제5부 구동·액추에이터·동력전달

5.18 탄성 액추에이터: 직렬 탄성(SEA)·가변 강성(VSA)

5.18.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 모터와 부하 사이에 스프링을 넣은 직렬 탄성 액추에이터(Series Elastic Actuator, SEA)와 스프링 강성을 바꾸는 가변 강성 액추에이터(Variable Stiffness Actuator, VSA)를 구동기 설계의 관점에서 다룬다. SEA의 모터 토크 분해(출력 토크·스프링 진동·출력 추종), 스프링 강성이 정하는 토크 능력의 주파수 의존과 설계 변수(변형·분해능·고유 진동수·저장 에너지), 렌더링할 수 있는 임피던스를 제한하는 수동성 조건(하중 쪽 비례 제어의 $k_d\le k_s$, 속도 원천 영 임피던스의 필요충분 조건), 길항 VSA의 강성·토크 포락선·에너지·유지 전력을 계산하고, 읽은 문헌의 수치를 재계산한다. 유연 관절 동역학은 3.9, 구동기 지표와 충격 완화는 5.1, 서보 루프와 공진은 5.9, 투명한 저감속 구동은 5.16, 순응 기구의 스프링 설계는 4.9, 임피던스 제어와 수동성은 12.9·12.10, 진동 억제 제어는 12.11, 토크 센서는 6.3과 이어진다.

배우는 것:

• SEA 모델 — $T_m=(1+s^2J_m/k_s)T_l+s^2J_m\theta_l$, 차단 고유 각진동수 $\sqrt{k_s/J_m}$.
• 토크 능력 — 최악 위상에서 $T_{l,max}=(T_{max}-\omega^2J_m\theta_l)/\lvert1-\omega^2/\omega_n^2\rvert$.
• 강성 선택 — 변형 $\tau/k_s$, 토크 분해능 $k_s\Delta\theta$, 고유 진동수 $\sqrt{k_s/J_m}$, 저장 에너지 $\tau^2/(2k_s)$.
• 수동성 — 하중 쪽 비례 제어의 $k_d\le k_s$, 속도 원천 영 임피던스의 $J\le J_{max}$·$b\le b_{max}$.
• 길항 VSA — $K=2ar^3s$, 선형 영역 최대 토크 $K^2/(4ar^3)$, 저장 에너지 $ar^3s^3/12$.

선수 지식: 3.9(1R 유연 관절의 전달함수), 5.1(반사 관성·충격 완화), 5.9(속도·토크 루프), 5.16(전류 기반 토크 추정).

특히 중요한 독자: 접촉·충돌 안전을 위해 스프링을 관절에 넣는 설계 엔지니어, SEA의 토크 제어기를 설계하는 제어 엔지니어, 사양서의 "수동"·"가변 강성" 표기를 해석해야 하는 인증·사업 담당자.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: (a) Williamson의 MIT 석사 학위논문 Series Elastic Actuators(1995; MIT AI Laboratory의 사본)의 1·3·4·5장과 6장 일부(모형, 임피던스, PID 수동성, 성능 한계, 설계 표, 식별 결과). (b) Tosun·Patoglu의 arXiv:1902.10607v1(2019, 속도 원천 SEA 임피던스 제어의 수동성; 출판본은 IEEE Trans. Robotics 36(3), 757–772(2020)으로 제목이 다르고 읽지 못했다). (c) Mehta·Losey의 arXiv:2509.17210(2025)의 1~4장 일부(하중 쪽 비례 제어의 표 I). (d) Haninger·Asignacion·Oh의 arXiv:1912.01355v1의 초록·서론. (e) Fiorio 외의 RSS X 논문(2014, 길항 VSA의 정지 마찰). (f) Shah·Saund의 arXiv:2107.02892(2021, SiMPLeR). (g) Zhu의 UCLA 박사 학위논문(2023)의 1.2.1절과 표 1.1, Wensing 외(2017)의 IMF 서술. 서지만 확인한 것(본문은 읽지 못했다): Pratt·Williamson(1995, IROS 399–406), Vallery 외(2007, IROS), Paine·Oh·Sentis(2014, IEEE/ASME Trans. Mechatronics 19(3), 1080–1091; 학위논문 사본은 받지 못했다), Vanderborght 외(2013, Robotics and Autonomous Systems 61(12), 1601–1614), Wolf 외(2016, VSA 리뷰; 사본이 접속 거부로 막혔다), Tonietti·Schiavi·Bicchi(2005, ICRA 526–531), Van Ham 외(2006, MACCEPA, ICRA 2195–2200). 제품의 가격·시장 수치는 확인하지 않았다. 이 장의 계산 가정은 각 표 앞에 적었다.

5.18.2 개념 — 스프링은 힘 센서이자 충격 완충기이며 대가는 대역과 최대 힘이다

결론부터 적으면 다음과 같다. SEA는 모터와 부하 사이에 스프링을 두어 출력 토크를 스프링 변형의 측정으로 얻고($\tau=k_s\Delta\theta$) 충격을 스프링이 흡수하게 한다. Williamson(1995)은 힘 제어를 위치 제어 문제로 바꿔 마찰·백래시·토크 맥동의 영향을 줄이고 모터와 기어를 충격에서 보호한다고 서술한다. 대가는 세 가지이다. 첫째 스프링이 저역 통과 필터이므로 힘 제어 대역이 낮다. 둘째 출력 토크의 상한이 스프링의 항복과 변형 한계로 정해진다. 셋째 기구가 복잡하고 부피가 커진다. 강성은 하나의 값으로 이 상충을 모두 정한다. 낮추면 변형이 커서 토크 분해능이 좋고 충격 에너지를 많이 흡수하나 차단 고유 진동수가 내려가 대역이 낮아지고, 높이면 그 반대이다. VSA는 이 강성을 과업 중에 바꾸어 한 구동기가 두 극단을 오가게 하려는 구성이며, 대가는 강성 조절용 모터·유지 전력·정지 마찰이다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① Williamson의 식별 모형에서 차단 고유 각진동수가 $38.41$ rad/s, 감쇠비가 $0.103$이고 그에 해당하는 관성은 $0.0312$ kg·m²로 인용 관성 $0.02$ kg·m²(예상 $47.96$ rad/s)보다 크다. ② 같은 모터 토크 $4$ N·m에서 SEA는 고유 진동수 아래에서 강체 구동기보다 큰 출력 토크(스프링 항복 $5.93$ N·m까지)를 내고 위에서는 작다. ③ 강성을 $46$에서 $1000$ N·m/rad으로 올리면 변형이 $4.98^\circ$에서 $0.23^\circ$로, 14비트 토크 분해능이 $17.6$에서 $383.5$ mN·m로, 저장 에너지가 $0.174$에서 $0.008$ J로 바뀐다. ④ 하중 쪽 비례 제어는 $k_d\le k_s$에서 수동이고 속도 원천 영 임피던스는 $J\le J_{max}$·$b\le b_{max}$에서 수동이며 무작위 $300$개 조합에서 수치 판정과 $300/300$ 일치한다. ⑤ 길항 VSA의 강성이 $10$배($1.6\to16$) 변하는 동안 선형 영역 최대 토크는 $100$배, 저장 에너지는 $1000$배 변한다. ⑥ numpy·SciPy·MuJoCo 독립 대조가 $2\times10^{-3}$ 이하에서 일치한다.

5.18.3 원리

5.18.3.1 SEA 모델과 출력 임피던스

모터 관성 $J_m$(감속기를 거친 출력축 환산), 스프링 $k_s$, 모터 각 $\theta_m$, 출력 각 $\theta_l$에서 운동방정식은 $T_m+k_s(\theta_l-\theta_m)=J_m\ddot\theta_m$이고 출력 토크는 $T_l=-k_s(\theta_l-\theta_m)$이다(Williamson 1995의 식 3.1·3.2, 부호 규약은 그의 것이다). 라플라스 변환하면 다음이다.

$$T_m=\Bigl(1+\frac{J_m}{k_s}s^2\Bigr)T_l+J_ms^2\theta_l,\qquad \frac{T_l}{T_m}\Big|_{\theta_l=0}=\frac{1}{1+s^2J_m/k_s},\qquad Z(s)=\frac{T_l}{\theta_l}=\frac{-s^2J_m}{1+s^2J_m/k_s}.$$

결론은 세 가지이다. 첫째 출력을 고정하면 모터 토크에서 출력 토크까지 영점이 없고 차단 고유 각진동수 $\omega_n=\sqrt{k_s/J_m}$에 허수축 극이 있다. 둘째 모터가 내야 할 토크는 세 항, 곧 스프링 감김에 해당하는 $T_l$, 모터 질량이 스프링 위에서 진동하는 것을 상쇄하는 $(J_m/k_s)\ddot T_l$, 출력의 움직임을 따라가는 $J_m\ddot\theta_l$이다. 이 분해는 전향 보상에 사용된다. 셋째 모터를 구속하지 않은 출력 임피던스는 $-s^2J_m/(1+s^2J_m/k_s)$로 저주파에서 모터 관성처럼, 고주파에서 스프링 $-k_s$처럼 보인다. 1R 유연 관절의 일반 전달함수(병치·비병치, 공진·반공진)는 3.9이다.

5.18.3.2 힘 제어 구조

스프링 변형이 힘이므로 힘 제어는 변형(곧 모터 위치)의 제어이다. 문헌의 구조는 네 가지이다. (a) PID + 전향. Williamson(1995)은 토크 오차의 PID(적분 항에 저역 통과 극 $\tau$를 둔 형태)와 모터 가속 전향 항을 사용하고 구성 전체의 이득(표 6.1: $P=1908$, $I=977$, $V=362$, 극 $11.86$)을 보고한다. (b) 속도 원천 계단식. 가장 안쪽에 속도 루프, 중간에 토크 루프, 가장 바깥에 임피던스 루프를 두며(Wyeth가 속도 원천 SEA라 이름 붙였다고 Tosun·Patoglu가 서술한다) 적분기를 사용할 수 있고 안쪽 루프가 마찰과 정지 마찰을 줄인다. (c) 외란 관측기(DOB). Haninger 외는 DOB 토크 제어가 고이득 PD 피드백의 필요를 줄이고 더 높은 임피던스를 렌더링하게 한다고 서술한다(초록). (d) 구동기 쪽 제어 + 물리 감쇠. Mehta·Losey(2025)는 하중 쪽 제어의 이득이 스프링 강성에 묶이는 반면 구동기 쪽 PD와 전달부의 댐퍼를 함께 사용하면 안전한 이득 범위가 넓어진다고 보고한다(시뮬레이션·실험, 이 장은 서술만 읽었다). 전류 루프와 속도 루프의 튜닝은 5.9이다.

5.18.3.3 토크 능력의 주파수 의존

모터 토크의 크기가 $T_{max}$를 넘지 못한다는 제약에서 출력 토크 $T_l$과 출력 움직임 $\theta_l$의 위상에 따른 최악을 보면, $\lvert T_m\rvert\le\lvert1-\omega^2/\omega_n^2\rvert T_l+\omega^2J_m\theta_l$이고 따라서 다음이 성립한다(Williamson 1995 4.2절의 복소 평면 서술과 같은 구조이며 이 장이 닫힌 식으로 정리했다).

$$T_{l,max}(\omega)=\frac{T_{max}-\omega^2J_m\theta_l}{\lvert1-\omega^2/\omega_n^2\rvert},\qquad T_{l,max}^{\text{강체}}=T_{max}-\omega^2J_m\theta_l.$$

$\omega<\omega_n$에서는 분모가 $1$보다 작아 SEA가 모터 토크보다 큰 출력 토크를 낸다(스프링 위 모터 질량의 관성력이 거든다). $\omega=\omega_n$에서 분모가 $0$이어서 이 모형은 감쇠가 없을 때 무한한 힘을 예측하며 실제 상한은 스프링 항복과 감쇠가 정한다. $\omega>\omega_n$에서는 분모가 커져 강체 구동기보다 작다. Williamson(1995)은 이 영역이 낮은 주파수에서는 임피던스가 질량 같을 때, 높은 주파수에서는 스프링 같을 때 유리하다고 서술한다. 출력을 움직이는 데 모터 관성이 드는 $\omega^2J_m\theta_l$ 항은 강성과 무관하게 $\omega\le\sqrt{T_{max}/(J_m\theta_l)}$의 한계를 둔다.

5.18.3.4 강성 선택의 설계 변수

강성 $k_s$는 네 양을 동시에 정한다. 최대 토크 $\tau$에서 변형 $\delta=\tau/k_s$는 스프링의 변형률·항복 한도($\delta_{yield}$)와 관련되고, 토크 분해능은 변형을 재는 엔코더의 분해능 $\Delta\theta$에서 $k_s\Delta\theta$이며, 차단 고유 진동수 $\sqrt{k_s/J_m}/2\pi$는 대역의 상한을 정하고, 저장(흡수 가능) 에너지 $\tau^2/(2k_s)$는 충격 에너지 $E_{imp}$를 최대 토크 이내로 받아내는 조건 $k_s\le\tau^2/(2E_{imp})$를 준다. Tosun·Patoglu는 더 큰 컴플라이언스가 힘 감지 분해능을 높이고 더 큰 강성이 대역을 높인다고 서술하며, 스프링 설계가 장치 설계에서 가장 어려웠다고 Williamson(1995)이 적는다(높은 항복 강도와 낮은 강성을 함께 얻기 어려웠고 목표는 최대 토크 $4$ N·m·비틀림 약 $5^\circ$였다). 스프링 자체의 형상·재료·피로는 4.9, 중력 보상용 스프링은 4.10이다.

5.18.3.5 수동성과 렌더링할 수 있는 임피던스

접촉 상대가 수동 시스템이면 구동기의 구동점 임피던스가 양실수(positive real)일 때 결합 안정이 보장된다(Colgate와 Hogan의 결과를 Williamson이 인용). 같은 조건은 $Z(s)$의 극이 좌반면이고 허수축 극이 단순하며 $\mathrm{Re}\,Z(j\omega)\ge0$인 것이다(Tosun·Patoglu의 정리). 두 결과가 이 장의 계산 대상이다.

하중 쪽 비례 제어. 순수 스프링의 SEA에서 하중 위치에 가상 강성 $k_d$를 렌더링하면 $F_L/X_L=k_s(ms^2+bs+k_d)/(ms^2+bs+k_s)$이고 $\mathrm{Re}\,Z_L=k_sb(k_s-k_d)/\lvert\cdot\rvert^2$이므로 $b>0$에서 수동일 조건이 $k_d\le k_s$이다. Mehta·Losey(2025)의 표 I 첫 행(조건 $bk_1(k_1-k_d)\omega^2\ge0$)과 같다. 렌더링할 수 있는 가상 강성이 물리 스프링의 강성으로 묶인다는 Vallery 외의 결과를 Tosun·Patoglu가 인용한다.

속도 원천 계단식의 영 임피던스. Tosun·Patoglu는 안쪽 속도 PI($P_m$, $I_m$), 가운데 토크 PI($P_t$, $I_t$)에서 영 임피던스를 렌더링할 때 필요충분 조건을 도출한다. 모터 관성 $J$, 모터 감쇠 $b$에 대해 다음이다.

$$J\le J_{max}=\frac{(P_m+b)(1+P_mP_t)}{P_mI_t+P_tI_m},\qquad b\le b_{max}=\frac{P_tI_m}{I_t}\quad(\text{둘이 동시에 등호이면 불안정}).$$

둘째 한계는 물리 감쇠가 클수록 수동성을 해친다는 직관에 어긋나는 결과이며 논문은 이 한계가 적분 이득이 있을 때 필수라고 서술한다. Williamson(1995)의 PID는 적분 항을 $1/((s+\tau)T_i)$로 롤오프시켜야 하고 조건은 $\tau\ge1/\sqrt{T_iT_d}$이다.

5.18.3.6 가변 강성 — 분류와 길항 모델

Shah·Saund(2021)는 수동 가변 강성 구동기를 평형 위치 제어형(SEA의 임피던스 제어, 모터 한 개로 위치와 강성을 모두 시뮬레이션), 길항 제어형(비선형 스프링 둘과 모터 둘), 구조 제어형(스프링의 유효 길이나 단면을 바꿈)으로 나눈다. 길항형을 다음으로 모형화한다. 스프링의 힘이 변형 $\delta$의 함수 $f(\delta)$이고 모터 위치 $q_1$, $q_2$, 풀리 반지름 $r$, 관절 각 $q$에서 변형이 $\delta_1=r(q_1-q)$, $\delta_2=r(q_2+q)$이면 토크는 $\tau=r[f(\delta_1)-f(\delta_2)]$이다. 모든 단조 증가 $f$에서 평형은 $q_{eq}=(q_1-q_2)/2$이다. 선형 스프링($f=k\delta$)은 $\tau=2kr^2(q_{eq}-q)$로 강성이 고정이며 모터를 같이 당겨도 바뀌지 않는다(Shah·Saund도 선형 스프링에서 순 토크가 변하지 않는다고 서술한다). 이차 스프링 $f=a\delta^2$에서는 다음이 성립한다.

$$\tau=-2ar^3(q_1+q_2)\bigl(q-q_{eq}\bigr),\qquad K=2ar^3s,\quad s=q_1+q_2,\qquad \lvert\tau\rvert\le\frac{Ks}{2}=\frac{K^2}{4ar^3}\ (\text{두 스프링이 늘어난 선형 영역}).$$

위치는 $q_1-q_2$가, 강성은 $q_1+q_2$가 정하므로 위치와 강성의 지령이 분리된다. 선형 영역의 끝에서는 한 스프링이 느슨해진다. 강성이 $K$일 때 토크 한계가 $K^2$에 비례하고 저장 에너지 $ar^3s^3/12$가 $K^3$에 비례하므로 강성의 범위를 넓히려면 토크 한계와 에너지의 범위가 더 빠르게 넓어진다. 강성을 유지하려면 두 모터가 스프링 힘 $rf(\delta_0)$을 계속 지탱해야 하며, 역구동이 가능한 모터는 이를 줄 열로 치르고 Shah·Saund는 역구동이 어려운 아크미 나사로 이를 줄인다고 서술한다. Fiorio 외(2014)는 길항 VSA에서 동시 수축이 내부 마찰, 특히 정지 마찰을 키워 출력 관절의 중립 평형 위치 집합("dead-band")이 생기며 스프링 퍼텐셜 에너지에 대한 조건으로 스프링을 설계해 이를 줄였다고 보고한다.

5.18.3.7 대표 제품과 현황

기준 시점 2026-11-05에 이 장이 읽은 것은 학위논문·논문이며 제품 카탈로그가 아니다. 제품 비교와 가격은 46.5(일체형 관절 모듈)·46.13에서 다룬다.

Shah·Saund는 AMASC, MACCEPA(모터 3개), VSA-Cube를 인용해 서술하나 이 장은 그 원문을 읽지 못했다 (확인 필요).

5.18.4 알고리즘 — 스프링 강성과 제어 구조의 선정 절차

SEA 또는 VSA는 다음 순서로 설계한다. 값은 후보 강성마다 계산한다.

입력: 최대 토크 τmax, 충격 에너지 Eimp, 요구 힘 대역 ω_bw, 토크 분해능 Δτ, 엔코더 분해능 Δθ, 모터 관성 Jm(출력 환산)
 1. 변형 한도로 하한: k_s ≥ τmax / δ_yield (항복), 충격 에너지로 상한: k_s ≤ τmax² / (2 Eimp).
 2. 분해능으로 상한: k_s ≤ Δτ / Δθ.
 3. 대역으로 하한: ω_n = sqrt(k_s / Jm) ≥ 요구 대역의 배수 (5.9).
 4. 강성이 가변이면 K = 2 a r³ s의 범위를 정하고 토크 한계 K²/(4 a r³)가 요구 토크 이상인지 확인한다.
 5. 제어 구조: 렌더링할 가상 강성 k_d ≤ k_s, 속도 원천이면 J ≤ Jmax, b ≤ bmax를 확인한다.
 6. 토크 능력 (τmax − ω² Jm θl) / |1 − ω²/ω_n²|를 요구 주파수에서 확인한다.
 7. 유지 전력(VSA)과 정지 마찰(Fiorio)을 시험으로 확인한다 (5.26).

아래 코드가 이 장의 계산 코어이다(표시 폭 62칸 이하, 표준 라이브러리만 사용).

from math import pi, sqrt

def pole_pair(a1, a0):
    """s^2 + a1 s + a0의 고유 각진동수와 감쇠비"""
    return sqrt(a0), a1 / (2 * sqrt(a0))

def cap_sea(w, J, ks, Tm, th):
    """최악 위상에서 출력 토크 최댓값 (T_l 진폭)"""
    r = abs(1 - w * w * J / ks)
    return (Tm - w * w * J * th) / r if r > 1e-12 else 1e9

def cap_stiff(w, J, Tm, th):
    """강체 구동기: T_m = T_l + w^2 J th"""
    return Tm - w * w * J * th

def z_null(w, J, b, K, Pm, Im, Pt, It):
    """속도 원천 SEA의 영 임피던스 K s (J s^2+(Pm+b)s+Im)/D"""
    s = 1j * w
    al, ga = Pm * It + Pt * Im, K * Pm * Pt + Im
    D = (J * s**4 + (Pm + b) * s**3 + (K + ga) * s**2
         + al * K * s + K * Im * It)
    return K * s * (J * s**2 + (Pm + b) * s + Im) / D

def passive_num(J, b, K, Pm, Im, Pt, It, n=4000):
    """Re Z >= 0 (로그 격자 n점)이고 안정이면 참"""
    al, ga = Pm * It + Pt * Im, K * Pm * Pt + Im
    xi = (al * (Pm + b) * (K + ga) - Im * It * (Pm + b)**2
          - J * K * al**2)
    ok = xi > 0
    for i in range(n):
        w = 10 ** (-3 + 7 * i / (n - 1))
        z = z_null(w, J, b, K, Pm, Im, Pt, It)
        ok = ok and z.real >= -1e-9
    return ok

def passive_prop2(J, b, Pm, Im, Pt, It):
    """명제 2: J <= Jmax, b <= bmax (둘 다 등호는 제외)"""
    Jm = (Pm + b) * (1 + Pm * Pt) / (Pm * It + Pt * Im)
    bm = Pt * Im / It
    return (J <= Jm and b < bm) or (J < Jm and b <= bm)

def reZ_loadP(w, m, b, k1, kd):
    """하중 쪽 비례 제어의 Re Z_L = k1 b (k1-kd)/|den|^2"""
    den = (k1 - m * w * w) ** 2 + (b * w) ** 2
    return k1 * b * (k1 - kd) / den

def vsa_K(fmax, dmax, r, s, p=2):
    """길항 강성: f = fmax (d/dmax)^p, s = q1+q2"""
    d0 = r * s / 2
    a = fmax / dmax**p
    return 2 * r**2 * a * p * d0 ** (p - 1)

def vsa_tau_max(K, a, r):
    """이차 스프링의 최대 토크 K^2/(4 a r^3)"""
    return K * K / (4 * a * r**3)

def vsa_energy(a, r, s):
    """평형에서 두 스프링의 저장 에너지 a r^3 s^3 / 12"""
    return a * r**3 * s**3 / 12

5.18.5 풀이 예제 — 식별값, 토크 능력, 강성 선택, 수동성, 길항 VSA

결론부터 적으면 다음과 같다. ① Williamson의 식별값이 산술로 재현되고 식별 관성이 인용값보다 크다. ② SEA는 고유 진동수 아래에서 모터 토크 이상의 출력 토크를 낸다. ③ 강성 $k_s$가 변형·분해능·고유 진동수·저장 에너지를 정한다. ④ 하중 쪽 비례 제어는 $k_d\le k_s$에서만 수동이고 영 임피던스의 필요충분 조건이 수치 판정과 일치한다. ⑤ 길항 VSA는 강성 범위보다 토크·에너지 범위가 훨씬 크다. ⑥ 독립 라이브러리 대조가 일치한다.

① Williamson의 식별값.

식별 모형의 극 $-3.945\pm38.2026j$에서 고유 각진동수 $38.41$ rad/s·감쇠비 $0.1027$이 산술로 재현된다. 스프링 $46$ N·m/rad에서 이 진동수에 해당하는 관성은 $46/1475=0.0312$ kg·m²이고 인용 관성 $0.02$ kg·m²는 예상 $47.96$ rad/s를 준다. 논문은 이 차이를 인용 관성이 기어박스와 스프링의 관성을 포함하지 않기 때문이라고 설명한다. 임피던스 식별은 $36.14$ rad/s, 스프링 $44$ N·m/rad(측정 $46$)이다. $4$ N·m의 변형이 $4.98^\circ$로 논문의 "약 $5^\circ$"와 같고 항복 각 $0.129$ rad은 $5.93$ N·m에 해당해 설계 최대 토크의 $1.48$배이다. 표 6.2의 폐루프 극 두 쌍은 $38.4058$ rad/s·$0.1001$과 $100.1148$ rad/s·$0.6565$로 재현된다(이득 표의 폐루프 극 자체는 이 장이 재계산하지 않았다 (확인 필요)).

② 토크 능력.

강체 구동기의 출력 토크 진폭 능력은 $5$ rad/s에서 $3.96$ N·m이고 $\omega_c=\sqrt{T_{max}/(J_m\theta_l)}=50.6$ rad/s에서 $0$이 된다. $k_s=46$인 SEA는 $10$ rad/s에서 $4.12$, $30$과 $38.4$ rad/s에서 스프링 항복 $5.93$ N·m(모터 토크의 $1.48$배)까지 올라가고 $45$ rad/s에서 $2.25$로 내려간다. $k_s=10$(고유 진동수 $17.9$ rad/s)은 $10\sim20$ rad/s에서 $5.6\sim5.9$ N·m이나 $30$ rad/s에서 $1.44$ N·m로 강체($2.60$)보다 작다. 결론은 스프링이 낮을수록 낮은 주파수 능력이 크고 높은 주파수 능력이 작다는 것이다. 이 모형은 감쇠가 없고 마찰·전류 포화·전압 포화를 넣지 않았다.

③ 강성 선택.

강성이 $46$에서 $1000$ N·m/rad으로 $21.7$배 오르면 변형이 $4.98^\circ$에서 $0.23^\circ$로, 14비트 분해능이 $17.6$에서 $383.5$ mN·m로(최대 토크의 $0.44\,\%$에서 $9.6\,\%$) 나빠지고 차단 고유 진동수가 $6.1$에서 $28.5$ Hz로 오르며 저장 에너지가 $0.174$에서 $0.008$ J로 내려간다. $k_s\le\tau^2/(2E_{imp})$로 보면 충격 에너지 $0.2$ J를 $4$ N·m 이내로 흡수하려면 $k_s\le40$ N·m/rad이다. 이 결과가 3.9이 남긴 "충격·에너지 요구에서 강성을 어떻게 설계하는가"의 한 답이며 대역 요구와 상충하는 부분은 위 표의 고유 진동수 열이다.

④ 수동성.

$k_d\le k_s$에서 $\mathrm{Re}\,Z_L\ge0$이고 $k_d/k_s=1.5$·$3$에서 $-17.07$·$-68.28$로 비수동이다. 이는 Mehta·Losey의 표 I 첫 행과 같다.

속도 원천 영 임피던스에서 이 장의 매개변수는 $J_{max}=0.0770$ kg·m², $b_{max}=0.2000$ N·m·s/rad이고 수치 판정(Routh 안정과 $\mathrm{Re}\,Z\ge0$)과 명제 2의 조건이 표의 다섯 경우에서 일치한다. $b=0.3$(한계 초과)과 $J=0.1$(한계 초과)이 비수동이다. 무작위 $300$개 조합에서도 $300/300$ 일치한다. 이 확인은 논문의 정리와 이 장의 구현이 같은 결론을 낸다는 것이지 논문의 증명을 확인한 것이 아니다.

⑤ 길항 VSA.

강성은 $s=0.2$에서 $2$ rad으로 $10$배($1.6\to16$ N·m/rad)이지만 선형 영역 최대 토크는 $0.16$에서 $16$ N·m로 $100$배, 저장 에너지는 $0.0027$에서 $2.67$ J로 $1000$배 변한다. 같은 토크 $1$ N·m를 선형 영역에서 지탱하려면 강성이 $K\ge\sqrt{4ar^3\tau}=4$ N·m/rad이어야 한다. 두 모터의 유지 줄 열은 감속비 $30$·모터 상수 $0.1$에서 $s=2$일 때 $3.56$ W이고 감속비 $1$이면 $30^2$배인 약 $3.2$ kW이다. 힘 법칙 지수가 $p=1$이면 강성이 $8$ N·m/rad으로 일정하고 $p=2$이면 $s$에 비례하고 $p=3$이면 $s^2$에 비례한다. 같은 최대 스프링 힘 $200$ N에서 $s=2$의 강성이 $8\cdot16\cdot24$이다.

⑥ 라이브러리 독립 대조(실행 2026-11-05). numpy 2.5.4(roots·linalg.eigvals·fft), SciPy 1.18.1(signal.freqresp·optimize.brentq), MuJoCo 3.17.0(단일 힌지 자유 진동)로 같은 입력에서 비교했다. 스크립트는 robotics/fig-src/5.18-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/5.18-libcheck-output.txt에 있다.

식별 극·상태공간 임피던스·수동성 판정·VSA 수치 미분·토크 능력이 계산 정밀도 안에서 일치하고 MuJoCo의 자유 진동수가 $1.8\times10^{-3}$ 안에서 일치한다. 영 임피던스는 이 장이 블록선도에서 직접 세운 상태공간(속도 PI·토크 PI·모터·스프링)의 주파수 응답이 논문의 닫힌 식 (2)와 $1.5\times10^{-12}$ 안에서 같아, 식의 전사 오류가 없음을 보인다. 이 대조는 모형과 같은 식의 다른 구현이며 시제품과의 비교가 아니다.

한계. 모형은 선형 이상 스프링과 단일 모터 관성이며 감쇠·마찰·백래시·포화·전기 동특성을 넣지 않았다. 토크 능력은 최악 위상의 포락선이다. VSA는 이상 이차 스프링과 단측 제약이고 정지 마찰(Fiorio)·스프링 제조 공차·조절 기구의 질량을 포함하지 않는다. 입력의 $m$·$b$·이득·VSA 매개변수와 엔코더·모터는 가정이다. Williamson의 폐루프 극과 이득은 재계산하지 않았다.

견해: 힘·충격이 과업을 지배하고 사람과의 접촉이 있으며 전류 기반 추정(5.16)의 오차나 충격 부하를 감당하기 어려운 관절에서는 강성을 충격 에너지 한계 $k_s\le\tau^2/(2E_{imp})$와 대역 요구의 사이에서 정한 고정 강성 SEA를 기본으로 두고, 가변 강성은 이 범위가 한 과업 안에서 크게 달라 고정 강성으로 충족되지 않을 때만 검토하는 것이 합리적이라고 본다. 근거는 이 장에서 VSA가 $10$배의 강성 범위를 위해 선형 영역 토크 $100$배·에너지 $1000$배의 범위를 요구하고 유지 전력과 정지 마찰이 따른다는 점, 그리고 SEA의 제어 이득이 $k_d\le k_s$로 묶여도 하중 쪽 구성으로 수동성이 보장된다는 점이다. 이 판단은 이상 모형에 의존하며 제품의 실측으로 확인하지 않았다.

5.18.6 설계 트레이드오프 — 고정 강성, 가변 강성, 강성 없음

탄성 관절은 다음 중에서 고른다.

• ① 고정 강성 SEA. 스프링 하나와 변형 센서로 힘 제어와 충격 완충을 얻는다. 강성이 대역·분해능·에너지를 정한다.
• ② 길항 VSA. 비선형 스프링 둘과 모터 둘로 강성을 바꾼다. 위치와 강성이 분리되나 토크·에너지 범위가 크고 유지 전력이 필요하다.
• ③ 강성 없음(QDD, 5.16). 스프링 없이 투명성과 전류 기반 토크를 사용한다. 충격은 모터가 받는다.

견해: 충격 흡수가 필요한 다리·사람 접촉 관절은 ①(필요하면 SEA와 QDD의 혼합)을 기본으로 두고, 스프링 설계가 어렵고 질량·부피가 큰 문제는 4.9의 순응 기구와 4.10의 균형 기구로 줄일 수 있는지 먼저 확인하는 것이 합리적이라고 본다. 근거는 이 장에서 스프링 강성 선택이 네 양을 동시에 정하고(변형·분해능·고유 진동수·에너지), Wensing 외(2017)가 고유수용 방식이 SEA의 $90\,\%$ 수준의 충격 완화를 얻을 수 있다고 계산했다는 점이다. 이 비교는 가정 모형이며 시험으로 확인하지 않았다.

5.18.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 응용별 요구 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

5.18.8 관련 규격·프로토콜

SEA·VSA의 스프링 강성·수동성·변형 센서 정확도를 직접 규정하는 표준은 확인하지 못했다 (확인 필요). 표준 전반은 27.1과 부록 A.3에서 다룬다.

5.18.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

탄성 구동기를 직접 규정하는 법령·인증 요건은 확인하지 못했다. 간접 연결은 둘이다. 첫째 스프링이 충돌 시 접촉 힘과 에너지를 낮추더라도 협동 운전의 접촉 힘·압력 한계는 측정으로 입증해야 하므로 컴플라이언스 자체가 적합성의 근거가 되는지는 별도 확인이 필요하다(26.9·41.9). 둘째 스프링이 파손되면 저장 에너지가 방출되고 부하가 이탈할 수 있어 파단 시 거동이 안전 기능 설계의 입력이다(26.7). 이 장은 규정의 조항을 확인하지 않았다 (확인 필요).

5.18.10 한계·유의점·미해결

• 이상 모형. 선형 스프링과 단일 질량이며 마찰·백래시·포화·감쇠가 없다. 토크 능력은 최악 위상의 포락선이다.
• 원문 미확인. Pratt·Williamson(1995), Vallery 외, Paine 외(2014), VSA 리뷰(Vanderborght·Wolf), Tonietti 외, MACCEPA의 본문과 Tosun·Patoglu의 출판본을 읽지 못했고 Haninger 외·Mehta·Losey는 일부만 읽었다.
• 제어 결과의 범위. 수동성은 충분조건으로 보수적이며(Tosun·Patoglu) 비수동이 곧 불안정은 아니다. 이 장은 영 임피던스와 하중 쪽 비례 제어만 확인했고 스프링 렌더링의 속도 원천 조건과 DOB 조건은 확인하지 않았다.
• VSA. 이상 이차 스프링과 단측 제약이며 정지 마찰과 조절 기구의 질량·전력을 모형화하지 않았다. 구조 제어형 VSA와 MACCEPA는 계산하지 않았다.
• 제품. SEA·VSA 제품의 제원·인증 상태를 확인하지 않았다.

5.18.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. $T_m+k_s(\theta_l-\theta_m)=J_m\ddot\theta_m$에서 $T_m=(1+s^2J_m/k_s)T_l+s^2J_m\theta_l$을 유도하고 세 항의 의미를 설명하라.
2. 최악 위상에서 $T_{l,max}$를 유도하고 $\omega_n$ 아래와 위에서 SEA와 강체 구동기를 비교하라.
3. 최대 토크 $\tau$·충격 에너지 $E_{imp}$·엔코더 분해능이 주어질 때 $k_s$의 상한과 하한을 구하라.
4. 하중 쪽 비례 제어에서 $\mathrm{Re}\,Z_L=k_sb(k_s-k_d)/\lvert\cdot\rvert^2$를 유도하고 $k_d\le k_s$를 보여라.
5. 이차 스프링 길항 구조에서 $\tau=-2ar^3(q_1+q_2)(q-q_{eq})$와 $K=2ar^3s$, 선형 영역 최대 토크 $K^2/(4ar^3)$를 유도하라.

연구 질문:

• 최대 토크와 충격 에너지와 요구 대역이 모두 주어질 때 고정 강성 SEA가 만족하지 못해 가변 강성이 필요한 과업의 경계는 어디인가?
• 속도 원천 SEA의 수동성 조건에서 물리 감쇠 한계 $b_{max}$를 키우는 설계 변수(이득·모터)는 무엇이고 그 대가는 무엇인가?
• 길항 VSA의 유지 전력과 정지 마찰 dead-band를 함께 최소화하는 스프링 힘 법칙은 무엇인가(이 장은 $p=1\sim3$의 강성만 계산했다)?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• M. M. Williamson, Series Elastic Actuators, M.S. thesis, MIT Department of Electrical Engineering and Computer Science, 1995 — MIT AI Laboratory 사본 직접 읽음.
• F. E. Tosun, V. Patoglu, "Necessary and Sufficient Conditions for Passivity of Velocity-Sourced Impedance Control of Series Elastic Actuators," arXiv:1902.10607v1, 2019(출판본: "Necessary and Sufficient Conditions for the Passivity of Impedance Rendering With Velocity-Sourced Series Elastic Actuation," IEEE Transactions on Robotics 36(3), 757–772, 2020, doi:10.1109/tro.2019.2962332) — arXiv v1 직접 읽음, 출판본은 읽지 못했다.
• S. A. Mehta, D. P. Losey, "Combining Performance and Passivity in Linear Control of Series Elastic Actuators," arXiv:2509.17210, 2025 — 1~4장 일부 직접 읽음.
• K. Haninger, A. Asignacion, S. Oh, "Safe rendering of high impedance on a series-elastic actuator with disturbance observer-based torque control," arXiv:1912.01355v1, 2019(출판본: ICRA 2020, 921–927, doi:10.1109/icra40945.2020.9197402) — 초록·서론만 읽음.
• L. Fiorio, F. Romano, A. Parmiggiani, G. Sandini, F. Nori, "Stiction Compensation in Agonist-Antagonist Variable Stiffness Actuators," Robotics: Science and Systems X, 2014, doi:10.15607/rss.2014.x.032 — 직접 읽음.
• S. Shah, B. Saund, "SiMPLeR: A Series-Elastic Manipulator with Passive Variable Stiffness for Legged Robots," arXiv:2107.02892, 2021 — 직접 읽음.
• T. Zhu, Design of a Highly Dynamic Humanoid Robot, UCLA Ph.D. dissertation, 2023 — 1.2.1절·표 1.1 직접 읽음. P. M. Wensing 외(2017)는 5.1 출처 참조.
• G. A. Pratt, M. M. Williamson, "Series elastic actuators," Proc. IEEE/RSJ IROS 1, 399–406, 1995, doi:10.1109/IROS.1995.525827; H. Vallery 외, "Passive and accurate torque control of series elastic actuators," IROS 2007, 3534–3538, doi:10.1109/iros.2007.4399172; N. Paine, S. Oh, L. Sentis, "Design and Control Considerations for High-Performance Series Elastic Actuators," IEEE/ASME Trans. Mechatronics 19(3), 1080–1091, 2014, doi:10.1109/tmech.2013.2270435; B. Vanderborght 외, "Variable impedance actuators: A review," Robotics and Autonomous Systems 61(12), 1601–1614, 2013, doi:10.1016/j.robot.2013.06.009; G. Tonietti, R. Schiavi, A. Bicchi, "Design and Control of a Variable Stiffness Actuator for Safe and Fast Physical Human/Robot Interaction," ICRA 2005, 526–531, doi:10.1109/robot.2005.1570172; R. Van Ham 외, "MACCEPA…," ICRA 2006, 2195–2200, doi:10.1109/robot.2006.1642029 — 서지만 확인.
• numpy 2.5.4, SciPy 1.18.1, MuJoCo 3.17.0.

다음 장. 5.19은 유압 구동, 곧 서보밸브·전기유압 액추에이터(EHA)·고출력 로봇을 다룬다. 이 장까지의 전기 구동이 모터 토크 밀도와 스프링으로 충격과 힘을 다루었다면, 유압은 유체 압력으로 높은 힘 밀도와 직접 힘 제어를 얻는 다른 계열이다.