제5부 구동·액추에이터·동력전달

5.12 감속기 III: 신형 감속 방식 — 자기 기어·트랙션 드라이브·고감속 유성

5.12.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 파동기어(5.10)와 사이클로이드·RV·유성기어(5.11)에 이어, 이 둘과 다른 원리로 감속비를 만드는 세 방식을 다룬다. 접촉 없이 자기장으로 토크를 전달하는 동심 자기 기어, 마찰 접촉(견인)으로 토크를 전달하는 트랙션 드라이브, 한 단에서 큰 감속비를 얻는 복합 유성(Wolfrom 형 3K)이다. 앞 두 방식은 공개 문헌의 초록·카탈로그 범위에서, 복합 유성은 공개 논문의 식을 직접 읽어 재현하고 동력 흐름 방향까지 일관되게 풀어 한계를 계산한다.

배우는 것:

• 동심 자기 기어 — 극쌍·변조 조각 관계식, 공간 고조파의 회전 속도, 사인 토크-각 특성과 극 이탈(슬립), 영점 강성과 계단 부하 한계.
• 트랙션 드라이브 — 견인력 $T=\mu P$, 필요 법선력과 예압비, 헤르츠 선접촉 압력, 자기 가압 램프각의 상한.
• 고감속 유성 — 복합·Wolfrom 구성의 감속비, 동력 흐름 방향을 일관되게 푼 정·역 효율, 순환 동력, 자기 잠금 한계.
• 문헌 대조 — COMPAct 논문(arXiv 2510.07197)의 Table I 감속비 재현, 효율 예측의 역산, 식 (9)를 읽은 그대로 계산했을 때의 이상 징후.

선수 지식: 5.10(파동기어의 속도 관계식), 5.11(유성기어 효율 공식·헤르츠 선접촉), 5.1(액추에이터 지표), 5.16(저감속 준직접 구동).

특히 중요한 독자: 감속기 후보 구조를 폭넓게 검토하는 액추에이터 설계자, 백래시·소음·역구동성이 지배하는 관절의 감속 방식을 고르는 시스템 엔지니어, 고감속 유성의 효율과 자기 잠금을 평가하는 기구 엔지니어.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: (a) A. Singh, D. Kapa, S. Joshi, S. Kolathaya, COMPAct: Computational Optimization and Automated Modular design of Planetary Actuators, arXiv:2510.07197v1(2025-10-08, 8쪽 전문: 단일·복합·이중·Wolfrom 유성의 감속비·효율 식, 제약 조건, Table I 설계, 3D 프린트 시제의 효율·백래시·강성 측정). (b) JTEKT(Koyo)의 Traction Drive Unit 카탈로그(CAT.NO.B1011E-A, 4쪽, 파일 메타데이터 제작일 2015-06-16): 원리·감속비 식·사양 예·유성 기어와의 비교(3쪽은 PNG로 렌더해 눈으로 확인). (c) Harmonic Drive LLC CSF·CSG 카탈로그(5.10에서 읽은 외경·길이·정격·강성 표)를 부피 토크 밀도 비교에 사용했다. 자기 기어의 운동학·사인 토크-각 특성, 트랙션 접촉, Wolfrom 효율의 닫힌 식은 이 장에서 유도하고 numpy·scipy·sympy로 대조했다. 초록만 읽은 자료: Atallah·Howe(2001), Rasmussen 외(2005), Atallah 외(2008), Venturini·Leonardi(1993), Zhu 외(2018), Flugrad·Qamhiyah(2005), Du 외(2025). 검색 요약만 확인(원본 읽지 못함): Crispel 외의 Wolfrom 기반 로봇 변속기, 일부 NASA 롤러 구동 보고서. 읽지 못한 자료: 자기 기어의 설계 본문과 토크·손실 모델, 트랙션 유체의 견인 계수 측정과 탄성유체윤활(EHL) 문헌, 표준 본문. 제품 수치와 논문 성능은 (공개 주장치)이며 시제 결과를 양산 성능으로 읽지 않는다.

5.12.2 개념 — 접촉 없는 자기 기어, 마찰 접촉의 트랙션, 큰 감속비의 복합 유성

결론부터 적으면 다음과 같다. 동심 자기 기어는 자석의 상호작용으로 토크를 전달해 접촉·윤활·백래시가 없고 과부하에서 극이 이탈하며 토크 용량이 정해진 사인 곡선을 따르지만, 비틀림 강성이 파동기어보다 두 자릿수 낮고 부피 토크 밀도도 낮다. 트랙션 드라이브는 롤러의 마찰 접촉으로 토크를 전달해 백래시와 회전 불균일이 작으나, 견인 계수가 작아 접선력의 $15\sim38$배의 법선력(예압)이 필요하고 토크 용량이 이 접촉 압력에 묶인다. 복합 유성(Wolfrom 형 3K)은 한 단에서 $20\sim250$ 배의 감속비를 만들 수 있으나 감속비가 클수록 순환 동력 때문에 효율이 떨어지고 일정 감속비를 넘으면 자기 잠금이 된다.

세 방식의 공통 질문은 "어떤 비용으로 백래시와 이 맞물림 소음을 없애는가"이다. 자기 기어는 비틀림 강성과 부피 토크 밀도로, 트랙션 드라이브는 예압에 따른 베어링 하중과 토크 용량으로, 복합 유성은 효율과 역구동성으로 비용을 낸다. 어느 방식도 파동기어·사이클로이드 같은 기존 정밀 감속기를 모든 지표에서 대체하지 못하며 적용 조건이 좁다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 극쌍 $p_h=4$·변조 조각 $n_s=26$·저속 극쌍 $p_l=22$에서 속도비는 $-5.5$(변조 링 고정)·$6.5$(저속 회전자 고정)이고, 공간 고조파의 회전 속도를 FFT 위상으로 구한 값이 이론식과 $10^{-13}$ rad/s 안에서 같다. ② 사인 토크-각 특성에서 최대 토크는 $4.09^\circ$에서 나오고 영점 강성은 $p_lT_{max}$($T_{max}=27$ N·m이면 $594$ N·m/rad)이어서 하모닉 드라이브 CSG-32-100의 $K_1$($6.7\times10^4$ N·m/rad)의 $0.9\,\%$이다. 갑작스러운 부하는 정적 한계의 $72.5\,\%$에서 극 이탈을 일으킨다. ③ 하모닉 드라이브 컴포넌트 세트의 부피 토크 밀도는 $179\sim455$ kN·m/m³이다(카탈로그 외경·길이로 계산). ④ 트랙션 예(감속비 5, 출력 10 N·m, 안전율 1.5)에서 견인 계수 $0.04\sim0.10$이면 필요 법선력은 접선력의 $15.0\sim37.5$배이고 헤르츠 최대 압력은 $1.03\sim1.63$ GPa이다. ⑤ COMPAct Table I의 감속비 $7.2$·$14$·$22.05$·$16.36$을 식으로 재현했다. ⑥ Wolfrom 설계($z_s=66$, $z_{p1}=45$, $z_{r1}=156$, $z_{p2}=33$, $z_{r2}=144$)는 감속비 $16.36$에서 순환 동력이 입력의 $6.5$배이고 메시 효율 $0.98$에서 정 $84.3\,\%$·역 $81.7\,\%$이다. ⑦ 같은 식을 논문의 식 (9)에 읽은 그대로 넣으면 $1.19$($>1$)가 되어 이 설계에는 맞지 않는다.

5.12.3 원리

5.12.3.1 동심 자기 기어

동심 자기 기어는 세 부분으로 이루어진다. 극쌍 $p_h$개의 영구자석을 가진 고속 회전자, 강자성 조각 $n_s$개로 이루어진 변조 링, 극쌍 $p_l$개의 영구자석을 가진 저속 회전자이다. 고속 회전자가 만든 공간 자기장 분포를 변조 링이 변조하면 극쌍 수가 $\lvert mp_h+kn_s\rvert$인 공간 고조파가 생기고($m$은 고속 회전자 자기장의 고조파 차수, $k$는 변조 링의 고조파 차수), 각 고조파는 다음 속도로 회전한다.

$$\Omega_{m,k}=\frac{m\,p_h\,\Omega_h+k\,n_s\,\Omega_s}{m\,p_h+k\,n_s}.$$

저속 회전자의 극쌍 수를 $m=1,\ k=-1$ 고조파에 맞추어 $p_l=n_s-p_h$로 두면 다음 선형 관계가 성립한다.

$$p_h\Omega_h+p_l\Omega_l=n_s\Omega_s,\qquad n_s=p_h+p_l.$$

변조 링을 고정하면 $\Omega_h/\Omega_l=-p_l/p_h$이고, 저속 회전자를 고정하면 $\Omega_h/\Omega_s=n_s/p_h$이다. 이 관계는 5.10의 $R\omega_{fs}+\omega_{wg}-(R+1)\omega_{cs}=0$에 $R=p_l/p_h$를 넣은 것과 같은 형태이며, 고속 회전자·저속 회전자·변조 링이 각각 파동 발생기·플렉스플라인·서큘러 스플라인의 역할이다.

문헌 수치는 모두 초록의 범위이다. Atallah·Howe(2001)는 기계식 기어가 윤활·냉각이 필요하고 소음·진동·신뢰성 문제가 있을 수 있다고 적고, 희토류 자석을 쓴 자기 기어의 전달 토크 밀도가 시뮬레이션에서 $100$ kN·m/m³를 넘는다고 서술한다. Rasmussen 외(2005)는 기어비 $5.5$에서 $27$ N·m를 낼 수 있다고 분석했으나 제작품은 끝단 효과로 $16$ N·m만 냈다고 적는다. 제작품의 효율은 베어링의 자기 손실과 추가 베어링 때문에 $81\,\%$였고, 이를 제거하고 끝단 효과를 줄이면 $96\,\%$로 추정된다고 한다. 같은 논문은 기계식 기어와 비교해 효율이 더 좋고 부피당 토크가 비슷하다고 서술하며 자연 비틀림 스프링 상수가 낮은 점에 주의가 필요하다고 적는다. Atallah 외(2008)는 자기 기어와 영구자석 브러시리스 기계를 합친 "유사 직접 구동" 기계가 $60$ kN·m/m³ 넘는 토크 밀도와 $0.9$ 넘는 역률을 낸다고 서술한다. Venturini·Leonardi(1993)는 모터 공극에 자기 기어를 넣은 로봇 팔 관절 액추에이터를 제시하며 백래시는 없으나 강성이 유한하고 토크-위치 특성이 준사인형이라고 적고, 센서 포함 질량 $3$ kg에서 $9$ N·m/kg 넘는 토크 밀도와 $150$ W에서 모터와 감속기 합 효율 $63\,\%$를 보고한다.

5.12.3.2 자기 기어의 토크-각 특성과 강성

준사인형 토크-위치 특성을 $T(\delta)=T_{max}\sin(p_l\delta)$로 두면($\delta$: 저속 회전자의 각 오차) 영점 강성은 $K_0=p_lT_{max}$이고 최대 토크는 $\delta=\pi/(2p_l)$에서 나온다. 부하 토크 $T_L<T_{max}$이면 정적 평형각 $\delta^{*}=\arcsin(T_L/T_{max})/p_l$이 있고 $T_L>T_{max}$이면 평형이 없어 저속 회전자가 극을 이탈해 계속 회전한다. 이 때문에 자기 기어는 토크 한도가 정해진 기계적 토크 제한기의 성질을 가지며, 한도 안에서는 비틀림이 사인 곡선을 따른다. 계단 부하에서는 등면적 판정으로 한계 부하비 $r^{*}$가 $r(\pi-\arcsin r)-1-\sqrt{1-r^2}=0$의 해($0.7246$)이다.

위 표의 $27$ N·m와 $16$ N·m는 Rasmussen 외(2005)의 분석값과 제작품 측정값이며, $p_l=22$는 기어비 $5.5$를 만드는 $p_h=4$ 조합의 가정이다(논문의 극쌍 수는 읽지 못했다 (확인 필요)). 정격 비틀림이 $0.1^\circ$ 수준인 기계식 감속기와 달리 자기 기어는 최대 토크 근처에서 $4^\circ$, 최대 토크의 절반에서 $1.4^\circ$ 틀어진다. 이는 제어에서 낮은 고유진동수($J_L=0.02$ kg·m²에서 $21\sim27$ Hz)와 위치 오차로 나타난다.

5.12.3.3 트랙션 드라이브

트랙션 드라이브는 두 롤러가 법선력 $P$로 눌려 접촉하고 접촉부의 견인 계수 $\mu_t$가 허용하는 구름 접촉 전달력 $T=\mu_tP$로 토크를 전달한다. JTEKT 카탈로그는 이를 같은 식으로 서술하며 고압에서 점도가 높아지는 견인 그리스를 사용하고 롤러를 조립 전 탄성 변형시켜 예압을 만든다고 적는다. 유성 롤러형의 감속비는 링 안지름 $D$와 선 롤러 지름 $d$로 $i=(D+d)/d$이며 이는 유성기어의 $1+z_r/z_s$와 같은 형태이다.

접선력 $F_t=T_{in}/(r_sN_p)$를 전달하려면 안전율 $s_f$를 두고 법선력이 $F_n=s_fF_t/\mu_t$이어야 하므로 예압은 접선력의 $s_f/\mu_t$배이다. 견인 계수가 $0.04\sim0.10$이면 $15\sim38$배이고, 이 예압은 롤러 베어링과 축에 하중으로 걸리며 회전 손실의 원인이 된다. 접촉은 선접촉이며 5.11.3.4와 같은 헤르츠 식을 따른다. 자기 가압(self-actuating) 구조는 부하 토크에 비례해 법선력을 만드는 방식이며 Flugrad·Qamhiyah(2005)가 초록에서 필요할 때만 법선력이 존재해 롤러를 분리할 수 있다고 서술한다. 경사 램프로 법선력을 만들 때 접선력 대 법선력의 비 $\tan\theta$가 $\mu_t/s_f$ 이하여야 하므로 램프각은 $\arctan(\mu_t/s_f)$로 제한된다(정역학 유도).

JTEKT 카탈로그의 사양 예(공개 주장치)는 한 단 감속비 $3\sim12$, 2단 감속 $100$, 백래시 $0.01^\circ$ 이하, 회전 속도 변동 계수 $\pm0.5\,\%$ 이하, 출력 토크 $2$ N·m(2단 감속 예)와 $2\sim12$ N·m(소형형 감속비 5·10)이다. 같은 카탈로그의 비교표는 트랙션 드라이브를 유성 기어보다 회전 불균일·백래시·소음에서 앞서고 토크 용량에서 뒤진다고 표시하며, 측정 예로 회전 불균일 $80\,\%$ 감소와 진동 약 $90\,\%$ 감소를 제시한다(모두 제조사 주장이며 조건은 카탈로그의 그림을 따른다).

5.12.3.4 고감속 유성 — 복합·Wolfrom 구성

COMPAct 논문은 네 구성을 정의한다. 단일 유성(SSPG), 복합 유성(CPG: 큰 유성이 선 기어와, 작은 유성이 고정 링과 맞물림), 이중 유성(DSPG: 두 단을 직렬), Wolfrom 3K(WPG: 선 기어 입력, 링 1 고정, 링 2 출력, 유성 기어 두 개를 일체로 연결). WPG의 감속비는 $G=(1+I_1)/(1-I_2)$, $I_1=z_{r1}/z_s$, $I_2=z_{r1}z_{p2}/(z_{p1}z_{r2})$이다. 링 1을 고정하면 Willis 식 연립에서 $\omega_s=\omega_c(1+I_1)$, $\omega_{r2}=\omega_c(1-I_2)$이므로 이 식이 나온다. 중심 거리 조건은 $z_{r1}=z_s+2z_{p1}$, $z_{r2}=z_{r1}-z_{p1}+z_{p2}$(같은 모듈)이다.

효율은 동력 흐름 방향에 달려 있다. 캐리어 좌표에서 각 메시의 동력 방향을 이상 토크 평형 해로 정하면 Wolfrom 구성의 이상 해는 선 기어에서 유성으로, 유성에서 링 1로, 링 2에서 유성으로 흐른다. 이 흐름에서 정확한 토크 평형식은 다음과 같다.

$$\eta_{fwd}=\frac{(1-I_2)\,(1+I_1\eta_{sp}\eta_{p1r1})}{(1+I_1)\,(1-\eta_{p1r1}\eta_{p2r2}I_2)},\qquad \eta_{rev}=\frac{\eta_{sp}(1+I_1)\,(\eta_{p1r1}\eta_{p2r2}-I_2)}{\eta_{p2r2}\,(I_1+\eta_{p1r1}\eta_{sp})\,(1-I_2)}.$$

역방향 효율이 $0$이 되는 조건은 $\eta_{p1r1}\eta_{p2r2}=I_2=1-(1+I_1)/G$이다. 감속비 $G$가 클수록 $I_2\to1$이어서 메시 효율이 $1$에 가깝지 않으면 역방향 구동이 불가능한 자기 잠금이 된다. 캐리어 좌표의 메시 동력은 입력 동력보다 크며(순환 동력, rolling power) 이 장의 설계 예에서 링 1 메시가 입력의 $6.5$배를 전달한다. 순환 동력이 클수록 같은 메시 효율에서 전체 효율이 낮아진다.

COMPAct의 식 중 CPG 효율식 (4)는 이 장의 동력 흐름 풀이와 $10^{-16}$ 안에서 같고(SSPG 효율식 (2)는 5.11의 정확한 토크 평형식과 같은 형태), 감속비 식 (1)·(3)·(5)·(7)은 Table I의 네 설계 값을 재현한다. DSPG 효율식 (6)은 검토하지 않았다. 논문의 식 (9)는 이 장의 이상 해 방향과 다른 흐름(링 1에서 유성, 유성에서 링 2)을 가정한 풀이와 $10^{-15}$ 안에서 같아 이 설계에서 $1$을 넘는 값을 준다.

Du 외(2025)는 초록에서 예압된 유연 캐리어를 가진 고감속비 백래시 방지 3K 유성 감속기를 역구동 가능한 로봇 관절용 감속기로 다루고, 정·역방향 효율이 예압과 함께 낮아지고 부하 토크와 함께 높아지며 예압은 주로 선–유성 메시 효율에 영향을 준다고 서술한다. COMPAct 논문은 3D 프린트 시제의 측정에서 SSPG(7.2:1)가 효율 $60\sim80\,\%$·백래시 $0.59^\circ$·전달 강성 $242.7$ N·m/rad, CPG(14:1)가 효율 약 $60\,\%$·백래시 $2.6^\circ$·강성 $201.6$ N·m/rad이며 모델 예측 $96\,\%$·$93.8\,\%$보다 낮다고 보고하고 원인을 3D 프린트 치형의 정밀도 한계로 돌린다. 검색 요약에 따르면 Crispel 외는 Wolfrom 기반 로봇 변속기에서 $222$:1·최대 효율 $80\,\%$ 이상·질량 약 $650$ g·반복 피크 토크 $80$ N·m의 시제를 보고하나 본문은 읽지 못했다 (확인 필요).

5.12.4 알고리즘

입력: 극쌍 p_h·변조 조각 n_s, T_max, J_L / 롤러 D·d·N_p·b·T_out·μ_t·s_f / 유성 잇수 (z_s, z_p1, z_r1, z_p2, z_r2), 메시 효율 e
자기 기어:  p_l = n_s − p_h,  p_h Ω_h + p_l Ω_l = n_s Ω_s,  K_0 = p_l T_max,  δ_peak = π/(2 p_l),  계단 부하 한계 r*: r(π − asin r) − 1 − sqrt(1 − r²) = 0
트랙션:     i = (D + d)/d,  T_in = T_out/i,  F_t = T_in/(r_s N_p),  F_n = s_f F_t/μ_t,  1/R_eff = 1/r_s + 1/r_p,  a = sqrt(4 F_n R_eff/(π E* b)),  p_0 = 2F_n/(π a b)
            램프각 θ ≤ atan(μ_t/s_f)
Wolfrom:    G = (1 + I_1)/(1 − I_2);  이상 해 f_s=1, f_2 = 2 r_p1 f_s/(r_p2 − r_p1), f_1 = −f_s − f_2
            각 메시의 동력 방향 σ_i = −sign(f_i v_i) (v_i: 캐리어 좌표 접점 속도) → 효율 포함 토크 평형을 다시 풀어 η_fwd, η_rev
            자기 잠금: η_rev ≤ 0  ⇔  e_p1r1 e_p2r2 ≤ I_2
출력: 속도비, 토크 각 특성, 필요 예압과 접촉 압력, 효율·자기 잠금 조건

5.12.5 풀이 예제 — 자기 기어·트랙션·Wolfrom 효율

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 자기 기어의 속도 관계식이 FFT 위상 측정과 같고 영점 강성이 기계식의 $1\,\%$ 수준이다. ② 갑작스러운 부하의 한계는 정적 한계의 $72.5\,\%$이다. ③ 트랙션 드라이브는 접선력의 $15\sim38$배 예압이 필요하고 접촉 압력은 $1\sim1.6$ GPa이다. ④ COMPAct Table I의 감속비를 재현하고 효율 예측에서 메시 효율을 역산하면 SSPG $0.9765$·CPG $0.9660$이다. ⑤ Wolfrom의 효율은 감속비가 커질수록 떨어지고 역방향 구동은 메시 효율이 감속비 약 $150$에서 $0.970$, 약 $250$에서 $0.984$ 이하이면 불가능해진다.

구현. harm_speed·field·dft_arg·speed_num(공간 고조파), mg_torque(사인 특성), roller_ratio·traction_force·ramp_max·hertz_line(트랙션), wolfrom_ratio·wolfrom_eta(Wolfrom). 카탈로그·논문 값은 스크립트의 입력 절에 옮겼고 표·도해·캐시도 스크립트에 있다.

from math import pi, sqrt, sin, cos, tan, atan

def harm_speed(ph, ns, Oh, Os, m, k):
    """공간 고조파(m, k)의 회전 속도"""
    return (m * ph * Oh + k * ns * Os) / (m * ph + k * ns)

def field(ph, ns, Oh, Os, t, N=256, a=0.6):
    """고속 회전자 필드 x 변조 함수 샘플"""
    th = [2 * pi * j / N for j in range(N)]
    mod = lambda x: 1 + a * cos(ns * (x - Os * t))
    return [cos(ph * (x - Oh * t)) * mod(x) for x in th]

def dft_arg(v, q):
    """차수 q 성분의 위상"""
    N = len(v)
    w = [cmath.exp(-2j * pi * q * j / N) for j in range(N)]
    c = sum(a * b for a, b in zip(v, w))
    return cmath.phase(c), abs(c) / N

def speed_num(ph, ns, Oh, Os, q, dt=1e-3):
    """위상 변화율에서 차수 q 성분의 회전 속도"""
    a0 = dft_arg(field(ph, ns, Oh, Os, 0.0), q)[0]
    a1 = dft_arg(field(ph, ns, Oh, Os, dt), q)[0]
    d = (a1 - a0 + pi) % (2 * pi) - pi
    return -d / (q * dt)

def mg_torque(Tmax, pl, d):
    """저속 회전자의 사인 토크-각 특성"""
    return Tmax * sin(pl * d)

def roller_ratio(D, d):
    """플래니터리 롤러: 링 안지름 D, 선 롤러 지름 d"""
    return (D + d) / d

def traction_force(T_in, r_s, n_p, mu, sf):
    """접선력 F_t와 필요 법선력 F_n = sf F_t / mu"""
    Ft = T_in / (r_s * n_p)
    return Ft, sf * Ft / mu

def ramp_max(mu, sf):
    """자기 가압 램프각 상한: tan(th) <= mu / sf"""
    return atan(mu / sf)

def hertz_line(F, b, R, Es):
    """선접촉 반폭 a와 최대 압력 p0"""
    P = F / b
    a = sqrt(4 * P * R / (pi * Es))
    return a, 2 * P / (pi * a)

def wolfrom_ratio(zs, zp1, zr1, zp2, zr2):
    """3K(Wolfrom): 링 1 고정, 선 입력, 링 2 출력"""
    I1 = zr1 / zs
    I2 = zr1 * zp2 / (zp1 * zr2)
    return (1 + I1) / (1 - I2), I1, I2

def wolfrom_eta(zs, zp1, zr1, zp2, zr2, es, e1, e2, rev=0):
    """동력 흐름(캐리어 좌표)을 이상 해에서 정해 푼 효율"""
    rs, r1, r2, R1, R2 = zs, zp1, zp2, zr1, zr2
    G = wolfrom_ratio(zs, zp1, zr1, zp2, zr2)[0]
    fs = 1.0
    f2 = 2 * r1 * fs / (r2 - r1)
    f1 = -fs - f2
    wc = 1 / (1 + zr1 / zs)
    v = (1 - wc) * rs, -wc * R1, (1 / G - wc) * R2
    fv = [f * x for f, x in zip((fs, f1, f2), v)]
    sg = [-1 if q > 0 else 1 for q in fv]
    if rev:
        sg = [-s for s in sg]
    ps, p1, p2 = es ** sg[0], e1 ** sg[1], e2 ** sg[2]
    a = r1 * 1.0, r2 * 1.0, R1 * p1, R2 * p2
    det = a[0] * a[3] - a[1] * a[2]
    if abs(det) < 1e-12:
        return -1.0, sg
    s = -1.0 if rev else 1.0
    b0, b1 = r1 * s, -rs * ps * s
    g1 = (b0 * a[3] - a[1] * b1) / det
    g2 = (a[0] * b1 - b0 * a[2]) / det
    Tin, Tex = rs * ps * s, R2 * g2 * p2
    eta = -Tin * G / Tex if rev else -Tex / (Tin * G)
    return eta, sg

① 자기 기어. 위 표들에 있다. 속도 관계식은 고조파 6개 경우에서 FFT 위상 측정과 $10^{-13}$ rad/s 안에서 같고, 극쌍 관계식의 무작위 1000조합 잔차는 $10^{-12}$ 수준이다. $T_{max}=27$ N·m에서 영점 강성은 $594$ N·m/rad로, 하모닉 드라이브 CSG-32-100의 $K_1=6.7\times10^{4}$ N·m/rad의 $0.9\,\%$이다. 정격 $178$ N·m에서 CSG-32-100의 비틀림은 $5.96$ arcmin($0.099^\circ$)이다. 부피 토크 밀도는 CSG 컴포넌트 세트가 $179\sim455$ kN·m/m³로, Atallah·Howe(2001)의 시뮬레이션 $100$ kN·m/m³보다 크다. 다만 CSG 값은 카탈로그의 외접 원통 부피이고 자기 기어의 부피 정의는 읽지 못해 직접 비교가 아니다.

② 트랙션. 위 입력·소인 표에서 감속비 $5$·입력 토크 $2$ N·m이면 접선력은 $88.9$ N이고 $\mu_t=0.08$에서 필요 법선력은 $1667$ N, 접촉 반폭은 $0.092$ mm, 최대 압력은 $1.16$ GPa이다. 견인 계수가 $0.10$에서 $0.04$로 낮아지면 법선력이 $2.5$배로 늘고 압력이 $1.03$에서 $1.63$ GPa로 커진다. 자기 가압 램프각은 $\mu_t=0.08$, 안전율 $1.5$에서 $3.05^\circ$ 이하이다. 허용 접촉 압력과 견인 계수의 값은 이 장이 확인한 출처가 없어 가정이다.

③ 고감속 유성. 위 네 표에 있다. COMPAct Table I의 감속비 $7.200$·$14.000$·$22.047$·$16.364$가 논문값 $7.2$·$14$·$22.05$·$16.36$과 같다. 논문의 효율 예측 $96.0\,\%$(SSPG)·$93.8\,\%$(CPG)에서 식으로 역산한 메시 효율의 곱은 $0.9535$·$0.9332$(메시당 $0.9765$·$0.9660$)이다. Wolfrom 설계 예는 메시 효율 $0.98$에서 정 $84.31\,\%$·역 $81.70\,\%$, $0.95$에서 $67.65\,\%$·$54.14\,\%$이다. 설계군에서 감속비 $19$에서 $246$으로 올라가면 정 효율(메시당 $0.98$)이 $82.9\,\%$에서 $44.3\,\%$로 낮아지고, 역 효율은 감속비 $246$에서 $-21.9\,\%$(자기 잠금)이다.

라이브러리 독립 대조

이 장의 계산이 numpy FFT·scipy·sympy와 반올림 안에서 같다. 이상 징후는 세 가지이다. 첫째, 처음 solve_ivp에서 부하 $0.8T_{max}$를 계단으로 가했을 때 극 이탈이 나왔고 이는 오류가 아니라 계단 부하의 한계가 $0.7246T_{max}$라는 사인 모델의 결과여서 정적 평형은 부하를 $2$ s에 걸쳐 올려 확인했다. 둘째, COMPAct 식 (9)를 읽은 그대로 계산하면 이 논문의 Wolfrom 설계에서 효율이 $1.04\sim1.72$로 $1$을 넘고(Wolfrom 효율 표의 마지막 열), 이 값은 링 1에서 유성, 유성에서 링 2로 동력이 흐른다고 가정한 풀이와 같다. 식의 전사 오류인지 적용 조건이 다른지 확인하지 못했다 (확인 필요). 셋째, 같은 논문의 제약 조건 $m_2N_{2r}>m_1N_{1r}$은 Table I의 WPG($N_{2r}=144<N_{1r}=156$)와 맞지 않는다. 서술 오류로 보인다 (확인 필요).

한계. 자기 기어는 사인 특성의 $T_{max}$를 문헌 값으로 두었고 자석·변조 조각 설계에서 $T_{max}$·손실을 계산하지 않았다. 트랙션은 견인 계수·허용 압력·크리프·스핀 손실을 계산하지 않았고 접촉 하나만 보았다. Wolfrom은 메시 효율을 일정한 가정값으로 두었으며 베어링·교반 손실, 윤곽 수정, 예압, 하중 분담 불균형을 포함하지 않았다. 자기 잠금 판정은 이 모델의 결과이며 실제 잠금은 마찰의 속도·하중 의존에 따라 다르다. 동력 흐름 방향은 이상 해로 정했고 효율이 낮을 때는 방향이 바뀔 수 있다.

견해: 백래시와 소음이 지배하고 토크가 낮은 정밀 이송에는 트랙션 드라이브를, 접촉 없는 과부하 보호와 윤활 배제가 지배하는 저토크 관절에는 자기 기어를 후보로 두되, 일반 로봇 관절에서는 파동기어·사이클로이드·저감속 유성(5.10·5.11·5.16)을 기본으로 두고 복합 유성은 감속비 $\sim100$ 이하에서 역구동이 필요 없는 경우에만 사용하는 것이 낫다고 본다. 근거는 이 장의 계산에서 자기 기어의 영점 강성이 기계식의 $1\,\%$ 수준($594$ 대 $6.7\times10^{4}$ N·m/rad)이고 트랙션은 접선력의 $15\sim38$배 예압과 $1\sim1.6$ GPa 접촉 압력을 요구하며, Wolfrom은 감속비 약 $150$에서 메시 효율 $0.970$ 이하이면 역방향 구동이 불가능하다는 점이다. 다만 각 값이 가정 입력과 단일 시제 보고에 근거해 개체 시험이 필요하다.

5.12.6 설계 트레이드오프 — 백래시를 줄이는 신형 감속 방식의 선택

백래시와 맞물림 소음을 줄이려는 감속 방식은 다음 중에서 고른다.

• ① 동심 자기 기어. 접촉이 없어 마모·윤활·백래시가 없고 한도 토크에서 극이 이탈해 기계적 토크 제한기가 된다. 영점 강성이 낮고(이 장의 계산 $594$ N·m/rad) 최대 토크 근처의 비틀림이 $4^\circ$ 수준이며 부피 토크 밀도가 낮다. 정격 이상의 갑작스러운 부하는 정적 한계의 $72.5\,\%$에서 이탈한다.
• ② 트랙션 드라이브. 백래시가 $0.01^\circ$ 이하이고 회전 불균일과 소음이 작다는 것이 제조사 주장이다. 견인 계수가 작아 접선력의 $15\sim38$배 예압이 필요하고 접촉 압력이 $1\sim1.6$ GPa이며 토크 용량이 유성기어보다 낮다고 카탈로그가 표시한다.
• ③ 복합 유성(Wolfrom 3K). 한 단에서 큰 감속비를 얻고 이 맞물림 기반이어서 정밀 가공 가능하다. 순환 동력 때문에 감속비 $19\to246$에서 효율이 $82.9\to44.3\,\%$로 낮아지고 감속비가 크면 자기 잠금이 된다.

견해: 백래시 제거만이 목적이면 파동기어(5.10)를 먼저 검토하고, 이 장의 세 방식은 각각 특수한 이유(과부하 토크 제한, 회전 불균일, 큰 감속비의 단 수 절감)가 있을 때 선택하는 것이 낫다고 본다. 근거는 이 장에서 계산한 자기 기어의 영점 강성($594$ 대 파동기어 카탈로그의 $6.7\times10^{4}$ N·m/rad)과 부피 토크 밀도 격차, 트랙션의 예압비, Wolfrom의 효율 저하이다. 트랙션과 Wolfrom을 파동기어와 같은 조건에서 직접 비교한 수치는 이 장에 없다. 이 판단은 가정 입력과 초록 수준의 자료에 근거하며 개별 설계에서 시험으로 확인해야 한다.

5.12.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 응용별 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

대표 제품과 현황(기준 시점 2026-11-05). 직접 읽은 제품 자료는 JTEKT(Koyo)의 트랙션 드라이브 유닛이다(카탈로그 제작일 2015-06-16, 현행 판은 확인하지 못했다 (확인 필요)). 한 단 감속비 $3\sim12$, 2단 감속 $100$, 백래시 $0.01^\circ$ 이하, 회전 속도 변동 $\pm0.5\,\%$ 이하이며 응용 예에 로봇이 포함된다(모두 (공개 주장치)). 동심 자기 기어와 유사 직접 구동은 이 장이 읽은 자료에서 제품 현황을 확인하지 못했고 문헌 시제만 있다. 복합 유성 제품은 읽은 제조사 자료가 없고 COMPAct의 3D 프린트 시제(효율 $60\sim80\,\%$)는 연구 시제이다. 정밀 유성·사이클로이드 제품 비교는 46.2에서 다루며 자기 기어·트랙션 드라이브의 제품 장은 목차 인덱스에서 확인하지 못했다.

5.12.8 관련 규격·프로토콜

자기 기어·트랙션 드라이브에 전용으로 적용되는 국제 표준은 확인하지 못했다 (확인 필요). 표준 번호는 제목으로만 가리켰고 조항의 내용을 단정하지 않았다. 표준 전반은 부록 A.3에서 다룬다.

5.12.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

이 감속 방식들을 직접 규정하는 법령·인증 요건은 확인하지 못했다. 간접 연결은 둘이다. 첫째, 자기 기어의 극 이탈과 트랙션 드라이브의 미끄럼은 한도 토크에서 부하를 끊는 기계적 토크 제한으로 작용하나, 정지 유지나 낙하 방지를 이 성질에 의존할 수 없다. 이탈 뒤 부하 유지는 브레이크에 맡겨야 하며 브레이크의 안전 기능 구성은 5.23·26.6에서 다룬다. 둘째, 협동 운전의 접촉 힘 한계(ISO/TS 15066 등)는 이 방식들의 반사 관성과 비틀림 강성에 의존하는 유효 질량과 연결된다(3.4·27.10·41.9). 이 장은 규격 본문을 읽지 못했으므로 구체 요구 값은 단정하지 않는다 (확인 필요).

5.12.10 한계·유의점·미해결

• 자료의 지위. 자기 기어는 초록 수준의 문헌 값이고 트랙션은 제조사 카탈로그의 공개 주장치이며 COMPAct의 효율·백래시는 3D 프린트 시제 값이다. 양산 감속기의 성능이 아니다.
• 가정 입력. 트랙션 예와 Wolfrom 설계군의 치수, 메시 효율, 사인 특성의 극쌍 수($p_l=22$)와 $J_L$은 가정이다.
• 모델 범위. 자기 기어의 토크 용량·손실·와전류, 트랙션의 견인 곡선·크리프·열·EHL 두께, Wolfrom의 베어링·교반 손실과 하중 분담은 계산하지 않았다. 효율의 동력 흐름 방향은 이상 해로 정했다.
• 문헌의 이상 징후. COMPAct 식 (9)는 읽은 그대로 계산하면 이 논문의 설계에서 효율이 $1$을 넘고, 제약 조건 부등식이 Table I과 맞지 않는다. 논문 전사 오류인지 조건이 다른지 확인하지 못했다.
• 미확인. 자기 기어 설계(자석·변조 조각·공극)와 토크 밀도 정의, 트랙션 유체의 견인 계수 문헌, Crispel 외의 Wolfrom 로봇 변속기, 사이클로이드 계열 외의 신형 감속(노테이팅·위빙 기어 등)은 이 장이 다루지 않았다.

5.12.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 공간 고조파 속도 $\Omega_{m,k}$에서 $p_l=n_s-p_h$일 때 $p_h\Omega_h+p_l\Omega_l=n_s\Omega_s$를 유도하고 5.10의 파동기어 관계식과의 대응을 보여라.
2. $T=T_{max}\sin(p_l\delta)$에서 영점 강성과 최대 토크 각, 정적 평형각을 구하라.
3. 계단 부하의 한계 부하비가 $r(\pi-\arcsin r)-1-\sqrt{1-r^2}=0$의 해임을 등면적 판정으로 유도하라.
4. 트랙션에서 $F_n/F_t=s_f/\mu_t$와 램프각 상한 $\arctan(\mu_t/s_f)$를 정역학으로 유도하라.
5. Wolfrom의 감속비 $G=(1+I_1)/(1-I_2)$를 Willis 식 연립으로 유도하고 COMPAct Table I의 WPG 감속비 $16.36$을 확인하라.
6. 이상 해에서 각 메시의 동력 방향과 순환 동력비 $6.5$를 계산하고 정·역 효율의 닫힌 식에서 자기 잠금 조건 $\eta_{p1r1}\eta_{p2r2}\le I_2$를 구하라.
7. COMPAct 식 (9)를 읽은 그대로 계산해 어떤 동력 흐름 가정에서 이 값이 나오는지 확인하라.

연구 질문:

• 동심 자기 기어의 $T_{max}$·손실·부피 토크 밀도를 자석·변조 조각·공극 설계에서 계산하면 기계식 기어와의 격차는 어떻게 되는가(이 장은 문헌 값만 사용했다)?
• 트랙션 유체의 견인 계수와 허용 접촉 압력을 시험으로 정하면 이 장의 예압비와 용량 추정은 어떻게 바뀌는가?
• Wolfrom 구성의 자기 잠금 한계를 윤곽 수정·예압·하중 분담을 포함한 모델에서 계산하면 이 장의 $\eta_{p1r1}\eta_{p2r2}\le I_2$ 조건은 얼마나 바뀌는가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• A. Singh, D. Kapa, S. Joshi, S. Kolathaya, "COMPAct: Computational Optimization and Automated Modular design of Planetary Actuators," arXiv:2510.07197v1, 2025-10-08 — 전문 읽음.
• JTEKT Corporation, "Traction Drive Unit," CAT.NO.B1011E-A, 파일 메타데이터 제작일 2015-06-16 — 전문(4쪽) 읽음.
• K. Atallah, D. Howe, "A novel high-performance magnetic gear," IEEE Trans. Magnetics 37(4), 2844–2846, 2001, doi:10.1109/20.951324 — 초록만 읽음.
• P. O. Rasmussen, T. O. Andersen, F. T. Jørgensen, O. Nielsen, "Development of a High-Performance Magnetic Gear," IEEE Trans. Industry Applications 41(3), 764–770, 2005, doi:10.1109/TIA.2005.847319 — 초록만 읽음.
• K. Atallah, J. Rens, S. Mezani, D. Howe, "A Novel 'Pseudo' Direct-Drive Brushless Permanent Magnet Machine," IEEE Trans. Magnetics 44(11), 4349–4352, 2008, doi:10.1109/TMAG.2008.2001509 — 초록만 읽음.
• M. Venturini, F. Leonardi, "High torque, low speed joint actuator based on PM brushless motor and magnetic gearing," IEEE IAS Annual Meeting, doi:10.1109/IAS.1993.298900 — 초록만 읽음.
• Z. Q. Zhu, H. Li, R. P. Deodhar, "Recent developments and comparative study of magnetically geared machines," CES Trans. Electrical Machines and Systems, 2018, doi:10.23919/TEMS.2018.8326448 — 초록만 읽음.
• R. C. Flugrad, M. Qamhiyah, "A Self-Actuating Traction-Drive Speed Reducer," J. Mechanical Design 127(4), 631–636, 2005, doi:10.1115/1.1897410 — 초록만 읽음.
• Q. Du, G. Yang, W. Wang, C. Chen, "Modeling and Analysis of Transmission Efficiency for 3K Planetary Gearbox with Flexure-Based Carrier for Backdrivable Robot Joints," Actuators 14(4), 173, 2025, doi:10.3390/act14040173 — 초록만 읽음.
• Harmonic Drive LLC, Cup Type Component Sets & Housed Units: CSF & CSG Series(5.10 참조) — 외경·길이·정격 표 직접 읽음.
• numpy 2.5.4, SciPy 1.18.1, sympy 1.14.0.

다음 장. 5.13는 직선 동력전달을 다룬다. 회전 감속기와 달리 회전을 직선 운동으로 바꾸는 볼스크류·유성 롤러 스크류(표준·역 유성)·리니어 가이드의 원리와 하중·강성·수명을 같은 방식으로 정리한다.