제5부 구동·액추에이터·동력전달

5.13 직선 동력전달: 볼스크류·유성 롤러 스크류(표준·역 유성)·리니어 가이드

5.13.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 회전 구동을 직선 운동으로 바꾸는 나사 기구(볼스크류, 유성 롤러 스크류)와 직선 운동을 지지하는 리니어 가이드를 정리한다. 나사의 가상일 관계와 정효율·역효율·자립 조건, 볼스크류의 정격 수명·등가 하중·예압과 분리 하중, 유성 롤러 스크류의 유형 구분과 평면 유성 운동학, 축 강성의 직렬 합성, 임계속도·좌굴·DN 한계, 리니어 가이드의 정격 수명과 블록 하중을 카탈로그 식과 함께 계산으로 확인한다. 회전 감속기는 5.10~5.12, 벨트·케이블 전달은 5.14, 리니어 모터는 5.4, 롤러 스크류 리니어 액추에이터의 관절 통합은 5.17, 베어링·씰·윤활은 4.2, 정밀도와 백래시는 4.6, 구조 진동은 4.8, 열·수명은 5.25, 브레이크는 5.23와 이어진다.

배우는 것:

• 나사의 효율과 역구동 — $F=2\pi\eta T/P_h$, 정효율 $\eta$와 역효율 $\eta'$, 자립 조건 $\alpha\le\arctan\mu$, 카탈로그식 $\eta=1/(1+\pi d\mu/P_h)$.
• 볼스크류 — 정격 수명 $L_{10}=(C_a/F_m)^3\times10^6$ 회전, 등가 하중, 신뢰도 보정, 예압 $F_{pr}$과 분리 하중 $2^{3/2}F_{pr}$, 너트 강성 $\propto F_{pr}^{1/3}$.
• 유성 롤러 스크류 — 표준·역·재순환 유형, 피치 반지름비 $(t-2):1:t$, 공전·자전 속도비, 카탈로그의 정격·효율·속도 한계.
• 회전 한계와 강성 — 임계속도·좌굴의 오일러-베르누이 유도와 카탈로그 상수 $f_1$·$f_3$, 직렬 강성 $R_t$.
• 리니어 가이드 — $L=50(C/P)^3$ km, 50 km 기준과 100 km 기준의 환산, 하중 계수, 블록 하중, 마찰 계수·예압.

선수 지식: 3.1(강체 동역학: 일과 에너지), 4.2(정격 수명·예압·분리 하중 $2^{3/2}F_p$), 4.3(축·체결 요소), 5.2(사이징: 부하 토크·듀티 사이클).

특히 중요한 독자: 직동 관절·승강축·그리퍼 구동을 설계하는 기구 설계자, 공급사 카탈로그의 정격·강성·효율 주장을 검토하는 시스템 엔지니어, 정격 수명을 실제 수명으로 환산하는 신뢰성 엔지니어.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: Ewellix Roller screws 카탈로그(138쪽: 선정 지침 21~26쪽, 계산식 44~45쪽, 작업 예 46~50쪽, SR 정격 표 12쪽, PRK·PRU 표 68·70·72쪽, 24쪽 그림 3개는 픽셀로 읽음), SKF BSS Ground ball screws(선정 지침 4~8쪽, 예압 14쪽, PGFE 표 21쪽, 계산식 32~34쪽), Steinmeyer 볼스크류 기술 정보(예압·강성·수명·좌굴·임계속도·DN 절), IKO(Nippon Thompson) 리니어 웨이 총설(정격·수명·예압·마찰 계수). 2차 출처로 읽은 것: Wikipedia "Roller screw"(WebFetch 요약 — 유형 구분과 피치 반지름 관계식은 이 문서에서 가져왔고 Ewellix의 "롤러와 너트(역형은 나사)의 리드각이 같다"는 서술과 일치하는 범위만 사용). 검색 요약으로만 확인한 것: ISO 3408-3·-4·-5의 제목, ISO 14728-1이 50 km 또는 100 km를 허용한다는 서술(IKO 본문은 50 km 기준을 직접 적는다), PRS 논문(Jones·Velinsky, Abevi 등)의 존재와 초록. 읽지 못한 것: ISO 3408·ISO 14728·DIN 69051 본문, PRS 논문 본문(캡차로 받지 못했다), THK·NSK·HIWIN·Bosch Rexroth 카탈로그. 카탈로그는 제3자가 올린 사본이며 판이 오래되었을 수 있다(PDF 작성 연도: Ewellix 2020-01·수정 2021-12, SKF 2007, Steinmeyer 2016, IKO 2017). 제품 수치는 그 사본의 표 값이며 현재 판과 다를 수 있다 (확인 필요). 계산 입력 중 제품 제원은 표의 행에서 읽은 값이고 하중·속도·길이·베어링 강성·예압 배율은 이 장의 가정이다.

5.13.2 개념 — 나사는 감속비와 하중 지지를 한 번에 제공하는 직선 구동 요소이다

결론부터 적으면 다음과 같다. 나사 기구는 리드 $P_h$ 하나로 회전 토크를 축 방향 추력으로 바꾸고($F=2\pi\eta T/P_h$), 구름 접촉 요소의 수와 형상이 정격 하중·강성·속도 한계를 정한다. 볼스크류는 효율이 높고(카탈로그식 $\eta\approx0.97$) 역구동이 쉬우며, 유성 롤러 스크류는 접촉 수가 많아 같은 호칭 지름에서 정격 하중이 크지만 효율은 $0.81\sim0.89$ 범위이다. 리니어 가이드는 추력이 아니라 반경 하중과 모멘트를 지지하며 나사가 받아서는 안 되는 횡하중을 분리한다. 볼 요소의 정격 수명 식은 나사와 가이드 모두 $(C/P)^3$ 꼴(롤러 가이드는 $10/3$제곱)이어서 하중이 $2$배가 되면 수명이 $1/8$이 된다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 나사의 정효율·역효율은 정역학 연립방정식과 닫힌 식이 $3.3\times10^{-16}$ 안에서 같고, 자립 한계 리드각은 $\mu=0.15$에서 $8.53^\circ$, 볼스크류의 등가 $\mu=0.0031$에서 $0.18^\circ$이다. ② 카탈로그의 임계속도 상수 $f_1=0.9\cdot2.5\cdot3.8\cdot5.6$은 오일러-베르누이에서 유도한 $0.886\cdot2.487\cdot3.885\cdot5.638$과 $2.2\,\%$ 안에서 같고, 좌굴 상수 $f_3=0.25\cdot2\cdot4$는 $0.249\cdot2.041\cdot3.990$과 같다. ③ 신뢰도 보정 계수 $0.62\cdots0.21$은 형상 $1.5$의 웨이불 분포에서 $\le0.003$ 안에서 재현된다. ④ 등가 하중 $4510$ N의 듀티에서 볼스크류 $L_{10}=819\times10^{6}$ 회전, 롤러 스크류 $2194\times10^{6}$ 회전이고, 볼스크류에 $C_a$의 $10\,\%$ 예압을 주면 $280\times10^{6}$ 회전이 된다. ⑤ 두 너트 예압의 분리 하중은 $F/F_{pr}=2.8284$이고 예압을 $2$배로 올리면 합성 강성은 $3.6\,\%$ 늘고 수명은 $1/4.3$이 된다. ⑥ 표준 유성 롤러 스크류($t=5$)의 공전은 $0.375\,\omega_s$, 자전은 $-1.5\,\omega_s$이다. ⑦ Ewellix 표 18행의 $\eta\cdot\eta'$가 그림에서 읽은 $\mu_{ref}$로 $0.005$ 안에서 재현된다. ⑧ 카탈로그 일부에서 표기 불일치 둘(SKF 임계속도식의 $d_2^2$, Ewellix 그림 1의 범례)을 발견했다.

5.13.3 원리

5.13.3.1 회전-직선 변환·효율·역구동

가상일은 정상 운전(가속 없음)에서 입력 일 $2\pi T$와 출력 일 $F\,P_h$를 효율 $\eta$로 이으므로 토크와 추력의 관계는 다음이다.

$$F=\frac{2\pi\,\eta\,T}{P_h},\qquad T=\frac{F\,P_h}{2\pi\,\eta}\ \ \bigl(\text{카탈로그 단위: }T=\tfrac{F\,[\mathrm N]\,P_h\,[\mathrm{mm}]}{2000\pi\eta}\ \mathrm{N\cdot m}\bigr).$$

리드각을 $\alpha=\arctan\bigl(P_h/(\pi d)\bigr)$($d$는 카탈로그의 호칭 지름 $d_0$)로 두고 접촉 마찰 계수를 $\mu$, 마찰각을 $\varphi=\arctan\mu$로 두면, 경사면 위 블록의 평형에서 정효율과 역효율이 나온다.

$$\eta=\frac{\tan\alpha}{\tan(\alpha+\varphi)},\qquad \eta'=\frac{\tan(\alpha-\varphi)}{\tan\alpha}.$$

$\eta'\le0$이면 하중이 나사를 돌리지 못한다(자립, 역구동 불가). 조건은 $\alpha\le\varphi$이며 $\eta\le1/2$과 같다. Ewellix와 SKF는 $\mu\tan\alpha\ll1$에서 성립하는 근사형을 사용한다.

$$\eta\simeq\frac{1}{1+\pi d\mu/P_h},\qquad \eta'=2-\frac{1}{\eta}.$$

SKF의 식 $\eta=1/(1+K\,d_0/P_h)$, $K=0.00974$는 같은 꼴이므로 등가 마찰 계수 $\mu_{eq}=K/\pi=0.0031$에 해당한다(이 장의 추론). SKF는 실효 효율 $\eta_p=0.9\,\eta$, Ewellix는 실효 마찰 계수 $\mu_{prac}=1.3\,\mu_{ref}$를 사용하고 기동 시 마찰 계수는 동마찰의 최대 $2$배로 본다. 두 카탈로그는 볼·롤러 스크류가 거의 모든 조건에서 역구동 가능하다고 적고 역구동을 막으려면 감속기나 브레이크(5.23)를 둘 것을 요구한다.

계산 결과(정역학 풀이와 닫힌 식의 일치, 리드각별 효율)는 5.13.5의 ①에 있다.

5.13.3.2 볼스크류 — 구조·정격 수명·예압

볼스크류는 나사축과 너트의 나선 홈 사이를 볼이 구르며 하중을 전달한다. SKF 카탈로그는 홈 단면이 두 고딕 아크이며 접촉각이 최적화되어 있다고 적고, Steinmeyer는 너트를 2점 접촉(이중 너트·리드 오프셋·피치 오프셋)과 4점 접촉(오버사이즈 볼로 예압한 단일 너트)으로 나누어 4점 접촉이 정효율이 낮고 제조 오차에 민감하다고 서술한다. 기본 동정격 하중 $C_a$는 일정 방향·크기의 축 중심 하중에서 정격 수명이 $10^6$ 회전이 되는 하중이며(Ewellix는 ISO 3408-5를, SKF와 Steinmeyer는 ISO 또는 DIN을 인용해 같은 정의를 적는다) 신뢰도는 $90\,\%$이다. 변동 하중은 회전수 가중 3제곱 평균으로 등가 하중을 만든다.

$$L_{10}=\Bigl(\frac{C_a}{F_m}\Bigr)^{3}\times10^{6}\ \text{회전},\qquad F_m=\Bigl(\frac{\sum_i q_i n_iF_i^{3}}{\sum_i q_i n_i}\Bigr)^{1/3},\qquad n_m=\frac{\sum_i q_in_i}{\sum_i q_i}.$$

Steinmeyer는 이 식이 $3\times10^{7}\le L_{10}\le10^{9}$ 회전에서 신뢰할 수 있다고 적는다. 신뢰도 $R$를 높이면 수명에 보정 계수를 곱한다(카탈로그 표: $95\,\%$에서 $0.62$, $99\,\%$에서 $0.21$). 이 표는 형상 모수 $1.5$인 웨이불 분포의 $(\ln(1/R)/\ln(1/0.9))^{1/1.5}$와 같다(이 장의 확인, 카탈로그는 분포를 적지 않는다). 정적 정격 $C_{0a}$는 영구 변형이 볼 지름의 $10^{-4}$가 되는 하중이며(SKF) 정적 안전율은 SKF가 정상 운전 $1\sim1.5$, 큰 충격 $2\sim3$으로 제시한다.

예압은 두 너트 반쪽을 서로 밀어 틈새를 없애고 강성을 높인다. 접촉력이 헤르츠 접촉의 $F=k\delta^{3/2}$를 따르므로 예압 변위 $\delta_0$에서 외력 $F$에 의한 변위 $x$는 $F_A=F_{pr}(1+x)^{3/2}$, $F_B=F_{pr}(1-x)^{3/2}$, $F=F_A-F_B$를 만든다($x$는 $\delta_0$로 정규화). 반대 쪽 너트가 하중을 잃는 $x=1$에서 $F=2^{3/2}F_{pr}\simeq2.83\,F_{pr}$이며 SKF·Steinmeyer가 같은 값을 적는다(4.2.3.4의 베어링 쌍과 같은 결과). 접촉 강성은 $dF/d\delta=\tfrac32k^{2/3}F^{1/3}$이므로 너트 강성은 $R_n\propto F_{pr}^{1/3}$이다(Steinmeyer: $R_2=R_1(F_{pr2}/F_{pr1})^{1/3}$). Steinmeyer는 2점 접촉 너트의 예압을 $C_a$의 약 $10\,\%$, 4점 접촉을 약 $8\,\%$로 제시하고 SKF는 $12\,\%$를 최대로 제시한다. 수명 계산에서 하중 쪽 너트의 하중은 근사 $F_i^*=F_{pr}+F_i/2$(Steinmeyer)로 구하며 이 근사는 분리 하중 이하에서만 유효하다.

5.13.3.3 유성 롤러 스크류 — 유형과 운동학

롤러 스크류는 볼 대신 나사산이 있는 롤러가 나사축과 너트 사이에서 하중을 전달한다. Ewellix는 롤러의 곡면(배럴형) 접촉으로 접촉 수와 접촉 면적이 볼스크류보다 크고, 롤러끼리 접촉하지 않으며, 볼이 순환하며 겪는 교번 응력과 충격이 없다고 서술한다 (공개 주장치). 유형은 롤러와 어느 부품이 동기되는지로 나뉜다.

표준형의 기하는 다음 관계에서 나온다. 나사·너트가 $t$줄 피치 $p$(리드 $L=t\,p$)이고 롤러가 한 줄 피치 $p$이면, 롤러-너트 리드각 일치 조건 $\tan\lambda_n=tp/(2\pi r_n)=p/(2\pi r_r)=\tan\lambda_r$에서 $r_n=t\,r_r$이고 접촉 기하 $r_n=r_s+2r_r$에서 $r_s=(t-2)r_r$이다(Wikipedia의 $r_d=s_d/(t-2)$와 같다). 이때 나사 접점의 리드각은 $\tan\lambda_s/\tan\lambda_r=t/(t-2)>1$이어서 롤러와 나사 사이에는 나선 불일치가 남는다(이 장의 유도이며 근거 관계식은 2차 출처이다). 순수 구름의 원주 방향 조건을 두 접점에 적용하면 나사 각속도 $\omega_s$, 너트 고정에서 공전 $\omega_c$와 롤러 자전 $\omega_r$이 정해진다.

$$\begin{pmatrix}r_s+r_r&-r_r\\ r_s+r_r&r_r\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_c\\ \omega_r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_s\omega_s\\0\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ \frac{\omega_c}{\omega_s}=\frac{t-2}{2(t-1)},\quad\frac{\omega_r}{\omega_s}=-\frac{t-2}{2}.$$

공전 비는 유성기어열의 Willis 식 $r_s/(r_s+r_n)$과 같다. 롤러 수의 기하 상한은 인접 롤러가 겹치지 않는 조건 $N\le\pi/\arcsin\bigl(1/(t-1)\bigr)$이다. 표준형에서 너트가 나사 1회전당 이동하는 거리는 나사의 리드 $L=t\,p$이다(검색 요약의 2차 출처 (확인 필요)). Ewellix의 공개 주장치는 호칭 지름 $8\sim240$ mm, 리드 $2\sim50$ mm, $C_a\le3994$ kN, 속도 한계 $n\,d_0\le160\,000$, 가속도 $12\,000$ rad/s²(재순환형은 $n\,d_1\le30\,000$·$20\,000$, $4\,000$ rad/s²)이며 볼스크류 대비 수명 최대 $10$배, 회전수 $50\,\%$, 가속도 $3$배 우위를 주장한다 (공개 주장치). SKF 표 1의 최대 $C_a$는 소형 볼스크류 $5.2$ kN, 연삭 볼스크류 $270$ kN, 대형 볼 $850$ kN, 롤러 스크류 $2235$ kN이다 (공개 주장치).

5.13.3.4 축 강성의 직렬 합성

축 방향 강성은 나사축·너트·지지 베어링(·하우징)의 직렬 합이므로 합성 강성은 가장 작은 요소보다 작다.

$$\frac1{R_t}=\frac1{R_s}+\frac1{R_n}+\frac1{R_b},\qquad R_s=\frac{AE}{l}=\frac{165\,d_2^{2}}{l}\ \ [\mathrm{N/\mu m};\ d_2,l\ \text{mm}],\ \ A=\frac{\pi d_2^2}{4},\ E=210\ \mathrm{GPa}.$$

$l$은 하중 쪽 너트에서 고정 베어링까지의 길이이고, 양단 지지에서 하중 위치 $l$이면 $R_s=165\,d_2^2L/\bigl(l(L-l)\bigr)$이다. Steinmeyer는 양단에 스러스트 베어링을 두면 축 강성이 $4$배가 된다고 적는다(지지 쪽 2배, 약한 지점이 중앙으로 이동하여 2배). 너트 강성 $R_n$의 정의는 제조사마다 다르다. SKF는 기본 예압과 예압의 $2$배 외력에서 정한 실효값, Ewellix는 최솟값 $R_{ng}$(측정, 보정 불필요)와 치수 중심의 기준값 $R_{nr}$, Steinmeyer는 이론값 $R_{b/t}$에서 너트 변형과 하중 불균일을 보정한 $R_{nu,ar}$를 제시한다. 서로 다른 제조사 값을 직접 비교하지 않는다.

5.13.3.5 임계속도·좌굴·속도 한계

나사축을 루트 지름 $d_2$의 균일 보로 보고 오일러-베르누이 보의 1차 고유진동수와 좌굴 하중을 구하면 카탈로그 식과 상수의 관계가 드러난다. 끝단 조건에 따른 특성 방정식의 첫 근 $\beta L$은 지지-지지 $\pi$, 고정-자유 $1.8751$, 고정-지지 $3.9266$($\tan x=\tanh x$), 고정-고정 $4.7300$($\cos x\cosh x=1$)이다.

$$n_{cr}=\frac{60}{2\pi}\frac{(\beta L)^2}{l^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}=\frac{60}{2\pi}\frac{(\beta L)^2d_2}{4\,l^2}\sqrt{\frac{E}{\rho}},\qquad P_{cr}=\frac{\pi^2EI}{(Kl)^2}.$$

Ewellix와 SKF의 식은 $n_{cr}=49\times10^{6}f_1d_2/l^2$([r/min], mm)과 안전율 3을 포함한 $F_c=34\times10^{3}f_3d_2^4/l^2$이며 $f_1=0.9\cdot2.5\cdot3.8\cdot5.6$(고정-자유·지지-지지·고정-지지·고정-고정), $f_3=0.25\cdot2\cdot4$이다. 두 식은 $E=210$ GPa·$\rho=7850$ kg/m³에서 위의 식으로 유도한 값과 일치한다(5.13.5 ②). 지지 방식이 임계속도를 $0.9$에서 $5.6$까지, 좌굴 하중을 $0.25$에서 $4$까지 바꾼다는 점이 설계상 중요하다. 임계속도에는 안전율 $0.8$을 곱하고(Ewellix·SKF·Steinmeyer) 너트를 지지로 보지 않으며, 너트 위치에 따라 자유 길이가 변하므로 가장 긴 자유 길이를 점검한다(Ewellix 작업 예). Steinmeyer는 축 예인장이 임계속도를 거의 바꾸지 않는다고 적는다. 회전 너트형은 임계속도의 제약이 작다(Steinmeyer). 속도의 또 다른 한계는 볼·롤러의 순환 한계를 나타내는 $n\,d_0$이다(Ewellix $160\,000$ 이하, SKF $110\,000$ 미만 — 긴 리드 일부는 $70\,000$, Steinmeyer 내부 순환 $120\,000$·외부 순환 $160\,000$ 이하).

5.13.3.6 리니어 가이드

리니어 가이드는 레일과 블록 사이를 볼 또는 롤러가 구르며 반경 하중과 모멘트를 지지한다. IKO는 기본 동정격 하중 $C$를 ISO 14728-1에 따라 정격 수명 $50\times10^3$ m(50 km)에서 90 %의 개체가 피로 박리 없이 이동하는 하중으로 정의하고 정격 수명을 다음처럼 적는다.

$$L=50\Bigl(\frac{C}{f_wP}\Bigr)^{3}\ [\mathrm{km}]\ (\text{볼}),\qquad L=50\Bigl(\frac{C}{f_wP}\Bigr)^{10/3}\ (\text{롤러}),\qquad L_h=\frac{10^{6}L}{2S\,n_1\,60}.$$

$S$는 행정(mm), $n_1$은 분당 왕복 횟수이고 $f_w$는 하중 계수(원활 $1\sim1.2$, 보통 $1.2\sim1.5$, 충격 $1.5\sim3$)이다. 기준 거리는 제조사마다 다르다. 검색 요약에 따르면 ISO 14728-1은 50 km와 100 km를 모두 허용하고 일부 제조사(Schaeffler)는 100 km 기준을 사용한다 (확인 필요). 두 기준의 정격은 $C_{100}=C_{50}\,2^{-1/3}$로 환산된다. 정적 안전율 $f_s=C_0/P_0$는 정상 $1\sim3$, 고성능 $2\sim4$, 진동·충격 $3\sim5$(볼)이다. 마찰 저항은 $F=\mu P$이며 동마찰 계수는 볼 $0.0040\sim0.0060$, 롤러 $0.0020\sim0.0040$(실 제외, 작은 하중에서 커진다)이다(IKO). 표준 예압은 작용 하중의 약 $1/3$(볼)·$1/2$(롤러)이며 과도한 예압은 접촉 응력을 높여 수명을 줄인다(IKO). 모멘트 하중은 정적 모멘트 정격과의 비로 등가 하중에 더해지며(IKO 식 (7)·(8)) 이 장의 예제는 강체 캐리지의 블록 하중으로 단순화한다.

5.13.3.7 대표 제품과 현황

상세한 제품 비교는 46.7(리니어 액추에이터·스크류 제품)과 기업 장 44.16(리니어 모션 기업)이다. 휴머노이드 관절의 롤러 스크류 리니어 액추에이터는 5.17에서 다룬다. 이 장은 제품 순위나 구매 권고를 하지 않는다.

5.13.4 알고리즘

나사 구동 축 선정(F[i], n[i], q[i], 자유 길이 l, 지지 방식, 후보 나사):
  1. α ← atan(Ph / (π d0));  η, η' ← 1/(1+π d0 μ/Ph), 2 − 1/η;  η' ≤ 0 이면 자립(역구동 불가)
  2. 정상 입력 토크 T ← F Ph / (2000 π η_p)                   (N, mm → N·m)
  3. 예압 있으면 하중 쪽 너트 하중 F*[i] ← 헤르츠 두 너트 평형(F[i]/Fpr)·Fpr   (F > 2.83 Fpr 이면 F* = F)
  4. Fm ← (Σ q n F*³ / Σ q n)^(1/3);  L10 ← (Ca/Fm)³·10⁶ 회전;  3×10⁷ ≤ L10 ≤ 10⁹ 인지 확인
  5. n_cr ← 49×10⁶ f1 d2 / l²;  0.8 n_cr ≥ n_max,  n d0 ≤ 한계,  Fc ← 34×10³ f3 d2⁴ / l² ≥ F_max
  6. Rt ← 1/(1/Rs + 1/Rn + 1/Rb);  C0a / F_max 로 정적 안전율 확인
  7. 가이드: 블록 하중 P[j](강체 캐리지 평형) → L ← 50 (C / (fw P_max))³ km (C의 기준 거리 확인)

5.13.5 풀이 예제 — 효율, 정격 수명, 예압·강성, 임계속도, 롤러 운동학, 가이드

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 효율 식과 정역학, 임계속도·좌굴 식과 오일러-베르누이 유한요소, 신뢰도 표와 웨이불, 예압 평형이 모두 독립 구현과 일치한다. ② 카탈로그 표 18행의 $\eta\cdot\eta'$가 그림에서 읽은 $\mu_{ref}$와 식으로 $0.005$ 안에서 재현된다(표가 소수 둘째 자리이므로 반올림 수준이다). ③ 같은 듀티에서 예압을 $2$배로 올리면 합성 강성은 $+3.6\,\%$인 데 비해 수명은 $1/4.3$이다.

구현. eta_fwd·eta_bwd·statics·eta_cat·cubic_mean·l10·weibull·two_nut·series·prs·blocks. 보 유한요소(요소 행렬·역반복), 특성 방정식 근, 그림 읽기(5.13-digitize.py)와 도해는 스크립트에 있다. 아래 코드는 1.1의 solve_lu를 사용한다.

from math import pi, sin, cos, tan, atan, sqrt, log, asin

def eta_fwd(lam, mu):
    """정효율 tan(lam)/tan(lam+phi), phi = atan(mu)"""
    return tan(lam) / tan(lam + atan(mu))

def eta_bwd(lam, mu):
    """역효율 tan(lam-phi)/tan(lam), 음수이면 자립"""
    return tan(lam - atan(mu)) / tan(lam)

def statics(lam, mu, F, up=True):
    """경사면 블록 평형: 미지수 (P, N)을 연립방정식으로"""
    s = 1.0 if up else -1.0
    A = [[1.0, -(sin(lam) + s * mu * cos(lam))],
         [0.0, cos(lam) - s * mu * sin(lam)]]
    P, N = solve_lu(A, [0.0, F])[0]
    return P, N

def eta_cat(d, ph, mu):
    """카탈로그 식 1/(1 + pi d mu / Ph), 역효율 2 - 1/eta"""
    e = 1.0 / (1.0 + pi * d * mu / ph)
    return e, 2.0 - 1.0 / e

def cubic_mean(F, n, q):
    num = sum(f**3 * ni * qi for f, ni, qi in zip(F, n, q))
    den = sum(ni * qi for ni, qi in zip(n, q))
    return (num / den) ** (1 / 3)

def l10(Ca, Fm):
    return (Ca / Fm) ** 3 * 1e6          # 회전수

def weibull(R, e=1.5):
    """신뢰도 R의 수명 보정 계수 (ln(1/R)/ln(1/0.9))^(1/e)"""
    return (log(1 / R) / log(1 / 0.9)) ** (1 / e)

def two_nut(fext, fpr=1.0):
    """헤르츠 F = k d^1.5 두 너트: 변위 x에서 FA, FB"""
    def f(x):
        fa = fpr * (1 + x) ** 1.5
        fb = fpr * (1 - x) ** 1.5 if x < 1 else 0.0
        return fa, fb
    lo, hi = 0.0, 40.0
    for _ in range(200):
        mid = (lo + hi) / 2
        fa, fb = f(mid)
        lo, hi = (mid, hi) if fa - fb < fext else (lo, mid)
    return f(lo)

def series(*r):
    return 1.0 / sum(1.0 / x for x in r)

def prs(t):
    """표준형: 반지름비 나사 t-2 : 롤러 1 : 너트 t"""
    rs, rr = t - 2.0, 1.0
    rc = rs + rr
    A = [[rc, -rr], [rc, rr]]      # 나사·너트 접점 속도
    wc, wr = solve_lu(A, [rs, 0.0])[0]   # 나사 1, 너트 고정
    nmax = int(pi / asin(rr / rc))
    return wc, wr, nmax, t / (t - 2.0)

def blocks(a, b, F, xf, yf):
    """강체 캐리지 4블록 하중(압축 +): 3자유도 평형"""
    xs = [a / 2, -a / 2, -a / 2, a / 2]
    ys = [b / 2, b / 2, -b / 2, -b / 2]
    Mx, My = F * yf, F * xf
    sy, sx = 4 * (b / 2) ** 2, 4 * (a / 2) ** 2
    return [F / 4 + Mx * y / sy + My * x / sx
            for x, y in zip(xs, ys)]

① 효율과 자립.

정역학 연립방정식과 닫힌 식이 기계 정밀도에서 같다. 같은 식의 재표기가 아니도록 경사면 좌표계로 세운 평형을 SciPy fsolve로도 풀어 비교했다(⑧). 롤러 스크류의 $\mu_{ref}(\alpha)$는 Ewellix 그림 1의 하한 곡선을 읽은 값이며 $\alpha=3^\circ$에서 $0.0088$, $10^\circ$에서 $0.0247$로 볼스크류의 $0.0031$보다 $3\sim8$배 크다. 이 차이의 원인은 나사 접점의 미끄럼을 포함한 접촉 구조에 있다고 추정하나 이 장은 확인하지 않았다 (추정). $\mu=0.15$의 미끄럼 나사는 $\alpha=8^\circ$ 근처에서 역효율이 $-0.066$으로 자립이 풀리는 경계에 있다($\arctan0.15=8.53^\circ$). 볼스크류는 $\alpha=2^\circ$에서도 $\eta'=0.911$이어서 하중이 나사를 돌린다. 롤러 스크류의 $\eta$는 $\alpha=5^\circ\sim8^\circ$에서 $0.885$로 거의 일정하다.

② 카탈로그 상수와 오일러-베르누이.

보 유한요소 $40$개의 $\beta L$이 특성 방정식의 근과 $10^{-7}$ 안에서 같고(5.13.5 ⑧), 유도한 $f_1$은 카탈로그 상수와 $-1.6\,\%$(고정-자유)~$+2.2\,\%$(고정-지지) 안에서 같다. $f_3$는 $0.249\cdot2.041\cdot3.990$으로 카탈로그 $0.25\cdot2\cdot4$와 $2.1\,\%$ 안에서 같으며 고정-지지의 $K=0.699$가 카탈로그에서 $2$(=$K\approx0.707$)로 둥글려졌다. 따라서 카탈로그 상수는 별도의 실험 보정이 아니라 오일러-베르누이에 루트 지름과 $E=210$ GPa를 적용한 값의 반올림으로 읽힌다.

③ 듀티 사이클과 수명.

등가 하중은 $4510$ N, 등가 회전수는 $1710$ r/min이다. 볼스크류 $L_{10}=819\times10^{6}$ 회전은 유효 범위 $[3\times10^{7},10^{9}]$ 안에 있다. 예압을 $C_a$의 $10\,\%$로 가정하면 하중 쪽 너트 하중이 $6447$ N으로 늘어 수명이 $280\times10^{6}$ 회전($2.9$배 감소)이 된다. 카탈로그 근사 $F_i^*=F_{pr}+F_i/2$는 $F_i>2.83F_{pr}$ 구간에서 $F_i$로 바꾸면 $6226$ N으로 헤르츠 모형보다 $3.4\,\%$ 작다. 롤러 스크류의 예압 $1472$ N은 $C_a$의 $2.5\,\%$여서 수명이 $4.3\,\%$만 줄어든다. 두 나사의 수명 비 $2.7$배는 호칭 지름이 다른 두 제조사 표(32 mm와 30 mm)에서 나온 값이며 제품 우열이 아니다.

④ 예압과 분리 하중.

분리 하중 이분법 값: $F/F_{pr}=2.8284$ (닫힌 식 $2^{3/2}=2.8284$).

하중 쪽 너트 하중은 외력이 $F_{pr}$의 $1$배일 때 $1.542F_{pr}$로 근사 $1.5F_{pr}$보다 $2.8\,\%$ 크고, $1.9F_{pr}$에서 $8.3\,\%$ 크다. 반대 쪽 너트가 하중을 잃는 한계가 $2.8284F_{pr}$이므로 외력이 이 값을 넘으면 예압이 소멸하고 단일 너트처럼 거동한다. Ewellix의 작업 예는 같은 $2.83F_{pr}$을 사용한다.

예압을 $2$배로 올리면 너트 강성은 $26\,\%$ 늘지만 지지 베어링과 축이 직렬이어서 합성 강성은 $l=400$ mm에서 $3.6\,\%$, $l=1000$ mm에서 $2.1\,\%$만 늘고 수명은 $65/280=0.23$배가 된다. SKF와 Ewellix가 카탈로그 예압을 올리지 말라고 적는 이유와 일치한다.

⑤ 임계속도·좌굴·효율·토크.

두 후보 모두 최고 회전수가 허용 임계속도의 $0.87$·$0.81$배이고 좌굴 하중이 최대 추력의 $3.0$·$4.1$배이다. 자유 길이를 $1200$ mm 대신 고정-자유 지지로 바꾸면 $f_3=0.25$여서 볼스크류의 $F_c$는 $3000$ N으로 최대 추력 $8000$ N보다 작아진다. 정적 안전율이 $10$ 이상이므로 이 예에서는 임계속도와 수명이 선정을 정한다. 입력 토크는 두 나사에서 $14.6\cdot14.8$ N·m로 같다(볼스크류 $\eta_p=0.873$은 SKF의 계수 $0.9$가 만든 값이다).

⑥ 유성 롤러 스크류의 운동학과 카탈로그 표 대조.

$t=5$에서 공전 $0.375\,\omega_s$, 자전 $-1.5\,\omega_s$이고 롤러 수 상한은 $12$이다(Wikipedia의 전형값은 $7\sim14$ (2차)). 나사 접점의 리드각이 롤러의 $t/(t-2)=1.67$배여서 접촉에 나선 불일치가 남는다.

최대 차이 $\eta$ 0.005, $\eta'$ 0.005.

이 대조는 카탈로그의 $\eta\cdot\eta'$ 표가 식과 그림 1에서 만들어졌음을 보여 준다. 표가 소수 둘째 자리이므로 차이 $0.005$는 반올림 수준이다. 그림 읽기 오차는 $\mu$ 약 $\pm0.0002$, 효율 약 $\pm0.003$이다.

⑦ 리니어 가이드.

하중을 중심에서 $(25,15)$ mm 벗어나 가하면 블록 하중이 $104\cdots896$ N로 $8.6$배 차이가 난다. 가장 큰 블록이 수명을 정하므로 $f_wP_{max}=1075$ N로 $L=20\,607$ km이다. 같은 $C_{50}$를 100 km 기준 식에 넣으면 $41\,214$ km로 $2$배 과대가 된다. 제조사가 정격 기준 거리를 밝히지 않으면 식을 적용하지 않는다.

⑧ 라이브러리 독립 대조(실행 2026-11-05). SciPy 1.18.1의 fsolve로 경사면 좌표 평형을, brentq로 자립 한계·특성 방정식·2너트 평형을, linalg.eigh로 보 유한요소의 일반화 고유값 문제를, stats.weibull_min으로 신뢰도 보정 계수를, numpy 2.5.4의 lstsq(3차원 강체 접점 속도)로 롤러 운동학을, linalg.solve로 가이드 블록 하중을 같은 입력에서 비교했다. 스크립트는 robotics/fig-src/5.13-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/5.13-libcheck-output.txt에 있다.

라이브러리 구현끼리의 차이는 $2.4\times10^{-9}$ 이하이고, 유한요소($40$개)와 닫힌 식의 차이는 이산화 오차인 $8.4\times10^{-7}$ 이하이다. 요소 수를 $4$에서 $32$로 늘리면 오차가 $16$배씩 줄어($3.3\times10^{-5}$에서 $9.2\times10^{-9}$) 3차 에르미트 요소의 $h^4$ 수렴과 같다. 그림 읽기(5.13-digitize.py)는 라이브러리가 아니라 픽셀 판독이므로 이 표에 넣지 않았다. 이상 징후와 표기 불일치. ① SKF의 임계속도식은 사본에서 $n_{cr}=490\cdot10^{5}f_1d_2^{2}/\ell^{2}$로 인쇄되어 있다. 차원이 맞지 않고(Ewellix는 같은 식을 $49\times10^{6}f_1d_2/l_{cr}^{2}$로 적는다) $d_2^2$를 넣으면 $3.8$·$26.7$ mm·$1000$ mm에서 $1.33\times10^{5}$ r/min이 되는 반면 제곱을 뺀 식은 $4972$ r/min(오일러-베르누이 $5083$ r/min)이므로 $d_2$의 제곱은 오식으로 판단한다. 원본의 확인이 필요하다 (확인 필요). ② Ewellix 그림 1의 범례는 파랑을 $\mu_{ref}$, 주황을 $\mu_{prac}$로 적지만 본문은 $\mu_{prac}=1.3\mu_{ref}$이고 작업 예가 $6.05^\circ$에서 $\mu_{ref}=0.013$·$\mu_{prac}=0.017$을 적는다. 읽은 값은 하한 곡선이 $0.0130$, 상한 곡선이 $0.0169$이므로 범례의 색이 서로 바뀐 것으로 판단한다. ③ 너트 강성 정의가 제조사마다 달라(SKF 1300 N/µm와 Ewellix 420 N/µm는 정의와 예압이 다르다) 표의 수치를 비교하지 않았다.

한계. 효율·강성·정격은 카탈로그 식과 표의 값이며 이 장은 나사나 가이드를 시험하지 않았다. 예압 평형은 헤르츠 3/2 한 자유도 모형이고 볼 수·접촉각·너트 변형·하중 불균일을 포함하지 않는다. 롤러 스크류의 정격·강성·접촉 응력은 유도하지 않았고 롤러 이동(축 방향 표류)·미끄럼·열은 다루지 않았다. 임계속도는 균일 보이며 회전체 동역학(자이로·베어링 유연)을 생략했다. 가이드는 강체 캐리지 평형이며 블록 강성·레일 처짐·모멘트 등가 하중식은 계산하지 않았다.

견해: 직동 관절에서 정격 수명과 속도 한계가 설계를 정하면 볼스크류를 기본으로 두고, 같은 설치 공간에서 정격 하중이나 가속도가 부족할 때 유성 롤러 스크류를 검토하는 것이 합리적이라고 본다. 근거는 이 장의 예에서 효율 $\eta_p$가 $0.873$ 대 $0.862$로 거의 같고, 롤러 스크류의 정격 수명이 $2.7$배이며, 카탈로그의 $n\,d_0$ 한계가 $160\,000$ 대 $110\,000\cdots160\,000$인 점이다. 예압은 강성을 소폭 올리지만 수명을 크게 줄이므로 카탈로그 예압을 기준으로 두는 편이 낫다고 본다(예압 $2$배에서 $+3.6\,\%$ 대 $-77\,\%$). 비용·가용성·소음·정비는 이 장이 확인하지 않았다.

5.13.6 설계 트레이드오프 — 직선 구동 방식의 선택

직선 구동은 다음 중에서 고른다.

• ① 볼스크류. 효율이 높고 역구동이 쉽다. 정격은 볼 크기와 열 수로 정해지고 소리와 속도는 순환 방식(내부·외부·엔드캡)이 정한다.
• ② 유성 롤러 스크류(표준·역형). 접촉 수가 많아 같은 호칭 지름에서 정격 $C_a$와 속도 한계 $n\,d_0$가 크고 순환 부품이 없다. 효율은 볼스크류보다 낮고($0.81\sim0.89$) 롤러 정렬·나선 불일치에 따른 미끄럼이 있다.
• ③ 재순환 롤러 스크류. 롤러 홈 구조로 리드를 작게 만들 수 있어(1 mm) 분해능과 강성이 높다. 속도·가속도 한계가 낮다.

견해: 기구 설계의 첫 선택은 볼스크류이며, 정격 수명이 목표의 $1/3$ 이하이거나 가속도·소음·설치 길이의 제약이 있는 직동 관절에서 유성 롤러 스크류로 옮기는 것이 합리적이라고 본다. 근거는 두 방식의 효율 차이가 이 장의 예에서 $0.011$에 지나지 않는 반면 정격 수명 차이는 $2.7$배(호칭 지름이 다른 두 제조사 표)인 점이다. 제조사는 가속도 우위도 주장하나 이 장은 확인하지 않았다 (공개 주장치). 가격과 정비는 비교하지 않았다.

5.13.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 응용별 수치와 적용 사례는 이 장이 확인하지 않았다.

5.13.8 관련 규격·프로토콜

표준 번호는 제목으로만 가리키며 조항 내용은 단정하지 않는다. 규격 색인은 A.3이다.

5.13.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

나사 기구 자체를 규정하는 법령·인증 요건은 확인하지 못했다. 직동 축은 낙하·끼임 위험의 위험원이며 효율·역구동은 안전 기능 설계의 입력이다. Ewellix는 수직 설치와 낙하 위험이 있는 용도에서 보조 잠금 장치와 안전 시스템의 필요를 판단하는 것이 사용자의 책임이라고 적는다. 정지 상태의 유지는 브레이크(5.23)와 기능안전(26.6), 기계 안전 B형 표준(27.11), 산업 로봇 안전(27.10)이 다루고 웨어러블 로봇은 27.23·41.22, 의료기기는 39.20과 연결된다. 이 장은 규정의 조항을 확인하지 않았다 (확인 필요).

5.13.10 한계·유의점·미해결

• 카탈로그 의존. 제조사 사본 4개의 식과 표를 사용했으며 현재 판과의 일치는 확인하지 않았다. 서로 다른 제조사의 정격·강성은 정의와 예압이 달라 비교할 수 없다. 미끄럼 나사의 $\mu=0.15$는 가정이며 출처를 읽지 않았다 (확인 필요).
• 롤러 스크류의 이론. 접촉 응력·하중 분포·축 방향 롤러 표류·미끄럼의 유도는 다루지 않았다. PRS 논문 본문을 읽지 못했다.
• 수명 식의 가정. $L_{10}$은 피로만 다루며 윤활 불량·오염·마모·저속 요동(거짓 브리넬링)은 포함하지 않는다. Steinmeyer는 하중이 매우 작고 속도가 높으면 식이 비현실적인 수명을 낸다고 적는다.
• 가이드. 모멘트 등가 하중식, 레일 처짐, 블록 강성, 예압 분류는 계산하지 않았다.

5.13.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 경사면 평형에서 $\eta=\tan\alpha/\tan(\alpha+\varphi)$와 $\eta'=\tan(\alpha-\varphi)/\tan\alpha$를 유도하고 자립 조건이 $\eta\le1/2$와 같음을 보여라.
2. $F=k\delta^{3/2}$로 두 너트 예압의 분리 하중 $2^{3/2}F_{pr}$와 $R_n\propto F_{pr}^{1/3}$를 유도하라.
3. 고정-지지 보의 특성 방정식 $\tan x=\tanh x$를 유도하고 카탈로그 $f_1=3.8$이 얼마나 정확한지 계산하라.
4. 표준 유성 롤러 스크류에서 $r_s=(t-2)r_r$을 유도하고 $\omega_c/\omega_s$와 롤러 수 상한을 구하라.
5. 같은 $C_{50}$를 100 km 기준 식에 넣을 때 수명이 $2$배가 되는 이유를 설명하라.

연구 질문:

• 롤러 스크류의 나사 접점 나선 불일치(리드각비 $t/(t-2)$)가 $\mu_{ref}$를 볼스크류의 $3\sim8$배로 만드는가?
• 예압 하중 범위에서 하중 쪽 너트 하중을 헤르츠 3/2 한 자유도 모형 대신 하중 분포 모형으로 얻으면 수명 예측이 얼마나 달라지는가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• Ewellix, Roller screws(카탈로그, 138쪽, PDF 작성 2020-01·수정 2021-12; 제3자 호스팅 사본) — 직접 읽음.
• SKF BSS, Ground ball screws(카탈로그, © SKF 2007; 유통사 사본) — 직접 읽음.
• Steinmeyer, 볼스크류 기술 정보(카탈로그 기술편, PDF 2016) — 직접 읽음.
• IKO(Nippon Thompson), Linear Way·Linear Roller Way 총설(PDF 2017, Almotion 사본) — 직접 읽음.
• Wikipedia, "Roller screw"(WebFetch 요약, 2차) — 유형·피치 관계식 보조.
• ISO 3408-3·-4·-5, ISO 14728-1·-2, DIN 69051 — 제목과 카탈로그 인용만 확인(본문 미독).
• SciPy 1.18.1(optimize.fsolve·brentq, linalg.eigh, stats.weibull_min), numpy 2.5.4(linalg.lstsq·solve·average).

다음 장. 5.14은 벨트·케이블·텐던·보우덴 같은 유연 요소로 동력을 멀리 전달하는 방식을 다룬다. 이 장에서 본 효율·역구동·강성의 직렬 합성은 유연 전달에서 장력과 마찰 손실의 문제로 이어진다.