제4부 기계 설계·구조·재료

4.4 구조와 재료: 알루미늄·주조·탄소섬유 복합재·엔지니어링 플라스틱 — 경량화와 위상 최적화(SIMP·레벨셋)

4.4.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 로봇 구조(링크·하우징·프레임)의 재료를 고르는 근거와 구조를 가볍게 만드는 방법을 정리한다. 로봇 링크의 설계 한계는 대부분 강도가 아니라 강성(처짐과 고유진동수)이므로 재료는 비강성 $E/\rho$ 계열의 지표로 비교한다. 알루미늄·강·티타늄은 비강성이 거의 같아서 금속끼리의 교체로는 질량이 크게 줄지 않고, 탄소섬유 복합재(CFRP)는 비강성이 높은 대신 이방성과 접합·손상의 문제를 가진다. 이 장은 이를 고전 적층 이론으로 계산하고, 단면과 위상을 바꾸는 경량화를 SIMP와 레벨셋 방정식으로 다룬다. 재료의 피로·내구는 4.5, 설계 단계의 정밀도와 열변형은 4.6, 공차는 4.7, 모드 해석은 4.8, 순응 기구는 4.9, 설계 도구(FEA·생성형 설계)는 4.14, 제조와 시작품은 4.16·4.17, 로봇팔 링크의 구체적 설계는 7.4·7.5·7.6에서 이어진다.

배우는 것:

• 강성 지배와 재료 지표 — 인장·굽힘·판 굽힘·고유진동수에 대한 $E/\rho$, $E^{1/2}/\rho$, $E^{1/3}/\rho$, 강도 지표 $\sigma^{2/3}/\rho$의 유도와 금속·CFRP·플라스틱의 값.
• 금속과 주조 — 알루미늄 합금(6061·7075), 주조, 강, 티타늄의 선택 기준과 설계 허용값을 낮추는 이유.
• 탄소섬유 복합재 — 단방향 층의 강성 행렬, 적층판의 $A$·$B$·$D$ 행렬, 층 방향에 따른 $E_x(\theta)$, 구멍·접합·충격의 취약성.
• 엔지니어링 플라스틱 — PEEK·폴리카보네이트·폴리아미드·POM의 용도와 크리프·흡습·온도 한계.
• 경량화의 세 단계 — 재료 교체, 단면(관·리브), 위상 최적화의 질량 이득 비교.
• 위상 최적화 — SIMP(수정 SIMP·감도 필터·밀도 필터·최적성 기준법)와 레벨셋(해밀턴-야코비 방정식, 풍상 차분, 위상 변화).

선수 지식: 2.12(정역학과 강성: 관절 강성에서 말단 강성으로), 1.1(선형대수 I: 행렬 분해), 재료역학의 보 이론(처짐·단면 2차 모멘트).

특히 중요한 독자: 링크·하우징의 재료와 단면을 정하는 기계 설계자, 경량 팔과 휴머노이드의 질량 예산을 맡은 시스템 엔지니어, 위상 최적화를 처음 구현하는 연구자.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: Sigmund(2001)의 99행 위상 최적화 논문 전문과 부록 코드(top.m), Andreassen 외의 88행 논문 원고의 서론~3.3절(수정 SIMP·밀도 필터·감도 필터·최적성 기준법), Hexcel의 HexPly 8552 제품 데이터시트(미국판 2020·유럽판 2023)와 HexTow IM7 데이터시트(IM7 섬유 밀도·계수, 8552/IM7 단방향 경화 층의 밀도 $1.57$ g/cm³·두께 $0.131$ mm·섬유 부피 분율 $57.7\,\%$), NCAMP 시험 보고서 NCP-RP-2009-028 Rev B(2019)의 층·적층판 요약표(층 계수 $E_{1t}$·$E_{2t}$·$G_{12}$·$\nu_{12}$와 세 적층의 실측 계수). 6061·7075·Ti-6Al-4V·PEEK·폴리카보네이트·4140 강의 물성은 위키백과 표(2차 출처, 일부는 ASM Handbook·Aluminum Association 값을 인용)에서 읽은 대표값이며 설계 허용값이 아니다. 서지만 확인한 것(Crossref로 실재를 확인했고 본문은 읽지 못했다): Bendsøe·Kikuchi(1988), Bendsøe(1989), Zhou·Rozvany(1991), Bendsøe·Sigmund(1999·2004), Svanberg(1987), Sigmund(2007), Sigmund·Maute(2013), Allaire·Jouve·Toader(2004), Wang·Wang·Guo(2003), Osher·Sethian(1988), van Dijk 외(2013), Tsai·Wu(1971), Jones(Mechanics of Composite Materials). 확인하지 못한 것: ISO·EN 표준의 발행본(iso.org 접근이 막혀 번호와 제목만 적는다), ASTM 표준 본문, 레벨셋 위상 최적화의 속도장 식, 주조 합금(A356 등)의 물성, 폴리아미드·POM의 물성값. 수치는 모두 이 장의 순수 파이썬 계산이며, 재료 치수·하중은 이 장이 정한 예시이고 어떤 제품의 제원도 아니다.

4.4.2 개념 — 로봇 구조는 강성 제약 아래 질량을 줄이는 문제이다

결론부터 적으면 다음과 같다. 로봇 링크는 허용 응력보다 훨씬 낮은 응력에서 사용되고 처짐과 공진 주파수가 설계를 정한다. 따라서 재료는 강도가 아니라 비강성으로 고르며, 알루미늄(6061) $25.6$, 합금강 $26.1$, 티타늄 $24.8$ GPa/(g/cm³)처럼 금속의 비강성은 차이가 약 $5\,\%$이다. 같은 굽힘 강성의 관 링크를 만들면 강은 6061보다 $12\,\%$ 가볍지만 벽 두께가 $0.86$ mm로 가공·취급의 하한(이 장은 $1.0$ mm로 가정)보다 얇아지고, 티타늄은 $4\,\%$, 7075는 $1\,\%$ 가벼울 뿐이다. 반면 단면 형상을 속찬 봉에서 관으로 바꾸면 같은 강성에서 질량이 $60\,\%$ 줄고, 관 재료를 6061에서 CFRP로 바꾸면 다시 $70\,\%$ 준다. 즉 금속 사이의 교체는 이득이 작고 단면·적층·위상이 질량을 정한다. CFRP는 단방향 층의 $E/\rho$가 알루미늄의 $4.1$배이지만 섬유에서 $15^\circ$ 벗어난 방향의 계수는 $1/3$로 떨어지는 이방성 재료이다. 위상 최적화는 주어진 체적에서 컴플라이언스(변형 에너지의 두 배)를 줄이는 재료 배치를 구한다. 이 장의 반 MBB 보 문제에서는 같은 체적의 균일 판보다 컴플라이언스가 $19\,\%$ 낮았다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 금속 세 종의 $E/\rho$가 $24.8\sim26.1$(차이 약 $5\,\%$)이고 CFRP 단방향은 $104.5$이다. ② 바깥지름 $40$ mm, 길이 $0.5$ m, 끝단 하중 $50$ N에서 처짐 $0.5$ mm 이하인 관은 6061에서 벽 $3.02$ mm·$0.474$ kg이고 응력 이용률이 $3.1\,\%$이다(강성 지배). CFRP $[0_6/\pm45]_s$ 관은 $1.50$ mm·$0.142$ kg이고 1차 고유진동수가 $271$ Hz로 $148$ Hz의 6061보다 높다. ③ 고전 적층 이론이 NCAMP 시험의 세 적층 계수를 $+1.9\sim+3.8\,\%$ 안에서 예측하고, 푸아송비는 $0.011\sim0.019$ 안에서 맞았다. ④ SIMP 60×20 반 MBB 보(체적 $50\,\%$)가 $94$회 반복에서 수렴해 컴플라이언스 $1007\to203.2$로 줄었고 같은 체적 균일 판($251.8$)의 $0.807$배이다. ⑤ Q4 요소 유한요소는 Sigmund의 닫힌 식 요소 행렬과 $1.7\times10^{-16}$, SciPy 희소 풀이와 $9\times10^{-12}$, topopt 평가기와 $6\times10^{-12}$ 안에서 같고, 감도는 중심 차분과 $1.2\times10^{-6}$ 안에서 같다. ⑥ 레벨셋 풍상 차분은 두 원의 팽창에서 영 등고선 근방 오차 $0.010$(격자 간격 $0.025$) 이하이고 연결 성분 수 $2\to1$의 병합을 해석해와 같은 시각 구간에서 포착한다.

4.4.3 원리

4.4.3.1 강성 지배와 재료 지표

끝단 하중 $F$를 받는 길이 $L$의 캔틸레버 링크의 처짐과 1차 고유진동수는 다음이다.

$$\delta=\frac{FL^{3}}{3EI},\qquad f_1=\frac{(\beta_1L)^{2}}{2\pi L^{2}}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}},\qquad \beta_1L=1.8751.$$

처짐 한계가 정하는 요구 강성을 $S=EI$라 하자. 단면의 모양을 고정하고 크기만 바꾸는 상사 단면에서는 $I=\beta A^{2}$($\beta$는 모양 계수)이므로 $A=\sqrt{S/(\beta E)}$이고 질량은 $m=\rho AL\propto\rho/E^{1/2}$이다. 따라서 질량을 최소화하는 재료는 $E^{1/2}/\rho$가 최대인 재료이다. 같은 방식으로 하중과 치수 제약에 따라 다음 지표를 얻는다(이 장의 유도이며, 이 형태가 재료 선택 교과서(M. F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design)에서 알려져 있다는 점은 확인했으나 그 책은 읽지 않았다).

설계 조건에 따라 지표의 지수가 달라지므로 재료의 순위도 달라진다. 이 장의 대응은 그림의 양대수 선도이다. 같은 지표값의 점은 기울기 $1$·$2$·$3$의 직선 위에 놓이고(각각 $E\propto\rho$, $E\propto\rho^{2}$, $E\propto\rho^{3}$), 직선 위쪽의 재료가 6061보다 같은 강성에서 가볍다.

4.4.3.2 금속 재료와 주조

알루미늄 6061-T6(Mg-Si계 석출 경화)은 판재·압출재·절삭재로 널리 사용되고 $E\approx69$ GPa, 밀도 $2.70$ g/cm³, 항복강도 대표값 $270$ MPa(최소 보증 약 $240$ MPa)이다. 7075-T651(Zn-Mg계)은 항복강도가 약 $500$ MPa로 높지만 탄성계수는 $71.7$ GPa로 6061과 거의 같아서 강성 지배 링크에서는 이득이 없고, 응력 부식 균열에 민감해 과시효 조질(T7계)로 완화한다고 알려져 있다. 강(4140 조질 등)은 $E\approx205$ GPa로 강성이 필요한 작은 부품(축·기어·베어링 시트)에 유리하고, 티타늄(Ti-6Al-4V)은 $E\approx110$ GPa·밀도 $4.43$ g/cm³·항복강도 $880$ MPa 이상으로 강도 지표와 내식성이 높으나 가공 비용이 크다. 마그네슘 합금은 밀도가 낮으나 비강성은 알루미늄과 비슷하다고 알려져 있다 (확인 필요).

주조(모래형·금형 중력 주조·고압 다이캐스팅)는 형상 자유도가 높아 리브·보스·유로를 한 부품에 통합하고 수량이 많을수록 단가가 내려간다. 반면 기공·수축 결함으로 물성의 산포가 크고 설계 허용값을 단조·압출 재료보다 낮게 잡으며, 금형의 구배와 균일한 벽 두께, 분할면의 방향이 형상 제약이 된다(제조 제약은 4.16). 주조 합금의 구체적 물성은 이 장이 확인하지 못했다 (확인 필요). 금속은 용접 열영향부에서 석출 경화 합금의 강도가 낮아지는 점 (확인 필요), 이종 금속 접촉의 갈바닉 부식, 열팽창 차이(4.6)를 함께 검토한다.

4.4.3.3 탄소섬유 복합재 — 이방성과 고전 적층 이론

단방향 층은 섬유 방향 1에서 매우 강하고 횡방향 2에서 약하다. 평면 응력의 층 강성 행렬은 다음이다.

$$Q_{11}=\frac{E_1}{1-\nu_{12}\nu_{21}},\quad Q_{12}=\frac{\nu_{12}E_2}{1-\nu_{12}\nu_{21}},\quad Q_{22}=\frac{E_2}{1-\nu_{12}\nu_{21}},\quad Q_{66}=G_{12},\quad \nu_{21}=\nu_{12}\frac{E_2}{E_1}.$$

각도 $\theta$만큼 회전한 층의 $\bar Q(\theta)$는 삼각함수로 전개되며(코드 q_bar), 적층판의 면내·결합·굽힘 강성은 층 두께 방향의 합이다.

$$A=\sum_k\bar Q_k(z_k-z_{k-1}),\quad B=\frac12\sum_k\bar Q_k(z_k^{2}-z_{k-1}^{2}),\quad D=\frac13\sum_k\bar Q_k(z_k^{3}-z_{k-1}^{3}).$$

중면에 대칭인 적층은 $B=0$이며 면내 공학 상수는 $a=A^{-1}$에서 $E_x=1/(h\,a_{11})$, $\nu_{xy}=-a_{12}/a_{11}$이다. 단방향 층의 $\theta$ 방향 계수 $E_x(\theta)$는 섬유에서 조금만 벗어나도 급격히 줄어든다(풀이 예제 ③의 표). 유사등방 적층(0°·45°·−45°·90°를 같은 비율)은 면내에서 등방이 되며 이 값은 불변량으로 닫힌 식이 있다(풀이 예제 ⑥의 대조). 설계 시 유의할 점은 다음과 같다.

• 구멍과 접합. NCAMP 보고서의 유사등방 적층(0°·±45°·90° 비율 25/50/25) 실온 평균에서 구멍 시편의 인장 강도는 $59.0$ ksi로 구멍 없는 시편 $104.7$ ksi의 $56\,\%$이고, 압축은 $49.4$ ksi 대 $87.1$ ksi로 $57\,\%$이다. 체결구가 지나는 접합부는 같은 두께의 금속보다 강도 저감이 크므로 접합부를 국소적으로 두껍게 하거나 금속 인서트를 사용한다.
• 충격과 층간 박리. 낙하·충돌 후 압축 강도(CAI)가 시험 항목으로 정의되어 있고(NCAMP 보고서의 항목), 층간 인장은 기지 수지가 정한다. 로봇의 충돌·낙상 하중이 있는 부위는 충격 시험으로 확인한다.
• 이종 재료 접촉. 탄소섬유와 알루미늄의 직접 접촉은 갈바닉 부식을 일으킬 수 있고 열팽창 계수 차이(4.6)가 접착·체결부의 응력을 만든다. 절연층과 밀봉으로 완화한다.
• 파손 기준. 층 단위 최대 응력 기준과 Tsai-Wu(1971) 다항식 기준이 알려져 있으며 이 장은 계산하지 않았다.

4.4.3.4 엔지니어링 플라스틱

구조 링크 재료로서 비강성은 매우 낮다(풀이 예제 ①의 표: PEEK $2.7$, 폴리카보네이트 $1.8$). 이들은 하중 지지 부품이 아니라 커버·하우징·기어·부시·시작품(적층 제조, 4.17)과 절연·내마모 부품에 사용된다. PEEK는 $E\approx3.6$ GPa, 밀도 $1.32$ g/cm³, 인장강도 $90\sim100$ MPa, 유리 전이 온도 $143\,^\circ$C, 융점 $343\,^\circ$C이다. 폴리카보네이트는 $E=2.0\sim2.4$ GPa, 인장강도 $55\sim75$ MPa, 유리 전이 온도 $147\,^\circ$C, 선팽창 $65\sim70\times10^{-6}$/K이다. 플라스틱은 금속과 달리 다음 세 성질이 설계를 정한다. ① 크리프: 일정 하중에서 변형이 시간에 따라 증가하므로 계수가 시간의 함수이고 장기 하중부는 등시 응력-변형 곡선으로 설계한다. ② 온도: 유리 전이 온도 근처에서 계수가 급락하고 선팽창이 알루미늄($23\times10^{-6}$/K)의 약 $3$배이다(폴리카보네이트 기준). ③ 흡습: 폴리아미드는 수분을 흡수해 치수와 강성이 변한다고 알려져 있다 (확인 필요). 유리·탄소 섬유 충전은 계수를 높이지만 사출 흐름 방향에 이방성이 생긴다. 제품 등급마다 값이 다르므로 데이터시트와 시험으로 확인한다.

4.4.3.5 경량화의 세 단계

경량화는 효과가 큰 순서로 ① 재료 교체 ② 단면과 구조 형식 ③ 위상(재료 배치)이다. 이 장의 계산(같은 굽힘 강성의 링크)에서 ①은 금속 사이에서 $0\sim12\,\%$(강은 벽 두께 하한을 적용하면 이득이 없다)이고 CFRP로 바꾸면 $70\,\%$이다. ②는 6061 속찬 봉을 바깥지름 $40$ mm 관으로 바꾸어 $60\,\%$ 줄인다. ③은 이 장의 반 MBB 문제에서 균일 판 대비 컴플라이언스 $19\,\%$ 감소이다. 세 이득은 서로 곱해지지 않는다. 같은 하중 경로를 갖는 보·관은 이미 단면이 최적에 가깝고, 위상 최적화의 이득은 하중 경로가 복잡한 브래킷·하우징·관절 모듈 프레임에서 크다. 경량화는 가속도가 큰 원위 링크에서 관절 토크와 관성비(5.2)를 줄이고, 낙하·충돌 시 관성력을 줄이는 이점이 있으나 강성이 줄면 공진 주파수가 낮아지고(4.8) 위치 오차가 커진다(2.12·4.6).

4.4.3.6 SIMP 위상 최적화

설계 영역을 정사각 요소로 나누고 요소 밀도 $x_e\in[0,1]$를 설계 변수로 둔다. 수정 SIMP는 요소 영률을 $E_e=E_{\min}+x_e^{p}(E_0-E_{\min})$로 보간하며 $E_{\min}$은 강성 행렬의 특이를 피하는 작은 값($10^{-9}E_0$)이고 $p$는 벌칙 지수이다. 문제는 다음이다.

$$\min_x\ c(x)=F^{T}U=\sum_e E_e(x_e)\,u_e^{T}k_0u_e\quad\text{s.t.}\quad K(x)U=F,\ \ \frac{V(x)}{V_0}=f,\ \ 0\le x_e\le1.$$

$k_0$는 영률 1인 요소의 강성 행렬이고 컴플라이언스의 감도는 요소 안의 변형 에너지로 닫힌 식이 된다.

$$\frac{\partial c}{\partial x_e}=-p\,x_e^{p-1}(E_0-E_{\min})\,u_e^{T}k_0u_e<0.$$

감도가 항상 음수이므로 재료를 늘리면 컴플라이언스가 줄고 체적 제약이 활성이다. $p=1$이면 중간 밀도가 그대로 남고 $p\ge3$에서 중간 밀도의 강성 효율이 낮아져 흑백 해로 수렴한다(Sigmund(2001)는 $p\ge3$이 푸아송비 $1/3$에서 물리적으로 허용되는 보간임을 Bendsøe·Sigmund(1999)를 인용해 서술한다). 필터는 두 종류이다. 감도 필터는 $\partial c/\partial x_e\leftarrow\sum_i H_{ei}x_i\,\partial c/\partial x_i\big/\big(\max(\gamma,x_e)\sum_iH_{ei}\big)$, 밀도 필터는 $\tilde x_e=\sum_iH_{ei}x_i/\sum_iH_{ei}$로 물리 밀도를 평활하고 감도를 연쇄 법칙으로 환원한다. 가중치는 $H_{ei}=\max(0,r_{\min}-\mathrm{dist}(e,i))$이다. 필터가 최소 부재 크기를 정하고 체크판 무늬와 격자 의존성을 막는다. 갱신은 최적성 기준법이다.

$$x_e^{\mathrm{new}}=\mathrm{clip}\bigl(x_e\sqrt{B_e},\ x_e-m,\ x_e+m\bigr),\qquad B_e=\frac{-\partial c/\partial x_e}{\lambda\,\partial V/\partial x_e}$$

$m=0.2$는 이동 한계이고 $\lambda$는 체적 제약을 만족하도록 이분법으로 정한다. 흑백 정도는 비이산도 $M_{nd}=\frac{4}{N}\sum_e x_e(1-x_e)$로 잰다(초기 균일 $x=0.5$에서 $100\,\%$). 이 장 구현은 이 알고리즘을 순수 파이썬으로 옮겼다(Sigmund(2001)의 Matlab 코드는 이 환경에서 실행하지 못했고 알고리즘 서술과 요소 행렬을 대조했다).

4.4.3.7 레벨셋 위상 최적화

레벨셋 방법은 재료 영역을 암묵 함수의 부호로 정한다. $\Omega=\{x:\varphi(x,t)<0\}$이고 경계가 영 등고선 $\{\varphi=0\}$이다. 경계가 법선 방향 속도 $V_n$로 움직이면 $\varphi$는 해밀턴-야코비 방정식을 따른다.

$$\frac{\partial\varphi}{\partial t}+V_n\,\lvert\nabla\varphi\rvert=0.$$

$V_n>0$이면 $\{\varphi<0\}$이 팽창한다. 풍상 차분은 $\nabla^{+}=\bigl[\max(D^{-x}\varphi,0)^{2}+\min(D^{+x}\varphi,0)^{2}+\max(D^{-y}\varphi,0)^{2}+\min(D^{+y}\varphi,0)^{2}\bigr]^{1/2}$이고 $\varphi^{n+1}=\varphi^{n}-\Delta t\,V_n\nabla^{+}$이다($V_n<0$이면 부등호 방향을 바꾼다). 안정 조건은 $\Delta t\le h/\max\lvert V_n\rvert$이다(이 장은 $0.4\,h/V$). 이 형태는 Osher·Sethian(1988)이 알려진 풍상 기법이며 이 장은 그 논문을 읽지 않고 구현해 해석해와 비교했다. 위상 최적화에서는 $V_n$을 목적 함수의 형상 도함수와 체적 제약의 승수로 정한다. 컴플라이언스는 경계에서 변형 에너지 밀도가 큰 곳에 재료를 더하고 작은 곳에서 덜어내는 방향이라고 알려져 있으며 Allaire·Jouve·Toader(2004)·Wang·Wang·Guo(2003)가 이를 정식화했다(본문은 읽지 못했다 (확인 필요)). 두 장점은 경계가 영 등고선으로 명시된다는 점과 병합·분리가 자동이라는 점이다(풀이 예제 ⑤: 두 원이 병합해 성분 수가 $2\to1$). 구멍을 새로 만드는 일은 속도장만으로는 어려워 초기 구멍 배치나 위상 도함수 같은 별도 수단이 필요하다고 알려져 있다 (확인 필요). $\varphi$가 부호 거리 함수에서 벗어나면 정밀도가 떨어지므로 주기적으로 재초기화한다. 이 장은 속도장을 위상 최적화에 연결하지 않았고 $V_n$이 주어진 경계 이동만 검증했다. 두 방법의 비교는 다음과 같다(Sigmund·Maute(2013)와 van Dijk 외(2013)가 종합 비교를 수행했으며 본문은 읽지 못했다).

4.4.3.8 제조 제약과 결과의 사후 처리

위상 최적화 결과는 제조 가능성과 피로를 보장하지 않는다. 최소 부재 크기는 필터 반경으로 정하고, 주조·압출 부품은 금형의 빼기 방향(구배)과 벽 두께 균일 조건을, 적층 제조 부품은 지지 없이 만들 수 있는 돌출 각도 같은 공정별 제약을 최적화에 넣는 연구가 있다(제조 제약의 구체는 4.16·4.17). 결과를 CAD 형상으로 재구성하고 응력 집중과 피로(4.5)를 FEA(4.14)로 다시 검토하며, 이음부의 체결구와 지지 면적을 보강한다. 이 장의 계산은 컴플라이언스만 최소화하므로 응력·좌굴·피로 제약이 없는 설계이다.

4.4.3.9 강도 검토와 낙하 충격

링크의 강도는 정하중($\sigma=Mc/I\le\sigma_y/n$, $n$은 안전율), 충격·낙상, 피로(4.5)로 검토한다. 충격은 질량 $m$이 높이 $h$에서 강성 $k$인 링크 끝에 낙하해 부착하는 단순 모형(보 질량·접촉 강성 무시, 선형 탄성)에서 닫힌 식을 얻는다.

$$\delta_{st}=\frac{mg}{k},\qquad \delta_{\max}=\delta_{st}\Bigl(1+\sqrt{1+\frac{2h}{\delta_{st}}}\Bigr),\qquad F_{\max}=k\,\delta_{\max}.$$

같은 강성의 링크는 같은 낙하 에너지에서 최대 힘이 같다(재료와 무관). 응력 $\sigma=F_{\max}Lc/I$은 단면 2차 모멘트 $I=EI/E$에 반비례하므로 같은 강성에서는 탄성계수가 높은 재료가 가는 단면을 갖고 응력이 높다. 금속은 항복 후 소성 변형으로 에너지를 흡수하지만 CFRP는 0° 인장 파단 변형률이 약 $1.6\,\%$(Hexcel 데이터시트)로 소성 구간이 없어 파손으로 이어지며, 충격 후 손상은 CAI 같은 시험으로 확인한다. 사람과의 충돌에서 허용 힘과 압력은 26.9에서 다룬다.

4.4.4 알고리즘

층 계수 (E1, E2, G12, ν12):  ν21 ← ν12 E2/E1;  Q ← [[E1,ν12E2,0],[ν12E2,E2,0],[0,0,G12]]/(1−ν12ν21)
적층 (각도 θk, 두께 tk):    각 층 Q̄(θk) 계산;  A, B, D ← 층 합;  Ex ← 1/(h (A⁻¹)11),  νxy ← −(A⁻¹)12/(A⁻¹)11
SIMP 반복 (x, p, rmin, f):  Ee ← Emin + x^p (1−Emin)  →  K(Ee) U = F (띠 촐레스키)
                           ce ← ueᵀ k0 ue;  dc ← −p x^(p−1)(1−Emin) ce
                           감도 필터: dc ← Σ H x dc / (max(1e−3,x) Σ H);  (밀도 필터: x̃ ← H x / Σ H, dc ← Σ H dc/ΣH)
                           OC: 이분법으로 λ 결정, x ← clip(x √(−dc/λ), x±0.2, 0..1);  max|Δx| < 0.01이면 종료
레벨셋 한 걸음 (φ, V>0):     ∇⁺ ← √(max(D⁻xφ,0)² + min(D⁺xφ,0)² + max(D⁻yφ,0)² + min(D⁺yφ,0)²);  φ ← φ − Δt V ∇⁺

4.4.5 풀이 예제 — 재료 지표, 관 링크, 적층판, SIMP, 레벨셋

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 금속의 비강성은 차이가 약 $5\,\%$이다. ② 같은 굽힘 강성에서 단면 형상과 CFRP가 질량을 정하고, 낙하 충격에서는 같은 강성의 링크가 같은 최대 힘을 받는다. ③ 고전 적층 이론은 NCAMP 시험의 적층판 계수를 $4\,\%$ 안에서 예측한다. ④ SIMP는 같은 체적의 균일 판보다 컴플라이언스를 $19\,\%$ 줄인다. ⑤ 풍상 차분이 위상 변화(병합)를 포함한 경계 이동을 해석해와 격자 간격의 $0.4$배 안에서 맞춘다.

구현. q_lamina·q_bar·abd·inplane(적층판), ke_q4·edofs·band_solve·fe_solve(Q4 유한요소와 띠 촐레스키), sens_filter·smooth·oc_update·simp_mbb(SIMP), hj_step·components(레벨셋), tube_wall·tube_props(관 링크)를 사용한다. 아래 코드는 적층판·SIMP·레벨셋의 핵심만 보이며 나머지는 스크립트에 있다. $y$축은 아래 방향이고 요소 절점은 UL·UR·LR·LL 순서이다(Sigmund(2001)의 규약).

from math import sqrt, pi, sin, cos, radians

def q_lamina(E1, E2, G12, n12):
    """평면 응력 층 강성 (Q11, Q12, Q22, Q66)"""
    n21 = n12 * E2 / E1
    d = 1 - n12 * n21
    return (E1 / d, n12 * E2 / d, E2 / d, G12)

def q_bar(Q, th):
    """th(deg)만큼 회전한 층의 Qbar (3x3, 공학 전단)"""
    q11, q12, q22, q66 = Q
    c, s = cos(radians(th)), sin(radians(th))
    c2, s2, cs = c * c, s * s, c * s
    a, b = q12 + 2 * q66, q11 - q12 - 2 * q66
    d = q12 - q22 + 2 * q66
    m11 = q11 * c2 * c2 + 2 * a * s2 * c2 + q22 * s2 * s2
    m22 = q11 * s2 * s2 + 2 * a * s2 * c2 + q22 * c2 * c2
    m12 = ((q11 + q22 - 4 * q66) * s2 * c2
           + q12 * (s2 * s2 + c2 * c2))
    m16 = b * cs * c2 + d * cs * s2
    m26 = b * cs * s2 + d * cs * c2
    m66 = (q11 + q22 - 2 * q12 - 2 * q66) * s2 * c2 \
        + q66 * (s2 * s2 + c2 * c2)
    return [[m11, m12, m16], [m12, m22, m26], [m16, m26, m66]]

def abd(plies, Q):
    """plies [(각도, 두께)] 아래부터. A, B, D, h 반환"""
    h = sum(t for _, t in plies)
    z = -h / 2
    A = [[0.0] * 3 for _ in range(3)]
    B = [[0.0] * 3 for _ in range(3)]
    D = [[0.0] * 3 for _ in range(3)]
    for th, t in plies:
        Qb, z1 = q_bar(Q, th), z + t
        for i in range(3):
            for j in range(3):
                A[i][j] += Qb[i][j] * (z1 - z)
                B[i][j] += Qb[i][j] * (z1**2 - z**2) / 2
                D[i][j] += Qb[i][j] * (z1**3 - z**3) / 3
        z = z1
    return A, B, D, h

def inplane(A, h):
    """대칭 적층판의 Ex, Ey, Gxy, nu_xy"""
    a = [solve_lu(A, [float(i == j) for i in range(3)])[0]
         for j in range(3)]
    return (1 / (h * a[0][0]), 1 / (h * a[1][1]),
            1 / (h * a[2][2]), -a[1][0] / a[0][0])

def smooth(nb, hs, v):
    """밀도 필터 x~ = H v / Hs"""
    return [sum(w * v[i] for i, w in nb[e]) / hs[e]
            for e in range(len(v))]

def oc_update(x, dc, dv, vf, vol, move=0.2):
    """최적성 기준 갱신: 이분법으로 라그랑주 승수를 정한다"""
    l1, l2 = 0.0, 1e9
    while (l2 - l1) / (l1 + l2) > 1e-3:
        lm = 0.5 * (l1 + l2)
        xn = [max(0.0, xi - move, min(1.0, xi + move,
              xi * sqrt(max(-d, 0.0) / (v * lm))))
              for xi, d, v in zip(x, dc, dv)]
        if vol(xn) > vf * len(x):
            l1 = lm
        else:
            l2 = lm
    return xn

def simp_mbb(nelx, nely, vf, p, rmin, ft=1, maxit=200,
             tol=0.01, snaps=(), emin=1e-9):
    """반 MBB 보의 컴플라이언스 최소화(수정 SIMP).
    ft=1 감도 필터, ft=2 밀도 필터.
    반환: 물리 밀도, 이력, 스냅숏, 최종 컴플라이언스"""
    KE = ke_q4()
    nb = sens_filter(nelx, nely, rmin)
    hs = [sum(w for _, w in r) for r in nb]
    fixed = {2 * n for n in range(nely + 1)}
    fixed.add(2 * (nelx + 1) * (nely + 1) - 1)
    N = nelx * nely
    def phys(v):
        return v if ft == 1 else smooth(nb, hs, v)
    x, hist, snap = [vf] * N, [], {}
    def analyze(xp):
        Ee = [emin + xi**p * (1 - emin) for xi in xp]
        U = fe_solve(nelx, nely, Ee, KE, fixed, {1: 1.0})
        ce = []
        for e in range(N):
            ex, ey = divmod(e, nely)
            ue = [U[d] for d in edofs(nely, ex, ey)]
            Ku = [sum(KE[i][j] * ue[j] for j in range(8))
                  for i in range(8)]
            ce.append(sum(a * b for a, b in zip(ue, Ku)))
        return sum(a * b for a, b in zip(Ee, ce)), ce
    for it in range(1, maxit + 1):
        xp = phys(x)
        c, ce = analyze(xp)
        dc = [-p * xi**(p - 1) * (1 - emin) * q
              for xi, q in zip(xp, ce)]
        if ft == 1:
            dc = [sum(w * x[i] * dc[i] for i, w in nb[e])
                  / (max(1e-3, x[e]) * hs[e])
                  for e in range(N)]
            dv = [1.0] * N
        else:
            dv = [sum(w / hs[i] for i, w in nb[e])
                  for e in range(N)]
            dc = [sum(w * dc[i] / hs[i] for i, w in nb[e])
                  for e in range(N)]
        xn = oc_update(x, dc, dv, vf, lambda v: sum(phys(v)))
        ch = max(abs(a - b) for a, b in zip(xn, x))
        mnd = 400.0 * sum(a * (1 - a) for a in xp) / N
        hist.append((it, c, sum(xp) / N, ch, mnd))
        if it in snaps:
            snap[it] = list(xp)
        x = xn
        if ch < tol:
            break
    xp = phys(x)
    snap['final'] = list(xp)
    return xp, hist, snap, analyze(xp)[0]

def hj_step(phi, h, V, dt):
    """phi_t + V|grad phi| = 0 의 풍상 한 걸음 (V>0)"""
    n, m = len(phi), len(phi[0])
    new = [r[:] for r in phi]
    for i in range(1, n - 1):
        for j in range(1, m - 1):
            a = (phi[i][j] - phi[i - 1][j]) / h
            b = (phi[i + 1][j] - phi[i][j]) / h
            c = (phi[i][j] - phi[i][j - 1]) / h
            d = (phi[i][j + 1] - phi[i][j]) / h
            g = sqrt(max(a, 0)**2 + min(b, 0)**2
                     + max(c, 0)**2 + min(d, 0)**2)
            new[i][j] = phi[i][j] - dt * V * g
    for i in range(n):
        new[i][0], new[i][m - 1] = new[i][1], new[i][m - 2]
    for j in range(m):
        new[0][j], new[n - 1][j] = new[1][j], new[n - 2][j]
    return new

① 재료 지표.

6061·7075·강·티타늄의 $E/\rho$는 $24.8\sim26.1$로 차이가 약 $5\,\%$이다. 굽힘 강성의 상사 단면 지표 $E^{1/2}/\rho$는 알루미늄($3.08$)이 강($1.82$)·티타늄($2.37$)보다 높고, 강도 지표 $\sigma^{2/3}/\rho$는 7075($22.4$)와 티타늄($20.7$)이 6061($15.5$)보다 높다. CFRP 단방향의 $E/\rho$는 $104.5$이고 유사등방 적층은 $36.9$로 금속보다 $1.4$배 높다. 플라스틱은 $1.8\sim2.7$이다. 복합재의 강도 지표는 인장 강도(항복이 없다)이고 금속은 항복강도여서 두 값은 같은 종류의 강도가 아니다.

② 같은 굽힘 강성의 관 링크.

금속은 6061 대비 $0.88\sim1.00$배이고 강의 필요 벽 두께 $0.863$ mm는 가공 하한 $1.0$ mm 아래여서 하한을 적용하면 $0.481$ kg($1.01$배)이 된다. 응력 이용률이 모두 $5\,\%$ 미만이므로 이 링크는 강성이 지배하고 강도 지표는 의미가 없다. CFRP 관은 질량이 $0.30$배이고 1차 고유진동수가 $271$ Hz로 높다. 속찬 봉(바깥지름 $33.3$ mm)은 같은 강성에서 $1.176$ kg으로 관의 $2.5$배이며 고유진동수도 낮다($94.2$ Hz). 즉 이 예에서 단면 형상의 효과($60\,\%$)가 금속 사이의 재료 효과($12\,\%$ 이하)보다 크다. CFRP 관의 응력 이용률은 유사등방 적층의 인장 강도(대표 비교값)로 나눈 것이며 이 관의 실제 파손 기준은 아니다.

낙하 충격에서 정적 처짐 $0.196$ mm, 최대 처짐 $4.630$ mm(동적 계수 $23.6$), 최대 힘 $463$ N이며 닫힌 식·RK4·SciPy DOP853이 일치한다(풀이 예제 ⑥). 같은 강성이므로 최대 힘이 모든 재료에서 같고, 최대 응력은 $I$가 가장 작은 강이 $227.8$ MPa(항복강도의 $0.41$)로 가장 높으며 6061은 $76.7$ MPa($0.28$)이다. 이 모형은 접촉 강성과 보 질량을 무시하므로 실제 충격 힘의 상한을 보장하지 않는다.

③ 고전 적층 이론 대 NCAMP 시험.

층 계수를 NCAMP의 단방향 시험값으로 두고 적층판 $E_x$를 계산하면 시험 평균과 $+3.1$·$+3.8$·$+1.9\,\%$ 차이이고 푸아송비는 $0.019$·$0.016$·$0.011$ 차이이다. 입력과 비교 대상이 같은 보고서의 값이므로 독립 시험에 대한 예측이 아니며, 시험 적층의 쌓는 순서와 층 수는 요약표에 없어 이 장이 정했다. 계산이 모두 시험보다 크므로 CLT가 면내 강성을 약간 높게 평가하는 경향(층간 구속·공극)을 나타낼 수 있으나 세 적층만으로는 원인을 가릴 수 없다. $B_{ij}$는 $10^{-20}$ N 규모로 수치적 0이다(대칭 적층). 단방향 층은 섬유에서 $15^\circ$ 벗어나면 $E_x$가 $52.4$ GPa로 $0^\circ$의 $33\,\%$이고 $90^\circ$에서 $9.0$ GPa이다.

④ SIMP 위상 최적화(반 MBB 보).

균일 초기 설계($x=0.5$)의 컴플라이언스 $1007$은 $p=3$에서 요소 강성이 $0.125$배가 된 결과이며 속찬 보($125.9$)의 $8$배이다. $94$회 반복 후 $203.2$로 줄어 균일 판($251.8$)의 $0.807$배이다. 최적 설계는 윗변 압축 현·아랫변 인장재·사재와 오른쪽 지지부의 트러스 형태이며(그림 (c)), 벌칙이 없는 $p=1$(그림 (d))은 $12$회 만에 중간 밀도가 넓게 남는 해($M_{nd}=58.3\,\%$)로 끝난다. 최종 설계에서도 $x$가 $0.1\sim0.9$ 사이인 요소가 $21\,\%$이고 비이산도가 $17.4\,\%$여서 완전한 흑백이 아니다. 밀도 필터(같은 $r_{\min}$)는 $127$회에서 $218.8$로 수렴하며 감도 필터 해보다 높다. 두 필터의 차이는 해의 형상과 비이산도가 모두 다르기 때문이며 어느 쪽이 더 좋은 설계인지는 이 장이 판단하지 않았다.

Q4 유한요소는 균일 인장 패치 시험을 $10^{-14}$ 안에서 통과한다. 캔틸레버 끝점 처짐은 요소를 $2\times10$에서 $16\times80$으로 늘리면 $455.5\to513.8$로 티모셴코 보 해($515.3$, 전단 계수 Cowper 식)에 $11.6\,\%\to0.3\,\%$로 접근하며 이는 Q4의 굽힘 전단 잠김이 메시 세분으로 줄어드는 모습이다. 오일러-베르누이 해($500$)는 전단 변형을 무시하므로 세분 메시가 이를 넘는 것이 정상이다. 감도 식은 중심 차분과 $1.2\times10^{-6}$ 안에서 같다.

⑤ 레벨셋 방정식의 풍상 차분.

두 원은 반경이 $Vt$만큼 늘어 $t=0.2$에서 닿는다. 모의의 연결 성분 수는 $t=0.15$에서 $2$, $t=0.25$에서 $1$로 해석해와 일치하고, 영 등고선 근방($\lvert\varphi\rvert<0.1$)의 오차는 $0.010$(격자 간격의 $0.4$배) 이하이다. 풍상 차분은 1차 정확도이므로 오차가 $h$에 비례하며 격자를 미세화하는 시험은 하지 않았다.

⑥ 라이브러리 대조(실행 2026-11-05). 낙하 충격 최대 처짐을 SciPy DOP853(사건 $v=0$)과, 이 장의 요소 강성 행렬을 Sigmund(2001) 부록의 닫힌 식과 topopt ElasticityProblem.lk와, 같은 설계의 변위와 컴플라이언스를 SciPy spsolve와 topopt ComplianceProblem.compute_objective와, 감도를 topopt와, 이 장의 OC 최적화(밀도 필터)를 topopt의 MMA(nlopt) 최적화와, 적층판의 $\bar Q$·$A$·$D$를 numpy의 변환 행렬 경로와 유사등방 불변량 식($E=(U_1^2-U_4^2)/U_1$)과, 관 벽 두께를 SciPy brentq와, 캔틸레버 고유치를 $\cos\beta L\cosh\beta L+1=0$의 근과, 레벨셋 풍상 한 걸음을 numpy 벡터화와, 연결 성분 수를 SciPy ndimage.label과 같은 입력에서 비교했다. 스크립트는 robotics/fig-src/4.4-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/4.4-libcheck-output.txt에 있다.

평가와 풀이는 모두 $10^{-11}$ 이하로 일치한다. 이상 징후는 두 가지이다. 첫째, 같은 문제(밀도 필터, $r_{\min}=1.5$, $p=3$)를 topopt의 MMA가 풀면 $190$회 평가 후 컴플라이언스 $210.7$($M_{nd}=19.8\,\%$)이고 이 장의 OC는 $218.8$($26.8\,\%$)이어서 $3.7\,\%$ 차이이다. 두 최적 설계를 서로의 평가기로 다시 평가한 값은 $10^{-12}$ 안에서 같으므로 차이는 평가의 오류가 아니라 국소 최적해와 수렴 판정(이 장은 $\max\lvert\Delta x\rvert<0.01$, MMA는 상대 목적 함수 변화)의 차이로 추정한다 (확인 필요). 둘째, topopt의 MMA에 감도 필터를 적용하면 $87$회에서 $272.4$($M_{nd}=58.6\,\%$)의 회색 해로 멈춘다. 감도 필터는 목적 함수의 정확한 기울기가 아니므로 MMA의 수렴 판정과 맞지 않기 때문으로 추정하며 원인은 확인하지 않았다. topopt는 numpy 1.24에서 삭제된 별칭 numpy.int를 사용하므로 numpy.int = int를 보충하여 실행했다. Sigmund의 Matlab 코드는 이 환경에서 실행하지 못했다(MATLAB·Octave 없음).

한계. 선형 탄성 평면 응력, 단일 하중, 컴플라이언스 최소화만 다루었고 응력·좌굴·피로 제약, 3차원, 다중 하중, 이동 하중, 제조 제약은 없다. 관 링크는 균일 단면 캔틸레버이며 관절·감속기의 유연성과 이음부는 제외했다(2.12). CLT는 면내·굽힘 선형 이론으로 층간 응력, 가장자리 효과, 손상과 파손을 포함하지 않는다. 재료 물성은 2차 출처의 대표값이다. 레벨셋은 속도가 주어진 경계 이동만 검증했고 위상 최적화로 연결하지 않았다.

견해: 로봇 링크는 초기 설계에서 금속(알루미늄 가공·압출) 관·박스 단면으로 처짐과 고유진동수를 계산해 한계를 정하고, 질량 예산이 부족한 원위 링크와 하중 경로가 복잡한 브래킷·하우징에서만 CFRP 또는 위상 최적화를 도입하는 순서가 합리적이라고 본다. 근거는 이 장의 계산에서 금속 사이의 교체가 $12\,\%$ 이하인 반면 단면 형상이 $60\,\%$, CFRP가 $70\,\%$, 위상 최적화가 $19\,\%$(보 문제 한 건)의 질량 또는 강성 이득을 주었다는 점이다. 원가·접합·충격 내성·제조 수량은 이 장이 비교하지 않았고 위의 이득은 조건 하나에서의 값이므로 일반화하지 않는다.

4.4.6 설계 트레이드오프 — 링크 구조 방식의 선택

링크·하우징 구조는 다음 방식 중에서 고른다.

• ① 가공·압출 알루미늄(관·박스·판 조립). 소량부터 가능하고 재료 물성이 안정적이며 수정이 쉽다. 형상 자유도와 질량이 한계이다.
• ② 주조(금형 중력·다이캐스팅) 알루미늄. 리브·보스·유로를 통합하고 수량이 많으면 단가가 낮다. 금형 비용과 물성 산포, 기공이 한계이다.
• ③ CFRP 관·판과 금속 인서트. 같은 강성에서 질량이 가장 낮고 열팽창이 작다. 이방성, 접합 설계, 충격과 층간 박리, 원가가 한계이다.
• ④ 엔지니어링 플라스틱(사출·적층 제조). 형상 통합과 시작품이 쉽고 절연·내마모 부품에 적합하다. 비강성이 낮고 크리프·온도 한계가 있어 구조재로 부적합하다.

견해: 시작품과 소량 생산은 ①을 기본으로 하고, 양산 단계에서 질량이 같은 수준이면 ②로 이행하며, 질량 예산이 병목인 부위에 ③을 국소 적용하는 편이 위험이 낮다고 본다. 근거는 ③의 이득이 이 장의 관 계산에서 $70\,\%$로 크지만 접합부 구멍 시편의 강도가 구멍 없는 시편의 $56\,\%$로 떨어지는 NCAMP 값이 보여주듯 이음부 설계가 지배적이기 때문이다. 방식별 원가와 수명 비교는 이 장이 수행하지 않았다.

4.4.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 응용별 재료 점유와 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

4.4.8 관련 규격·프로토콜

위상 최적화에는 표준이 없고 Sigmund(2001)·Andreassen 외의 교육용 코드가 사실상의 기준 구현으로 인용된다.

4.4.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

로봇 구조 재료를 직접 규정하는 법령·인증 요건은 확인하지 못했다. 간접 연결은 다음과 같다. ① 물질 규제: EU의 유해물질 제한 지침(Directive 2011/65/EU, RoHS)과 화학물질 등록·평가 규칙(Regulation (EC) No 1907/2006, REACH)이 재료·도금·난연제 선택을 제약할 수 있다는 점은 알려져 있으나 이 장은 조문을 읽지 않았다 (확인 필요). ② 의료 로봇의 환자 접촉 재료는 생체적합성 평가(ISO 10993 계열 (확인 필요))와 의료기기 인허가(39.20)의 대상이다. ③ 협동로봇의 충돌 접촉 힘·압력(26.9)은 외피·링크의 강성과 질량의 영향을 받는다. ④ 구조 파손은 위험성평가(26.4)에서 위해 요인으로 다룬다. 이들의 요구 수준은 이 장이 확인하지 않았다.

4.4.10 한계·유의점·미해결

• 재료 값. 대표값은 조질·공급자·방향·온도·습도·로트에 따라 달라지고 설계 허용값(A-basis·B-basis)이 아니다. 복합재는 층 계수가 시험마다 다르며(이 장의 $E_2$: NCAMP $1.30$ Msi, Hexcel 데이터시트 $1.70$ Msi) 구조 설계에는 같은 재료의 허용값 문서를 사용한다.
• 위상 최적화의 범위. 이 장의 결과는 컴플라이언스 최소화 한 건이며 응력 제약·피로·좌굴·제조 제약이 없다. 비이산도 $17.4\,\%$의 회색 요소는 경계 해석에 따라 물리적 의미가 모호하다. 결과를 FEA로 재검증하고 CAD로 재구성해야 한다.
• 좌표·부호 규약. $y$축 방향과 절점 순서가 문헌마다 다르다(Sigmund의 요소 행렬은 $y$ 아래 방향과 UL·UR·LR·LL 순서에 대응하며, 위쪽 방향 규약을 사용하는 코드는 절점 순서를 바꾸어 같은 행렬을 사용한다). 이 장은 topopt와 같은 값을 얻었다.
• 미해결. 로봇 링크의 위상 최적화에 관절 동역학(관성 분포)과 열 변형을 목적에 넣는 방법, CFRP 링크 접합부의 수명과 검사, 주조 부품의 허용값 산정은 이 장에서 다루지 못했다.

4.4.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 상사 단면의 굽힘 강성 제약에서 질량이 $\rho/E^{1/2}$에 비례함을 $I=\beta A^{2}$로 유도하고, 너비 고정 판과 바깥지름 고정 관에서의 지표를 구하라.
2. $\bar Q(\theta)$와 $A$·$B$·$D$ 행렬을 정의하고, 대칭 적층에서 $B=0$인 이유와 유사등방 적층이 면내 등방인 이유를 설명하라.
3. SIMP의 감도 $\partial c/\partial x_e=-p x_e^{p-1}u_e^{T}k_0u_e$를 인접 방정식으로 유도하라(자기 수반 문제).
4. 감도 필터와 밀도 필터의 차이를 설명하고, 밀도 필터에서 감도가 연쇄 법칙으로 어떻게 바뀌는지 보여라.
5. 풍상 차분이 안정하려는 시간 간격 조건을 설명하고 두 원의 병합 시각 $t^{*}=(d-r_1-r_2)/(2V)$를 유도하라.
6. 같은 처짐 한계의 관 링크에서 벽 두께 가공 하한이 재료 순위에 미치는 영향을 계산하라.

연구 질문:

• 로봇 링크의 위상 최적화에서 질량 분포가 관절 관성(3.4)과 에너지 소비에 미치는 영향을 목적에 넣으면 컴플라이언스 최적 설계와 얼마나 달라지는가(이 장은 시험하지 않았다)?
• 적층 제조 제약과 피로 제약(4.5)을 함께 둔 위상 최적화 결과가 실제 시험편에서 컴플라이언스·수명 예측과 얼마나 일치하는가?
• CFRP 링크의 체결·접착 접합부 설계 규칙을 시험 데이터(구멍 시편의 $56\,\%$ 저감 등)로 일반화할 수 있는가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• O. Sigmund, "A 99 line topology optimization code written in Matlab," Structural and Multidisciplinary Optimization 21, 120–127, 2001, doi:10.1007/s001580050176 — 전문과 부록 코드를 읽었다.
• E. Andreassen, A. Clausen, M. Schevenels, B. S. Lazarov, O. Sigmund, "Efficient topology optimization in MATLAB using 88 lines of code," Structural and Multidisciplinary Optimization 43, 1–16, 2011(온라인 2010), doi:10.1007/s00158-010-0594-7 — 저자 원고의 서론~3.3절(알고리즘 서술)을 읽었다.
• Hexcel, HexPly 8552 Product Data Sheet(미국판 2020, 유럽판 2023)와 HexTow IM7 Carbon Fiber Product Data Sheet — 읽었다. 8552/IM7 UD 밀도·두께·섬유 부피 분율·0°·90° 인장 계수.
• NCAMP, Hexcel 8552 IM7 Unidirectional Prepreg 190 gsm & 35%RC Qualification Statistical Analysis Report, Report No. NCP-RP-2009-028 Rev B, 2019-04-16, E. Clarkson, NCAMP·NIAR·Wichita State University — 층·적층판 요약표(층 3.2절)를 읽었다.
• 위키백과 "6061 aluminium alloy"·"7075 aluminium alloy"·"Ti-6Al-4V"·"Polyether ether ketone"·"Polycarbonate"·"SAE 4140 steel" 물성 표 — 2차 출처로 읽었다.
• 서지만 확인: M. P. Bendsøe, N. Kikuchi, Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 71, 197–224, 1988, doi:10.1016/0045-7825(88)90086-2; M. P. Bendsøe, Structural Optimization 1, 193–202, 1989, doi:10.1007/bf01650949; M. Zhou, G. I. N. Rozvany, Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 89, 309–336, 1991, doi:10.1016/0045-7825(91)90046-9; M. P. Bendsøe, O. Sigmund, Arch. Appl. Mech. 69, 635–654, 1999, doi:10.1007/s004190050248; M. P. Bendsøe, O. Sigmund, Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications, Springer, 2004, doi:10.1007/978-3-662-05086-6; K. Svanberg, Int. J. Numer. Methods Eng. 24, 359–373, 1987, doi:10.1002/nme.1620240207; O. Sigmund, Struct. Multidisc. Optim. 33, 401–424, 2007, doi:10.1007/s00158-006-0087-x; O. Sigmund, K. Maute, Struct. Multidisc. Optim. 48, 1031–1055, 2013, doi:10.1007/s00158-013-0978-6; G. Allaire, F. Jouve, A.-M. Toader, J. Comput. Phys. 194, 363–393, 2004, doi:10.1016/j.jcp.2003.09.032; M. Y. Wang, X. Wang, D. Guo, Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 192, 227–246, 2003, doi:10.1016/s0045-7825(02)00559-5; S. Osher, J. A. Sethian, J. Comput. Phys. 79, 12–49, 1988, doi:10.1016/0021-9991(88)90002-2; N. P. van Dijk, K. Maute, M. Langelaar, F. van Keulen, Struct. Multidisc. Optim. 48, 437–472, 2013, doi:10.1007/s00158-013-0912-y; S. W. Tsai, E. M. Wu, J. Compos. Mater. 5, 58–80, 1971, doi:10.1177/002199837100500106; R. M. Jones, Mechanics of Composite Materials, CRC Press, 2018, doi:10.1201/9781498711067.
• numpy 2.5.4, SciPy 1.18.1, topopt 0.0.1a1(Z. Ferguson, 파이썬 위상 최적화 라이브러리).

다음 장. 4.5은 피로·내구 설계를 다룬다. 이 장에서 정한 링크·하우징의 단면과 재료에 반복 하중이 작용할 때 S-N 곡선, 응력 집중, 굿맨 선도, 볼트 풀림, 누적 손상으로 수명을 계산하고 위상 최적화 결과의 응력 집중을 검토하는 방법으로 이어진다.