제5부 구동·액추에이터·동력전달

5.4 전기 모터 II: 스테퍼·리니어 모터·직접 구동

5.4.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 회전 PMSM·BLDC(5.3)와 구조가 다른 세 구동 방식, 곧 스테퍼 모터와 리니어 모터, 그리고 감속기 없이 부하에 결합하는 직접 구동을 다룬다. 2상 하이브리드 스테퍼의 코에너지 모형(토크·역기전력·전압 방정식), 마이크로스텝의 위치 오차와 불감대, 선형화 강성이 정하는 공진 진동수와 전류 조정기가 주는 감쇠, 전압 한계가 정하는 풀아웃 토크-속도 곡선을 계산한다. 리니어 모터는 힘 상수·모터 상수·열 사이징 식을 제조사 카탈로그의 표와 대조하고 철심형·무철심형의 흡인력을 비교한다. 직접 구동은 모터 상수의 스케일링과 투명성·질량·열의 교환 관계로 정리한다. 모터 설계와 자석은 5.5, 인버터는 5.6, 벡터 제어는 5.7, 프레임리스 토크 모터·축방향 자속 모터·롤러 스크류 리니어 액추에이터는 5.17, 준직접 구동은 5.16, 보이스 코일·압전·초음파 모터는 5.22, 사이징은 5.2, 열·수명은 5.25, 시험은 5.26에서 다룬다.

배우는 것:

• 스테퍼의 모형 — 가변 릴럭턴스·영구자석·하이브리드의 구분, 코에너지에서 유도한 토크와 역기전력, 정지 토크에서 토크 상수로의 환산.
• 마이크로스텝 — 사인·코사인 전류 지령의 평형 각, 디텐트가 만드는 위치 오차, 정지 마찰의 불감대.
• 공진과 감쇠 — 선형화 강성, 고유 진동수, 전류 조정기 이득이 정하는 전기 감쇠 $K_T^2/(R+K_p)$.
• 토크-속도 — 풀인·풀아웃의 정의, 전압 한계 각속도, 개루프 스테퍼의 동기 이탈.
• 리니어 모터 — 힘 상수·모터 상수, 피크·연속 힘의 정의, 열 사이징 식, 철심형의 흡인력.
• 직접 구동 — 기어 없는 결합의 이점과 비용, 모터 상수의 크기 스케일링.

선수 지식: 5.3(토크 상수·역기전력 상수·모터 상수), 5.2(사이징), 반사 관성은 3.4·3.9.

특히 중요한 독자: 저가 위치 결정에 스테퍼를 고르는 설계자, 갠트리·정밀 스테이지에 리니어 모터를 검토하는 엔지니어, 직접 구동과 감속 구동 사이에서 관절 구조를 정하는 설계자, 데이터시트의 토크·힘 수치의 정의를 확인해야 하는 구매·품질 담당자.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: Microchip AN907 Stepping Motors Fundamentals(Condit·Jones, 2004, 48쪽 전문)의 유형·토크 정의·마이크로스텝 절. 하이브리드 스테퍼 데이터시트 SY42STH47-1206A(제조사 문서, Pololu 배포, 1쪽 — 표는 텍스트가 깨져 그림으로 읽었다)와 Pololu 제품 페이지(2026-11-05 조회). Parker Hannifin I-Force Ironless and RIPPED Ironcore Series 선형 모터 카탈로그(2010판 사본, 표와 설계 해설부). Asada·Kanade(1983)의 초록(Crossref). 서지만 확인한 것(본문은 읽지 못했다): Bodson 외(1993)의 영구자석 스테퍼 비선형 제어 논문, Acarnley(2002)의 스테퍼 교재, Gieras 외의 리니어 동기 모터 교재, Asada·Youcef-Toumi(1987)의 직접 구동 로봇 교재, ICNIRP(2009)의 정자기장 노출 지침. 읽지 못한 것: NEMA ICS 16, IEC 60034 시리즈와 IEC 60085, IEC 61800 시리즈(접속 제한 또는 유료 — 번호를 제목으로만 가리킨다). 시뮬레이션의 모든 수치는 이 장의 계산이며 특정 제품의 보증 사양이 아니다. 제품 수치는 위 문서의 해당 표에서 읽은 것만 적었다.

5.4.2 개념 — 같은 전자기 토크 식에서 갈라진 세 구동 방식

결론부터 적으면 다음과 같다. 2상 하이브리드 스테퍼는 회전자 이 수 $N_r$이 곧 극쌍수인 2상 영구자석 동기 모터이며, 토크 식과 전압 방정식이 PMSM(5.3)과 같다. 다만 극쌍수가 50 안팎으로 크고 디텐트(무전류 토크)가 있어 전류 벡터를 이산 위치에 고정하는 개루프 위치 결정에 사용되도록 설계되었다. 리니어 모터는 회전 모터를 펼친 것이며 토크 상수가 힘 상수 $K_f$(N/A), 회전 각속도가 선속도로 바뀐다. 직접 구동은 모터 축이 감속기 없이 부하에 결합하는 구조이며 모터 토크가 곧 관절 토크이므로 모터 상수 $K_m$이 직접 성능을 정한다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 데이터시트(정지 토크 3.17 kg·cm, 정격 1.2 A, 이 수 50)에서 토크 상수 $K_T=0.1832$ N·m/A를 얻고(두 상 여자의 정지 토크 $\sqrt2K_TI$ 가정), 정지 토크 밀도는 $0.852$ N·m/kg이다. ② 두 상 여자 평형의 선형화 강성은 $11.62$ N·m/rad, 고유 진동수는 $208.1$ Hz(디텐트 제외 $240.6$ Hz)이다. ③ 마이크로스텝 위치 오차는 디텐트의 4차 성분만으로 $\pm3.617^\circ$ 전기($0.0723^\circ$ 기계, 풀스텝의 $4.02\,\%$)이고 닫힌 식 $3.615^\circ$와 같다. ④ 전류 조정기 이득 $5$·$20$·$100$ Ω에서 감쇠비가 $0.196$·$0.0805$·$0.0187$이며 $K_p\ge20$ Ω에서 닫힌 식 $\zeta$와 $1.5\,\%$ 안에서 같고, $K_p=100$ Ω는 $175$·$200$·$250$·$400$ pps에서 동기를 잃는다. ⑤ 24 V 개루프 반스텝의 풀아웃 토크는 $0.145\sim0.180$ N·m(정지 토크의 $47\sim58\,\%$)이고 5000 pps에서 $0.135$ N·m이며 데이터시트 곡선의 감소 형태와는 맞지 않는다. ⑥ 정격 전류를 유지하는 전압 한계 속도는 12·24·48 V에서 $2249$·$5361$·$11528$ pps이다. ⑦ 리니어 모터의 열 사이징 식 $F_c=K_m\sqrt{(T_{max}-T_a)/R_{th}}$가 카탈로그의 연속 힘을 $0.3\,\%$ 안에서 재현하고, 철심형의 흡인력은 연속 힘의 $9.5\sim10.1$배이다. ⑧ SciPy 대조에서 궤적 4건 중 3건이 $2.5\times10^{-4}$ rad 안에서 같고 1건(동기 이탈 경계 근처)은 $0.17$ rad 어긋난다.

5.4.3 원리

5.4.3.1 스테퍼의 유형과 스텝 각

AN907은 스테퍼를 가변 릴럭턴스(VR)·영구자석(PM)·하이브리드 세 가지로 나눈다. VR은 연철 톱니 회전자가 여자된 고정자 극에 정렬하며 권선이 공통 단자에 묶인 3~5개이고, PM(캔 스택)은 자화된 회전자를 사용하며, 하이브리드는 다톱니 회전자에 축방향으로 자화된 동심 자석을 결합하여 디텐트·정지·동적 토크가 앞의 두 유형보다 크다고 서술한다. 같은 문서는 PM의 스텝 각이 $30^\circ$에서 $3.6^\circ$, 하이브리드는 $3.6^\circ$($100$ 스텝/회전)에서 $0.9^\circ$($400$ 스텝/회전)가 전형적이라고 적는다. 2상 하이브리드에서 한 전기 주기가 4스텝이므로 회전당 스텝 수는 $4N_r$이고, $1.8^\circ$(200 스텝)는 $N_r=50$에 해당한다(회전자 이 수는 데이터시트에 없어 이 관계에서 유도한 값이다).

5.4.3.2 코에너지 모형 — 토크와 역기전력

회전자 영구자석이 각 상에 쇄교하는 자속 진폭을 $\Phi$, 전기각을 $\theta_e=N_r\theta$로 두고 자기 포화·상호 인덕턴스를 무시하면 상 쇄교 자속(flux linkage)은 $\lambda_a=Li_a+\Phi\cos\theta_e$, $\lambda_b=Li_b+\Phi\sin\theta_e$이다. 결론은 토크가 전류와 $\theta_e$의 사인·코사인 곱이라는 것이다. 코에너지의 각도 미분이 토크를 주고 쇄교 자속의 시간 미분이 역기전력을 준다.

$$T=K_T(-i_a\sin\theta_e+i_b\cos\theta_e)-T_d\sin4\theta_e,\qquad K_T=N_r\Phi$$

$$L\frac{di_a}{dt}=v_a-Ri_a+K_T\omega\sin\theta_e,\qquad L\frac{di_b}{dt}=v_b-Ri_b-K_T\omega\cos\theta_e,\qquad J\dot\omega=T-B\omega-T_L$$

$T_d\sin4\theta_e$는 디텐트 토크이며 4차 성분 하나로 가정하였다(전기 주기당 4주기). 역기전력이 받는 전력 $e_ai_a+e_bi_b$는 $\omega T$와 같으며(무작위 1000점에서 상대 오차 $1.4\times10^{-14}$) 두 식의 부호가 일관됨을 확인한다. 이 방정식은 $N_r$극쌍 2상 PMSM의 $dq$ 방정식과 같으므로 엔코더를 달면 5.7의 벡터 제어를 그대로 적용할 수 있다. 데이터시트의 정지 토크는 두 상에 정격 전류를 같이 흘렸을 때의 최대 토크이므로(이 정의는 문서에 명시되지 않아 가정이다 (확인 필요)) $T_h=\sqrt2K_TI$이고, 한 상만 여자하면 $K_TI$이다. 마이크로스텝에서 진폭 $I_{pk}$의 사인·코사인 전류는 같은 발열에서 $I_{pk}=\sqrt2I$이다.

5.4.3.3 마이크로스텝의 위치 오차

$i_a=I_{pk}\cos\varphi$, $i_b=I_{pk}\sin\varphi$를 인가하면 $T=K_TI_{pk}\sin(\varphi-\theta_e)-T_d\sin4\theta_e$이므로 디텐트가 없으면 평형각이 $\theta_e=\varphi$이고 지령각만큼 회전자가 이동한다(AN907의 사인·코사인 마이크로스텝과 같은 원리). 결론은 위치 정확도의 한계가 전류 분해능이 아니라 디텐트와 마찰이라는 것이다. 디텐트가 있으면 평형각이 $\theta_e\simeq\varphi-\dfrac{T_d}{K_TI_{pk}}\sin4\varphi$로 어긋나 오차 진폭이 $T_d/(K_TI_{pk})$이고, 정지 마찰 $T_f$는 $\pm\arcsin\bigl(T_f/(K_TI_{pk})\bigr)$ 전기각의 불감대를 만들며, 부하 토크 $T_L$은 $\arcsin\bigl(T_L/(K_TI_{pk})\bigr)$ 전기각의 정적 변위를 만든다. AN907은 실제 모터에서 마찰과 사인 곡선에서의 이탈 때문에 한 스텝을 32마이크로스텝 넘게 나누는 것이 드물게만 의미가 있다고 적는다. 이 장의 가정값(정지 마찰 $10\sim20$ mN·m)에서 불감대가 $1/32$ 마이크로스텝과 같은 크기가 되어 그 서술과 같은 자릿수이다.

5.4.3.4 선형화 강성, 공진, 전류 조정기의 감쇠

평형 근방의 강성은 $k=-\partial T/\partial\theta=N_r\bigl[K_T(i_a\cos\theta_e+i_b\sin\theta_e)+4T_d\cos4\theta_e\bigr]$이고 고유 진동수는 $f_n=\frac1{2\pi}\sqrt{k/J}$이다. 두 상 여자 평형($\theta_e=45^\circ$)에서 디텐트가 강성을 $4N_rT_d$만큼 줄이고, 한 상 여자 평형($0^\circ$)에서는 늘린다.

고유 진동수 근방에서 개루프 스텝 비율이 맞으면 회전자가 공진한다. 감쇠의 출처는 마찰과 전류 조정기이다. 조정기가 $v=K_p(i_{ref}-i)+Ri_{ref}$이고 전류 응답이 진동 주파수보다 충분히 빠르면 역기전력이 전류를 $e/(K_p+R)$만큼 줄이며 이것이 $-K_T^2\omega/(K_p+R)$의 점성 토크가 된다. 결론은 조정기가 강할수록($K_p$가 클수록) 전기 감쇠가 작아져 스테퍼가 공진에 취약해진다는 것이다.

$$B_e=\frac{K_T^2}{R+K_p},\qquad \zeta=\frac{B_e+B}{2\sqrt{kJ}}$$

5.4.3.5 토크-속도 — 풀인·풀아웃과 전압 한계

AN907은 정지 토크(여자 상태에서 축을 회전시키는 데 필요한 토크), 풀인 토크(일정 스텝 비율에서 정지 상태로부터 스텝 손실 없이 가속할 수 있는 부하), 풀아웃 토크(운전 속도에서 움직일 수 있는 부하), 디텐트 토크(무여자 토크)를 구분하고 풀인은 부하 관성에 강하게 의존한다고 적는다. 개루프에서는 부하가 풀아웃을 넘으면 스텝을 잃어 위치 정보가 사라지므로 모터를 충분히 크게 고르거나 폐루프 귀환을 사용해야 한다고 같은 문서가 서술한다. 전기적 한계는 권선 전압 방정식에서 나온다. 전류 $I$를 역기전력과 같은 위상으로 유지할 때 필요한 전압 진폭이 $\sqrt{(K_T\omega+RI)^2+(N_r\omega LI)^2}$이므로, 이것이 전원 전압과 같아지는 각속도가 정격 전류를 유지하는 상한이다.

5.4.3.6 리니어 모터 — 힘 상수·모터 상수·열 사이징

리니어 모터는 이동자(forcer, 코일)와 자석 트랙(Parker 카탈로그의 용어)으로 구성되며 같은 전자기 식에서 힘이 $F=K_fi$, 역기전력이 $e=K_ev$이고 SI에서 $K_e=K_f$(V·s/m = N/A)이다. 모터 상수(N/√W)는 카탈로그가 힘 상수를 권선 온도 상한의 저항의 제곱근으로 나눈 값으로 정의하며, 이 장은 상 환산이 명시되지 않은 그 식 대신 $K_m=F_c/\sqrt{P_c}$로 계산한다. 피크 힘은 듀티 5 %·1초 기준, 연속 힘은 코일 권선 온도를 100 °C로 유지하는 기준이다(카탈로그 각주). 열 사이징은 정상 상태에서 연속 전력이 $P_c=(T_{max}-T_a)/R_{th}$이고 힘이 다음과 같다는 결론으로 요약된다.

$$F_c=K_m\sqrt{P_c}=K_m\sqrt{\frac{T_{max}-T_a}{R_{th}}}$$

철심형은 라미네이션이 자속을 모아 단위 크기당 힘이 가장 크고 자석 트랙이 단일 열이어서 저렴하지만 이동자와 자석 사이에 흡인력이 있고 코깅이 생긴다. 카탈로그는 흡인력이 정격 힘의 5~13배이며 베어링이 지지해야 하고 설치가 어렵다고 적고, 무철심형은 흡인력과 코깅이 없다고 적는다. 구리 저항은 온도 계수 $0.393\,\%/^\circ\mathrm{C}$로 증가하여 $25\to100$ °C에서 $1.295$배가 된다(같은 카탈로그 각주).

5.4.3.7 직접 구동 — 이점·비용·스케일링

Asada·Kanade(1983)의 초록은 희토류 직류 토크 모터로 감속기와 벨트를 없애고 팔 링크를 모터 회전자에 직접 결합하는 설계를 제안하며 백래시·마찰·관성·컴플라이언스가 낮아지고 신뢰성이 높아진다고 서술한다. 같은 초록은 손목 모터가 팔꿈치 모터의 부하이고 팔꿈치 모터가 어깨 모터의 부하가 되는 직렬 하중이 어려움이며 이를 줄이는 것이 핵심이라고 적는다. 기어비 $n$의 감속 구동은 모터 쪽에서 반사 관성이 $n^2J_m$이고(3.4·3.9) 직접 구동은 부하 관성만 보이므로 투명성이 높다. 비용은 모터 토크가 곧 관절 토크라는 점에서 나온다. 단면 반지름 $R$·적층 길이 $L$인 모터의 공극 전단 응력이 $\sigma$이면 토크는 $T=2\pi R^2L\sigma$이다. 기하 상사(모든 치수가 $\ell$배)에서 자속 밀도·전류 밀도 $J$·슬롯 충진율이 같으면 선전류 밀도가 슬롯 깊이에 따라 $\ell$에 비례하므로 $T\propto\ell^4$이고 구리 손실이 $\ell^3$에 비례하므로 모터 상수가 $K_m=T/\sqrt{P}\propto\ell^{5/2}$이다. 표면 냉각으로 손실이 $\ell^2$에 비례하면 연속 토크가 $\ell^{7/2}$, 질량이 $\ell^3$이어서 연속 토크 밀도는 $\ell^{1/2}$에 비례한다. 이 스케일링은 이 장의 유도이며 5.5.5의 기하 모형에서 같은 지수 $5/2$를 수치로 확인했으나 모터 설계 프로그램이나 실측으로는 확인하지 않았다 (확인 필요).

5.4.4 알고리즘

마이크로스텝 평형(φ, I_pk, T_L):  f(θe) = K_T I_pk sin(φ − θe) − T_d sin(4 θe) − T_L
                                  [φ − π/2, φ + π/2]에서 이분법으로 f = 0
풀아웃 토크(V, f1):               0 ≤ T_L ≤ T_max에서 이분법
                                  동기 유지(T_L) = 반스텝 지령 n개 인가 후 k ≥ n_ramp + 20 구간의 |θe − kπ/4| < π
선형화 강성(ia, ib, θ):           k = N_r [K_T (ia cos θe + ib sin θe) + 4 T_d cos 4θe],  f_n = sqrt(k/J)/2π
전압 한계(V):                     (K_T ω + R I)² + (N_r ω L I)² = V² 의 ω (이분법)
리니어 열 사이징(K_m, R_th):      P_c = (100 − 25)/R_th,  F_c = K_m sqrt(P_c)

5.4.5 풀이 예제 — NEMA 17급 하이브리드 스테퍼와 I-Force 리니어 모터

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 데이터시트 값에서 $K_T=0.1832$ N·m/A를 얻는다. ② 선형화 공진은 $208.1$ Hz이며 닫힌 식·SciPy 고유값·시뮬레이션이 $1\,\%$ 안에서 같다. ③ 디텐트 오차 $\pm3.62^\circ$ 전기가 닫힌 식과 같다. ④ 감쇠비가 조정기 이득 $20$ Ω 이상에서 닫힌 식과 같고 $100$ Ω에서는 동기 이탈 대역이 나타난다. ⑤ 풀아웃 곡선이 데이터시트의 감소 형태와 어긋난다. ⑥ 리니어 모터의 열 사이징 식이 카탈로그 값을 재현한다.

구현. torque·deriv·rk4·run·pull_out·equilibrium·stiffness·v_limit·lin_sizing. 아래 코드는 순수 파이썬이며 지령 전환 시각에서 적분 구간을 나눈다. 데이터시트 읽기·표 작성·그림은 스크립트에 있다.

from math import sin, cos, sqrt, pi, asin

G = 9.80665                       # kgf -> N
P = dict(R=3.3, L=2.8e-3, I=1.2,  # 데이터시트 (25 도C)
         Nr=50, J=68e-7, B=1e-5,  # J: 68 g cm^2, B: 가정
         Th=3.17e-2 * G, Td=0.2e-2 * G)  # 3.17, 0.2 kgf cm

def k_t(p):
    """T_h = sqrt(2) K_T I  (두 상 여자 정격)에서 K_T"""
    return p['Th'] / (sqrt(2.0) * p['I'])

def torque(p, th, ia, ib):
    """코에너지: T = K_T(-ia sin + ib cos) - T_d sin(4 .)"""
    te = p['Nr'] * th
    return (k_t(p) * (-ia * sin(te) + ib * cos(te))
            - p['Td'] * sin(4 * te))

def half_step(k, I):
    """반스텝 k의 상전류 지령(45도 간격)"""
    ph = k * pi / 4
    c, s = cos(ph), sin(ph)
    q = lambda v: I * (v > 0.3) - I * (v < -0.3)
    return q(c), q(s)

def deriv(p, V, Kp, TL, x, ref):
    """x=(ia, ib, w, th); 전류 조정기: 전압 포화 +-V"""
    ia, ib, w, th = x
    te, kt = p['Nr'] * th, k_t(p)
    ea, eb = -kt * w * sin(te), kt * w * cos(te)
    sat = lambda v: max(-V, min(V, v))
    va = sat(Kp * (ref[0] - ia) + p['R'] * ref[0])
    vb = sat(Kp * (ref[1] - ib) + p['R'] * ref[1])
    return ((va - p['R'] * ia - ea) / p['L'],
            (vb - p['R'] * ib - eb) / p['L'],
            (torque(p, th, ia, ib) - p['B'] * w - TL)
            / p['J'], w)

def rk4(f, x, h):
    k1 = f(x)
    k2 = f([a + h / 2 * b for a, b in zip(x, k1)])
    k3 = f([a + h / 2 * b for a, b in zip(x, k2)])
    k4 = f([a + h * b for a, b in zip(x, k3)])
    return [a + h / 6 * (b + 2 * c + 2 * d + e)
            for a, b, c, d, e in zip(x, k1, k2, k3, k4)]

def step_times(n, f0, f1, nramp):
    """n개 스텝 시각: 비율 f0에서 f1까지 선형 증가"""
    a = (f1 * f1 - f0 * f0) / (2.0 * nramp)   # steps/s^2
    tr = (f1 - f0) / a
    return [(sqrt(f0 * f0 + 2 * a * k) - f0) / a if k < nramp
            else tr + (k - nramp) / f1 for k in range(n)]

def run(p, V, TL, f1, n=240, nramp=120, f0=100.0, dt=2e-5,
        Kp=20.0, rec=None):
    """반스텝 지령 n개를 인가. 지령 전환 시각에서 적분 구간을
    나눈다. 동기 유지면 True와 최대 각 오차(전기각)"""
    ts = step_times(n, f0, f1, nramp)
    x, t, worst = [0.0, 0.0, 0.0, 0.0], 0.0, 0.0
    for k in range(n - 1):
        ref = half_step(k, p['I'])
        m = max(1, math.ceil((ts[k + 1] - ts[k]) / dt - 1e-9))
        h = (ts[k + 1] - ts[k]) / m
        for _ in range(m):
            x = rk4(lambda y: deriv(p, V, Kp, TL, y, ref),
                    x, h)
            t += h
            err = p['Nr'] * x[3] - k * pi / 4
            if k >= nramp + 20:
                worst = max(worst, abs(err))
            if rec is not None:
                rec.append((t, x[2], err, p['Nr'] * x[3], k))
    return worst < pi, worst

def pull_out(p, V, f1, hi=0.5, it=9, **kw):
    """동기를 유지하는 최대 부하 토크(이분법)"""
    lo = 0.0
    for _ in range(it):
        mid = (lo + hi) / 2
        if run(p, V, mid, f1, **kw)[0]:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    return lo

def stiffness(p, ia, ib, th):
    """선형화 강성 -dT/dtheta (전류원 가정)"""
    te = p['Nr'] * th
    return p['Nr'] * (k_t(p) * (ia * cos(te) + ib * sin(te))
                      + 4 * p['Td'] * cos(4 * te))

def equilibrium(p, phi, Ipk, TL=0.0):
    """마이크로스텝 지령각 phi에서 전기각 평형(이분법)"""
    kt = k_t(p)
    f = lambda te: (kt * Ipk * sin(phi - te)
                    - p['Td'] * sin(4 * te) - TL)
    lo, hi = phi - pi / 2, phi + pi / 2
    for _ in range(80):
        m = (lo + hi) / 2
        if f(lo) * f(m) <= 0:
            hi = m
        else:
            lo = m
    return (lo + hi) / 2

def v_limit(p, V):
    """정격 전류 유지의 전압 한계 각속도(역기전력이 전류와
    같은 위상): (K_T w + R I)^2 + (N_r w L I)^2 = V^2"""
    lo, hi = 0.0, 1e4
    for _ in range(100):
        w = (lo + hi) / 2
        v = sqrt((k_t(p) * w + p['R'] * p['I']) ** 2
                 + (p['Nr'] * w * p['L'] * p['I']) ** 2)
        lo, hi = (w, hi) if v < V else (lo, w)
    return lo

def lin_sizing(Km, Rth, dT):
    """연속 힘: F_c = K_m sqrt(P_c), P_c = dT / R_th"""
    Pc = dT / Rth
    return Km * sqrt(Pc), Pc

① 데이터시트 값의 환산. 5.4.3.2의 표가 데이터시트의 값과 SI 환산·유도값이다.

② 마이크로스텝 오차와 정적 변위.

디텐트 오차의 수치가 닫힌 식과 $0.002^\circ$ 안에서 같다. 한 상 지령의 정적 변위는 디텐트가 강성을 키우므로 닫힌 식의 $\arcsin$보다 작다($T_L=0.2$ N·m에서 $0.756^\circ$ 대 $0.801^\circ$).

③ 풀아웃 토크-속도.

24 V에서 풀아웃 토크가 $0.145\sim0.180$ N·m로 4000 pps까지 거의 일정하고 5000 pps에서 $0.135$ N·m로 줄며, 반스텝에서 한 상 여자 위치의 정지 토크($0.220$ N·m)보다도 낮다(이 저하의 원인은 분석하지 않았다). 데이터시트 곡선은 200 pps 대비 5000 pps에서 $0.31$배인데 이 모형은 $0.81$배로 고속 감소를 과소 예측한다. 불일치의 원인은 확인하지 못했으며 후보는 철손·와전류에 의한 유효 인덕턴스의 증가, 인덕턴스의 위치·전류 의존, 실제 구동기의 초퍼 한계이다 (추정). 데이터시트 곡선의 세로축은 "N cm"로 표기되나 저속 값 45가 정지 토크 3.17 kg·cm의 N·cm 환산($31.1$ N·cm)보다 크고 oz·in 환산($44$ oz·in)과 같으므로 축 단위가 oz·in일 가능성이 있다 (추정). 그래서 절대 크기는 비교하지 않고 200 pps 대비 형태만 비교하였다.

정격 전류를 유지하는 상한은 12·24·48 V에서 $2249$·$5361$·$11528$ pps이다. 풀아웃 토크는 그보다 높은 속도까지 유지되며(12 V는 3000 pps에서도 24 V와 같다) 5000 pps에서 12 V가 $0.104$ N·m, 24 V·48 V가 $0.135$ N·m이다. 정격 전류의 일부로도 $0.17$ N·m를 낼 수 있기 때문으로 해석되나 확인하지 않았다 (추정).

④ 공진과 감쇠.

조정기 이득 $20$ Ω 이상에서 $\zeta$의 닫힌 식이 시뮬레이션과 $1.5\,\%$ 안에서 같다. $5$ Ω에서는 전류 응답 극점 $(R+K_p)/L$이 $2.96\times10^3$ rad/s로 고유 진동수 $1.3\times10^3$ rad/s에 가까워 준정적 가정이 무너져 닫힌 식이 $17\,\%$ 크다. 무부하 개루프 스텝의 최대 각 오차를 스텝 비율별로 보면 고유 진동수 $208$ Hz 근방($175\sim250$ pps)에서 $K_p=20$ Ω의 오차가 $101^\circ$ 전기까지 커지고, $K_p=100$ Ω는 이 대역과 $400$ pps(고유 진동수의 약 2배)에서 동기를 잃는다. 기준 오차 $30\sim50^\circ$는 정상 스텝의 위상 지연이다.

⑤ 리니어 모터 데이터시트의 열 사이징.

열 사이징 식이 카탈로그의 연속 힘을 $24.45$ N 대 $24.5$ N, $45.33$ N 대 $45.4$ N($0.3\,\%$ 안)으로 재현하고 $F_c/\sqrt{P_c}$가 표의 $K_m$과 $0.5\,\%$ 안에서 같다. 반면 각주 6의 문자 그대로의 정의($K_f$를 100 °C의 선간 저항의 제곱근으로 나눔)는 $110$-1에서 $3.07$로 표의 $3.56$과 $14\,\%$ 달라(라이브러리 대조 표) 선간·상 저항과 피크·실효 전류의 환산이 카탈로그에 명시되지 않았음을 보인다. 이 장은 $F_c/\sqrt{P_c}$로 단위를 맞추었다. 두 모델의 비교에서 $K_f$ 비가 $2.015$이고 $K_m$ 비가 $1.410$으로 $\sqrt2$와 같아 활성 길이가 1주기에서 2주기로 늘어난 것으로 읽힌다 (추정). 철심형은 흡인력이 연속 힘의 $9.5\sim10.1$배($F_p$의 $2.6\sim2.9$배)이고 카탈로그가 말하는 "정격 힘의 5~13배" 범위 안이며, 코일 질량당 연속 힘은 무철심형이 약 $205$ N/kg, 철심형이 $82\sim103$ N/kg이다(코일 질량만 기준, 이동 플레이트 제외).

⑥ 라이브러리 대조(실행 2026-11-05). SciPy 1.18.1의 solve_ivp(DOP853)를 이 장의 RK4 궤적과, numpy 고유값 분해를 4상태 선형화와, SciPy brentq를 마이크로스텝 평형과, numpy.roots를 전압 한계와, scipy.constants를 데이터시트 단위 환산과 같은 입력에서 비교했다. 스크립트는 robotics/fig-src/5.4-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/5.4-libcheck-output.txt에 있다.

궤적 4건 중 3건이 $2.5\times10^{-4}$ rad(속도 $7.8\times10^{-3}$ rad/s) 안에서 같다. 24 V·0.15 N·m·1000 pps는 풀아웃 경계($0.164$ N·m) 가까이여서 $0.17$ rad 어긋나며 solve_ivp는 이 스텝 비율에서 경계를 $0.160$ N·m 아래로 판정한다. 따라서 1000 pps 풀아웃 값에는 약 $0.01$ N·m의 불확실성이 있다. 3000·5000 pps의 경계는 $\pm0.004$ N·m에서 일치하고 적분 간격을 절반으로 줄여도 세 경계가 바뀌지 않는다. 정지 토크 환산 $3.17$ kg·cm가 $44$ oz·in과 $0.0002$ N·m 안에서 같다.

한계. 한 모델(NEMA 17급 하이브리드 1종)의 데이터시트로 매개변수화했고 철손·포화·인덕턴스 변화·구동기의 초퍼 거동·기계 마찰을 포함하지 않아 풀아웃 곡선이 제품과 맞지 않는다. 디텐트를 4차 사인 하나로, 정지 토크의 정의를 두 상 여자로 가정했다. 점성 감쇠 $B$와 조정기 이득 $K_p$는 가정값이며 공진 대역의 폭과 동기 이탈 여부가 이에 민감하다. 리니어 모터는 카탈로그 표의 산술 대조이며 자기 회로 해석(유한 요소)을 하지 않았다.

견해: 개루프 스테퍼는 부하 토크가 정지 토크의 절반 이하로 고정되고 공진 대역을 가속 중에만 통과하는 저가 위치 결정에, 그 밖의 로봇 관절은 엔코더 귀환을 갖춘 PMSM(5.3)을 기본으로 둔다고 본다. 근거는 이 장에서 풀아웃 토크가 정지 토크의 $47\sim58\,\%$이고(0.145~0.180 대 0.311 N·m), 정지 토크 밀도가 $0.852$ N·m/kg에 그치며, 감쇠비가 조정기 이득에 따라 $0.019\sim0.196$으로 바뀌고 약감쇠 구성에서 공진 대역의 스텝 비율이 동기 이탈을 일으킨다는 점이다. 같은 모터의 구동기 효율·엔코더 추가 비용은 비교하지 않았고, 다른 모터에서 결과가 달라질 수 있다.

5.4.6 설계 트레이드오프 — 스테퍼, 서보, 리니어 모터, 직접 구동

구동 방식은 다음 중에서 고른다.

• ① 개루프 스테퍼. 구성이 단순하고 위치를 센서 없이 알 수 있다(AN907). 부하와 무관하게 전류를 유지하는 구동이 일반적이어서 발열이 부하에 따라 줄지 않고(일반 서술, 이 장은 계산하지 않았다) 공진과 스텝 손실이 있다.
• ② 폐루프 스테퍼. 같은 모터에 엔코더와 벡터 제어(5.7)를 결합한다. 이탈 감지와 전류 절감이 가능하지만 PMSM 서보에 가까워진다.
• ③ 서보 모터와 감속기. 높은 토크 밀도와 효율(5.3·5.1). 백래시·반사 관성·마찰(3.8·5.10)이 따른다.
• ④ 직접 구동(토크 모터·리니어 모터). 백래시·마찰이 없고 투명성이 높다(5.16). 같은 토크에 모터가 크고 무거우며 발열이 크다.

견해: 리니어 모터는 흡인력과 열 관리를 수용할 수 있는 고정 스테이지(갠트리·정밀 스테이지)에, 이동 로봇의 관절에는 롤러 스크류 리니어 액추에이터(5.17)나 회전 모터와 직선 동력전달(5.13)을 기본으로 둔다고 본다. 근거는 이 장의 카탈로그 대조에서 철심형 흡인력이 연속 힘의 약 $10$배이고 코일 질량당 연속 힘이 무철심형 $205$ N/kg 대 철심형 $82\sim103$ N/kg이어서 이동체 쪽에서는 베어링 하중과 질량이 불리하다는 점이다. 같은 힘의 스크류 구동과 정량 비교는 하지 않았다.

5.4.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 장별 요구는 다르다. 응용별 성능 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

5.4.8 관련 규격·프로토콜

표준의 본문은 읽지 못했고 번호를 제목으로만 가리킨다.

5.4.8.1 대표 제품과 현황

기준 시점 2026-11-05에 이 장이 읽은 제품 문서는 두 종이다. 하나는 NEMA 17급 2상 하이브리드 스테퍼 SY42STH47-1206A(제조사 문서, 질량 0.365 kg, 절연 등급 Class B, 권선 온도 상승 80 K 이하)이고, 다른 하나는 Parker I-Force 무철심형·RIPPED 철심형 카탈로그(2010판 사본이며 현재 제품군과 같은지는 (확인 필요))이다. 제품 비교는 46.3(서보)·46.7(리니어 액추에이터)·46.13(종합), 기업은 44.15·44.16를 가리킨다.

5.4.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

스테퍼·리니어 모터는 로봇 시스템의 부품이며 이 장이 직접 적용되는 법령·인증 조항을 확인하지 못했다 (확인 필요). 연결점은 세 가지이다. 첫째, 구동기와 모터의 전기안전·전자파는 27.27와 8.9, 안전 기능(정지 토크 차단 등)의 기능안전 수준은 26.6, 모터 권선 온도 관리는 8.7이 다룬다. 둘째, 철심형 리니어 모터의 흡인력(카탈로그 기준 연속 힘의 약 10배)과 영구자석 트랙은 끼임·강자성 물체 흡착 위험의 위험성 평가(26.4) 입력이며, 자기장에 민감한 의료기기(이식형 장치)와의 이격은 정자기장 노출 지침(ICNIRP 2009)이 근거이다. 이 장은 그 한계값을 읽지 않았다. 셋째, 영구자석의 공급과 수출통제는 5.5과 40.16가 다룬다.

5.4.10 한계·유의점·미해결

• 한 모터의 모형. 데이터시트 1종과 카탈로그 1종에 대한 계산이며 일반화하려면 제조사별 표의 정의(정지 토크의 여자 방식, 피크·연속의 기준)를 각각 확인해야 한다.
• 풀아웃 곡선의 불일치. 철손·포화·구동기 한계가 없는 모형이 고속 감소를 과소 예측한다. 원인을 확정하지 못했다.
• 가정값의 민감도. 점성 감쇠, 조정기 이득, 디텐트의 4차 사인 가정이 공진 결과에 영향을 준다.
• 리니어 모터의 자기 해석 없음. 힘 상수·흡인력의 설계 계산(유한 요소)은 하지 않았다.
• 스케일링의 미확인. $K_m\propto\ell^{5/2}$는 이 장의 유도이며 설계 프로그램이나 문헌으로 확인하지 않았다.
• 제외. 선형 스테퍼(Sawyer형)·평면 모터·자기 부상 이송, 유도 리니어 모터의 상세는 다루지 않았다.

5.4.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 코에너지 $W'$에서 토크 $T=\partial W'/\partial\theta$와 역기전력 $d\lambda/dt$를 유도하고 $e_ai_a+e_bi_b=\omega T$임을 보여라.
2. 정지 토크 $T_h=\sqrt2K_TI$에서 $K_T$를 구하고 마이크로스텝 진폭 $I_{pk}=\sqrt2I$가 같은 발열인 이유를 설명하라.
3. 디텐트가 있을 때 마이크로스텝 평형각 오차 $\simeq(T_d/(K_TI_{pk}))\sin4\varphi$를 유도하라.
4. 전류 조정기 이득 $K_p$가 전기 감쇠 $K_T^2/(R+K_p)$를 만드는 과정을 준정적 가정에서 유도하고 가정이 무너지는 조건을 적어라.
5. 전압 한계 각속도 식을 유도하고 12·24·48 V에서의 값을 구하라.
6. 리니어 모터의 연속 힘을 $K_m$·$R_{th}$·온도 상한으로 계산하고 카탈로그와 비교하라.
7. 기하 상사에서 $K_m\propto\ell^{5/2}$를 유도하라.

연구 질문:

• 하이브리드 스테퍼의 고속 풀아웃 감소를 철손·인덕턴스 변화 모형으로 설명할 수 있는가(이 장의 모형은 과소 예측)?
• 폐루프 스테퍼(벡터 제어)와 같은 크기의 PMSM 서보의 토크·효율·가격을 같은 조건에서 비교하면 어느 쪽이 유리한가?
• 철심형 리니어 모터의 흡인력을 이동체 로봇의 하중 설계에 반영하는 방법은 무엇인가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• R. Condit, D. W. Jones, Stepping Motors Fundamentals, Microchip Technology AN907 (DS00907A), 2004 — 전문 읽음(유형·토크 정의·마이크로스텝).
• SY42STH47-1206A High Torque Hybrid Stepping Motor Specifications, Changzhou Songyang Machinery & Electronics, 2010-06-29판 — Pololu 배포 1쪽을 읽음(그림으로).
• Parker Hannifin, I-Force Ironless and RIPPED Ironcore Series linear motors catalog, 2010 — 표와 설계 해설부를 읽음.
• H. Asada, T. Kanade, "Design of Direct-Drive Mechanical Arms," J. Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design 105(3), 312–316, 1983, doi:10.1115/1.3269106 — 초록만 읽음.
• M. Bodson, J. S. Chiasson, R. T. Novotnak, R. B. Rekowski, "High-performance nonlinear feedback control of a permanent magnet stepper motor," IEEE Trans. Control Systems Technology 1(1), 5–14, 1993, doi:10.1109/87.221347 — 서지만 확인(이 장의 모형은 코에너지에서 직접 유도했고 이 논문의 식과 대조하지 못했다).
• P. P. Acarnley, Stepping Motors: A Guide to Theory and Practice, IET, 2002, doi:10.1049/pbce063e — 서지만 확인.
• J. F. Gieras, Z. J. Piech, B. Z. Tomczuk, Linear Synchronous Motors, CRC Press, doi:10.1201/b11105 — 서지만 확인.
• H. Asada, K. Youcef-Toumi, Direct-Drive Robots: Theory and Practice, MIT Press, 1987, doi:10.7551/mitpress/2438.001.0001 — 서지만 확인.
• ICNIRP, "Guidelines on limits of exposure to static magnetic fields," Health Physics 96(4), 504–514, 2009, doi:10.1097/01.hp.0000343164.27920.4a — 서지만 확인.
• SciPy 1.18.1(integrate.solve_ivp, optimize.brentq, constants), numpy 2.5.4(linalg.eig·roots).

다음 장. 5.5은 모터의 설계를 다룬다. 권선 계수·코깅·토크 리플과 영구자석 재료(희토류와 대체 재료)가 이 장의 토크 상수와 디텐트·흡인력을 정하는 방식을 이어서 본다.