제4부 기계 설계·구조·재료

4.5 피로·내구 설계: S-N 곡선·응력 집중·굿맨 선도·볼트 풀림·누적 손상

4.5.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 로봇 구조(링크·하우징·플랜지·체결부)가 반복 하중을 받을 때의 수명을 계산하는 방법을 정리한다. 응력이 항복강도보다 훨씬 낮아도 반복 횟수가 쌓이면 균열이 생기고 성장해 파손되며, 수명은 응력에 매우 민감하다. 이 장은 S-N 곡선과 수정 계수, 응력 집중과 노치 계수, 평균 응력을 반영하는 굿맨 선도(게르버·소더버그·SWT·랭어 포함), 변동 하중의 레인플로 계수와 마이너 누적 손상, 볼트 체결체의 하중 분담과 풀림, 파리스 법칙의 균열 성장을 닫힌 식과 소규모 계산으로 확인한다. 구조 재료는 4.4, 정밀도는 4.6, 공차는 4.7, 진동은 4.8, 설계 도구(FEA·피로 해석)는 4.14, 로봇 요소의 신뢰성 시험은 26.17, 베어링·씰은 4.2, 볼트·기어의 기초는 4.3로 이어진다.

배우는 것:

• S-N 곡선 — Basquin 형 직선, 내구한도의 유무, 수정 계수, 산포와 수명의 민감도.
• 응력 집중 — $K_t$, 키르시 해, 타원 구멍, 피로 노치 계수 $K_f=1+q(K_t-1)$.
• 평균 응력 — 굿맨·게르버·소더버그·SWT·랭어 기준과 하이 선도.
• 누적 손상 — 레인플로 계수(ASTM E1049-85 3점 규칙), 마이너 합과 한계.
• 볼트 체결체 — 원뿔대 강성, 하중 분담 계수, 분리 하중, 안착 손실, 가로 미끄럼, 조임 토크의 산포.
• 균열 성장 — 파리스 법칙과 손상 허용 점검.

선수 지식: 4.4(재료 지표와 구조), 2.12(정역학과 강성), 재료역학의 보 이론, 확률·통계 기초(1.19).

특히 중요한 독자: 링크·브래킷의 내구 수명을 검증하는 기계 설계자, 체결부의 풀림과 파손을 조사하는 신뢰성 엔지니어, 작업 사이클에서 부품 수명을 추정하는 시스템 통합자.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: rainflow 패키지 3.2.0의 문서(ASTM E1049-85 5.4.4절 구현), 위키백과의 피로(재료)·마이너 법칙·파리스 법칙·응력 집중·레인플로 계수·볼트 체결 항목(2차 출처), 6061-T6의 피로 강도 대표값 $96.5$ MPa(완전 반전, $5\times10^{8}$ 회, 위키백과의 6061 항목과 검색으로 확인한 Aluminum Association 값). 이 장의 식은 이 자료의 서술과 교과서의 일반 지식에 따라 정의에서 직접 유도하고 계산으로 확인했다. 서지만 확인한 것(Crossref로 실재를 확인했고 본문은 읽지 못했다): Miner(1945), Paris·Erdogan(1963), Downing·Socie(1982), Junker(1969), Sonsino(2007), Pilkey, Peterson's Stress Concentration Factors(장 목차). 확인하지 못한 것: Shigley·Schijve 등 교과서의 수정 계수 표와 $q$·$K_t$ 선도, ISO·ASTM·VDI·DIN 표준의 발행본(번호와 제목만 적는다), 기계류 안전 요구의 조문. 재료 값·하중·치수·파리스 계수·볼트 제원은 모두 이 장이 정한 예시(가정)이며 어떤 제품의 제원이나 설계 허용값도 아니다. 수치는 모두 이 장의 순수 파이썬 계산이다.

4.5.2 개념 — 낮은 응력의 반복이 수명을 정한다

결론부터 적으면 다음과 같다. 피로 파손은 균열 개시, 안정 성장, 최종 파단의 순서로 진행되고 균열이 눈에 보이기 전까지 대부분의 수명이 소모된다. 이 장의 예시 6061-T6 링크에서 $S$-$N$ 직선의 기울기는 $b=-0.081$이므로 응력이 $10\,\%$ 커지면 수명이 $0.308$배(약 $1/3.2$)로 줄어든다. 따라서 응력 계산의 $10\,\%$ 오차가 수명의 3배 오차가 되고, 수명 예측은 절대값보다 설계안 사이의 비교에 적합하다. 응력 집중이 수명을 가장 크게 바꾼다. 구멍의 $K_t=2.4$가 $K_f=2.19$로 응력을 키우고 평균 응력은 굿맨 기준으로 등가 진폭을 키운다. 변동 하중은 레인플로 계수로 사이클을 분해하고 마이너 합으로 손상을 더하며, 이 장의 작업 사이클에서는 하중이 $0\to$ 최대로 오르내리는 큰 사이클 하나가 손상의 $99.9\,\%$ 이상을 차지한다. 볼트 체결체에서는 예압이 외부 하중의 일부만 볼트에 전달하도록 하중을 분담시켜(이 장의 예에서 $C=0.35$) 볼트 응력 진폭이 예압과 무관하게 $19.3$ MPa로 일정하다. 예압이 부족하면 가로 미끄럼과 풀림이 생기고, 외부 하중이 분리 하중($25.4$ kN)을 넘으면 진폭이 $185.7$ MPa로 급증한다. 균열이 있는 구조는 파리스 법칙으로 점검 주기를 정한다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 안전율이 굿맨 $1.45$·게르버 $1.66$·소더버그 $1.42$·SWT $1.27$로 같은 하중점에서 기준마다 $1.27\sim1.66$이다. ② 키르시 해가 구멍 가장자리 $\sigma_{\theta\theta}=3\sigma$를 주고 평형 방정식과 가장자리 견인력 0을 SymPy 기호 계산으로 확인했으며, 응력은 $r/a=2$에서 $1.219\sigma$로 빠르게 줄어든다. ③ 작업 1회(반전점 7개)의 마이너 손상 $D=9.42\times10^{-6}$으로 파손까지 $1.06\times10^{5}$회이며 분당 15회 연속 운전에서 $118$시간이다. ④ 이 장의 3점 레인플로가 rainflow 패키지와 작업 이력·연결 이력·무작위 이력 8개에서 사이클 집합이 완전히 일치한다. ⑤ M8 체결체의 $k_m=612.7$, $k_b=335.0$ MN/m, $C=0.3535$이고 닫힌 식이 SciPy quad와 $2\times10^{-16}$, 파리스 수명 $5.10\times10^{5}$회가 quad·solve_ivp와 $10^{-13}$ 안에서 같다.

4.5.3 원리

4.5.3.1 피로 파손의 과정과 설계 접근

피로는 변동 하중에서 균열이 개시되고 성장하다 최종 파단에 이르는 과정이다. 응력이 낮고 거의 탄성인 고사이클 피로(관례로 $10^{4}$ 사이클 이상)와 국소 소성이 큰 저사이클 피로로 나누며, 로봇 링크의 정상 운전은 고사이클 영역이다(낙하·충돌은 저사이클에 해당할 수 있다). 설계 접근은 세 가지이다. 응력-수명(S-N) 접근은 응력 진폭으로 수명을 구하고 이 장의 중심이다. 변형률-수명 접근은 국소 소성을 포함하며 이 장은 다루지 않는다. 파괴역학 접근은 균열 성장 속도로 점검 주기를 정한다(4.5.3.7). 일부 강과 티타늄 합금은 내구한도가 있으나 알루미늄 합금은 뚜렷한 내구한도가 없어 정해진 사이클 수(예: $5\times10^{8}$)의 피로 강도를 사용한다.

4.5.3.2 S-N 곡선과 수정 계수

완전 반전($\sigma_m=0$) 응력 진폭 $\sigma_a$와 수명 $N$의 관계를 양대수 직선으로 근사하는 Basquin 형은 다음이다.

$$\sigma_a=A\,N^{b},\qquad b=\frac{\ln(S_2/S_1)}{\ln(N_2/N_1)},\qquad N=\Bigl(\frac{\sigma_a}{A}\Bigr)^{1/b}.$$

이 장은 두 기준점을 $(10^{3},\,0.9S_u)$와 $(5\times10^{8},\,96.5\ \mathrm{MPa})$로 가정해 직선을 정했다(앞 점의 $0.9S_u$는 교과서에서 알려진 근사이며 이 장이 확인하지 않았다 (확인 필요)). 시험편에서 부품으로 옮기는 수정 계수는 표면·크기·하중 형태·온도·신뢰도 계수의 곱 $k=k_ak_bk_ck_dk_e$이고 이 장은 합계 $k=0.7$로 가정했다. 부품의 S-N 직선은 시험편 직선의 $k$배이다. 지수 $1/b=-12.4$가 크므로 응력 $10\,\%$ 증가는 수명을 $1.1^{1/b}=0.308$배로 줄인다. 같은 응력에서 수명의 산포도 크며 Sonsino(2007)가 고사이클 영역 S-N 곡선의 형상과 부품 설계 안전을 논의한다(본문은 읽지 못했다).

4.5.3.3 응력 집중과 피로 노치 계수

구멍·필렛·키홈·나사산 같은 형상 불연속은 국소 응력을 키운다. 이론 응력 집중 계수 $K_t$는 최대 국소 응력을 공칭 응력으로 나눈 값이다. 일축 인장을 받는 무한 판의 원형 구멍(반지름 $a$)에는 키르시 해가 있다.

$$\sigma_{\theta\theta}=\frac{\sigma}{2}\Bigl[\bigl(1+\tfrac{a^{2}}{r^{2}}\bigr)-\bigl(1+\tfrac{3a^{4}}{r^{4}}\bigr)\cos2\theta\Bigr],\qquad \sigma_{\theta\theta}\bigl(a,\tfrac{\pi}{2}\bigr)=3\sigma.$$

구멍 가장자리의 $K_t=3$이고 응력은 $r/a=2$에서 $1.219\sigma$, $r/a=4$에서 $1.037\sigma$로 줄어 구멍 반지름 정도의 거리에서 집중이 거의 사라진다. 타원 구멍(긴 반지름 $a$, 짧은 반지름 $b$)은 $K_t=1+2a/b$이므로 $a/b=10$이면 $21$로 균열에 가까워진다(Kirsch와 Inglis의 해는 위키백과의 서술과 이 장의 계산을 따른다). 피로에서는 응력 집중이 이론값만큼 작용하지 않으므로 노치 민감도 $q\in[0,1]$를 도입한다.

$$K_f=1+q\,(K_t-1).$$

$q$는 노치 반지름과 재료에 의존하고(Peterson 선도), 이 장은 $q=0.85$, $K_t=2.4$를 가정해 $K_f=2.19$를 얻었다. 설계에서는 단면 변화를 완만하게 하고 필렛 반지름을 키우며, 구멍은 인장 영역에서 멀리 두고, 체결구 구멍 주위를 보강한다. 적층 제조 부품과 주조 부품은 표면 거칠기와 기공이 실질 노치로 작용한다고 알려져 있다 (확인 필요).

4.5.3.4 평균 응력과 하이 선도

평균 응력 $\sigma_m$이 양이면 같은 진폭에서 수명이 줄어든다. 하이(Haigh) 선도는 한계 진폭을 $\sigma_m$의 함수로 그리고 다섯 기준이 알려져 있다. 내구 기준 $S_e$, 인장강도 $S_u$, 항복강도 $S_y$에 대해 하중선을 $\lambda$배 키웠을 때 한계에 이르는 $\lambda$가 안전율 $n$이다.

굿맨은 직선으로 보수적이고 게르버는 포물선으로 시험 자료에 가깝다고 알려져 있으나 이 장이 확인하지 않았다 (확인 필요). 수명 계산에는 굿맨 등가 완전 반전 진폭 $\sigma_{ar}=\sigma_a/(1-\sigma_m/S_u)$를 S-N 직선에 넣는다. 압축 평균 응력은 이득으로 계산하지 않고 $\sigma_m\ge0$으로 둔다(보수적 가정). 항복 검토(랭어)는 피로와 별도로 최대 응력이 $S_y$를 넘지 않는지 확인한다.

4.5.3.5 변동 진폭 하중 — 레인플로 계수와 마이너 합

실제 하중 이력은 진폭이 일정하지 않다. 레인플로 계수(Matsuishi·Endo, 1968)는 이력에서 닫힌 응력-변형률 이력곡선에 대응하는 사이클을 추출하며, Downing·Socie(1982)의 알고리즘이 ASTM E1049-85에 수록되었다고 알려져 있다(서지만 확인). 3점 규칙은 반전점 세 개로 앞 범위 $Y$와 뒤 범위 $X$를 비교해 $X\ge Y$이면 $Y$를 사이클로 뽑는다. $Y$가 시작점을 포함하면 반 사이클(횟수 0.5), 아니면 완전 사이클(횟수 1)로 세고 남은 이력은 반 사이클로 센다. 추출한 사이클마다 굿맨 등가 진폭으로 수명 $N_i$를 구하고 마이너 선형 누적 손상을 더한다.

$$D=\sum_i\frac{n_i}{N_i},\qquad \text{파손 판정: }D\ge1\ (\text{설계에서는 }C=1\text{로 가정}).$$

Palmgren(1924)이 제안하고 Miner(1945)가 보급한 이 규칙의 한계는 알려져 있다. 순서 효과(저응력 뒤 고응력이 예측보다 큰 손상을 줄 수 있다), 과부하 잔류 응력, 산포를 반영하지 못한다. 이 장의 계산은 순서에 무관하게 같은 합을 주는 선형 규칙의 성질을 그대로 따르며 실제 수명의 순서 효과는 계산하지 않았다.

4.5.3.6 볼트 체결체의 피로와 풀림

예압 $F_i$로 조인 체결체에 외부 축하중 $P$가 작용하면 볼트(강성 $k_b$)와 체결 부재(강성 $k_m$)가 나누어 분담한다. 체결 부재 강성은 머리 아래에서 반각 $\alpha$로 퍼지는 원뿔대의 컴플라이언스를 적분해 얻는다(두께 $l/2$인 두 원뿔대, 와셔 지름 $D_w$, 볼트 구멍 $d$).

$$k_m=\frac{\pi E_m d\tan\alpha}{2\ln\dfrac{(2t\tan\alpha+D_w-d)(D_w+d)}{(2t\tan\alpha+D_w+d)(D_w-d)}},\quad t=\frac{l}{2},\qquad C=\frac{k_b}{k_b+k_m},$$

$$F_b=F_i+C\,P,\qquad F_m=F_i-(1-C)\,P,\qquad P_{sep}=\frac{F_i}{1-C}.$$

$\alpha=30^\circ$는 교과서에서 알려진 가정이며 이 장은 확인하지 않았다 (확인 필요). 분리 하중 $P_{sep}$ 이하에서는 볼트 응력 진폭이 $C\,\Delta P/(2A_s)$로 예압과 무관하고, 예압은 평균 응력만 키운다. 따라서 예압을 크게 하는 것(분리 방지·미끄럼 방지)과 볼트 진폭을 줄이는 것(이 장의 예에서 $C$를 작게)이 서로 다른 목표이다. $P>P_{sep}$이면 부재가 벌어져 볼트가 외부 하중 전부를 분담하며 진폭이 급증한다. 풀림은 예압 손실이다. 안착(embedding)은 접촉면의 미세 소성으로 체결 길이가 $f_z$만큼 줄어 예압이 $f_z/(1/k_b+1/k_m)$ 감소한다. 가로 하중이 마찰 한계 $\mu F_i$를 넘으면 접촉면이 미끄러지고 나사 회전이 진행될 수 있으며(Junker, 1969의 횡진동 풀림 기준, 서지만 확인), 이 장은 미끄럼 시작 힘만 계산했다. 조임 토크로 예압을 정하면 $T=KF_id$의 마찰 계수 산포 $K$가 예압 산포로 직접 전달된다. 위키백과는 예압 체결체의 예압이 외부 인장 하중을 넘도록 설계하고 예압이 상대 운동과 풀림을 막는다고 서술한다(2차 출처). 나사 규격과 체결의 기초는 4.3이다.

4.5.3.7 균열 성장과 손상 허용 설계

균열이 있다고 가정하고 성장 속도로 수명을 구하는 접근에서 파리스·에르도간(1963)의 법칙은 응력 확대 계수 범위 $\Delta K=Y\Delta\sigma\sqrt{\pi a}$에 대해 다음이다.

$$\frac{da}{dN}=C\,(\Delta K)^{m},\qquad N=\frac{a_c^{\,1-m/2}-a_i^{\,1-m/2}}{(1-m/2)\,C\,(Y\Delta\sigma\sqrt{\pi})^{m}}\ \ (m\ne2),\qquad a_c=\frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{K_c}{Y\sigma_{\max}}\Bigr)^{2}.$$

식의 $Y$는 형상 계수이며 이 장은 상수로 두었다. 이 법칙은 성장 곡선의 중간 영역(Regime B)에서 성립하고 응력비 효과를 명시적으로 포함하지 않는다고 알려져 있다. 검출 가능한 균열 $a_i$에서 임계 균열 $a_c$까지의 사이클 수를 점검 주기의 상한으로 삼아 안전 계수로 나눈다. 로봇 구조에서는 용접부·주조 부품·적층 제조 부품과 같이 초기 결함을 가정해야 하는 부위에 해당한다.

4.5.3.8 로봇 구조의 피로 위치

링크의 구멍·단면 급변부·체결구 주위, 용접 이음, 감속기 출력 플랜지와 체결 볼트, 케이블의 반복 굽힘(4.11), 베어링의 접촉 피로(4.2, 정격 수명 계산), 기어 이뿌리의 굽힘 피로(4.3·5.10), 파동기어 플렉스스플라인의 반복 변형(5.10)이 대표 위치이다. 하중 이력은 관절 토크·가속도 이력에서 구하고(3.2), 시험은 부품 시험과 가속 수명 시험(26.17)으로 확인한다.

4.5.4 알고리즘

S-N 직선 (두 점):      b ← ln(S2/S1)/ln(N2/N1);  A ← S1/N1^b;  N(σa) ← (σa/A)^(1/b)
노치:                  Kf ← 1 + q (Kt − 1);  국소 (σa, σm) ← Kf (공칭 σa, 공칭 σm)
굿맨 등가 진폭:        σar ← σa / (1 − max(σm,0)/Su);  N ← ((σar)/(k A))^(1/b)
레인플로 (3점):        반전점만 남긴다;  스택에 점을 넣고 X ← |끝−앞|, Y ← |앞−앞앞|;  X ≥ Y이면
                       (Y가 시작점 포함) 반 사이클 Y, 첫 점 제거 / (아니면) 완전 사이클 Y, 두 점 제거;  남은 스택은 반 사이클
마이너:                D ← Σ n_i / N_i;  수명 1/D 작업 횟수
볼트:                  km ← 원뿔대 식;  kb ← E A / l;  C ← kb/(kb+km);  Fb ← Fi + C P (P ≤ Fi/(1−C)), 아니면 P
파리스:                a_c ← (Kc/(Y σmax))²/π;  N ← [a_c^(1−m/2) − a_i^(1−m/2)] / [(1−m/2) C (Y Δσ √π)^m]

4.5.5 풀이 예제 — S-N, 노치, 평균 응력, 레인플로·마이너, 볼트, 균열 성장

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 굿맨·게르버·소더버그·SWT·랭어의 안전율이 $1.27\sim3.74$로 기준마다 다르다. ② 키르시 해의 가장자리 응력 $3\sigma$와 기호 평형을 확인했다. ③ 작업 사이클의 큰 사이클이 손상을 지배한다. ④ 볼트 진폭은 예압과 무관하고 분리 후 급증한다. ⑤ 파리스 수명이 닫힌 식·적분·ODE에서 같다.

구현. sn_line·sn_life·kf·n_goodman·n_gerber·n_swt·sig_eq(S-N·평균 응력), rainflow·miner(누적 손상), km_frustum·bolt_load(볼트), paris_cycles(균열 성장)를 사용한다. n_soderberg·n_langer·kirsch와 도해·표는 스크립트에 있다.

from math import sqrt, log, pi, tan, radians

def sn_line(p1, p2):
    """두 점 (N, S)을 잇는 양대수 직선 S = A N^b"""
    (n1, s1), (n2, s2) = p1, p2
    b = log(s2 / s1) / log(n2 / n1)
    return s1 / n1**b, b

def sn_life(S, A, b):
    """완전 반전 진폭 S의 수명 N = (S/A)^(1/b)"""
    return (S / A)**(1 / b)

def kf(kt, q):
    """피로 노치 계수"""
    return 1 + q * (kt - 1)

def n_goodman(sa, sm, se, su):
    return 1 / (sa / se + sm / su)

def n_gerber(sa, sm, se, su):
    """n sa/se + (n sm/su)^2 = 1 의 양의 근"""
    if sm == 0:
        return se / sa
    a, b = (sm / su)**2, sa / se
    return (-b + sqrt(b * b + 4 * a)) / (2 * a)

def n_swt(sa, sm, se):
    """sqrt(smax sa) = se 에 이를 때까지 비례 증가"""
    return se / sqrt((sa + sm) * sa)

def sig_eq(sa, sm, su):
    """굿맨 등가 완전 반전 진폭 (sm >= 0)"""
    return sa / (1 - max(sm, 0.0) / su)

def rainflow(seq):
    """3점 규칙. [(범위, 평균, 횟수)], 1.0 완전, 0.5 반"""
    pts = [seq[0]]
    for x in seq[1:]:
        if x != pts[-1]:
            pts.append(x)
    tp = [pts[0]]
    for i in range(1, len(pts) - 1):
        if (pts[i] - pts[i - 1]) * (pts[i + 1] - pts[i]) < 0:
            tp.append(pts[i])
    tp.append(pts[-1])
    st, out = [], []
    for x in tp:
        st.append(x)
        while len(st) >= 3:
            X, Y = abs(st[-1] - st[-2]), abs(st[-2] - st[-3])
            if X < Y:
                break
            if len(st) == 3:
                out.append((Y, (st[0] + st[1]) / 2, 0.5))
                st.pop(0)
            else:
                out.append((Y, (st[-3] + st[-2]) / 2, 1.0))
                del st[-3:-1]
    for u, v in zip(st, st[1:]):
        out.append((abs(v - u), (u + v) / 2, 0.5))
    return out

def miner(cycles, A, b, su):
    """D = sum n_i/N_i (굿맨 등가 진폭, 절단 없음)"""
    D = 0.0
    for rng, mean, cnt in cycles:
        if rng > 0:
            se = sig_eq(rng / 2, mean, su)
            D += cnt / sn_life(se, A, b)
    return D

def km_frustum(E, d, D, l, alpha=radians(30)):
    """대칭 두 원뿔대(각 두께 l/2)의 체결 부재 강성"""
    t, T = l / 2, tan(alpha)
    r = ((2 * t * T + D - d) * (D + d)
         / ((2 * t * T + D + d) * (D - d)))
    return pi * E * d * T / log(r) / 2

def bolt_load(Fi, P, C):
    """외부 축하중 P에서 볼트 하중 (분리 후에는 P 전부)"""
    return Fi + C * P if P <= Fi / (1 - C) else P

def paris_cycles(C, m, Y, ds, ai, ac):
    """da/dN = C dK^m 의 닫힌 식 수명 (m != 2)"""
    e = 1 - m / 2
    return (ac**e - ai**e) / (e * C * (Y * ds * sqrt(pi))**m)

① S-N 직선·노치·평균 응력.

같은 하중점에서 안전율이 굿맨 $1.45$, 게르버 $1.66$, 소더버그 $1.42$, SWT $1.27$로 기준에 따라 $1.27\sim1.66$이고 랭어 항복 안전율은 $3.74$이다. SWT가 가장 보수적이며 게르버가 가장 낙관적이다. 어느 기준이 맞는지는 이 장이 시험 자료로 확인하지 않았다. 수명은 부품 진폭 $60$ MPa에서 $2.2\times10^{9}$회, $100$ MPa에서 $3.9\times10^{6}$회, $120$ MPa에서 $4.1\times10^{5}$회로 응력이 $20\,\%$ 늘 때마다 $10$배 가까이 줄어든다.

② 키르시 해와 타원 구멍.

기호 계산(SymPy)에서 극좌표 평형 방정식 두 개의 잔차와 $r=a$의 견인력이 모두 $0$이다. 수치 중심 차분의 잔차는 $2.8\times10^{-9}$로 차분 오차 수준이다. 구멍 가장자리 $\sigma_{\theta\theta}/\sigma$는 $\theta=90^\circ$에서 $3$, $0^\circ$에서 $-1$이다.

③ 작업 사이클의 레인플로와 마이너 합.

공칭 응력의 반전점은 $0\to85.4\to45.4\to65.4\to52.1\to78.7\to0$ MPa이며 사이클이 네 개 나온다. 범위 $13.3$·$33.3$ MPa의 완전 사이클 두 개와 범위 $85.4$ MPa의 반 사이클 두 개(작업이 반복되면 합쳐져 완전 사이클 하나가 된다)이다. 큰 사이클은 국소 진폭 $93.5$ MPa·국소 평균 $93.5$ MPa가 굿맨 등가 진폭 $133.9$ MPa로 환산되어 손상 $9.42\times10^{-6}$ 중 $99.9\,\%$ 이상을 차지하고 작은 두 사이클은 $1.3\times10^{-9}$ 이하이다. 파손까지 $1.06\times10^{5}$회이고 분당 15회로 연속 운전하면 $118$시간이므로 이 경량 링크 가정은 설계 한계를 크게 넘는다(응력 이용률이 낮은 일반 링크(4.4 풀이 예제 ②)는 이 상황이 아니다). 크기 $1$배·$0.5$배 작업을 무작위로 연결한 이력의 마이너 합은 블록별 합과 $10^{-14}$ 안에서 같아 선형 규칙의 순서 무관성을 보인다.

④ 볼트 체결체.

체결 부재가 볼트보다 단단해($k_m=612.7$ 대 $k_b=335.0$ MN/m) 하중 분담 계수가 $C=0.35$이다. 외부 하중 $0\to4$ kN에서 볼트 응력 진폭은 예압에 무관하게 $19.3$ MPa이고 평균 응력만 $211\to467$ MPa로 커진다. 분리 하중 $25.4$ kN 이하에서는 진폭이 하중에 비례해 늘고 $25.0$ kN에서 $120.7$ MPa, 분리 후 $30$ kN에서 $185.7$ MPa로 급증한다. 안착 $6\,\mu$m는 예압의 $7.9\,\%$($1.30$ kN)를 줄이고, 같은 토크에서 토크 계수 $K$가 $0.15\sim0.25$이면 예압이 $21.9\sim13.1$ kN($16.4$ kN의 $1.33\sim0.80$배)으로 산포한다. 가로 미끄럼은 $2.46$ kN에서 시작한다. 볼트의 내구한도(진폭)는 이 장이 가정하지 않았으며, 볼트 진폭 $19.3$ MPa가 안전한지는 나사산 제조 방식(롤링 시기)의 시험값으로 판단한다 (확인 필요).

⑤ 파리스 법칙.

초기 균열 $1$ mm의 $\Delta K=6.73$ MPa√m에서 성장 속도가 $3.0\times10^{-9}$ m/회이고 임계 균열이 $19.9$ mm이다. 수명 $5.10\times10^{5}$회 중 $2$ mm까지가 $1.93\times10^{5}$회($38\,\%$), $10$ mm까지가 $4.49\times10^{5}$회($88\,\%$)이다. 균열이 짧을 때 대부분의 사이클이 소모되므로 검출 가능한 균열 크기($a_i$)가 점검 주기를 정한다. 닫힌 식과 심프슨 수치 적분은 $3.4\times10^{-16}$ 안에서 같다.

⑥ 라이브러리 대조(실행 2026-11-05). 이 장의 3점 레인플로를 rainflow 패키지(ASTM E1049-85 구현)와 작업 이력·연결 이력·무작위 보행 이력 8개에서, 안전율을 SciPy brentq로 하중선 배율을 구한 값과, 키르시 해를 SymPy 기호 평형 검증과, 원뿔대 강성을 quad와, 볼트 하중을 numpy 선형 연립과, 파리스 수명을 quad·solve_ivp와 같은 입력에서 비교했다. 스크립트는 robotics/fig-src/4.5-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/4.5-libcheck-output.txt에 있다.

모든 비교가 기계 정밀도 안에서 일치하며 이상 징후는 없었다. rainflow 패키지의 소스는 이 장과 같은 세 점 $X$·$Y$ 범위 규칙(ASTM E1049-85 5.4.4절)을 사용하므로 일치는 구현의 정확성을 확인한 것이며 알고리즘 자체의 독립 검증은 아니다. S-N 직선의 재현과 마이너 합은 같은 식의 다른 표기여서 독립 검증의 정보량이 낮다.

한계. 입력은 모두 가정이며 수명의 절대값에 대한 시험 근거가 없다. 수정 계수·$K_t$·$q$·볼트 내구한도는 교과서·선도값으로 확인해야 한다. 단축 응력 상태와 비례 하중만 다루었고 다축·비비례 하중, 변형률-수명, 부식 피로, 잔류 응력, 주파수·온도 효과, 용접 이음 등급, 복합재의 피로는 다루지 않았다. 마이너 합은 순서 효과와 산포를 포함하지 않는다.

견해: 로봇 링크의 피로 검토는 먼저 구멍·필렛·체결구 주위의 $K_f$로 국소 응력을 올린 뒤 하이 선도에서 굿맨 안전율을 구하고, 안전율이 $1.5$ 미만이거나 가동 사이클이 연 $10^{7}$회를 넘으면 레인플로와 마이너 합으로 사이클별 손상을 계산하는 순서가 합리적이라고 본다. 근거는 이 장의 계산에서 안전율이 $1.27\sim1.66$인 하중점이 기준 선택만으로 $30\,\%$ 이상 갈리고, 수명이 응력 $10\,\%$에 $3.2$배로 민감하며, 큰 사이클 하나가 손상의 $99.9\,\%$ 이상이어서 최대 사이클 식별이 대부분의 정보를 준다는 점이다. 임계값 $1.5$와 $10^{7}$회는 이 장이 시험으로 정당화하지 않은 경험적 제안이다.

4.5.6 설계 트레이드오프 — 피로 설계 방식의 선택

구조의 피로는 다음 방식 중에서 검증한다.

• ① 무한 수명(내구한도 이하) 설계. 국소 진폭이 부품 내구 기준 $S_e$ 이하가 되게 한다. 계산이 간단하나 알루미늄은 내구한도가 없어 정해진 사이클 기준이 필요하고 과다 설계가 되기 쉽다.
• ② 유한 수명(레인플로·마이너) 설계. 하중 이력에서 사이클별 손상을 합해 수명을 계산한다. 경량화에 유리하나 하중 이력과 S-N 자료가 필요하고 산포와 순서 효과를 안전 계수로 흡수한다.
• ③ 손상 허용(파괴역학·점검) 설계. 초기 균열을 가정하고 성장 수명과 점검 주기를 정한다. 용접·주조·적층 제조 부품에 적합하나 균열 검출 수단과 점검 절차가 전제이다.

견해: 일반 링크는 ①로 시작해 안전율이 낮은 부위에만 ②를 적용하고, 용접·주조·적층 제조 부품과 사람 근처의 안전 관련 부품에는 ③의 점검 개념을 병행하는 것이 합리적이라고 본다. 근거는 이 장의 파리스 계산에서 수명의 $88\,\%$가 균열 $10$ mm 이하에서 소모되어 검출 한계가 주기를 정하고, 볼트에서는 진폭이 예압 설계로 낮아져 ①의 간단한 판정이 가능했다는 점이다. 방식별 비용과 신뢰도 비교는 이 장이 수행하지 않았다.

4.5.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 응용별 수명 요구 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

4.5.8 관련 규격·프로토콜

4.5.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

로봇 구조의 피로 수명을 직접 규정하는 법령·인증 요건은 확인하지 못했다. 간접 연결은 다음과 같다. ① 기계류 안전 요구: 기계류 지침 2006/42/EC 부속서 I 1.3.2가 재료의 내구성을 사용 환경에서의 피로·노화·부식·마모의 관점에서 요구하는 취지로 알려져 있고 Regulation (EU) 2023/1230이 이를 이어받았다고 알려져 있으나 조문을 읽지 못했다 (확인 필요). ② 위험성평가(26.4)에서 구조 파손과 체결구 풀림은 위해 요인이다. ③ 협동로봇의 충돌 안전(26.9)은 구조 파손이 아니라 접촉 힘이 대상이다. ④ 의료 로봇의 반복 사용 한도는 의료기기 인허가(39.20)에서 다룬다. 이들의 요구 수준은 이 장이 확인하지 않았다.

4.5.10 한계·유의점·미해결

• 자료 의존. S-N 두 점·수정 계수·$K_t$·$q$·파리스 계수는 가정이며 수명 절대값을 보증하지 않는다. 시험 자료(26.17)와 허용값 문서로 대체해야 한다.
• 모형 범위. 단축·비례 하중, 선형 마이너, 3점 레인플로, 볼트의 단순 두 스프링 모형(강성 중심선 외 편심·휨 하중 제외)이다. 다축 하중의 임계 면 해석, 변형률-수명, 부식 피로, 잔류 응력은 다루지 않았다.
• 적용 조건. 하중 이력은 관절 토크·가속도의 실측 또는 시뮬레이션에서 얻어야 하고 이 장의 반전점 7개는 설명용이다. 알루미늄은 내구한도가 없으므로 수명이 무한이라는 판정은 정해진 사이클 수에 대한 것이다.
• 미해결. 적층 제조·주조 부품의 피로 허용값, 복합재 링크의 반복 하중 수명, 로봇 감속기 출력부의 피로 시험 방법은 이 장에서 다루지 못했다.

4.5.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 두 점을 지나는 S-N 직선에서 $b$와 $A$를 구하고, 응력 $10\,\%$ 증가에 따른 수명 배율 $1.1^{1/b}$를 유도하라.
2. 키르시 해가 극좌표 평형 방정식과 가장자리 견인력 0을 만족함을 보이고 $K_t=3$을 확인하라.
3. 굿맨·게르버·소더버그·SWT의 안전율 식을 하중선 배율 $\lambda$로 유도하고 같은 하중점에서 순서를 비교하라.
4. 반전점 이력 $[0,10,2,8,3,9,0]$의 3점 레인플로 사이클을 손으로 구하라.
5. 볼트 체결체에서 분리 전 볼트 응력 진폭이 예압과 무관함을 $F_b=F_i+CP$로 보이고, 분리 후 진폭이 급증하는 이유를 설명하라.
6. 파리스 식에서 $m=3$일 때 수명 식을 유도하고, 수명의 대부분이 짧은 균열에서 소모됨을 보여라.

연구 질문:

• 로봇 링크의 실제 작업 이력(관절 토크·가속도 실측)에서 레인플로·마이너로 구한 수명 예측이 부품 시험의 파손 수명과 얼마나 일치하는가(이 장은 시험하지 않았다)?
• 적층 제조 부품의 표면 거칠기와 내부 결함을 노치 계수로 모형화할 때 $q$와 $K_t$를 어떻게 정하는가?
• 체결부의 가로 진동 풀림을 예압 손실 모형으로 예측해 로봇 관절 플랜지의 점검 주기를 정할 수 있는가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• rainflow 3.2.0 패키지 문서(ASTM E1049-85 5.4.4절 구현) — 읽고 같은 입력으로 비교했다.
• 위키백과 "Fatigue (material)"·"Miner's rule"·"Paris' law"·"Stress concentration"·"Rainflow-counting algorithm"·"Bolted joint"·"6061 aluminium alloy" — 2차 출처로 읽었다.
• 서지만 확인: M. A. Miner, "Cumulative damage in fatigue," J. Appl. Mech. 12, A159–A164, 1945, doi:10.1115/1.4009458; P. Paris, F. Erdogan, "A critical analysis of crack propagation laws," J. Basic Eng. 85(4), 528–533, 1963, doi:10.1115/1.3656900; M. A. Downing, D. F. Socie, "Simple rainflow counting algorithms," Int. J. Fatigue 4(1), 31–40, 1982, doi:10.1016/0142-1123(82)90018-4; G. H. Junker, "New criteria for self-loosening of fasteners under vibration," SAE Technical Paper 690055, 1969, doi:10.4271/690055; C. M. Sonsino, "Course of SN-curves especially in the high-cycle fatigue regime with regard to component design and safety," Int. J. Fatigue 29(12), 2246–2258, 2007, doi:10.1016/j.ijfatigue.2006.11.015; W. D. Pilkey, Peterson's Stress Concentration Factors, Wiley(2007판, 6장 "Stress Concentration Analysis and Design"는 doi:10.1002/9780470211106.ch6으로 확인).
• numpy 2.5.4, SciPy 1.18.1(optimize.brentq·integrate.quad·integrate.solve_ivp), SymPy 1.14.0.

다음 장. 4.6은 정밀도 설계를 다룬다. 이 장의 응력·수명에서 한 걸음 더 나아가 하중에 의한 변형이 아니라 위치 정확도에 초점을 두고, 오차 예산·아베 원리·정확 구속과 키네마틱 커플링·열변형·백래시를 설계 단계에서 다룬다.