\frac{d^2r}{d\theta^2}.$$

볼록한 부분($\rho>0$)에서 피치 곡선의 최소 곡률 반지름이 롤러 반지름보다 작으면 캠 윤곽(피치 곡선을 안쪽으로 롤러 반지름만큼 옮긴 곡선)에 뾰족점이 생기는 언더컷이다.

2.18.4 알고리즘

4절 링크 위치(L, θ2, 모드):   K1, K2, K3 ← 프로이덴슈타인 계수;  A ← K1 − cosθ2,  B ← −sinθ2,  C ← K2 cosθ2 − K3
                              |C| > √(A²+B²) 이면 조립 불가;  θ4 ← atan2(B, A) ± acos(C/√(A²+B²));  θ3 ← atan2(B점 − A점)
유형 판정:                    그라쇼프(s + l ≤ p + q) 이고 최단 링크가 접지 → 이중 크랭크, 크랭크 → 크랭크-로커, 로커 → 로커-크랭크, 커플러 → 이중 로커
크랭크 한 바퀴:               |L3 − L4| ≤ |L1 − L2|  그리고  L1 + L2 ≤ L3 + L4
슬라이더-크랭크:              x ← r cosθ + √(l² − (e − r sinθ)²);  한계 위치 x_max, x_min;  Q ← (π + α)/(π − α)
구면 4절(α, θ1):              (θ2, θ3, θ4) ← 뉴턴법으로 log(R_z R_x … ) = 0  (초기값: 평면 해)
캠(법칙, h, β, R0, e):        φ ← atan2(h f'/β − e, √(R0² − e²) + h f);  ρ ← (r²+r'²)^{3/2}/(r² + 2r'² − r r'')

2.18.5 풀이 예제 — 4절 링크, 그라쇼프 분류, 슬라이더-크랭크, 구면 링크, 캠

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 4절 링크의 닫힘 잔차 $1.1\times10^{-15}$, 속도비 $2.9\times10^{-9}$, 전달각 $5.2\times10^{-15}$이다. ② 그라쇼프 분류가 3000개 모두 스윕과 일치한다. ③ 크랭크-로커 예의 전달각 $31.59^\circ\sim92.12^\circ$, 요동각 $69.09^\circ$, $Q=1.2757$이다. ④ 슬라이더-크랭크 $e=0.03$·$0.06$ m에서 행정 $102.34$·$110.79$ mm, $Q=1.1032$·$1.2418$이다. ⑤ 구면 4절의 평면 수렴 계수 $0.0873$, 가동도 1이다. ⑥ 캠: 사이클로이드·3-4-5·4-5-6-7의 계수, 압력각 대 $R_0$, 최소 $R_0=35.0$ mm이다. ⑦ SciPy·numpy 대조가 $10^{-7}$ 이하(대부분 $10^{-13}$ 이하)에서 같다(압력각은 각도 $4\times10^{-7}\,{}^\circ$).

구현. four_bar·vel_ratio·trans_angle·grashof·crank_full·slider·sph_chain·sph_solve·cam_law·pressure_angle. 아래 코드는 1.1의 matmul·solve_lu와 1.7의 log_so3를 사용한다. 임의 링크 분류·스윕, 급속 귀환의 닫힌 식, 평면 해, 피치 곡선 곡률, 그림은 스크립트에 있다.

from math import sin, cos, sqrt, atan2, acos, hypot, pi

def four_bar(L, th2, mode=1):
    """L=(접지, 크랭크, 커플러, 로커) -> (th3, th4)"""
    L1, L2, L3, L4 = L
    K1, K2 = L1 / L2, L1 / L4
    K3 = (L1**2 + L2**2 + L4**2 - L3**2) / (2 * L2 * L4)
    A, B, C = K1 - cos(th2), -sin(th2), K2 * cos(th2) - K3
    n = hypot(A, B)
    if abs(C) > n:              # 조립 불가: 입력각 범위 밖
        return None
    th4 = atan2(B, A) + mode * acos(C / n)
    bx = L1 + L4 * cos(th4) - L2 * cos(th2)
    by = L4 * sin(th4) - L2 * sin(th2)
    return atan2(by, bx), th4

def vel_ratio(L, th2, th3, th4):
    """w4/w2 = L2 sin(th2-th3) / (L4 sin(th4-th3))"""
    return L[1] * sin(th2 - th3) / (L[3] * sin(th4 - th3))

def trans_angle(L, th2):
    """전달각 mu: 커플러와 로커 사이각(삼각형 A-B-O4)"""
    L1, L2, L3, L4 = L
    d2 = L1**2 + L2**2 - 2 * L1 * L2 * cos(th2)
    return acos((L3**2 + L4**2 - d2) / (2 * L3 * L4))

def grashof(L):
    s = sorted(L)
    return s[0] + s[3] <= s[1] + s[2]

def crank_full(L):
    """크랭크 L2가 한 바퀴: 대각선 D가 늘 삼각형 부등식"""
    L1, L2, L3, L4 = L
    return abs(L3 - L4) <= abs(L1 - L2) and L1 + L2 <= L3 + L4

def slider(r, l, e, th):
    """오프셋 e 슬라이더-크랭크의 슬라이더 위치"""
    return r * cos(th) + sqrt(l * l - (e - r * sin(th)) ** 2)

def sph_chain(al, th):
    """구면 4절: Rz(th1)Rx(a1)Rz(th2)Rx(a2)... (축은 한 점)"""
    R = [[1.0, 0, 0], [0, 1.0, 0], [0, 0, 1.0]]
    for a, t in zip(al, th):
        ct, st, ca, sa = cos(t), sin(t), cos(a), sin(a)
        Rz = [[ct, -st, 0], [st, ct, 0], [0, 0, 1]]
        Rx = [[1, 0, 0], [0, ca, -sa], [0, sa, ca]]
        R = matmul(R, matmul(Rz, Rx))
    return R

def sph_solve(al, th1, g, it=30):
    """입력 th1에서 (th2, th3, th4)를 뉴턴법으로(초기값 g)"""
    x = list(g)
    for _ in range(it):
        f = lambda v: log_so3(sph_chain(al, [th1] + v))
        F = f(x)
        if max(abs(a) for a in F) < 1e-14:
            break
        h, J = 1e-7, [[0.0] * 3 for _ in range(3)]
        for j in range(3):
            xp, xm = list(x), list(x)
            xp[j] += h
            xm[j] -= h
            fp, fm = f(xp), f(xm)
            for i in range(3):
                J[i][j] = (fp[i] - fm[i]) / (2 * h)
        x = [a - b for a, b in zip(x, solve_lu(J, F)[0])]
    return x

def cam_law(name, x):
    """정규화 상승 f와 1~3계 도함수 (x = 0..1)"""
    if name == '조화':
        return ((1 - cos(pi * x)) / 2, pi / 2 * sin(pi * x),
                pi**2 / 2 * cos(pi * x),
                -pi**3 / 2 * sin(pi * x))
    if name == '사이클로이드':
        w = 2 * pi
        return (x - sin(w * x) / w, 1 - cos(w * x),
                w * sin(w * x), w * w * cos(w * x))
    if name == '3-4-5':
        return (10 * x**3 - 15 * x**4 + 6 * x**5,
                30 * x**2 - 60 * x**3 + 30 * x**4,
                60 * x - 180 * x**2 + 120 * x**3,
                60 - 360 * x + 360 * x**2)
    if name == '4-5-6-7':
        return (35 * x**4 - 84 * x**5 + 70 * x**6 - 20 * x**7,
                140 * x**3 - 420 * x**4 + 420 * x**5
                - 140 * x**6,
                420 * x**2 - 1680 * x**3 + 2100 * x**4
                - 840 * x**5,
                840 * x - 5040 * x**2 + 8400 * x**3
                - 4200 * x**4)
    return x, 1.0, 0.0, 0.0        # 등속

def pressure_angle(name, h, beta, R0, e, x):
    """병진 롤러 종동절의 압력각. s0 = sqrt(R0^2 - e^2)"""
    f, f1, _, _ = cam_law(name, x)
    s0 = sqrt(R0 * R0 - e * e)
    return atan2(h / beta * f1 - e, s0 + h * f)

① 4절 링크의 위치·속도·전달각.

닫힘 잔차가 기계 정밀도이고 속도비 닫힌 식이 $\theta_4(\theta_2)$의 중심 차분과 같다(차분 자체의 오차 한계 수준). 속도비를 비교한 표본은 $\lvert\sin(\theta_4-\theta_3)\rvert>0.05$인 것으로 한정했다. 전달각의 코사인 법칙 식이 커플러·로커의 기하각과 같다.

② 그라쇼프 조건과 유형.

링크 길이를 $U(0.2,1.0)$에서 추첨하면 약 $53\,\%$가 그라쇼프 조건을 만족하고 이중 크랭크·크랭크-로커·로커-크랭크·이중 로커가 비슷한 비율($376\sim432$개)이다. 이론(그라쇼프 + 최단 링크)과 360점 스윕이 3000개 모두 일치하고, 크랭크 한 바퀴의 대각선 부등식도 모두 일치한다. 여유 $0.01$ 미만을 제외한 것은 360점 스윕이 변환점 근처에서 좁은 조립 불가 구간을 놓칠 수 있기 때문이며 제외된 291개는 이 결과에 포함되지 않았다.

③ 크랭크-로커의 전달각·요동·급속 귀환.

전달각의 극값이 크랭크가 접지와 일직선인 $0^\circ$·$180^\circ$에 있고 닫힌 식과 같다. 로커 한계에서 $\lvert\omega_4/\omega_2\rvert\approx10^{-6}\sim10^{-4}$(스윕 간격의 영향)로 출력이 정지하고 전 구간 최댓값은 $0.840$이다. 한계 위치의 크랭크각 $26.384^\circ$(펼침)·$228.190^\circ$(접힘)에서 전진 $201.806^\circ$·귀환 $158.194^\circ$이므로 $Q=1.2757$이고 스윕과 같다. 전달각 최솟값을 약 $40^\circ$ 이상으로 두라는 경험칙이 설계 교재에 있는 것으로 알려져 있으나 원문을 확인하지 못했다. 이 예의 $31.59^\circ$는 그 값에 못 미칠 수 있다 (확인 필요).

④ 슬라이더-크랭크.

오프셋 $e=0$이면 행정이 $2r=100$ mm이고 시간비가 $1$이다. 오프셋이 커지면 행정이 늘고($e=0.06$ m에서 $110.79$ mm) 한계 위치 사이 크랭크각이 $\pi$에서 벗어나($8.83^\circ$, $19.41^\circ$) 급속 귀환 비가 $1.10$, $1.24$가 된다(수치와 닫힌 식의 $10^{-4}$ 차이는 $0.005^\circ$ 격자의 극값 위치 오차이다).

한 바퀴 회전 조건 $l\ge r+e$가 스윕과 일치한다($e=0.099$ m 한 바퀴 가능, $0.101$ m 불가능).

⑤ 구면 4절 링크와 평면 링크의 수렴.

링크 호 길이를 $\varepsilon$배로 줄이면 구면 해가 평면 해에 $0.0873\,\varepsilon^2$ rad 안으로 들어온다($\varepsilon=0.5$에서 $0.0890\,\varepsilon^2$로 시작해 $0.0873$으로 수렴하는 $\varepsilon^2$ 의존). 닫힘 잔차가 $9.0\times10^{-15}$ 이하이고 닫힘 자코비안(3×4)의 계수가 3이므로(최소 특이값 대 최대 $0.064$, $\varepsilon=0.3$) 가동도 $4-3=1$이다. 평면 해는 입력 $\theta_1$마다 두 조립 모드가 있고 이 장은 한 모드(두 원의 교점의 한쪽)만 따랐다.

⑥ 캠.

조화 법칙은 가속도 계수가 가장 작지만($C_a=4.93$) $f''(0)=\pm4.93\ne0$이라 정지 구간과 이어질 때 가속도가 불연속이어서 저크가 무한대이다. 사이클로이드·3-4-5·4-5-6-7은 구간 끝에서 가속도가 0이어서 저크가 유한하다. 이 중 사이클로이드의 $C_j=39.5$가 가장 작고 3-4-5 $60$, 4-5-6-7 $52.5$이다. 4-5-6-7은 구간 끝의 저크도 0이지만 $C_a=7.51$로 가장 크다(구속 조건이 많은 만큼 중간에서 가속도 최댓값이 크다).

기초원 반지름이 커질수록 압력각이 줄고($e=0$에서 $R_0=25$ mm $37.0^\circ$ → $80$ mm $15.9^\circ$) 피치 곡선의 최소 곡률 반지름은 늘어난다($20.8$ → $64.7$ mm, 사이클로이드). 오프셋 $e=+10$ mm는 상승 중 압력각을 줄이고($R_0=40$ mm에서 $27.4^\circ\to17.8^\circ$) $-10$ mm는 늘린다($36.7^\circ$). 복귀 구간에서는 부호가 반대로 작용할 수 있고 이 장은 상승 구간만 계산했다.

사이클로이드 상승 $20$ mm·$90^\circ$에서 압력각 $30^\circ$ 이하가 되는 최소 기초원 반지름은 $e=0$에서 $35.0$ mm, $e=+10$ mm에서 $20.3$ mm, $e=-10$ mm에서 $53.3$ mm이다. 롤러 반지름은 피치 곡선의 최소 곡률 반지름($R_0=25$ mm에서 $20.8$ mm)보다 작아야 하며 이 장은 롤러 크기를 정하는 실무 여유를 다루지 않았다.

⑦ 라이브러리 대조(실행 2026-11-03). SciPy 1.18.1의 fsolve를 4절 링크 닫힌 식과, differentiate.derivative를 속도비와, minimize_scalar를 크랭크 회전 가능성(삼각형 부등식 여유)·슬라이더 행정·캠 극값과, brentq를 슬라이더 위치와, spatial.transform.Rotation·least_squares를 구면 사슬과 해와, interpolate.splprep을 피치 곡선 곡률 반지름과, numpy 2.5.4의 svd·Polynomial·gradient를 닫힘 자코비안 계수·다항식 법칙·압력각의 기하와 같은 입력에서 비교했다. 스크립트는 robotics/fig-src/2.18-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/2.18-libcheck-output.txt에 있다.

모든 항목이 $6.4\times10^{-8}$ 이하(대부분 $10^{-13}$ 이하, 압력각은 $4\times10^{-7}\,{}^\circ$)에서 같고 분류는 500개 모두 일치한다. 이 장은 링크·캠 전용 소프트웨어와 대조하지 않았고 캠 운동 법칙 계수가 설계 교재의 표와 같은지는 원문을 읽지 못해 확인하지 않았다 (확인 필요).

한계. 평면 4절 링크·오프셋 슬라이더-크랭크·구면 4절·방사형/오프셋 병진 롤러 종동절 판 캠의 순수 운동학이며 하중·마찰·간극·탄성·동역학(캠 종동절의 진동·점프)은 다루지 않았다. 구면 링크의 그라쇼프 유형, 4절 링크의 커플러 곡선 합성, 요동 종동절 캠, 입체 캠, 링크의 전달각 허용 범위와 압력각 상한의 경험칙은 다루지 않았거나 확인하지 못했다.

견해: 회전을 요동·왕복으로 바꾸는 구동 기구는 먼저 4절 링크나 슬라이더-크랭크로 시작하고, 요구되는 운동 법칙이 링크로 만들기 어려울 때 캠을 사용하며, 캠은 사이클로이드류(가속도가 구간 끝에서 0인 법칙)를 기본으로 둔다고 본다. 근거는 이 장에서 4절 링크가 닫힌 식과 그라쇼프 조건 하나로 유형과 회전 가능성이 정해지고(3000개 모두 일치), 캠은 조화 법칙이 가속도 계수는 작아도 구간 끝에서 저크가 무한대인 반면 사이클로이드는 $C_j=39.5$로 유한하고 3-4-5·4-5-6-7보다 저크 계수가 작다는 점이다(가속도 계수 $C_a=6.28$은 3-4-5의 $5.77$보다 크다). 요구 정밀도·속도·하중과 수명에 따라 달라지고 이 장은 동적 거동(진동·마모)을 계산하지 않았다.

2.18.6 설계 트레이드오프 — 링크, 슬라이더-크랭크, 캠의 선택

회전 입력을 다른 운동으로 바꾸는 방식은 다음 중에서 고른다.

• ① 평면 4절 링크. 요동·한 바퀴 회전 변환, 급속 귀환. 출력 운동이 링크 치수로 정해져 법칙을 임의로 정하기 어렵고 전달각이 나쁜 자세가 있다.
• ② 슬라이더-크랭크. 회전↔직선 왕복의 가장 단순한 형태. 행정이 크랭크 반지름에 정해지고 오프셋으로 급속 귀환을 만든다.
• ③ 캠. 운동 법칙을 임의로 정할 수 있다. 접촉 마모·압력각·언더컷·저크의 제약이 있다.
• ④ 구면 링크. 입체 회전축이 한 점에서 만나는 기구(로봇 손목·원격 중심 운동 기구 등)에 맞다. 닫힌 식이 없어 수치 풀이가 필요하다.

견해: 새로 설계하는 로봇 관절·손가락은 서보 모터에 직접 구동 또는 감속기를 연결하는 것을 기본으로 두고, 링크는 구동기 수를 줄이는 과소구동(7.12)이나 원격 중심 운동(32.14), 평행 개폐 그리퍼처럼 기하가 기능을 정하는 곳에 사용하는 것을 기본으로 둔다고 본다. 근거는 이 장에서 링크의 입출력이 닫힌 식과 그라쇼프 조건으로 완전히 정해지는 반면(법칙의 자유도가 링크 길이 네 개) 서보 구동은 어떤 운동 법칙이든 지령할 수 있다는 점이다. 이 장은 두 방식의 비용·정확도·수명을 비교하지 않았다.

2.18.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 장별 요구는 다르다. 응용별 성능 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

2.18.8 관련 규격·프로토콜

기구 기호·캠 운동 법칙의 표준 규격은 확인하지 못했다 (확인 필요).

2.18.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

링크·캠 기구의 기구학 자체를 규정하는 법령·인증 요건은 확인하지 못했다. 로봇 관절과 손에 사용된 링크의 안전은 기계 안전과 협동로봇 안전 요구(끼임·충돌 시 힘 제한, 27.10)의 대상이며 링크의 사점·전달각이 위험 분석의 입력이 될 수 있다. 이 장은 규정의 조항을 확인하지 않았다 (확인 필요).

2.18.10 한계·유의점·미해결

• 순수 운동학. 하중·마찰·간극·탄성·관성과 캠 종동절의 진동·점프를 다루지 않았다.
• 조립 모드. 4절 링크의 두 모드 사이 전환(분기)과 특이 자세 근처의 거동은 다루지 않았다. 구면 링크는 한 모드만 따랐다.
• 구면 링크의 유형. 평면 그라쇼프 조건의 구면 확장은 다루지 않았다.
• 경험칙의 미확인. 전달각 하한·압력각 상한(30° 안팎)은 설계 교재의 경험칙으로 알려져 있으나 원문을 확인하지 못했다.
• 캠의 범위. 병진 롤러 종동절의 상승 구간만 계산했고 요동·평면(플랫) 종동절·입체 캠·폐쇄 캠·가공 공차는 다루지 않았다. 언더컷은 곡률 반지름 조건만 확인했다.
• 합성. 요구 운동에서 링크 치수를 정하는 합성은 2.19의 주제이다.

2.18.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 4절 링크의 닫힘 식에서 $\theta_3$를 소거해 프로이덴슈타인 식을 유도하고 두 조립 모드가 생기는 이유를 설명하라.
2. 속도비 $\omega_4/\omega_2=L_2\sin(\theta_2-\theta_3)/(L_4\sin(\theta_4-\theta_3))$를 닫힘 식의 허수부에서 유도하고 사점에서의 값을 설명하라.
3. 크랭크 한 바퀴의 대각선 부등식을 유도하고 그라쇼프 조건에서 최단 링크가 $L_1$ 또는 $L_2$인 경우와 같음을 확인하라.
4. 오프셋 슬라이더-크랭크의 한계 위치 $x_{\max}$·$x_{\min}$·급속 귀환 시간비 $Q=(\pi+\alpha)/(\pi-\alpha)$를 유도하라.
5. 구면 사슬 $\prod R_z(\theta_i)R_x(\alpha_i)=I$에서 $\alpha_i\to0$의 극한이 평면 사슬임을 보이고 $\varepsilon^2$ 수렴이 나오는 이유를 설명하라.
6. 사이클로이드·3-4-5 법칙의 $C_v$·$C_a$·$C_j$를 구하고 조화 법칙에서 구간 끝의 저크가 무한대인 이유를 설명하라.
7. 압력각 식 $\tan\phi=(ds/d\theta-e)/(s_0+s)$를 운동학 반전한 피치 곡선에서 유도하라.

연구 질문:

• 구면 4절 링크의 그라쇼프형 유형 판정은 호 길이 네 개로 어떻게 정해지는가(이 장은 시험하지 않았다)?
• 서보 구동과 캠·링크를 결합한 하이브리드 기구에서 동적 부하(저크)를 줄이는 운동 법칙은 무엇인가?

1차 출처(조회 2026-11-03).

• F. Freudenstein, "Approximate synthesis of four-bar linkages," Transactions of the ASME 77, 853–859, 1955, doi:10.1115/1.4014513 — 서지만 확인(같은 논문이 Resonance 15, 740–767, 2010, doi:10.1007/s12045-010-0084-7에 재수록).
• J. M. McCarthy, G. S. Soh, Geometric Design of Linkages, 2nd ed., Springer, 2011, doi:10.1007/978-1-4419-7892-9 — 서지만 확인(평면·구면 다중 루프 링크 장을 Crossref 목차로 확인).
• C. H. Chiang, "Spherical kinematics in contrast to planar kinematics," Mechanism and Machine Theory 27(3), 243–250, 1992, doi:10.1016/0094-114x(92)90014-9 — 서지만 확인.
• SciPy 1.18.1(optimize.fsolve·brentq·minimize_scalar·least_squares, differentiate.derivative, interpolate.splprep, spatial.transform.Rotation), numpy 2.5.4(linalg.svd, polynomial.Polynomial, gradient).

다음 장. 2.19는 기구 합성과 설계 최적화(형태·치수 합성·성능 지수)를 다룬다. 이 장에서 해석한 링크를 거꾸로 요구 운동에서 링크 치수를 정하는 문제와 이어진다.