제5부 구동·액추에이터·동력전달

5.25 액추에이터 열·수명·고장 모드

5.25.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 구동기(모터·감속기·구동 전자)의 수명을 부품별 수명 모델의 결합으로 보고, 고장 모드를 분류하며, 가속 수명 시험의 통계를 계산으로 확인한다. 온도가 권선 절연·자석·그리스·전력 기판의 서로 다른 열화 메커니즘을 동시에 가속한다는 점, 메커니즘들이 경합해 가장 먼저 한계에 닿은 것이 구동기의 고장을 정한다는 점, 고장이 드물어 무고장 시험이 주는 정보가 작다는 점을 다룬다. 부품 수명식은 앞선 장이 맡는다. 열 모델과 RMS 토크는 5.2, 자석은 5.5, 전력 소자의 열 맥동은 5.8, 감속기는 5.10~5.12, 직선 전달은 5.13, 마찰은 3.8, 베어링·그리스는 4.2, 피로는 4.5, 케이블은 4.11, 브레이크는 5.23이다. 일반 신뢰성 공학은 26.17, 건전성 관리는 26.18, 고장 검출·격리는 26.19, 위험성 분석(FMEA)은 26.4, 열 관리와 권선 온도 추정은 8.7, 시험 설비는 5.26에서 다룬다.

배우는 것:

• 열 수명의 결합 — 아레니우스 가속 계수, IEC 60034-1 부속서 A의 상대 열 수명 $TL$, 듀티 사이클의 시간 가중.
• 고장 모드의 분류 — 부품·메커니즘·응력·구동기 수준의 효과, 파손형과 열화형.
• 경합 위험 — $R_c=\prod R_i$, 고장률의 합, 모드별 기여 비율.
• 와이블 적합과 시험 설계 — 중도절단 최대 우도, 우도비 구간, 소표본 편향, 무고장 시험의 하한과 시료 수, 가속 응력이 만드는 새 메커니즘.

선수 지식: 5.2(열 모델), 4.2·4.5(수명식), 1.19·1.20(확률·추정).

특히 중요한 독자: 구동기 수명 목표를 세우는 설계 엔지니어, 시험 계획자, 정비 간격과 보증 기간을 정하는 품질·사업 담당자, 사양서의 "수명 시간"의 뜻을 확인하려는 조달·인증 담당자.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: (a) NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods 8장(공개 웹 문서) 8.1.3(중도절단·고장 부족), 8.1.5(Arrhenius·Eyring·기타 모형과 Coffin–Manson), 8.1.6.2(와이블), 8.1.8(경합 위험·직렬 모형), 8.3.1.2·8.3.1.4(시험 계획), 8.4.1.2·8.4.1.3(최대 우도와 와이블 예제). (b) IEC 60034-1:2010(Edition 12.0)의 8.1(열 등급)·8.6.2(저항법)·표 5·표 7(온도 상승 한도)·부속서 A(상대 열 수명)와 IEC 60034-2-1:2014(Edition 2.0)의 5절 — law.resource.org에 게시된 사본을 읽었다. 현행판은 읽지 못했다 (확인 필요). (c) Urs 외(2022, arXiv:2202.12395v1)의 열 모델 식별·57시간 수명 시험. (d) Zhang 외(2025, Machines 13(10), 918)는 초록만 읽었다. 서지만 확인한 것(본문은 읽지 못했다): Weibull(1951), Dakin(1948), Montsinger(1930), Norris·Landzberg(1969), Bonnett·Soukup(1992), Carlson·Murphy(2005). 읽지 못한 표준: IEC 60085·IEC 60034-18·IEC 60812·IEC 61649·IEC 62506·ISO 281·ISO 13849-1은 번호와 제목으로만 가리킨다. 모드 매개변수($\eta$·$\beta$)·열 매개변수·활성화 에너지는 모두 이 장이 정한 가정이며 어떤 제품의 값도 아니다. 수치는 모두 이 장의 순수 파이썬 모의이다.

5.25.2 개념 — 수명은 경합하는 열화 가운데 가장 이른 것이고 온도가 공통 응력이다

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 구동기는 직렬 구조이므로 부품별 고장 메커니즘 중 가장 먼저 한계에 닿은 것이 수명을 정하고, 고장률은 모드별 고장률의 합이다. 이 장의 가정 예에서 단독 $B_{10}$이 7,000~28,339 h인 세 마모 모드와 15,804 h인 우발 모드가 경합하면 시스템 $B_{10}$은 5,377 h로 가장 짧은 단독 값보다도 짧다. ② 온도는 권선·자석·그리스·전력 기판에 공통으로 작용하는 응력이지만 메커니즘마다 활성화 에너지가 달라 같은 온도 상승이 서로 다른 배율로 가속한다. 같은 RMS 전류 $9$ A라도 통전 주기가 권선 시정수보다 길면 시간 가중 절연 수명이 연속 운전의 $0.039$배로 줄어든다. ③ 고장 자료가 적으면 모수를 거의 정하지 못한다. 57시간 무고장 시험 2대는 95 % 신뢰로 $B_{10}\ge4\sim24$ h만 보장한다.

고장은 세 부류로 나누어 다룬다. 부류에 따라 모델과 시험 자료의 형태가 다르다.

5.25.3 원리

5.25.3.1 고장 모드의 분류 — 부품·메커니즘·응력·효과

FMEA 관점은 부품마다 고장 메커니즘과 상위 수준의 효과를 짝지어 적는 것이다. 이 장은 구동기 수준의 효과를 안전 관련([안전], 낙하·폭주·제동 불능), 가용성([가용], 정지·교체), 성능([성능], 정밀도·효율 저하)으로 나누어 표시한다. 발생도·검출도의 점수화는 위험성 평가의 방법이므로 26.4가 다루고, 이 절은 구동기에 고유한 메커니즘의 목록만 정한다. 메커니즘과 응력은 앞선 장의 서술을 가리킨다.

파동기어 행의 피로 파단은 Zhang 외(2025)의 초록이, 래칫팅은 5.10가 근거이다. 이 연구는 파동기어의 단계 감소(step-down) 가속 수명 시험에서 대기 환경의 지배적 강도 고장이 플렉스플라인의 피로 파단이었고, 강성·정밀도·백래시는 모든 조건에서 열화했으며, 전달 효율은 강도 고장 전에 서서히 낮아지다가 고장 후 급감했다고 보고한다. 유도 전동기의 고장 원인(베어링·고정자·회전자)을 조사한 Bonnett·Soukup(1992)과 지상 무인 이동체의 현장 고장을 분류한 Carlson·Murphy(2005)는 서지만 확인했고, 두 연구의 고장 분포를 관절 모터에 옮기지 않는다.

5.25.3.2 열 열화 모델 — 아레니우스와 상대 열 수명

고온에서 화학 반응·확산에 의해 진행되는 열화의 수명은 아레니우스 식 $t_f=A\exp[\Delta H/(kT)]$로 모형화한다(NIST 8.1.5.1). $T$는 열역학 온도, $k=8.617\times10^{-5}$ eV/K, $\Delta H$는 활성화 에너지이며 NIST는 메커니즘에 따라 $0.3\sim0.4$에서 $1.5$ 이상이라고 적는다. 두 온도 사이의 가속 계수는 $AF=\exp\bigl[\tfrac{\Delta H}{k}(\tfrac1{T_1}-\tfrac1{T_2})\bigr]$이다. NIST의 예($25\to125$ °C, $0.5$ eV에서 $133$)는 5.25.5 ①에서 재현한다.

IEC 60034-1 부속서 A(참고 부속서)는 권선 절연의 열 수명을 같은 형태로 합산한다. 부하 주기가 상수 부하 $n$개로 이루어질 때 정격 연속 운전(S1) 대비 상대 열 수명 $TL$은 다음이다.

$$\frac{1}{TL}=\sum_{i=1}^{n}\Delta t_i\,2^{\Delta\Theta_i/k},$$

$\Delta\Theta_i$는 각 부하의 권선 온도 상승과 기준 부하의 상승의 차, $\Delta t_i$는 주기에서 그 부하가 차지하는 비율, $k$는 절연 계의 열 수명을 $50\,\%$ 줄이는 온도 상승(K)이다. 부속서는 $k$를 IEC 60034-18에 따른 실험으로 온도 범위 전체에서 정해야 한다고 적는다. 흔한 "10 K마다 수명 반감" 규칙은 $k=10$ K에 해당한다. 이를 아레니우스의 활성화 에너지로 환산하면 $E_a=k_B\ln2\,/\,[1/T-1/(T+10)]$이므로 온도에 따라 달라진다. 한 온도 범위에서 정한 규칙을 다른 범위에 외삽하면 수명 추정이 갈린다. 4.2이 인용한 윤활 간격의 15 K 규칙도 같은 방식으로 환산된다(5.25.5 ①). 변압기 절연 수명의 온도 의존성(Montsinger, 1930)과 절연 열화의 화학 반응 속도 해석(Dakin, 1948)은 이 계열의 고전이며 서지만 확인했다.

5.25.3.3 듀티 사이클의 시간 가중

5.2는 평균 발열이 RMS 토크로 정해지므로 주기가 권선 시정수보다 짧을 때만 RMS가 최고 온도를 맞춘다고 보였다. 수명에서는 이유가 하나 더 있다. 수명 소모율 $2^{\Delta\Theta/k}$는 온도의 볼록 함수이므로 소모율의 시간 평균이 평균 온도의 소모율보다 크다(옌센 부등식, Jensen's inequality). 같은 평균 발열에서도 온도 진폭이 크면 수명이 짧다. 이 계산은 5.2의 모터(권선 시정수 $8.7$ s, 하우징 $581$ s)에 같은 RMS 전류를 여러 통전 주기로 인가해 $TL$을 비교한다(5.25.5 ②). 이 절의 모형은 절연만 대상이며 같은 온도 이력이 그리스·자석·솔더에 주는 영향은 포함하지 않는다.

5.25.3.4 와이블 분포와 경합 위험

와이블 분포는 $R(t)=\exp[-(t/\eta)^\beta]$, 순간 고장률(hazard rate) $h(t)=\tfrac{\beta}{\eta}(t/\eta)^{\beta-1}$이고(NIST 8.1.6.2) $\beta>1$은 마모형, $\beta=1$은 우발형이다. 구름 베어링 같은 "가장 약한 고리" 구조에 적합하다고 NIST가 서술한다. 고장 모드가 $k$개이고 각 메커니즘이 서로 독립이며 먼저 도달한 것이 부품을 고장 나게 한다면(NIST 8.1.8.1) 다음이 성립한다.

$$R_c(t)=\prod_{i=1}^{k}R_i(t),\qquad h_c(t)=\sum_{i=1}^{k}h_i(t).$$

모든 모드의 $\beta$가 같으면 $\eta_s=(\sum\eta_i^{-\beta})^{-1/\beta}$이고 모드 $i$가 첫 고장 원인일 확률은 $\eta_i^{-\beta}/\sum_j\eta_j^{-\beta}$이다. $\beta$가 다르면 이 확률은 $\int_0^\infty h_i(t)R_c(t)\,dt$이며 수치 적분한다. 이 장의 모드는 가정이다(5.25.5 ④). 감속기·베어링의 $\eta$는 5.10가 읽은 카탈로그의 정격 수명 $L_{10}=7000$ h(공개 주장치)에 $\beta=2$를 가정해 환산한 값이다. 수명 목표를 올리려면 첫 고장 기여가 큰 모드를 먼저 줄여야 한다.

5.25.3.5 열화형 고장과 임계 교차

열화형 고장은 지표 $x(t)$가 임계값을 넘는 시각을 고장 시각으로 본다. 이 모형은 지표가 시간에 대해 대체로 단조일 때 의미가 있다. Urs 외(2022)의 57시간 수명 시험에서 양의 일 상한의 효율은 처음 $8\sim10$시간 동안 낮아져 $3.5\,\%$ 낮은 값에서 안정되었다가 원래 값 부근으로 돌아왔고, 양쪽 엔코더의 차이(비틀림과 백래시)는 첫 시간의 최대 $56$ mrad에서 마지막 시간의 $82$ mrad로 늘었다. 효율은 단조가 아니어서(저자들은 길들이기 같은 느린 과정을 추정한다) 임계 교차의 입력으로 부적합하고, 엔코더 차이는 증가 추세의 지표 후보이다. 지표 선택·추정·잔여 수명 예측은 26.18이 다룬다.

5.25.3.6 가속 시험의 응력 선택

가속 수명 시험은 높은 응력에서 고장을 얻고 가속 모델로 사용 조건의 분포를 투영한다(NIST 8.3.1.4). NIST는 한 번에 한 메커니즘을 대상으로 하고, 응력이 너무 높으면 사용 조건에서는 일어나지 않을 새 메커니즘이 생기므로 응력 상한을 공학적 판단으로 정하라고 적는다. 열 사이클에 의한 솔더·금속의 균열 성장에는 수정 코핀-맨슨 식 $N_f=Af^{-\alpha}\Delta T^{-\beta}G(T_{\max})$가 사용되며 NIST는 $\alpha\approx-1/3$, $\beta\approx2$, $G$의 활성화 에너지 약 $1.25$ eV를 전형값으로 든다. 이 장은 전력 기판의 매개변수를 정하지 않았다.

구동기에서는 한 응력이 여러 메커니즘을 동시에 가속하므로 이 경고가 중요하다. 부하 토크를 $m$배로 올려 기어·베어링 피로를 가속하면 수명이 $m^{-3}$으로 줄지만(4.2의 $p=3$) 구리 손실이 $m^2$로 늘어 권선 온도가 올라 절연이 훨씬 더 가속된다(5.25.5 ③). 권선 온도를 냉각으로 고정하지 않은 토크 가속 시험은 사용 조건에 없는 모드를 만든다. 응력 변수를 분리하는 설비와 열 관리는 5.26·8.7이 다룬다.

5.25.3.7 와이블 적합과 무고장 시험의 정보량

시험 종료 시각 $T$에서 중도절단된 자료의 우도는 $L=\prod_{i=1}^{r}f(t_i)\,[1-F(T)]^{n-r}$이다(NIST 8.4.1.2). 와이블 모형에서는 $\eta$를 소거하면 $\beta$가 다음 식의 근이고 $\hat\eta=(\sum_i t_i^{\hat\beta}/r)^{1/\hat\beta}$이다.

$$\frac{\sum_{i}t_i^{\beta}\ln t_i}{\sum_{i}t_i^{\beta}}-\frac1\beta-\frac1r\sum_{i\in\text{고장}}\ln t_i=0.$$

소거한 로그우도 $\ell_p(\beta)$에서 $2[\ell_p(\hat\beta)-\ell_p(\beta)]\le\chi^2_{1,0.95}=3.84$인 $\beta$의 집합이 우도비 95 % 구간이다. NIST는 고장이 $10$개 미만이면 형상 모수의 추정이 어렵고 $5$개 미만이면 매우 부정확하다고 적는다(5.25.5 ⑤에서 모의로 확인한다).

고장이 없는 시험은 와이블 형상을 가정할 때 하한만 준다. 시험 시각이 $t_j$인 $n$개가 모두 살아남았다면 $\eta_L=\bigl(\sum t_j^\beta/(-\ln(1-C))\bigr)^{1/\beta}$가 신뢰 수준 $C$의 $\eta$ 하한이다. 살아남을 확률이 $\exp[-\sum(t_j/\eta)^\beta]$이므로 이 값이 $1-C$가 되는 $\eta$를 푼 것이다. 목표 수명 $L$($B_{10}$이면 $R=0.9$)을 신뢰 수준 $C$로 입증하는 무고장 시험의 시료 수는 $n=\lceil\ln(1-C)/(\ln R\cdot(T/L)^\beta)\rceil$이다. 한 개체가 시험 시간 $T$를 견딜 확률이 $R^{(T/L)^\beta}$이므로 $n$개가 모두 견딜 확률이 $1-C$ 이하가 되는 최소 $n$이다. 시험을 목표 수명의 $r$배로 늘리면 시료가 $r^\beta$배 줄지만 이 이점은 $\beta$를 알고 그 값이 유효할 때만 성립한다.

5.25.4 알고리즘 — 모드 분해 수명 평가

입력: 부품별 고장 메커니즘, 듀티 사이클, 열 모델, 시험·현장 자료
 1. 고장 모드 목록: 부품 x 메커니즘 x 응력 x 구동기 수준 효과
 2. 모드별 수명 모델: 마모는 L10·S-N, 열 열화는 아레니우스·TL,
    열 사이클은 코핀-맨슨, 우발은 지수 분포
 3. 듀티 사이클 -> 응력 이력(온도는 열 모델) -> 시간 가중 손상률
 4. 모드별 (eta, beta) -> 경합 위험 -> 시스템 B10, 모드별 기여
 5. 시험 계획: 새 메커니즘이 생기는지 확인, 시료 수·시간, 타 모드는 중도절단
 6. 자료 -> 모드별 최대 우도 적합 -> 우도비 구간 -> 모델 갱신
 7. 현장 이력과 대조(26.18), 불일치 모드는 1단계로 되돌린다

5.25.5 풀이 예제 — 열 이력의 수명 소모, 경합 위험, 소표본 적합

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 아레니우스 가속 계수가 NIST의 $133$·$17{,}597$과 같고 10 K 규칙은 $0.85\sim1.12$ eV에 해당한다. ② 같은 RMS $9$ A에서 통전 주기 2·60·600 s의 $TL$이 $0.998$·$0.293$·$0.039$이다. ③ 토크 $1.4$배 가속에서 기어·베어링은 $2.74$배, 절연은 $10.0$배 가속된다. ④ 가정한 4모드의 시스템 $B_{10}$은 $5{,}377$ h이고 첫 고장의 $70.2\,\%$가 감속기·베어링이다. ⑤ NIST의 와이블 예제를 $\hat\eta=606.5276$·$\hat\beta=1.7208$로 재현한다. ⑥ 57시간 2대 무고장은 $B_{10}$의 95 % 하한을 $4.0\sim23.5$ h로만 보장한다. ⑦ 독립 대조(NIST 공개 값·닫힌 식·expm·LSODA·몬테카를로·lifelines·SciPy)와 모두 일치했다.

코어 코드. 아래는 이 장이 사용하는 모의의 코어이다. 전체는 robotics/fig-src/5.25-life.py에 있다.

from math import exp, log, sqrt, ceil
import random

KB, K0 = 8.617e-5, 273.16            # eV/K, K (NIST 8.1.5.1)

def af_arr(ea, t1, t2):
    """Arrhenius 가속 계수(t1 < t2, 섭씨)"""
    return exp(ea / KB * (1 / (t1 + K0) - 1 / (t2 + K0)))

def ea_rule(tc, dt, fac):
    """dt 상승에 수명이 1/fac인 규칙의 겉보기 Ea [eV]"""
    d = 1 / (tc + K0) - 1 / (tc + dt + K0)
    return KB * log(fac) / d

def tl_inv(tw, tref, k):
    """IEC 60034-1 부속서 A: 1/TL = 평균 2^(dTheta/k)"""
    return sum(2 ** ((x - tref) / k) for x in tw) / len(tw)

def arr_inv(tw, tref, ea):
    """Arrhenius 손상률의 시간 평균(기준 온도에서 1)"""
    return sum(af_arr(ea, tref, x) for x in tw) / len(tw)

def heat_step(tw, th, i, M, dt):
    """2노드 열 모델 1걸음(양의 오일러), R(T) 되먹임 포함"""
    R = M['R25'] * (1 + M['al'] * (tw - 25.0))
    q = (tw - th) / M['R1']
    dth = (q - (th - M['Ta']) / M['R2']) / M['Ch']
    return tw + dt * (i * i * R - q) / M['Cw'], th + dt * dth

def rise_ss(i, M):
    """정상 상태 (권선, 하우징) 온도"""
    d = 0.0
    for _ in range(300):
        R = M['R25'] * (1 + M['al'] * (M['Ta'] + d - 25.0))
        d = i * i * R * (M['R1'] + M['R2'])
        if d > 1e3:
            return float('inf'), float('inf')
    p = d / (M['R1'] + M['R2'])
    return M['Ta'] + d, M['Ta'] + p * M['R2']

def duty_temps(M, i_on, t_on, i_off, t_off, dt=0.02):
    """주기 정상 상태의 마지막 1주기 권선 온도열"""
    t_run = 12000.0
    per = t_on + t_off
    ir = sqrt((i_on**2 * t_on + i_off**2 * t_off) / per)
    tw, th = rise_ss(ir, M)
    n_on, n_per = int(round(t_on / dt)), int(round(per / dt))
    steps = max(3, int(t_run / per)) * n_per
    out = []
    for k in range(steps):
        i = i_on if k % n_per < n_on else i_off
        tw, th = heat_step(tw, th, i, M, dt)
        if k >= steps - n_per:
            out.append(tw)
    return out

def R_sys(t, modes):
    """경합 위험: 모드별 신뢰도의 곱"""
    p = 1.0
    for eta, b in modes:
        p *= exp(-(t / eta) ** b)
    return p

def bisect(f, lo, hi, n=100):
    """f(lo) < 0 < f(hi)인 근"""
    for _ in range(n):
        mid = (lo + hi) / 2
        lo, hi = (mid, hi) if f(mid) < 0 else (lo, mid)
    return (lo + hi) / 2

def b_life(modes, p=0.10):
    return bisect(lambda t: 1 - R_sys(t, modes) - p, 0.0, 1e7)

def share(modes, i, tmax=4e5, n=40000):
    """모드 i가 첫 고장 원인일 확률(심프슨 적분)"""
    eta, b = modes[i]
    h = tmax / n
    s = 0.0
    for k in range(n + 1):
        t = k * h
        f = (b / eta) * (t / eta) ** (b - 1) * R_sys(t, modes)
        s += f * (1 if k in (0, n) else (4 if k % 2 else 2))
    return s * h / 3

def weibull_mle(t, d):
    """오른쪽 중도절단 자료 -> (eta, beta, logL)"""
    r = sum(d)
    sl = sum(log(x) for x, di in zip(t, d) if di)
    def g(b):
        s0 = sum(x ** b for x in t)
        s1 = sum(x ** b * log(x) for x in t)
        return s1 / s0 - 1 / b - sl / r
    b = bisect(g, 0.05, 60.0)
    eta = (sum(x ** b for x in t) / r) ** (1 / b)
    ll = r * log(b) - r * b * log(eta) + (b - 1) * sl - r
    return eta, b, ll

def prof_ll(t, d, b):
    """beta 고정, eta를 소거한 로그우도"""
    r = sum(d)
    sl = sum(log(x) for x, di in zip(t, d) if di)
    s = sum(x ** b for x in t)
    return r * log(b) - r * log(s / r) + (b - 1) * sl - r

def lr_ci_beta(t, d, z2=3.8415):
    """우도비 95 % 신뢰 구간(beta)"""
    _, bh, ll = weibull_mle(t, d)
    f = lambda b: prof_ll(t, d, b) - (ll - z2 / 2)
    lo = bisect(f, 1e-3, bh)
    hi = bisect(lambda b: -f(b), bh, 80.0)
    return lo, hi

def weibayes_eta(times, beta, conf):
    """무고장: eta_L = (sum t^b / -ln(1-conf))^(1/b)"""
    s = sum(x ** beta for x in times)
    return (s / -log(1 - conf)) ** (1 / beta)

def n_zero(R, conf, beta=1.0, ratio=1.0):
    """무고장 시료 수(시험 시간 대 목표 수명 = ratio)"""
    return ceil(log(1 - conf) / (log(R) * ratio ** beta))

def draw(rng, n, eta, beta, tc):
    """Type I 중도절단 표본(와이블)"""
    u = [-log(1 - rng.random()) for _ in range(n)]
    xs = [eta * x ** (1 / beta) for x in u]
    t = [min(x, tc) for x in xs]
    return t, [int(x <= tc) for x in xs]

① 아레니우스와 규칙의 환산.

NIST와 같은 값이 나온다. NIST는 상수 $11605$를 사용하고 이 장은 $k=8.617\times10^{-5}$ eV/K를 사용하므로 $17{,}597.0$ 대 $17{,}596.5$로 갈리며 NIST의 정수 값과는 반올림 범위에서 같다.

10 K 규칙은 $100$ °C에서 $0.85$ eV, $155$ °C에서 $1.12$ eV에 해당하므로 고온으로 갈수록 겉보기 활성화 에너지가 커진다. 4.2이 인용한 윤활 간격의 15 K 규칙은 $70\sim85$ °C에서 $0.49\sim0.53$ eV이다. 두 규칙은 서로 다른 메커니즘의 값이며 상수 하나로 외삽할 수 없다.

② 듀티 사이클의 상대 열 수명. 기준은 연속 $9$ A(권선 $97.8$ °C)이다.

주기 2 s에서는 $TL=0.998$로 RMS 판정이 유효하다. 주기 60 s와 600 s에서는 평균 온도가 $4.5$ K와 $11.5$ K만 올라도 $TL$이 $0.293$과 $0.039$로 낮아진다. 최고 온도가 $139$ °C와 $176$ °C까지 오르기 때문이다. $k=8$ K에서는 $0.175$와 $0.012$이고 아레니우스 $0.9$ eV에서는 $0.293$과 $0.054$이므로, 넓은 온도 범위에서 두 모형이 $40\,\%$ 갈린다. RMS 판정을 통과한 설계라도 통전 주기가 권선 시정수를 넘으면 열 등급과 수명을 시간 이력으로 재검토해야 한다.

③ 토크로 가속한 시험. 기준은 $6$ A($52.9$ °C)이다.

$m=1.4$에서 기어·베어링은 $2.74$배, 절연은 $10.0$배 가속된다. $m=1.2$에서도 절연($2.7$배)이 기어($1.73$배)보다 크게 가속되므로, 권선 온도를 냉각으로 고정하지 않은 토크 가속 시험은 기어보다 먼저 절연이 고장 난다.

④ 경합 위험.

시스템 $B_{10}$ $5{,}377$ h는 가장 짧은 단독 값 $7{,}000$ h보다 $23\,\%$ 짧고, 첫 고장의 $70\,\%$가 감속기·베어링에서 나온다. 단독 $B_{10}$이 가장 긴 절연($28{,}339$ h)은 $3.6\,\%$에 그친다. 아래 그림은 모드별 고장률과 합이며, 합은 우발 모드의 상수분 위에 마모 모드가 더해지는 형태이다.

⑤ 와이블 적합과 소표본. 첫 표는 NIST가 공개한 예제와의 비교이다.

참 값 $\eta=600$ h·$\beta=1.7$에서 $n=20$개를 시험 종료 시각을 바꿔 가며 1,500회 모의한 결과는 NIST의 서술(고장 10개 미만이면 형상 추정이 어렵다)과 맞는다.

고장 수가 평균 $2.1$개이면 $\hat\beta$ 평균이 $4.5$(참 값의 $2.7$배)이고 $10.3$개이면 $1.85$이다. 우도비 구간의 포함률은 $87\sim95\,\%$이므로 점추정은 편향되어도 구간은 대체로 유효하며, 이 구간이 매우 넓다는 것이 소표본의 실제 정보량이다. 고장이 2개 미만인 표본은 추정이 불가능해 제외했으므로 첫 행의 유효 표본이 $93$개이다.

⑥ 무고장 시험의 하한과 시료 수. 57시간 2대 무고장(Urs 외, 각 57시간으로 해석 (해석))에서 얻는 95 % 하한이다.

$B_{10}$ 하한이 $4\sim24$ h이므로 이 시험은 수천 시간의 목표 수명을 입증하지 못한다. 목표 수명에서 $B_{10}$을 신뢰 수준 $90\,\%$로 입증하는 무고장 시험의 시료 수는 다음이다.

시험을 목표 수명의 $2$배로 늘리면 $\beta=2$에서 시료가 $22$에서 $6$으로 줄고($2^2=4$배) $3$배로 늘리면 $\beta=3$에서 $1$개이다.

⑦ 라이브러리 대조(실행 2026-11-05). numpy 2.5.4, SciPy 1.18.1(integrate.solve_ivp·quad, linalg.expm, optimize.brentq·minimize_scalar, stats.weibull_min·CensoredData·chi2), lifelines 0.30.3(WeibullFitter)을 사용했다. 같은 정의를 다시 계산하는 것은 독립 검증이 아니므로 제3자가 공표한 값(NIST), 닫힌 식(동일 $\beta$의 경합 위험, 무고장 하한, 선형 열 모델의 expm 해), 다른 알고리즘(연속시간 적분, 몬테카를로, SciPy 분포 함수로 쓴 우도)과 비교했다. 스크립트는 robotics/fig-src/5.25-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/5.25-libcheck-output.txt에 있다.

모든 항목이 일치한다. $TL$의 차이 $9\times10^{-4}$는 양의 오일러 $0.02$ s의 온도 오차(최대 $0.01$ K)가 $2^{\Delta\Theta/10}$에서 증폭된 것이다. 몬테카를로 $B_{10}$의 차이 $4$ h는 표준오차($7.1$ h) 안이다. 첫 실행에서 주기 600 s의 적분 시간을 $4000$ s로 두었을 때는 하우징의 느린 시정수($581$ s)가 덜 수렴해 $TL$이 $1.2\,\%$ 어긋났고 $12{,}000$ s로 늘려 해소했다. 이 대조는 같은 모형을 다른 경로로 푼 것이며 모형을 실물과 비교한 것이 아니다. NIST 예제와의 일치는 공개된 수치와의 비교이다.

한계. 열 매개변수·$k$·활성화 에너지·모드의 $\eta$·$\beta$는 가정이고 제품 값이 아니다. 경합 위험은 모드가 서로 독립이라고 가정하지만 온도가 공통 응력이므로 실제로는 상관된다(5.25.10). $TL$은 절연만, 열 모델은 2노드 집중 정수이며 철손·스위칭 손실·자석 온도 계수를 포함하지 않는다. 소표본 모의는 한 가지 참 값에서 얻었다.

견해: 구동기 수명은 모드별로 응력을 분리한 가속 시험과 부품 모델의 결합으로 입증하고, 무고장 시험의 결과는 하한으로만 사용하는 것이 낫다고 본다. 근거는 이 장의 계산이다. 57시간 무고장 2대는 $B_{10}$ 하한이 $4\sim24$ h에 그쳤고, 토크로 가속하면 절연이 기어·베어링보다 $3.6$배($m=1.4$에서 $10.0/2.74$) 더 가속되어 권선 온도를 고정하지 않은 시험이 사용 조건에 없는 모드를 만들었다. 이 결론은 가정한 열 모델·$k=10$ K·$p=3$에 한정된다.

5.25.6 설계 트레이드오프 — 수명 목표의 입증 방식

견해: 세 방식은 단계별로 이어서 사용하는 것이 낫다고 본다. 설계 단계는 ①로 목표를 모드에 배분하고, 양산 전에는 가장 기여가 큰 모드(이 장의 예에서는 감속기·베어링 $70\,\%$)를 ②로 입증하며, 양산 후에는 ③으로 모수를 갱신한다. 근거는 이 장의 예에서 모드 기여가 한 모드에 편중되었다는 점이다. 이 편중은 가정한 모수의 결과이므로 실제 제품에서는 다시 계산해야 한다.

5.25.7 응용 축 비교

5.25.8 관련 규격·프로토콜

5.25.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

구동기의 수명·고장 모드를 직접 규정하는 로봇 법령은 확인하지 못했다. 연결은 세 가지이다. 첫째, 안전 기능을 수행하는 브레이크·구동 차단 부품은 고장 확률의 입증이 필요하며 안전 설계와 목표 안전 수준은 26.7·26.11가 다룬다. 둘째, 설계 결함의 판단과 제조물책임에서 고장 모드 분석 기록은 설계가 합리적이었는지의 근거로 사용된다(39.27). 셋째, 보증 기간·예비 부품 공급·단종은 수명 모델의 입력으로 이어진다(42.12·42.13). 이 장은 조항을 확인하지 않았다 (확인 필요).

5.25.10 한계·유의점·미해결

• 독립 가정. 경합 위험은 모드가 서로 독립이라고 가정한다. 권선 온도는 절연·자석·그리스에 공통으로 작용하므로 모드의 고장 시각은 상관되며, 독립 가정은 상관이 양일 때 시스템 수명을 짧게 추정할 수 있다 (추정). 이 장은 상관을 모형화하지 않았다.
• 가정한 모수. 모드의 $\eta$·$\beta$, 활성화 에너지, $k=10$ K, 열 매개변수는 가정이다. $k$는 IEC 60034-18의 실험으로 정해야 하는 값이다.
• 열 모델의 범위. 2노드 집중 모델이며 철손·스위칭 손실·냉각 변화가 없다. 열 폭주($a\alpha\ge1$, 5.2)에서는 정상 상태가 없어 수명 모형이 적용되지 않는다.
• Urs 외 자료의 해석. 2대·57시간·"고장 없음"을 각 57시간으로 읽은 것은 해석이다. 3D 프린트 플라스틱 액추에이터이므로 금속 감속기의 마모 수명에 옮기지 않는다.
• 열화형 고장. 열화 경로 모형과 잔여 수명 예측은 계산하지 않았다(26.18).
• 미해결. 감속기·그리스의 가속 모델, 솔더·본드 와이어의 열 사이클 수명 매개변수, 현장 고장 자료의 중도절단을 포함한 분포는 이 장이 다루지 않았다.

5.25.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 아레니우스 가속 계수가 $25\to125$ °C에서 $\Delta H=0.5$와 $1.0$ eV일 때 $133$·$17{,}597$이 되는 것을 계산하라.
2. "10 K마다 수명 반감"이 $100$ °C에서 몇 eV에 해당하는지 유도하고 $155$ °C에서 값이 커지는 이유를 설명하라.
3. 같은 RMS 전류에서 통전 주기가 길수록 $TL$이 낮아지는 이유를 옌센 부등식으로 설명하라.
4. 경합 위험에서 $R_c=\prod R_i$와 $h_c=\sum h_i$를 유도하고 동일 $\beta$에서 $\eta_s$를 구하라.
5. 오른쪽 중도절단 와이블의 $\beta$ 방정식을 우도에서 유도하라.
6. 무고장 시험의 시료 수 식을 유도하고 시험을 목표 수명의 $2$배로 늘릴 때 $\beta=2$에서 시료가 몇 배 줄어드는지 구하라. 토크 가속 시험이 새 고장 모드를 만들 수 있는 이유를 5.25.5 ③의 결과로 설명하라.

연구 질문:

• 권선 온도라는 공통 응력이 만드는 모드 간 상관을 경합 위험에 넣으면 시스템 $B_{10}$이 독립 가정 대비 얼마나 달라지는가(이 장은 독립으로만 계산했다)?
• 파동기어의 단계 감소 가속 시험 자료(Zhang 외, 본문은 읽지 못했다)에서 와이블 형상과 토크 가속 지수를 어떻게 추정하는가?
• 관절 구동기의 효율·백래시 같은 열화 지표 가운데 단조성이 보장되어 임계 교차 모형에 사용할 수 있는 것은 무엇이며, 시험 방법(5.26)은 어떻게 정의되는가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods, 8장 "Assessing Product Reliability", 8.1.3·8.1.5·8.1.6.2·8.1.8·8.3.1.2·8.3.1.4·8.4.1.2·8.4.1.3절 — 직접 읽음(https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/apr/apr_d.htm).
• IEC 60034-1:2010 Rotating electrical machines — Part 1: Rating and performance, Edition 12.0 — 8.1, 8.6.2, 표 4·5·7, 부속서 A 직접 읽음(law.resource.org 사본). IEC 60034-2-1:2014, Edition 2.0 — 5절 직접 읽음.
• K. Urs, C. E. Adu, E. J. Rouse, T. Y. Moore, "Design and Characterization of 3D Printed, Open-Source Actuators for Legged Locomotion," arXiv:2202.12395v1, 2022 — 직접 읽음.
• Y. Zhang, Z. Zhang, Z. Wang, X. Yang, "Accelerated Life Test and Performance Degradation Test of Harmonic Drive with Failure Analysis," Machines 13(10), 918, 2025, doi:10.3390/machines13100918 — 초록만 읽음(Crossref).
• W. Weibull, "A Statistical Distribution Function of Wide Applicability," Journal of Applied Mechanics 18(3), 293–297, 1951, doi:10.1115/1.4010337 — 서지만 확인.
• W. B. Dakin, "Electrical Insulation Deterioration Treated as a Chemical Rate Phenomenon," Transactions of the AIEE 67(1), 113–122, 1948, doi:10.1109/T-AIEE.1948.5059649 — 서지만 확인.
• T. H. Montsinger, "Loading Transformers by Temperature," Transactions of the AIEE 49(2), 776–790, 1930, doi:10.1109/T-AIEE.1930.5055572 — 서지만 확인.
• E. B. Norris, R. W. Landzberg, "Reliability of Controlled Collapse Interconnections," IBM Journal of Research and Development 13(3), 266–271, 1969, doi:10.1147/rd.133.0266 — 서지만 확인.
• A. H. Bonnett, G. C. Soukup, "Cause and Analysis of Stator and Rotor Failures in Three-Phase Squirrel-Cage Induction Motors," IEEE Transactions on Industry Applications 28(4), 921–937, 1992, doi:10.1109/28.148460 — 서지만 확인.
• J. Carlson, R. R. Murphy, "How UGVs Physically Fail in the Field," IEEE Transactions on Robotics 21(3), 423–437, 2005, doi:10.1109/TRO.2004.838027 — 서지만 확인.
• numpy 2.5.4, SciPy 1.18.1, lifelines 0.30.3.

다음 장. 5.26은 액추에이터와 센서의 시험과 특성 평가를 다룬다. 이 장에서 가정한 열 매개변수·효율·열화 지표를 동력계 시험으로 어떻게 측정하고, 토크 리플·대역폭·효율 맵을 신호에서 어떻게 추정하며, 측정 불확도가 이 값들에 어떻게 전파되는지를 이어서 확인한다.