제4부 기계 설계·구조·재료

4.2 베어링·씰·윤활과 관절 요소: 크로스 롤러·4점 접촉·앵귤러 베어링·립 씰·그리스

4.2.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 로봇 관절의 회전을 지지하는 구름 베어링과 이를 보호하는 씰, 접촉면을 윤활하는 그리스를 정리한다. 베어링 형식과 지지하는 하중 방향, 요소 하중 분포, 등가 하중에서 정격 수명과 정적 안전율, 예압과 분리 하중, 탄성유체윤활(EHL) 막 두께와 막 두께비, 립 씰의 속도 조건과 그리스 선정을 계산으로 확인한다. 이 장의 하중 입력은 4.1의 사양 환산에서 오고, 감속기 내부 요소는 5.10·5.11, 관절 모듈 통합은 7.2, 다리 관절의 충격 하중은 7.16, 피로 설계는 4.5, 정밀도와 백래시는 4.6, 끼워맞춤 공차는 4.7, 방진·방수·식품·클린룸 요구는 4.12과 27.25, 액추에이터 열과 수명은 5.25, 신뢰성은 26.17에서 다룬다.

배우는 것:

• 형식과 하중 방향 — 교차 롤러 링·4점 접촉 볼·앵귤러 볼(DB·DF·DT)·원추 롤러가 지지하는 하중과 장착 방식.
• 하중 분포와 정격 수명 — 영 틈새 하중 분포 계수 $4.370$·$4.085$, $L_{10}=(C/P)^{p}$, 교차 롤러 링의 등가 하중식, 정적 안전율, 요동 수명식과 그 적용 한계.
• 예압과 강성 — DB 쌍의 요소 하중, 분리 하중 $2^{3/2}F_p$, 예압 쌍의 강성비.
• 윤활 상태 — Hamrock-Dowson 막 두께 식의 구현·검증과 속도에 따른 막 두께비 $\lambda$.
• 씰과 그리스 — 립 씰 형식·속도·축 조건, NLGI 등급, 온도에 따른 그리스 재윤활 간격.

선수 지식: 3.1(강체 동역학), 4.1(요구조건에서 사양으로의 환산: 하중·속도 입력).

특히 중요한 독자: 관절 모듈의 베어링을 선정하거나 공급사의 정격 수명 주장을 검토하는 기계 설계자, 저속·요동 운전에서 윤활과 마모를 검토하는 신뢰성 엔지니어, 방진·세척·청정 요구에 맞는 씰과 윤활제를 고르는 시스템 통합자.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: THK의 교차 롤러 링 카탈로그 선정 기준(공개 PDF, 문서 번호 515E와 515-1E의 B18-7~B18-13쪽: 정적 안전율, 등가 하중식, 정격 수명, 수정 수명, 요동 수명 시간, 정적 허용 모멘트, RB25025 계산 예제 2개). NASA TN D-8317(Hamrock·Dowson, 1976-10)의 전문 텍스트와 표 III~VI를 이미지로 읽었다. NSK의 예압 설명 페이지. DIN 3760을 설명하는 dicht.de 용어 페이지와 Tameson의 DIN 3760 회전 축 씰 데이터시트. 검색 요약으로만 확인한 것: ISO 281의 수명 지수 $p$(볼 3, 롤러 10/3), 4점 접촉 볼 베어링의 일반 설명(유통사·Schaeffler 목록), FUCHS의 재윤활 간격 설명, NLGI 등급표(ASTM D217 인용 요약). 서지만 확인(Crossref): Harris·Kotzalas(2006), Johnson(1985), Lundberg·Palmgren(1949), Hamrock·Brewe(1983), Pan·Hamrock(1989). 본문을 읽지 못한 것: ISO 281·ISO 76·ISO 6194 본문, SKF·NSK·Schaeffler의 일반 카탈로그 본문, Harris·Johnson 교재, 선접촉 막 두께식의 원문. 제품 제원은 THK 카탈로그 예제에 적힌 RB25025의 값이고, 수치 계산의 형상·하중·윤활유 물성·거칠기는 이 장이 정한 가정이다.

4.2.2 개념 — 관절 베어링은 하중·강성·윤활 세 조건으로 선정한다

결론부터 적으면 다음과 같다. 관절 베어링은 반경·축·모멘트 하중을 지지하면서 한 축의 회전만 허용해야 하며, 선정은 ① 등가 하중으로 정격 수명과 정적 안전율을 확인하고, ② 예압으로 강성과 틈새를 정하고, ③ 윤활 상태(막 두께비)와 씰로 마모와 오염을 관리하는 세 단계로 이루어진다. 정격 수명 식은 연속 회전과 충분한 윤활을 전제한다. 로봇 관절은 저속·요동 운전이 많아 이 전제가 성립하지 않을 수 있으며, THK 카탈로그도 요동각이 작거나 저속이면 윤활에 영향이 있어 제조사에 문의하라고 적는다. 정격 수명이 충분해도 막 두께비가 1보다 작으면 마모가 수명을 결정할 수 있다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 영 틈새 하중 분포 계수는 볼 $4.370$·롤러 $4.085$이고 요소 12개에서 $4.364$(부하선 위)~$4.153$(반 피치 어긋남)이다. ② THK 카탈로그 예제 2개를 재현해 $P_c$ $7{,}474.7$·$10{,}866$ N, $L_{10m}$ $9.12\times10^{8}$·$2.62\times10^{8}$ rev, $f_S$ $20.2$·$13.8$이 카탈로그와 $0.8\,\%$ 이내(유효숫자 반올림)에서 같다. ③ 허리 관절 가정 예의 $L_{10m}$은 $3.63\times10^{7}$ rev이고 하중이 2배가 되면 수명이 $0.0992$배가 된다. ④ DB 쌍은 외력 $2^{3/2}F_p=2.828F_p$에서 분리되고 예압 쌍의 강성은 같은 외력의 단일 베어링의 $3.17\sim1.0$배이다. ⑤ Hamrock-Dowson 식 구현이 원문 표 34사례의 식 열과 $4.2\times10^{-4}$ 이내이고 EHL 수치해와 $H_{min}$ $4.4\,\%$·$H_c$ $9.6\,\%$ 이내에서 같다. ⑥ 볼 접촉 예에서 막 두께비 $\lambda$는 $10$ min$^{-1}$에서 $0.18$, $100$ min$^{-1}$에서 $0.87$, $1000$ min$^{-1}$에서 $4.18$, $3000$ min$^{-1}$에서 $8.82$이다. ⑦ SciPy·NumPy와 $1.5\times10^{-10}$ 이하(분리 하중의 수치 탐색은 $2\times10^{-6}$)에서 같다(카탈로그 반올림 제외).

4.2.3 원리

4.2.3.1 형식과 지지 하중

관절 베어링은 지지하는 하중 방향과 예압 방법으로 나뉜다. THK 카탈로그는 교차 롤러 링을 내륜 회전형 RB, 외륜 회전형 RE, 장착 공간이 제한된 RAU·RA·RA-C, 장착 구멍이 있는 RU로 나누며, 등가 하중식이 반경 하중 $F_r$·축 하중 $F_a$·모멘트 $M$을 모두 포함한다. NSK는 예압이 주로 앵귤러 볼과 원추 롤러 베어링에 적용되고 이들은 대향 쌍으로 장착한다고 설명한다. 4점 접촉 볼은 유통사와 Schaeffler 목록이 단열 앵귤러 볼 구조에 내륜 분할형으로 양방향 큰 축하중과 작은 반경하중을 지지한다고 설명한다.

NSK는 DB(배면 조합)가 유효 하중 중심 사이의 거리가 길어 전체 강성이 높아 예압에 흔히 사용된다고 설명한다. 교차 롤러 링 RB25025의 제원은 카탈로그 예제에 $C=69.3$ kN, $C_0=150$ kN, 롤러 피치원 지름 $d_p=277.5$ mm로 적혀 있다 (공개 주장치). 동급 타사 제품과 제원 비교는 A.7과 제46부에서 다룬다. 이 장은 타사 카탈로그 본문을 읽지 못했다.

4.2.3.2 영 틈새 하중 분포와 접촉 응력

반경 하중 $F_r$을 받는 베어링에서 하중은 부하 영역의 요소에 분배된다. 결론은 다음과 같다. 영 틈새·강체 궤도에서 요소 하중은 접촉 변형의 거듭제곱에 비례하고, 가장 큰 요소가 받는 하중은 평균($F_r/Z$)의 약 4배이다. 요소 위치각 $\psi$에서 접근량이 $\delta_\psi=\delta_{max}\cos\psi$이고 요소 하중이 $Q=K\delta^{\,n}$(볼의 점접촉 $n=3/2$, 롤러의 선접촉은 관용 값 $n\approx10/9$)이면, 평형 $F_r=\sum Q_\psi\cos\psi$에서 다음이 나온다.

$$Q_{max}=c_n\,\frac{F_r}{Z},\qquad c_n=\frac{2\pi}{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{n+1}\psi\,d\psi}=\frac{2\sqrt{\pi}\,\Gamma\!\big(\tfrac{n+3}{2}\big)}{\Gamma\!\big(\tfrac{n+2}{2}\big)}.$$

$n=3/2$에서 $c=4.370$, $n=10/9$에서 $c=4.085$이다. 이 값이 교재(Harris·Kotzalas)에서도 약 $4.37$·$4.08$로 알려져 있으나 이 장은 본문을 읽지 못했다 (확인 필요). 요소 수가 유한하면 계수가 부하선과 요소의 위치에 따라 달라진다(표 ①). 반경 틈새가 있으면 부하 영역이 좁아져 계수가 커지고 예압이 있으면 넓어지며, 이 장은 틈새·예압이 있는 경우를 계산하지 않았다. 이 하중이 막 두께 계산의 $W$(4.2.3.5)와 접촉 응력 검토의 입력이 된다. 점접촉의 접촉 응력과 변형은 Hertz 이론이며 Johnson(1985)과 Hamrock·Brewe(1983)가 서지로 확인되나 이 장은 본문을 읽지 못해 접촉 응력은 계산하지 않았다.

4.2.3.3 등가 하중·정격 수명·정적 안전율

정격 수명은 같은 베어링 집단의 $90\,\%$가 피로 박리 없이 달성하는 총 회전수이다(THK 정의). 기본 식은 다음이다.

$$L_{10}=\Big(\frac{C}{P}\Big)^{p}\times10^{6}\ \text{[rev]},\qquad L_h=\frac{L_{10}}{60N},\qquad p=3\ (\text{볼}),\ \tfrac{10}{3}\ (\text{롤러}).$$

THK는 교차 롤러 링에 $p=10/3$을 사용한다. 볼·롤러의 지수는 ISO 281에서 유래한다고 공개 요약이 기술한다 (확인 필요: ISO 281 본문 미확인). 하중이 2배가 되면 수명이 $2^{-10/3}=0.0992$배, 즉 약 10분의 1이다. 진동·충격과 온도를 반영한 수정 수명은 $L_{10m}=(\alpha C/P_c)^{10/3}10^{6}$, $\alpha=f_T/f_W$이고 하중 계수 $f_W$는 충격 없는 원활 운전 $1\sim1.2$, 보통 $1.2\sim1.5$, 과도한 진동·충격 $1.5\sim3$이다(THK). 정상 사용 온도는 $80\,^\circ$C 이하로 안내된다.

교차 롤러 링의 동적·정적 등가 하중은 다음이다(THK).

$$P_c=X\Big(F_r+\frac{2M}{d_p}\Big)+YF_a,\qquad P_0=X_0\Big(F_r+\frac{2M}{d_p}\Big)+Y_0F_a,\qquad f_S=\frac{C_0}{P_0}.$$

$F_a/(F_r+2M/d_p)\le1.5$이면 $X=1$, $Y=0.45$이고 그보다 크면 $X=Y=0.67$이며 $F_r=M=0$이면 $X=Y=0.67$이다. 정적 계수는 $X_0=1$, $Y_0=0.44$이다. 모멘트가 $2M/d_p$의 등가 반경 하중으로 환산되므로 피치원 지름 $d_p$가 작으면 같은 모멘트가 큰 등가 하중이 되고 수명은 $d_p^{10/3}$에 비례한다. 기본 정적 정격 $C_0$는 롤러와 궤도의 최대 접촉 응력이 $4000$ MPa인 정하중으로 정의된다(THK). 정적 허용 모멘트는 $M_0=C_0d_p/2$, 정적 허용 축하중은 $F_{a0}=C_0/Y_0$이며 RB25025에서 $20.8$ kN·m와 $340.9$ kN이다. 정적 안전율 하한은 THK 카탈로그 판에 따라 다르게 적혀 있다(515E판 1~2·충격 시 2~3, 515-1E판 충격 없음 2·충격 있음 5). 두 판 모두 $7$ 이상을 권장한다.

요동 운전의 수명 시간은 THK가 $L_h=360L_{10}/(2\theta n_o\cdot60)$으로 제시한다. $\theta$는 요동각, $n_o$는 분당 왕복 횟수이다. 이 식은 이동한 총 회전수를 $L_{10}$에 대응시킨 것이며 $\theta$가 작을수록 $L_h$가 $1/\theta$로 늘어난다(표 ③). 그러나 같은 카탈로그가 요동각이 너무 작으면 접촉면에 유막이 형성되기 어려워 프레팅이 생길 수 있으므로 제조사에 문의하라고 적고, 정격 수명은 최적 장착과 충분한 윤활을 전제하며 왕복·저속 운전은 윤활 요구에 영향을 줄 수 있다고 적는다. 이 식의 요동각 하한은 이 장이 확인하지 못했다 (확인 필요).

4.2.3.4 예압·분리 하중·강성

예압은 내부 틈새를 음으로 만들어 요소와 궤도를 탄성 변형시킨 상태이며(NSK) 위치 예압(스페이서·심·체결)과 정압 예압(스프링·와셔)으로 나뉜다. NSK는 위치 예압이 강성을 높이는 데 유리하나 주변 부품의 온도 변화에 영향을 받고, 정압 예압은 온도에 일정하나 부품 수가 늘고 강성이 낮다고 기술한다. 예압이 과하면 발열·마찰 토크 증가·피로 수명 감소가 생기고 과소하면 외력에 틈새가 열려 강성이 떨어지거나 예압이 소실된다(NSK).

이 장이 점접촉의 관계 $\delta\propto Q^{2/3}$으로 유도한 결과는 다음이다. 동일한 앵귤러 볼 베어링 DB 쌍(접촉각 일정, 강체 축·하우징)에 예압 $F_p$가 있을 때 베어링 1의 변위가 $x\delta_0$만큼 늘면 하중은 $Q_1=F_p(1+x)^{3/2}$, $Q_2=F_p(1-x)^{3/2}$이고 외력은 $F_a=Q_1-Q_2$이다. 베어링 2가 $x=1$에서 하중을 잃으므로 분리 외력은 다음이다.

$$F_{a,sep}=2^{3/2}F_p\approx2.828\,F_p,\qquad k_{pair}=\tfrac32K^{2/3}\big(Q_1^{1/3}+Q_2^{1/3}\big).$$

선접촉($n=10/9$)에서는 $2^{n}=2.160$이다. 쌍의 강성은 분리 이전에 단일 베어링의 $\big(Q_1^{1/3}+Q_2^{1/3}\big)/F_a^{1/3}$배이며, $F_a=0.25\sim1.0F_p$에서 $3.17\sim1.97$배이다. NSK가 설명하는 "예압 베어링의 강성이 2~3배"와 같은 범위이다. 분리 이후에는 쌍이 단일 베어링으로 거동하고 강성이 분리 직전의 $0.707$배로 떨어진다. 설계 예압은 최대 외력에서 분리가 없도록 $F_p\ge F_{a,max}/2^{3/2}$로 시작한다.

4.2.3.5 유막 두께와 윤활 상태

점접촉 EHL의 최소·중앙 막 두께 식은 Hamrock·Dowson이 34개 수치 사례에서 최소제곱으로 얻었다. 결론은 막 두께가 속도에 거의 $0.68$제곱으로 비례하고 하중에는 거의 무관하다는 것이다(NASA TN D-8317에서 읽음).

$$H_{min}=3.63\,U^{0.68}G^{0.49}W^{-0.073}\big(1-e^{-0.68k}\big),\quad H_c=2.69\,U^{0.67}G^{0.53}W^{-0.067}\big(1-0.61e^{-0.73k}\big),\quad k=1.03\Big(\frac{R_y}{R_x}\Big)^{0.64}.$$

$H=h/R_x$, $U=\eta_0\tilde u/(E'R_x)$, $G=\alpha E'$, $W=F/(E'R_x^{2})$이고 $\tilde u$는 평균 표면 속도, $\eta_0$는 대기압 점도, $\alpha$는 점도-압력 계수, $E'=2/[(1-\nu_A^{2})/E_A+(1-\nu_B^{2})/E_B]$, $k$는 접촉 타원율이다. 원문은 이 식이 완전 유입(fully flooded) 조건이고 $k=1\sim8$, $U$는 약 두 자릿수, $W$는 약 한 자릿수의 범위를 다룬 것이며 식과 EHL 수치해의 차이가 $H_{min}$에서 $\pm5\,\%$, $H_c$에서 $\pm10\,\%$ 이내라고 적는다. 볼과 궤도의 곡률에서 $R_x$·$R_y$는 $1/R_x=2/D+2/(d_m-D)$(내륜 접촉), $1/R_y=2/D-1/(fD)$이다($D$ 볼 지름, $d_m$ 피치원 지름, $f$ 홈 곡률 계수). 외륜 고정·내륜 회전의 순수 구름에서 평균 표면 속도는 $\tilde u=\omega_id_m(1-\gamma^{2})/4$, $\gamma=D/d_m$이다(이 장이 미끄럼 없음 조건에서 유도하고 선형 풀이로 확인).

윤활 상태는 막 두께비 $\lambda=h_{min}/\sigma$로 분류한다. $\sigma$는 두 표면 거칠기의 제곱합 평방근이다. 관용적으로 $\lambda<1$은 경계 윤활 우세, $1\sim3$은 혼합, $3$ 이상은 완전 유막이라고 하며 이 기준은 교재 관용이다 (확인 필요: 원문 미확인). 이 식은 정상 상태 연속 회전의 식이므로 요동 운전의 방향 전환(속도 0)에서는 성립하지 않고, 그리스 윤활의 유입 부족(starvation)도 반영하지 않는다. 선접촉(교차 롤러)의 막 두께식은 Pan·Hamrock(1989)이 서지로 확인되나 계수를 읽지 못해 계산하지 않았다 (확인 필요).

4.2.3.6 립 씰

DIN 3760 회전 축 씰은 외피가 탄성체인 형식 A, 금속 외피 형식 B, 보강 캡이 있는 형식 C로 나뉘고(Tameson) 접미 S는 먼지 립이 추가된 것이며 AD·BD는 매체를 분리하는 이중 립, AO·BO는 가터 스프링이 없는 경미한 밀봉용이다. dicht.de는 DIN 3760이 설계·공칭 치수·공차를 주로 규정하며 ISO 6194-1과 기술적으로 정렬되고, 표준이 특정 기계에서 요구 수명을 달성하는지는 알려주지 않는다고 설명한다. 같은 페이지의 참고값은 압력 약 $0.5$ bar 이하, 원주 속도 약 $12$ m/s 이하이며 보증이 아니다. Tameson 데이터시트는 NBR이 $-30\sim+100\,^\circ$C·최대 $14$ m/s, FKM이 $-20\sim+200\,^\circ$C·최대 $37$ m/s이고, 축 표면 경도가 $45$ HRC 이상(오염 매체나 $4$ m/s를 넘으면 $55$ HRC 이상, 경화 깊이 $0.3$ mm 이상)이며 하우징 보어가 H8, 면취 $5\sim10^\circ$를 요구한다고 안내한다. dicht.de는 축 표면 $Ra$ 약 $0.2\sim0.8$ µm를 흔히 인용되는 값으로 든다(제조사 참고값).

관절에서는 립 접촉 속도가 낮다. 어깨 출력축 $1.176$ rad/s(4.1)에서 지름 $50\sim120$ mm 축의 립 속도는 $0.03\sim0.07$ m/s로 위 참고 상한 $12\sim14$ m/s의 $1\,\%$ 이하이고, 모터축 $3000$ min$^{-1}$에서 지름 $8\sim20$ mm 축은 $1.3\sim3.1$ m/s이다(표 ⑦). 속도 한계는 제약이 아니며 제약은 저속 경계 윤활에서의 립 마모, 축 표면 조건, 압력 차(열팽창에 따른 내부 공기의 출입)이다. 립 씰의 마찰 토크는 관절 토크 추정과 역구동성에 영향을 주나(6.3) 제조사 카탈로그의 마찰 토크 식을 읽지 못해 이 장은 계산하지 않았다 (확인 필요). 방진·방수 등급과의 연결은 4.12이다.

4.2.3.7 그리스

그리스는 기유·증주제·첨가제로 구성되며 주도(굳기)는 NLGI 등급(ASTM D217 작업 침입도, $25\,^\circ$C, 단위 $0.1$ mm)으로 나눈다(공개 요약).

NLGI 등급만으로 용도에 맞는 그리스가 정해지지 않는다. 재윤활 간격은 베어링 온도가 $70\,^\circ$C를 넘으면 $15\,^\circ$C 상승마다 절반이 된다고 FUCHS가 설명하며(2차 출처, 제조사 일반 규칙) 간격 계수는 $2^{-(T-70)/15}$로 $85\,^\circ$C에서 $0.5$, $100\,^\circ$C에서 $0.25$, $115\,^\circ$C에서 $0.125$이다. 감속기에 봉입하는 전용 그리스는 제조사가 지정하며(5.10) 이 장은 특정 그리스의 제원을 확인하지 않았다. 식품 접촉 가능 윤활제와 클린룸의 탈기 요구는 4.12·27.25에서 다룬다.

4.2.4 알고리즘

입력: 하중 이력 (Fr, Fa, M, 속도, 요동각, 온도), 후보 베어링 (C, C0, dp, 형식), 윤활 (기유 점도·α, 거칠기 σ)
1. 등가 하중:  Pc = X (Fr + 2M/dp) + Y Fa,   P0 = X0 (Fr + 2M/dp) + Y0 Fa
2. 정격 수명:  L10m = (fT/fW · C/Pc)^(10/3) · 1e6,   연속 회전은 Lh = L10m/(60 N)
3. 정적 안전율:  fS = C0/P0 ≥ 7 권장(THK),  하한 2~5
4. 요동·저속이면 3a. 요동 식 Lh = 360 L10/(2 θ n_o 60) 을 계산하되 θ가 작으면 제조사에 문의 (프레팅)
                  3b. 막 두께비 λ = h_min/σ 를 계산 (Hamrock-Dowson), λ < 1 이면 마모·프레팅 시험 계획
5. 예압: 최대 외력에서 분리가 없도록 Fp ≥ Fa,max / 2^(3/2),  과예압의 발열·마찰 확인
6. 씰·그리스: 립 속도 ≤ 참고 상한, 축 경도·거칠기, 온도에서 재윤활 간격 2^(-(T-70)/15)
출력: 베어링 형식·크기, 예압, 씰, 그리스, 시험 계획

4.2.5 풀이 예제 — 하중 분포·정격 수명·예압·막 두께

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 영 틈새 하중 분포 계수가 닫힌 식과 이산 요소 풀이에서 일치한다. ② THK 카탈로그의 두 예제를 재현했다. ③ 허리 관절 가정 예에서 정적 안전율 $9.6$, 수명 $3.63\times10^{7}$ rev이고 요동 식은 $\theta$를 줄이면 시간이 무한히 늘어나 적용 한계를 보인다. ④ DB 쌍의 분리 외력과 강성비가 닫힌 식·수치 해에서 같다. ⑤ Hamrock-Dowson 식 구현이 원문 표 34사례를 재현한다. ⑥ 볼 접촉의 막 두께비가 $\lambda<1$이 되는 속도 영역을 보였다.

구현. stribeck_inf·ball_coef(하중 분포), life_rev·cross_roller·life_h_osc(수명), pair_loads(예압 쌍), hd_hmin·hd_hc·ball_film(막 두께). 표·도해·원문 표 V·VI의 옮겨 적은 값·캐시는 스크립트에 있다.

from math import gamma, pi, cos, sqrt, exp

def stribeck_inf(n):
    """Z 무한·영 틈새: Qmax Z/Fr = 2 pi / int cos^(n+1)"""
    I = sqrt(pi) * gamma((n + 2) / 2) / gamma((n + 3) / 2)
    return 2 * pi / I

def ball_coef(Z, n, phase=0.0):
    """Z개 요소·영 틈새: (최대 요소 하중) Z / F_r"""
    s = m = 0.0
    for k in range(Z):
        c = cos(2 * pi * k / Z + phase)
        if c > 0:
            s += c ** (n + 1)
            m = max(m, c ** n)
    return Z * m / s

def life_rev(C, P, p, a=1.0):
    """정격 수명 [회전] = (a C/P)^p 10^6, a = fT/fW"""
    return (a * C / P) ** p * 1e6

def cross_roller(Fr, Fa, M, dp):
    """THK 교차 롤러 링: 동적 등가 반경 하중 Pc, 정적 P0"""
    Fe = Fr + 2 * M / dp
    small = 0 < Fe and Fa <= 1.5 * Fe
    X, Y = (1.0, 0.45) if small else (.67, .67)
    return X * Fe + Y * Fa, Fe + 0.44 * Fa

def life_h_osc(L10, theta, n_o):
    """요동: theta [deg] 한쪽 방향 요동각, n_o [회/min]"""
    return 360 * L10 / (2 * theta * n_o * 60)

def pair_loads(Fp, Fa, n=1.5):
    """DB 쌍: Q1 = Fp(1+x)^n, Q2 = Fp(1-x)^n, Q1 - Q2 = Fa"""
    if Fa >= Fp * 2 ** n:
        return Fa, 0.0
    lo, hi = 0.0, 1.0
    for _ in range(80):
        x = (lo + hi) / 2
        if Fp * ((1 + x) ** n - (1 - x) ** n) < Fa:
            lo = x
        else:
            hi = x
    return Fp * (1 + x) ** n, Fp * (1 - x) ** n

def hd_hmin(U, G, W, k):
    f = 1 - exp(-.68 * k)
    return 3.63 * U**.68 * G**.49 * W**-.073 * f

def hd_hc(U, G, W, k):
    f = 1 - .61 * exp(-.73 * k)
    return 2.69 * U**.67 * G**.53 * W**-.067 * f

def ball_film(Q, w_i, D, dm, f, eta0, alpha, Ep, inner=True):
    """볼-내륜 접촉(외륜 고정, 순수 구름) 최소 막 두께 [m]"""
    rx = 2 / D + (2 / (dm - D) if inner else -2 / (dm + D))
    ry = 2 / D - 1 / (f * D)
    Rx, Ry = 1 / rx, 1 / ry
    k = 1.03 * (Ry / Rx) ** 0.64
    u = w_i * dm * (1 - (D / dm) ** 2) / 4
    U = eta0 * u / (Ep * Rx)
    G, W = alpha * Ep, Q / (Ep * Rx * Rx)
    return hd_hmin(U, G, W, k) * Rx, u, k

표 ① 영 틈새 하중 분포 계수 $Q_{max}Z/F_r$.

요소가 적으면 계수가 부하선 위치에 따라 달라진다. $Z=8$에서 볼은 $4.346$과 $3.899$로 $11\,\%$ 다르고 $Z=40$에서는 $0.5\%$ 이내이다.

표 ② THK 카탈로그 예제 재현.

$P_0$의 $0.1$ N 차이는 카탈로그가 $7{,}415.8$로 내림한 것이며 $L_{10m}$·$f_S$는 카탈로그의 유효숫자 안에서 같다. 예제 2의 $L_h$는 카탈로그에 없고 이 장이 $N=140$ min$^{-1}$로 계산했다.

표 ③ 허리 관절 가정 예와 요동 수명식.

$\theta$를 $90^\circ\to1^\circ$로 줄이면 식의 $L_h$가 $90$배 늘어 $1.1\times10^{7}$ h에 이르지만 이것은 유막이 형성되지 않아 프레팅이 생기는 영역에서 식이 의미를 잃는다는 뜻이다. 이 장은 하한 각도를 확인하지 못했다.

표 ④ 예압 DB 쌍의 요소 하중과 강성비.

표 ⑤ Hamrock-Dowson 식 구현의 원문 표 대조.

식 열과의 차이 $4\times10^{-4}$ 이하는 원문 표가 소수 넷 안팎의 유효숫자로 적힌 반올림이며, 이 장의 구현이 식 (28)·(33)과 같다는 것을 뜻한다. 수치해와의 차이는 원문이 밝힌 $\pm5\,\%$·$\pm10\,\%$ 범위(전체 평균 $1.5\,\%$·$3.6\,\%$) 안이다. 표 V의 사례 33의 $G$가 표 IV·VI에서는 $3591$인데 표 V에는 $3491$로 인쇄되어 있어 $3591$을 사용했다(식 열과 $4\times10^{-4}$ 이내로 일치).

표 ⑥ 볼 접촉의 속도별 막 두께와 막 두께비.

접촉 형상은 $R_x=2.640$ mm, $R_y=78.0$ mm, $R_y/R_x=29.5$, $k=8.99$이며 $k$가 원문 범위(1~8)를 약간 넘지만 $(1-e^{-0.68k})=0.998$로 포화되어 영향이 없다. 요소 하중 $Q=4.37\times2000/24=364$ N이다. $\lambda<1$인 속도는 약 $100$ min$^{-1}$ 이하이다. 4.1의 어깨 관절 속도 $1.176$ rad/s는 $11.2$ min$^{-1}$이므로 이 형상의 출력 측 베어링은 $\lambda\approx0.2$로 경계 윤활이 우세하고, 모터 측 $3000$ min$^{-1}$은 $\lambda\approx9$로 완전 유막이다.

표 ⑦ 립 씰의 접촉 속도.

라이브러리 독립 대조

하중 분포 계수는 SciPy quad·special.beta와 $2.7\times10^{-15}$, 이산 요소 평형을 brentq로 푼 값과 $8.0\times10^{-15}$에서 같다. THK 예제는 NumPy 재계산과 완전히 같고 카탈로그와 $7.6\times10^{-3}$(유효숫자 반올림)이다. 예압 쌍의 요소 하중은 $8.5\times10^{-13}$, 강성은 중심 차분과 $1.5\times10^{-10}$에서 같고 분리 외력은 수치 탐색이 $2^{n}$과 $10^{-6}$ 안에서 같다. 평균 표면 속도는 미끄럼 없음 조건의 선형 풀이와 같다. 이상 징후는 없었다. 다만 Hamrock-Dowson 식의 구현 검증은 원문의 수치해를 기준으로 한 것이며 이 장이 독립 EHL 수치해(Reynolds·탄성 방정식)를 풀어 확인한 것이 아니다.

한계. 점접촉 볼의 완전 유입 정상 상태 막 두께만 계산했다. 선접촉(교차 롤러)의 막 두께, 그리스의 유입 부족과 증주제 효과, 요동의 방향 전환, 온도와 전단 가열, 표면 거칠기의 비등방성은 다루지 않았다. 접촉 응력과 하중 영역의 틈새 의존, 4점 접촉 볼의 접촉각 변화, 교차 롤러 링의 예압 수명은 계산하지 않았다. 윤활유 물성($\eta_0$·$\alpha$)과 거칠기 $\sigma$는 가정이며 막 두께가 이 값에 비례하므로 $\lambda$ 결론은 가정에 의존한다.

견해: 로봇 관절의 출력 측 베어링은 정격 수명($L_{10m}$)이 아니라 막 두께비 $\lambda$와 프레팅 조건으로 먼저 검토하는 것이 맞다고 본다. 근거는 이 장의 계산에서 같은 베어링이 모터 측 속도(3000 min$^{-1}$)에서 $\lambda\approx9$이고 관절 측 속도 $11$ min$^{-1}$에서 $\lambda\approx0.2$로 두 자릿수 이상 달라지며, 정격 수명 식이 요동각을 줄일수록 시간을 무한히 늘리는 모순을 보인다는 점이다. 실제 제품의 저속 마모·프레팅 시험 데이터와 비교하지 않았다.

4.2.6 설계 트레이드오프 — 관절 출력 지지 방식

관절 출력을 지지하는 방식은 다음 중에서 고른다.

• ① 교차 롤러 링 단일. 한 베어링이 반경·축·모멘트를 지지하고 장착 공간이 작다. 등가 하중식에 $2M/d_p$가 들어가 모멘트가 큰 관절에서 $d_p$가 크면 수명이 유리하다($d_p^{10/3}$). 예압 수명의 계산은 제조사 문의가 필요하다.
• ② 4점 접촉 볼. 단열 앵귤러 볼 구조로 축 방향 폭이 작다. 양방향 축하중을 지지하나 접촉 형상의 정량 근거는 확인하지 못했다.
• ③ 앵귤러 볼 DB 쌍. 예압과 간격으로 모멘트 강성을 조정한다. 분리 하중($2^{3/2}F_p$)과 과예압의 발열·마찰을 설계해야 하고 부품 수와 조립 공차(4.7)가 늘어난다.

견해: 모멘트 하중이 지배적이고 장착 공간이 작은 출력 관절에는 ①을 기본으로 하고 가공 정밀도와 강성 조정이 필요하면 ③을 택하는 것이 맞다고 본다. 근거는 THK 등가 하중식이 모멘트를 $2M/d_p$로 환산해 $d_p$를 키우는 것이 수명에 직접 유리하고($d_p$가 절반이면 같은 모멘트에서 등가 하중이 약 2배, 수명이 $0.099$배), ③에서는 이 장의 계산이 보인 분리 하중과 강성비로 예압을 정량 설계할 수 있다는 점이다. ②의 모멘트 능력과 세 방식의 마찰·원가·정밀도 비교는 확인하지 않았다.

4.2.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 제품별 요구는 다르다. 응용별 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

4.2.8 관련 규격·프로토콜

표준 본문을 읽지 못했으므로 정의·계수는 제조사 카탈로그와 공개 요약의 범위에서만 적었다.

4.2.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

베어링·씰·그리스 자체를 규정하는 로봇 안전 법령은 확인하지 못했다. 간접 연결은 다음이다. 방진·방수 등급은 씰 선정에 의존하고(4.12), 식품 접촉 환경의 윤활제와 클린룸의 탈기 요구는 27.25, 방폭 환경의 표면 온도 한계는 27.25가 다룬다. 베어링의 마모와 윤활 고장은 관절 고장 모드의 하나로 신뢰성 평가(26.17)와 예측 정비(26.18)의 입력이 된다. 안전 기능의 성능 수준 평가에 구성 부품의 고장률이 들어가나(26.6), 베어링의 고장률 값은 이 장이 확인하지 않았다 (확인 필요).

4.2.10 한계·유의점·미해결

• 정격 수명 식의 전제. 연속 회전·충분한 윤활·최적 장착을 전제하며 요동·저속에서는 막 두께비·프레팅이 수명을 결정할 수 있다. 요동 식의 각도 하한을 확인하지 못했다.
• 윤활 모델의 범위. 점접촉 완전 유입 정상 상태이며 선접촉·그리스 유입 부족·방향 전환은 포함하지 않았다. $\eta_0$·$\alpha$·$\sigma$는 가정이다.
• 자료의 지위. 교차 롤러 링 수식은 THK 카탈로그 한 제조사의 정의이며 SKF·Schaeffler·NSK의 본문은 읽지 못했다. 정적 안전율 하한이 카탈로그 판에 따라 다르다. 4점 접촉 볼의 접촉 형상은 유통사 설명만 확인했다.
• 미해결. 틈새·예압이 있는 하중 분포, 교차 롤러 링의 예압 수명, 립 씰 마찰 토크, 감속기용 그리스의 저속 마모는 이 장이 다루지 않았다.

4.2.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 영 틈새 하중 분포에서 $Q_{max}=c_nF_r/Z$를 유도하고 $n=3/2$에서 $c=4.37$을 계산하라.
2. 교차 롤러 링의 $P_c$에서 모멘트 항 $2M/d_p$의 의미를 설명하고, $d_p$가 절반이 될 때 수명비를 구하라.
3. 요동각이 작아질수록 요동 수명식의 값이 늘어나는데 왜 설계 근거가 될 수 없는지 설명하라.
4. 점접촉 $Q\propto\delta^{3/2}$에서 DB 쌍의 분리 외력 $2^{3/2}F_p$를 유도하고 선접촉 $n=10/9$에서의 값을 구하라.
5. 막 두께 $h_{min}\propto\tilde u^{0.68}$에서 속도가 10배 줄 때의 막 두께비와 이 결과가 관절 출력 측 베어링 선정에 주는 의미를 설명하라.
6. 어깨 관절 $1.176$ rad/s에서 립 속도를 구하고 속도 한계 외에 어떤 요인이 씰 수명을 결정하는지 적어라.

연구 질문:

• 요동·저속에서 정격 수명 대신 사용할 수 있는 수명 모델(막 두께비·누적 미끄럼 거리 기반)은 로봇 관절의 시험 데이터와 일치하는가(이 장은 시험하지 않았다)?
• 선접촉 교차 롤러 링의 막 두께식과 예압 하중 분포를 수치로 풀면 이 장의 점접촉 결론이 그대로 성립하는가?
• 립 씰의 마찰 토크가 관절 토크 추정과 역구동성에 미치는 영향을 정량화한 공개 데이터는 있는가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• THK, Cross-Roller Ring 카탈로그 "Selection Criteria"(515E·515-1E, B18-7~B18-13) — 정적 안전율, 등가 하중식, 정격 수명, 수정 수명, 요동 수명 시간, 정적 허용 모멘트, RB25025 예제 2개를 읽었다.
• B. J. Hamrock, D. Dowson, "Isothermal elastohydrodynamic lubrication of point contacts: Part III — fully flooded results," J. Lubrication Technology 99(2), 264–275, 1977, doi:10.1115/1.3453074; NASA TN D-8317(1976-10)을 읽었다.
• NSK, "Preload" 페이지(abc-bearings) — 예압 정의·위치·정압 예압·DB·분리를 읽었다.
• dicht.de, "DIN 3760" 용어 페이지; Tameson, "S-97NS series, Rotary shaft seals DIN 3760" 데이터시트 — 형식·한계·축 조건을 읽었다(제조사·유통사 자료).
• FUCHS, "About over-lubrication and re-lubrication"; NLGI 등급표(ASTM D217 인용 요약) — 검색 결과 요약으로만 확인했다.
• 서지만 확인: Harris·Kotzalas, Essential Concepts of Bearing Technology, CRC Press, 2006, doi:10.1201/9781420006599; K. L. Johnson, Contact Mechanics, Cambridge University Press, 1985, doi:10.1017/cbo9781139171731; G. Lundberg, A. Palmgren, "Dynamic capacity of rolling bearings," J. Applied Mechanics 16, 165–172, 1949, doi:10.1115/1.4009930; Hamrock·Brewe, "Simplified solution for stresses and deformations," J. Lubrication Technology 105, 171–177, 1983, doi:10.1115/1.3254558; P. Pan, B. J. Hamrock, "Simple formulas for performance parameters used in elastohydrodynamically lubricated line contacts," J. Tribology 111, 246–251, 1989, doi:10.1115/1.3261900.
• NumPy 2.5.4, SciPy 1.18.1(integrate.quad·special.beta·optimize.brentq).

다음 장. 4.3은 축·키·커플링·볼트 체결·스프링·기어 기본을 다룬다. 이 장의 베어링 좌석 체결과 예압을 만드는 볼트 체결, 관절 안의 기어 치형과 백래시를 닫힌 식과 독립 대조로 계산한다.