제5부 구동·액추에이터·동력전달

5.6 모터 드라이브 I: 인버터·PWM·전류 제어

5.6.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 3상 2레벨 전압형 인버터가 모터에 인가하는 전압을 만드는 방식과 그 전압으로 전류를 제어하는 구조를 다룬다. 인버터의 8개 스위칭 상태와 전압 벡터 육각형, 반송파 비교 변조와 영상분 주입, 공간 벡터 PWM(SVPWM)의 체류 시간, 불연속 PWM의 스위칭 횟수, 중앙 정렬 PWM에서의 전류 리플과 표본화 시점, 데드타임 오차와 보상, DC 링크 커패시터 전류와 회생 전압, 전류 측정의 오프셋·이득 오차, 디지털 지연이 있는 PI 전류 루프와 히스테리시스 제어를 계산한다. 소자 손실·열·링잉은 5.8, 벡터 제어(dq 변환·비결합·약계자·센서리스)는 5.7, 위치·속도 루프는 5.9, 전원 구조와 회생 설계는 8.1, 모터 제어 보드와 게이트 드라이버는 8.11, 전장 설계와 EMC는 8.9와 이어진다.

배우는 것:

• 전압 벡터 — 8개 상태, 크기 $2V_{dc}/3$의 정육각형, 선형 한계 $V_{dc}/\sqrt3$와 6스텝 기본파 $2V_{dc}/\pi$.
• 변조 방식 — 영상분 주입으로 정현파 PWM, 3차 고조파 주입, 최소·최대 주입(= SVPWM), DPWM1을 하나의 식으로 정리하고 선형 한계·스위칭 횟수·리플을 비교한다.
• 리플과 표본화 — 평균 전압을 뺀 주기 리플, 최대 $V_{dc}/(6Lf_{sw})$, 반송파 골·정점 표본이 평균 전류를 준다는 것.
• 데드타임 — $\Delta V=t_df_{sw}V_{dc}$, 5·7차 고조파 전류, 보상.
• DC 링크 — 커패시터 rms 전류의 닫힌 식, 회생에 의한 버스 전압 상승.
• 전류 측정과 제어기 — 오프셋은 전기 1차, 이득 불일치는 2차 토크 맥동, $K_p=\alpha L$·$K_i=\alpha R$ 루프의 위상 여유 $90^\circ-1.5\alpha T_s$.

선수 지식: 5.3(PMSM의 $dq$ 모델), 1.25(샘플링·z변환), 5.7(dq 전류 제어기의 비결합).

특히 중요한 독자: 관절 구동기의 PWM과 전류 루프를 구현하는 제어·펌웨어 엔지니어, 데드타임·측정 오차가 토크 맥동과 소음으로 나타나는 원인을 찾는 시스템 엔지니어, 인버터 사양(스위칭 주파수·전류 센싱)을 정하는 하드웨어 설계자.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: Microchip AN1078(Zambada·Deb, 2010)의 공간 벡터 변조 절(8개 상태, 영 벡터, 60° 간격의 6개 활성 벡터, 중앙 정렬 PWM의 대칭), TI 참조 설계 TIDA-010023(TIDUEF6, 2018-11)의 션트 전류 측정 절(하단 소자가 도통하는 동안에만 측정, 3션트의 상 선택, 2션트의 듀티 100 % 근처 문제). 이 책의 이웃 장 5.7·5.8의 해당 절. 서지만 확인한 것(본문은 읽지 못했다): Holmes·Lipo(2003)의 PWM 교재, Holtz(1992)의 PWM 개관, Hava·Kerkman·Lipo(1999)의 반송파 기반 PWM 해석, Hava 외(1998)의 과변조, Kolar·Round(2006)의 DC 링크 커패시터 rms 전류, Choi·Sul(1996)의 데드타임 보상. 읽지 못한 것: IEC 61800 시리즈 본문, 인버터 제조사의 데드타임·보호 사양서. 수치는 모두 이 장의 계산이며 특정 제품의 사양이 아니다. 모터 정수($R=0.05$ Ω, $L=0.30$ mH, $\lambda_m=0.01$ Wb), 버스 전압 48 V, 스위칭 20 kHz는 5.7·5.8과 같은 가정값이다.

5.6.2 개념 — 상태의 시간 가중, 영상분의 선택, 지연이 정하는 대역폭

결론부터 적으면 다음과 같다. 인버터는 8개 스위칭 상태 가운데 둘과 영 벡터를 시간 비율로 섞어 평균 전압 벡터를 만든다. 선형으로 만들 수 있는 전압은 육각형의 내접원, 곧 상 전압 피크 $V_{dc}/\sqrt3$이다. 반송파 변조 방식들은 세 듀티에 같은 영상분을 더하느냐만 다르며, 최소·최대 주입은 공간 벡터 PWM과 같고 영상분을 이용해 한 레그를 직류 레일에 고정하면 스위칭 횟수가 $1/3$ 줄어든다. 중앙 정렬 PWM의 골과 정점에서 표본화한 전류는 한 주기의 평균 전류와 같으므로 전류 센서 신호를 그 시점에 표본화한다. 데드타임은 전류 부호에 따라 부호가 바뀌는 전압 오차를 만들어 5·7차 고조파 전류를 낳고, 전류 측정의 오프셋·이득 오차는 토크 맥동의 직접 원인이다. 마지막으로 전류 루프의 대역폭은 샘플 주기와 계산·출력 지연 합 $1.5T_s$가 정한다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 공간 벡터 PWM의 체류 시간 듀티가 최소·최대 주입 듀티와 $4.4\times10^{-16}$ 안에서 같고, 선형 한계가 정현파 PWM $0.5000V_{dc}$, 나머지 세 방식 $0.5774V_{dc}$($=V_{dc}/\sqrt3$)이다. 6스텝 기본파는 $0.6368V_{dc}$이다. ② DPWM1은 스위칭이 $0.667$배이고 $V_p=0.40V_{dc}$에서 리플 rms가 SVPWM의 $1.62$배($0.262$ 대 $0.162$ A)이다. ③ 48 V·$0.30$ mH·20 kHz에서 리플 피크-피크 최댓값은 $1.333$ A로 $V_{dc}/(6Lf_{sw})$와 같고, 반송파 골·정점 표본은 평균과 $3\times10^{-8}$ A 안에서 같으며 1/4 시점은 pp의 $0.5$배 어긋난다. ④ $t_d=0.5$ µs(오차 $0.48$ V)에서 2 A의 THD가 $5.52\,\%$(5차 $4.12\,\%$, 7차 $3.01\,\%$)이고 닫힌 식과 $4\,\%$ 안에서 같으며 보상하면 $1.83\,\%$이다. ⑤ DC 링크 커패시터 rms 전류가 Kolar·Round의 닫힌 식과 $1.6\times10^{-5}$ 안에서 같다. ⑥ 오프셋 $0.5$ A는 $10$ A에서 전기 1차 $0.556$ A(5.6 %), 이득 $2\,\%$ 불일치는 2차 $0.109$ A이다. ⑦ 위상 여유 $60^\circ$의 한계가 $\alpha T_s=0.349$(20 kHz에서 $\alpha=6980$ rad/s)이고 $\alpha T_s=0.5$에서 오버슈트가 $25.4\,\%$이다. ⑧ 히스테리시스의 스위칭 주파수가 $V_{dc}d(1-d)/(2hL)$와 $0.3\,\%$ 안에서 같다.

5.6.3 원리

5.6.3.1 스위칭 상태와 전압 벡터

레그 $x\in\{a,b,c\}$의 극 전압은 상태 $s_x\in\{0,1\}$에 따라 $u_x=s_xV_{dc}$이고 중성점 전압은 $v_n=(u_a+u_b+u_c)/3$, 상 전압은 $v_{xn}=u_x-v_n$이다. $2^3=8$개 상태 가운데 $(000)$과 $(111)$은 선간 전압이 0인 영 벡터이고 나머지 여섯은 $V_k=\tfrac23V_{dc}e^{j\pi(k-1)/3}$이다(AN1078은 이 여섯이 60° 간격의 벡터임을 적는다). 기준 벡터 $V_{ref}$가 인접한 두 활성 벡터 $V_k$·$V_{k+1}$ 사이에 있으면 한 스위칭 주기 안에서 두 벡터를 $T_1/T_s$·$T_2/T_s$만큼, 영 벡터를 나머지 시간만큼 인가하여 평균을 $V_{ref}$로 만든다.

$$T_1=\tfrac{\sqrt3V_{p}}{V_{dc}}T_s\sin\!\Bigl(\tfrac\pi3-\theta'\Bigr),\quad T_2=\tfrac{\sqrt3V_{p}}{V_{dc}}T_s\sin\theta',\quad T_0=T_s-T_1-T_2$$

$\theta'$은 섹터 안의 각이다. $T_0\ge0$이려면 $V_p\le V_{dc}/\sqrt3$이어야 하며, 이는 육각형 꼭짓점 크기 $2V_{dc}/3$의 내접원 반지름 $(2V_{dc}/3)\cos30^\circ$이다. 이를 넘으면 과변조 영역이고 한계는 6스텝 운전에서 기본파 $2V_{dc}/\pi=0.6366V_{dc}$이다.

5.6.3.2 영상분 주입과 SVPWM

반송파 비교 변조는 상 전압 기준 $v_x=V_p\cos(\theta-2\pi x/3)$에 세 상 공통의 영상분 $z$를 더해 듀티 $d_x=\tfrac12+(v_x+z)/V_{dc}$를 만든다. $z$는 선간 전압을 바꾸지 않으므로 모터 전류에 영향을 주지 않고 듀티의 범위만 바꾼다. 결론은 $z$의 선택이 변조 방식이라는 것이다.

최소·최대 주입은 영 벡터 $(000)$과 $(111)$에 $T_0/2$씩 배분하는 SVPWM 시퀀스의 듀티와 같다. DPWM은 절댓값이 가장 큰 상 전압의 레그를 해당 직류 레일에 고정하여 각 레그가 기본파 한 주기의 $1/3$ 동안 스위칭하지 않으므로 스위칭 횟수가 $2/3$가 되어 스위칭 손실이 그만큼 줄지만 같은 $V_p$에서 리플 rms는 늘어난다(저변조에서 크다). AN1078은 중앙 정렬 PWM이 주기의 중심에 대한 대칭을 강제하여 선간 전압에 한 주기당 두 개의 펄스가 생기고, 스위칭 손실을 늘리지 않고 유효 스위칭 주파수가 두 배가 되어 리플이 준다고 서술한다.

5.6.3.3 전류 리플과 표본화 시점

결론부터 적으면 중앙 정렬 PWM의 한 주기에서 상전류의 리플은 평균 상전압을 제외한 전압 $v_{xn}(t)-\langle v_{xn}\rangle$을 $L$로 적분한 것이고(평균 상전압은 $Ri+e$가 상쇄한다), 이 곡선은 주기 안에서 닫힌다. 이 장의 수치 계산에서 최소·최대 주입의 피크-피크 최댓값은 $V_p=V_{dc}/\sqrt3$에서 $V_{dc}/(6Lf_{sw})$와 같다. 반송파의 골과 정점에서 전류를 표본화하면 그 값이 주기 평균과 같다. 대칭 PWM에서 전압의 시간 함수가 골과 정점에 대해 짝함수이므로 리플의 도함수가 짝함수이고, 리플은 그 두 시점을 중심으로 점대칭이어서 대칭 중심의 값이 곧 평균이다. 다른 시점의 표본은 최대 리플 pp의 절반까지 평균과 어긋난다.

5.6.3.4 데드타임과 보상

상·하 소자의 동시 도통을 막는 데드타임 $t_d$ 동안 레그 전압은 전류 방향이 정한다. 전류가 인버터에서 나가는 방향($i>0$)이면 하측 다이오드가 도통해 극 전압이 낮은 레일로, 들어오는 방향이면 높은 레일로 유지되므로 평균 극 전압이 $-\operatorname{sgn}(i_x)\,t_df_{sw}V_{dc}$만큼 어긋난다. 위상 오차 $v_{err,x}=-\Delta V\bigl(s_x-\tfrac13\sum_ys_y\bigr)$($s_x=\operatorname{sgn}(i_x)$)에서 영상분(3의 배수 차수)이 중성점으로 빠지므로 한 상의 오차는 방형파와 같은 $n=1,5,7,11,\dots$ 성분이며 $n$차 진폭이 $4\Delta V/(n\pi)$이다. 이 오차는 속도가 낮아 $Ri+e$가 작을 때 지령 전압과 같은 크기가 되어 전류 왜곡을 일으킨다. 폐루프 전류 제어에서 $dq$ 좌표의 5·7차 오차는 $6\omega_e$ 외란이며 전류 응답은 폐루프 분모의 역수이다.

$$\lvert i_n\rvert=\frac{4\Delta V}{n\pi}\Bigl\lvert R+j(\Omega+\omega_e)L+D(j\Omega)\bigl(C(j\Omega)-j\omega_eL\bigr)\Bigr\rvert^{-1},\quad \Omega=\mp6\omega_e$$

$C(s)=K_p+K_i/s$는 PI, $D(s)=e^{-1.5T_ss}$는 지연이다. 보상은 지령 전류의 부호로 $+\Delta V\operatorname{sgn}(i_x^*)$를 더하는 것이며 영점 근처의 부호는 포화 함수 $\mathrm{sat}(i/\varepsilon)$로 부드럽게 한다. $\Delta V$는 데드타임·소자 전압 강하·스위칭 지연에 의존하므로 측정이나 추정이 필요하다(Choi·Sul 1996은 서지만 확인).

5.6.3.5 DC 링크 — 커패시터 전류와 회생

DC 링크 전류는 $i_{dc}=\sum_xs_xi_x$이고 커패시터가 흡수하는 전류는 $i_{dc}$에서 평균을 뺀 것이다. 변조 지수 $M=2V_p/V_{dc}$, 상전류 rms $I_{ph}$, 전류 위상 $\varphi$에서 SVPWM의 커패시터 rms 전류는 Kolar·Round(2006)의 닫힌 식이며 이 장은 식을 시뮬레이션으로 재현했다.

$$\frac{I_{C,rms}}{I_{ph}}=\sqrt{2M\Bigl[\frac{\sqrt3}{4\pi}+\cos^2\varphi\Bigl(\frac{\sqrt3}{\pi}-\frac{9M}{16}\Bigr)\Bigr]}$$

회생에서는 모터가 에너지 $E$를 버스에 되돌려 전압이 $V=\sqrt{V_0^2+2E/C}$로 상승한다. 이 전압이 소자 전압 등급과 버스 보호 한계를 넘으면 제동 저항·제동 초퍼나 에너지 저장이 필요하며 구조는 8.1이 다룬다. 전원 투입 시 커패시터를 직렬 저항으로 충전하는 예비 충전의 손실은 $\tfrac12CV^2$이며 저항값과 무관하다.

5.6.3.6 전류 측정 — 션트·표본화·오프셋·이득

TIDA-010023 문서는 하단 션트 방식에서 상전류를 해당 레그의 하측 소자가 도통하는 동안에만 측정할 수 있다고 적는다. 3션트는 듀티가 큰 상의 윈도가 짧을 때 나머지 두 상을 측정해 윈도 제약을 피하고, 2션트는 한 상의 듀티가 100 % 근처일 때 신호가 정착하지 못한다고 서술한다(특정 참조 설계의 서술이다). 3상 3선식에서는 두 상을 측정하고 셋째를 $i_c=-i_a-i_b$로 구한다. 측정 오프셋 $\varepsilon_a$는 $\alpha\beta$ 평면에서 크기 $2\varepsilon_a/\sqrt3$의 상수 벡터이므로 $dq$에서는 전기 1차로 회전하고, 폐루프가 측정 전류를 지령에 맞추므로 실제 전류에 그 크기만큼(폐루프 응답을 곱해) 전기 1차 맥동이 남는다. 상 $a$의 이득 오차 $g$는 크기 $gI/\sqrt3$의 2차 성분과 평균 $q$축 전류 감소 $gI/2$를, 두 상의 같은 이득 오차는 $I\,g/(1+g)$의 크기 오차를 만든다. 토크는 $K_Ti_q$이므로 맥동은 비율 그대로 토크 맥동이다.

폐루프 응답은 외란 $\delta$에 대해 $i=-\delta\,D(C-j\omega_eL)/\bigl(R+j(\Omega+\omega_e)L+D(C-j\omega_eL)\bigr)$이다($\Omega$는 $dq$ 주파수). TIDA-010023 문서는 부정확한 전류 측정이 왜곡된 전류와 토크 맥동·소음을 낳는다고 적는다.

5.6.3.7 전류 제어기 — PI·지연·대역폭과 히스테리시스

전류 루프의 플랜트는 $1/(Ls+R)$이다. PI를 $K_p=\alpha L$, $K_i=\alpha R$로 두면 극-영점이 상쇄되어 개루프가 $\alpha/s$이고 닫힌 루프의 대역폭은 $\alpha$이다. 측정 시점에서 PWM 출력까지의 ZOH 반 샘플과 계산 한 샘플을 합친 지연 $1.5T_s$가 있으면 교차 주파수 $\omega_c=\alpha$에서 위상 여유가 다음이다(5.7.3.3의 모델).

$$PM=90^\circ-\tfrac{180^\circ}{\pi}\cdot1.5\,\alpha T_s,\qquad \alpha T_s\le0.349\ (PM\ge60^\circ)$$

히스테리시스 제어는 전류를 $\pm h$ 띠에 가두며 스위칭 주파수가 가변이다. 단상 하프브리지에서 $R$을 무시하고 평균 듀티 $d$이면 $f_{sw}=V_{dc}\,d(1-d)/(2hL)$이다. PWM 기반 PI는 스위칭 주파수가 고정이어서 스펙트럼 설계와 전류 표본화 동기에 유리하고, 히스테리시스는 지연이 없어 빠르나 주파수와 스위칭 손실이 운전점에 따라 바뀐다(일반 서술). 정지 좌표계의 PI는 사인 지령에서 정상 오차가 있어 회전 좌표의 동기 PI(5.7)를 사용한다.

5.6.4 알고리즘

영상분 주입 듀티(V_p, θ, kind):  v_x = V_p cos(θ − 2πx/3);  d_x = 1/2 + (v_x + z)/V_dc,  z는 방식별 영상분
SVPWM(V_p, θ):                   섹터 k, θ' ← θ mod 60°;  a = √3 V_p/V_dc;  T1 = a sin(60° − θ'), T2 = a sin θ', T0 = 1 − T1 − T2
                                 d_x = T1 s_k(x) + T2 s_{k+1}(x) + T0/2   (영 벡터 균등 분할)
주기 리플(d, V_dc, L, f):         구간별 (V_dc(s_x − d_x + d̄) − v_n)/(L f) 적분, 평균 제거 → pp, rms
DC 링크 전류:                     i_dc = Σ s_x i_x,  I_C,rms² = <i_dc²> − <i_dc>²
dq 루프(한 샘플):                 측정(오프셋·이득) → park → PI + 비결합 → 1.5 T_s 지연 후 인가 → 데드타임 오차 가산 → 플랜트 적분
데드타임 보상:                   v_x ← v_x + ΔV sat(i*_x / ε)

5.6.5 풀이 예제 — 48 V·20 kHz 인버터의 변조·리플·데드타임·DC 링크·측정 오차·전류 루프

결론부터 적으면 다음과 같다. ① SVPWM 체류 시간과 최소·최대 주입의 듀티가 같다. ② 선형 한계·스위칭 횟수·리플이 변조 방식에 따라 달라진다. ③ 반송파 골·정점 표본이 평균 전류를 준다. ④ 데드타임의 5·7차 전류가 폐루프 분모로 예측된다. ⑤ 커패시터 rms 전류가 닫힌 식과 같다. ⑥ 측정 오차가 전기 1차·2차 맥동이 된다. ⑦ 지연이 대역폭 상한을 정한다.

구현. duty·svpwm·segs·curve·rip_stats·cap_rms·loop·den. 아래 코드는 순수 파이썬이며 중앙 정렬 PWM 한 주기를 구간으로 나누어 정확해를 계산하고, 전류 루프는 평균 전압 모형으로 지연·측정 오차·데드타임을 포함한다. 표 작성·그림은 스크립트에 있다.

from math import pi, sin, cos, sqrt, exp
import cmath

def duty(Vp, th, Vdc, kind):
    """극 전압 기준 v_x에 영상분 z를 더한 레그 듀티"""
    v = [Vp * cos(th - 2 * pi * x / 3) for x in range(3)]
    mx, mn = max(v), min(v)
    z = {'spwm': 0.0, 'mm': -(mx + mn) / 2,
         'thi': -Vp / 6 * cos(3 * th),
         'dpwm1': Vdc / 2 - mx if abs(mx) >= abs(mn)
         else -Vdc / 2 - mn}[kind]
    return [0.5 + (a + z) / Vdc for a in v]

ST = [(1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1),
      (1, 0, 1)]

def svpwm(Vp, th, Vdc):
    """섹터 k의 체류 시간 T1, T2, T0(제로 벡터 균등 분할)"""
    th %= 2 * pi
    k, t = int(th // (pi / 3)) % 6, th % (pi / 3)
    a = sqrt(3) * Vp / Vdc
    T1, T2 = a * sin(pi / 3 - t), a * sin(t)
    s1, s2 = ST[k], ST[(k + 1) % 6]
    return [T1 * s1[x] + T2 * s2[x] + (1 - T1 - T2) / 2
            for x in range(3)]

def segs(d):
    """중앙 정렬 PWM 한 주기의 (길이, 레그 상태) 구간"""
    e = sorted({0.0, 1.0} | {(1 - x) / 2 for x in d}
               | {(1 + x) / 2 for x in d})
    return [(b - a, [int(abs(a + b - 1) < x) for x in d])
            for a, b in zip(e, e[1:]) if b - a > 1e-15]

def curve(d, Vdc, L, f):
    """주기 리플: (v_xn - 평균)/L 적분. 꼭짓점 [(t, i_x)]"""
    db = sum(d) / 3
    t, i, pts = 0.0, [0.0] * 3, [(0.0, [0.0] * 3)]
    for h, s in segs(d):
        vn = Vdc * sum(s) / 3
        dv = [Vdc * (s[x] - d[x] + db) - vn for x in range(3)]
        i = [i[x] + dv[x] * h / f / L for x in range(3)]
        t += h
        pts.append((t, i[:]))
    return pts

def rip_stats(pts):
    """레그별 평균 제거 후 (peak-peak, rms)"""
    out = []
    for x in range(3):
        a = [p[1][x] for p in pts]
        hs = [q[0] - p[0] for p, q in zip(pts, pts[1:])]
        z = list(zip(hs, a, a[1:]))
        m = sum(h * (u + v) / 2 for h, u, v in z)
        q2 = sum(h * (u * u + u * v + v * v) / 3
                 for h, u, v in z)
        pp = max(a) - min(a)
        out.append((pp, sqrt(max(q2 - m * m, 0))))
    return out

def cap_rms(M, phi, N=720):
    """DC 링크 커패시터 전류 rms / 상전류 rms (M=2Vp/Vdc)"""
    s1 = s2 = 0.0
    for k in range(N):
        th = 2 * pi * k / N
        d = duty(M / 2, th, 1.0, 'mm')
        i3 = [cos(th - phi - 2 * pi * x / 3)
              for x in range(3)]
        for h, s in segs(d):
            idc = sum(a * b for a, b in zip(s, i3))
            s1 += h * idc / N
            s2 += h * idc * idc / N
    return sqrt(2 * (s2 - s1 * s1))

def clarke(a, b, c):
    return complex(2 * (a - b / 2 - c / 2) / 3,
                   (b - c) / sqrt(3))

def abc(z):
    return (z.real, -z.real / 2 + sqrt(3) / 2 * z.imag,
            -z.real / 2 - sqrt(3) / 2 * z.imag)

def sgn(x, e):
    return max(-1.0, min(1.0, x / e))

def loop(P, iq, we, n, Ts=50e-6, al=4189.0, off=(0, 0),
         gain=(1, 1), dV=0.0, eps=0.0, kst=0):
    """dq 전류 루프(평균 전압): 측정 오차, 1.5 샘플 지연,
    데드타임 오차 dV, 보상 eps(0이면 없음)"""
    R, L, lam = P['R'], P['L'], P['lam']
    Kp, Ki = al * L, al * R
    a = exp(-R * Ts / 10 / L)
    i, th, itg, vp, rec = 0j, 0.0, 0j, 0j, []
    for k in range(n):
        ia, ib, ic = abc(i)
        m = (gain[0] * ia + off[0], gain[1] * ib + off[1])
        idq = clarke(m[0], m[1], -m[0] - m[1]) \
            * cmath.exp(-1j * th)
        ref = complex(0, iq if k >= kst else 0.0)
        e = ref - idq
        itg += Ki * Ts * e
        u = Kp * e + itg + 1j * we * (L * idq + lam)
        ph = th + 1.5 * we * Ts
        v = u * cmath.exp(1j * ph)
        if eps:
            r = abc(ref * cmath.exp(1j * ph))
            v += clarke(*[dV * sgn(x, eps) for x in r])
        va = vp
        if dV:
            va += clarke(*[-dV * (1 if x > 0 else -1)
                           for x in (ia, ib, ic)])
        for j in range(10):
            em = 1j * we * lam * cmath.exp(
                1j * (th + we * Ts * (j + .5) / 10))
            i = i * a + (va - em) * (1 - a) / R
        th += we * Ts
        vp = v
        rec.append((i, th, idq))
    return rec

def den(P, we, al, Om, Ts=50e-6):
    """dq 주파수 Om의 외란에 대한 폐루프 분모와 Z=D(C-jwL)"""
    s = 1j * Om
    C = al * P['L'] + al * P['R'] / s
    Z = cmath.exp(-1.5 * Ts * s) * (C - 1j * we * P['L'])
    return P['R'] + 1j * (Om + we) * P['L'] + Z, Z

① 변조 방식.

SVPWM의 체류 시간 듀티가 최소·최대 주입 듀티와 $4.4\times10^{-16}$ 안에서 같다(5000점 무작위). 선형 한계는 정현파 PWM이 $0.5000V_{dc}$이고 나머지가 $0.5774V_{dc}$이다. 3차 고조파 주입(1/6)과 최소·최대 주입은 같은 한계를 주며 리플 rms는 비슷하다($0.163$·$0.162$ A). DPWM1은 스위칭이 $0.667$배이나 $V_p=0.40V_{dc}$에서 리플 rms가 $1.62$배이고 $V_{dc}/\sqrt3$에서는 $1.05$배이다. 최대 피크-피크는 세 방식이 모두 $1.333$ A이며 이는 $V_{dc}/(6Lf_{sw})$와 같다. 6스텝 상전압의 기본파는 $0.6368V_{dc}$(닫힌 식 $2/\pi=0.6366$)이다.

② 표본화 시점.

골(0)과 정점(0.5)에서의 오차가 $10^{-6}$ A 이하(solve_ivp 대조에서 $2.8\times10^{-8}$)이고 1/4 시점은 리플 pp($1.0392$ A, $V_p=0.45V_{dc}$)의 $0.5$배이다.

③ 데드타임.

$t_d=0.5$ µs에서 전류 5·7차가 폐루프 분모의 닫힌 식과 $4\,\%$ 안에서 같다($2$ A: $4.12$ 대 $4.13\,\%$, $3.01$ 대 $3.12\,\%$). $t_d=1.0$ µs·2 A에서는 왜곡이 THD $8.4\,\%$로 커서 닫힌 식이 5차 $19\,\%$, 7차 $47\,\%$ 크다(전류 부호 전환 시점이 이동해 방형파 가정이 무너진다). 보상하면 THD가 $5.52\to1.83\,\%$($2$ A), $0.57\to0.125\,\%$($20$ A)로 줄지만 0이 되지 않는다. 지령 부호와 실제 부호가 어긋나는 구간과 지연 때문이다.

④ DC 링크.

닫힌 식과의 최대 차이가 $1.6\times10^{-5}$이다. 회생 에너지 1 J를 1 mF 커패시터가 흡수하면 버스가 $48\to65.6$ V로 상승하고, $0.47$ mF에 2 J이면 $104$ V로 5.8의 100 V 소자 등급을 넘는다.

⑤ 전류 측정 오차.

오프셋 $0.5$ A의 전기 1차 변동이 닫힌 식과 같고($0.5557$ A, 폐루프 응답 $0.962$를 곱한 값이며 이 값을 곱하지 않은 $2\varepsilon/\sqrt3=0.577$ A보다 작다) 10 A에서 $5.6\,\%$이다. a상 이득 +2 %의 2차 변동은 $0.109$ A(닫힌 식 $0.111$ A, 닫힌 식은 지령 10 A, 실제 전류는 $9.90$ A), 평균 감소 $0.098$ A이다. 두 상의 같은 이득은 크기 $0.196$ A만 줄이고 맥동이 없다. 즉 오프셋과 상 사이 이득 불일치가 토크 맥동의 원인이고 공통 이득 오차는 토크 크기 오차이다.

⑥ 전류 루프와 히스테리시스.

위상 여유가 $90^\circ-1.5\alpha T_s$로 줄어 $\alpha T_s=0.3$에서 $64.2^\circ$·오버슈트 $1.3\,\%$, $0.5$에서 $47.0^\circ$·$25.4\,\%$이다. $60^\circ$ 한계는 $\alpha T_s=0.349$이며 20 kHz에서 $\alpha=6980$ rad/s(대역폭 약 $1.11$ kHz, 5.8.3.4와 같은 값)이다.

히스테리시스의 스위칭 주파수가 닫힌 식과 $0.3\,\%$ 안에서 같고 듀티 0.5에서 최대($V_{dc}/(8hL)=40$ kHz)이다.

⑦ 라이브러리 대조(실행 2026-11-05). numpy 2.5.4로 SVPWM·DC 링크 전류·데드타임 오차 파형의 스펙트럼을, SciPy 1.18.1 brentq로 선형 한계를, solve_ivp(RK45)로 삼각 반송파 비교 PWM의 리플·표본화와 히스테리시스 사건 검출과 오프셋의 $dq$ 응답(플랜트를 적분)을, python-control 0.10.2로 $K_p=\alpha L$ 루프의 위상 여유(연속 지연, Padé 8차)와 이산 모델 스텝 응답을 같은 입력에서 비교했다. 스크립트는 robotics/fig-src/5.6-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/5.6-libcheck-output.txt에 있다.

한계. 전류 루프는 평균 전압 모형이어서 스위칭 리플·PWM 지연의 이산 성질은 $1.5T_s$ 지연으로 근사했다. 데드타임은 평균 모형(전류 부호의 순시 판정)이며 영점 근처의 전류 고착(zero current clamping), 소자 전압 강하, 비선형 커패시턴스를 포함하지 않는다. 리플은 $R$·EMF를 무시하고 평균 전압을 상쇄한 값이다. 5.8.3.4의 리플 계산은 평균 상전압(기본파 구동분)을 빼지 않은 적분으로 보이며 같은 조건(48 V·0.05 mH·20 kHz·$m=0.9$)에서 5.8.5의 피크-피크 $24.94$ A는 이 장 방식의 $7.2$ A($V_{dc}/(6Lf_{sw})=8.0$ A의 0.9배)와 $3.5$배 다르다 (확인 필요). 모터 정수는 가정이다.

견해: 관절 구동기의 전류 제어는 20 kHz급에서 최소·최대 주입(SVPWM)과 반송파 골·정점 동기 표본화를 기본으로 두고 $\alpha T_s\le0.3$(위상 여유 약 $64^\circ$)에서 PI를 설계하며, DPWM은 열이 제약이고 리플·소음 여유가 있을 때만 사용한다고 본다. 근거는 이 장에서 SVPWM이 정현파 PWM보다 선형 한계가 $1.155$배이고 DPWM1은 스위칭이 $1/3$ 줄어도 낮은 변조에서 리플 rms가 $1.62$배라는 점, 골·정점 표본이 평균 전류를 준다는 점, 위상 여유가 $90^\circ-1.5\alpha T_s$로 정해진다는 점이다. 이 비교는 한 모터 정수·한 스위칭 주파수에 대한 것이며 소자 손실은 계산하지 않았다.

5.6.6 설계 트레이드오프 — 변조 방식과 전류 센싱

변조 방식은 다음 중에서 고른다.

• ① 정현파 PWM. 구현이 가장 단순하나 선형 한계가 $V_{dc}/2$로 낮다.
• ② 최소·최대 주입(SVPWM). 한계 $V_{dc}/\sqrt3$로 전압 이용률이 높고 리플이 작다. 모든 레그가 매 주기 스위칭한다.
• ③ DPWM. 스위칭이 $2/3$이고 손실이 줄지만 저변조에서 리플·소음이 크다.

전류 센싱은 다음 중에서 고른다.

• ① 상 직렬(인라인) 센서. 스위칭 상태와 무관하게 측정 가능하다(일반 서술).
• ② 하단 션트 2·3개. 비용이 낮으나 하측 소자가 도통하는 동안에만 측정되며 3션트가 윈도 제약이 적다(TIDA-010023).
• ③ DC 링크 단일 션트. 부품이 가장 적으나 활성 벡터 구간에서만 측정되어 최소 펄스 폭 제약이 있다(일반 서술).

견해: 토크 맥동과 소음이 사양인 관절에는 3션트 이상 또는 상 직렬 센서와 오프셋 자동 교정을 두고 변조의 영상분보다 표본화 시점과 오프셋 교정을 먼저 점검한다고 본다. 근거는 이 장에서 오프셋 $0.5$ A가 $10$ A에서 $5.6\,\%$의 전기 1차 맥동을 만들어 변조 방식에 따른 리플 차이보다 토크에 직접 나타난다는 점이다. 센서 종류별 정확도 비교는 하지 않았다.

5.6.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 장별 요구는 다르다. 응용별 성능 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

5.6.8 관련 규격·프로토콜

표준의 본문은 읽지 못했고 번호를 제목으로만 가리킨다.

5.6.8.1 대표 제품과 현황

기준 시점 2026-11-05에 이 장이 읽은 제품 문서는 TI의 3상 인버터 레그 션트 전류 측정 참조 설계(TIDA-010023, 5 mΩ 션트·증폭기 이득 25의 예)와 Microchip의 dsPIC 기반 SVM 구현 응용 노트이다. 서보 드라이브 제품은 46.3, 모터 제어 MCU·게이트 드라이버 반도체는 46.29, 소자와 열은 5.8을 가리킨다.

5.6.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

인버터·전류 제어 자체를 규정하는 로봇 법령은 확인하지 못했다 (확인 필요). 연결점은 세 가지이다. 첫째, 드라이브의 전기 안전·EMC(스위칭에 의한 전도·방사 방출)는 27.27·8.9·26.27가 다룬다. 둘째, 인버터의 안전 토크 차단 같은 안전 기능의 성능 수준은 26.6가 다루며 이 장은 조항을 읽지 못했다. 셋째, 과전류·과전압·회생 전압 보호는 소자 등급과 버스 설계(5.8·8.1)에 연결된다.

5.6.10 한계·유의점·미해결

• 평균 전압 모형. 스위칭 구간의 전류 리플이 전류 제어기에 주는 영향(지연의 이산성, 표본화 위상)은 $1.5T_s$ 근사에 포함했다.
• 데드타임의 단순화. 전류 부호의 순시 판정과 영점 고착, 소자 전압 강하, 스위칭 지연을 포함하지 않았다.
• 리플 정의. 이 장은 평균 전압을 제외한 주기 리플을 사용하며 5.8.3.4도 같은 정의이다. 48 V·$L=0.05$ mH·20 kHz에서 5.8의 피크-피크 최댓값(7.2 A)은 이 장의 닫힌 식 상한 $V_{dc}/(6Lf_{sw})=8.0$ A 이하이다.
• 센서와 증폭기. 션트 정확도·증폭기 대역·정착 시간·최소 펄스 폭·ADC 양자화는 계산하지 않았다.
• 제외. 과변조(6스텝 전이 구간)의 상세, 다단 인버터·행렬 변환기, 공통 모드 전압·EMI 필터, 단일 션트 재구성은 다루지 않았다.

5.6.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 8개 상태의 전압 벡터에서 육각형 꼭짓점 크기 $2V_{dc}/3$과 내접원 반지름 $V_{dc}/\sqrt3$를 유도하라.
2. 체류 시간 $T_1$·$T_2$를 유도하고 영 벡터 균등 분할이 최소·최대 주입과 같음을 보여라.
3. 중앙 정렬 PWM에서 골·정점의 표본 전류가 평균 전류와 같은 이유를 리플 도함수의 짝대칭으로 설명하라.
4. 데드타임 오차의 5·7차 진폭 $4\Delta V/(n\pi)$를 유도하고 $dq$ 좌표에서 6차 외란이 되는 이유를 설명하라.
5. 오프셋 $\varepsilon$이 $dq$ 전류에 전기 1차 변동 $2\varepsilon/\sqrt3$를 만드는 과정을 $\alpha\beta$ 평면에서 보여라.
6. $K_p=\alpha L$ 루프의 위상 여유 $90^\circ-1.5\alpha T_s$를 유도하고 $60^\circ$ 한계를 구하라.
7. 단상 히스테리시스 제어의 스위칭 주파수 $V_{dc}d(1-d)/(2hL)$를 유도하라.

연구 질문:

• 영점 근처 전류 고착을 포함한 데드타임 모형으로 저속·저전류의 왜곡을 정량화하고 보상 오차를 줄이는 방법은 무엇인가?
• 소형 관절 모듈에서 스위칭 주파수·션트 정확도·ADC 분해능을 함께 최적화하여 토크 맥동을 최소화하는 설계는 무엇인가?
• DPWM의 저변조 리플 증가를 보상하며 스위칭 손실을 줄이는 변조 전환(변조 지수에 따른 SVPWM–DPWM 전환)의 이득은 얼마인가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• J. Zambada, D. Deb, Sensorless Field Oriented Control of a PMSM, Microchip AN1078 (DS01078B), 2010 — SVM 절을 읽음.
• Cost Optimized, < 1% Accurate Current Sensing and Protection for 3-Phase Inverter Reference Design (TIDA-010023), Texas Instruments TIDUEF6, 2018-11 — 션트 측정 절을 읽음.
• J. W. Kolar, S. D. Round, "Analytical calculation of the RMS current stress on the DC-link capacitor of voltage-PWM converter systems," IEE Proc. Electric Power Applications 153(4), 535–543, 2006, doi:10.1049/ip-epa:20050458 — 서지만 확인(식은 이 장의 시뮬레이션으로 재현).
• D. G. Holmes, T. A. Lipo, Pulse Width Modulation for Power Converters: Principles and Practice, IEEE Press/Wiley, 2003, doi:10.1109/9780470546284 — 서지만 확인.
• J. Holtz, "Pulsewidth modulation — a survey," IEEE Trans. Industrial Electronics 39(5), 410–420, 1992, doi:10.1109/41.161472 — 서지만 확인.
• A. M. Hava, R. J. Kerkman, T. A. Lipo, "Simple analytical and graphical methods for carrier-based PWM-VSI drives," IEEE Trans. Power Electronics 14(1), 49–61, 1999, doi:10.1109/63.737592 — 서지만 확인.
• A. M. Hava, R. J. Kerkman, T. A. Lipo, "Carrier-based PWM-VSI overmodulation strategies: analysis, comparison, and design," IEEE Trans. Power Electronics 13(4), 674–689, 1998, doi:10.1109/63.704136 — 서지만 확인.
• J.-W. Choi, S.-K. Sul, "Inverter output voltage synthesis using novel dead time compensation," IEEE Trans. Power Electronics 11(2), 221–227, 1996, doi:10.1109/63.486169 — 서지만 확인.
• numpy 2.5.4, SciPy 1.18.1(optimize.brentq·integrate.solve_ivp), python-control 0.10.2(margin·step_response).

다음 장. 5.7는 벡터 제어(FOC)를 다룬다. 이 장의 전류 루프를 회전 좌표 $dq$로 옮겨 비결합하고, MTPA·약계자와 센서리스 추정으로 확장하는 방식을 이어서 본다.