제4부 기계 설계·구조·재료

4.3 기계 요소 기초: 축·키·커플링·볼트 체결·스프링·기어 기본(인벌류트·모듈·백래시)

4.3.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 로봇 관절과 구동부의 구성 요소 가운데 감속기·베어링·모터 같은 큰 부품을 잇고 지지하는 기본 기계 요소를 정리한다. 축의 정적 강도와 비틀림 강성, 키의 전단·지압, 커플링의 형식과 비틀림 고유진동수, 볼트의 토크-장력 관계·접합부 강성·하중 분담·마찰 체결, 압축 코일 스프링의 상수와 응력, 인벌류트 기어의 치형·모듈·물림률·언더컷·전위·백래시를 닫힌 식으로 계산하고 독립적인 수치 해와 대조한다. 베어링은 4.2, 재료와 경량화는 4.4, 피로와 볼트 풀림은 4.5, 정밀도와 백래시 오차 예산은 4.6, 끼워맞춤 공차는 4.7, 진동 모드는 4.8, 순응 기구의 판스프링은 4.9, 중력 보상 스프링은 4.10에서 다룬다. 감속기 형식은 5.10·5.11, 서보의 공진 억제는 5.9, 관절 모듈 통합은 7.2로 이어진다.

배우는 것:

• 축과 키 — 폰 미제스 정적 최소 지름, 비틀림 강성, 계단축의 처짐, 키의 전단·지압 응력.
• 커플링 — 형식별 특성과 2관성계 비틀림 고유진동수.
• 볼트 체결 — 나사 단면적, 토크 계수 $K$와 마찰 산포, 접합부 강성비와 하중 분담, 분리 하중, 마찰 체결 토크.
• 스프링 — 압축 코일 스프링 상수·Wahl 계수·밀착 높이, 보 유한요소와의 대조.
• 기어 기본 — 인벌류트 좌표·표준 모듈·랙 치형, 전위 기어 치수, 가로 물림률, 언더컷 한계, 백래시의 정의·관계식과 중심거리 민감도.

선수 지식: 3.1(강체 동역학), 4.1(요구조건에서 사양으로의 환산: 피크 토크 입력), 4.2(베어링 좌석과 예압).

특히 중요한 독자: 관절 모듈의 축·체결·기어를 설계하거나 공급사 사양을 검토하는 기계 설계자, 체결 토크와 예압 산포를 관리하는 조립·품질 엔지니어, 백래시를 정밀도 예산에 반영하는 시스템 엔지니어.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: KHK의 Gear Technical Reference(공개 PDF: 모듈 표준값 표(JIS B 1701-2:1999 발췌), 랙 치형, 인벌류트·물림·언더컷·전위 설명, 표준·전위 평기어 계산표 4.1·4.3, 인벌류트 좌표 표 3.4, 이끝 두께 표 3.5, 백래시 6.1~6.4절과 표 6.1·6.2, 부록의 나사 골지름(JIS B 0205-4·0209-2 발췌)·육각 구멍 볼트(JIS B 1176:2006 발췌)·구멍 치수·평행 키(JIS B 1301:1996 발췌) 표). R. T. Barrett, Fastener Design Manual, NASA RP-1228(1990, NTRS 공개)의 토크-장력 식·표 VI·하중 분담 식·토크 측정 정확도 표 VII·VIII. 검색 요약으로만 확인한 것: ISO 898-1의 성능 등급 값(8.8·10.9·12.9의 시험 하중 응력·항복·인장), Wahl 계수와 전단 응력식(Ames·Roymech), 커플링 형식별 특성(Motion Control Tips·Machine Design 등 유통사·잡지 설명). 서지만 확인(Crossref): Bickford(2007, Introduction to the Design and Behavior of Bolted Joints). 본문을 읽지 못한 것: ISO 898-1·ISO 54·ISO 53·ISO 21771·ISO 1328-1·ISO 6336·VDI 2230의 본문, Shigley·Wahl·Bickford 교재. 재료 물성·가반하중·형상은 이 장이 정한 가정이며 어떤 제품의 제원도 아니다.

4.3.2 개념 — 요소마다 닫힌 식과 한 쌍의 허용 한계가 있다

결론부터 적으면 다음과 같다. 기계 요소 설계는 하중 경로를 따라 응력·강성·체결력·치형을 닫힌 식으로 계산하고 각 요소의 허용 한계(항복·증명 하중·분리·접촉·백래시)와 대조하는 일이다. 로봇에서 이 한계가 사양과 만나는 지점은 세 곳이다. 첫째, 체결 토크로 정해지는 예압은 마찰 계수의 산포 때문에 공칭의 $0.77\sim1.41$배로 퍼지고 최댓값이 증명 응력을 넘을 수 있다. 둘째, 접합부의 하중 분담 $C$가 작을수록 외력이 볼트에 덜 전달되나 부재가 연하면(알루미늄) $C$가 커진다. 셋째, 기어 백래시는 이 두께 감소 $\Delta s$에는 1:1, 중심거리 오차 $\Delta a$에는 $2\tan\alpha$배로 반응한다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 비틀림 $83$ N·m·굽힘 $40$ N·m·$S_y=355$ MPa·안전율 3의 정적 최소 지름은 $19.20$ mm이고 $20$ mm 축의 폰 미제스 응력은 $104.7$ MPa(안전율 $3.39$)이며 내경 $10$ mm 중공으로 질량이 $25\,\%$ 줄면 응력이 $111.7$ MPa로 $6.7\,\%$ 늘어난다. ② 6$\times$6 mm 길이 20 mm 키의 전단·지압 응력은 $69.2$·$138.3$ MPa이다. ③ 커플링 $1500$ N·m/rad의 2관성 고유진동수는 $1180$ Hz이고 강성이 10배이면 $3733$ Hz이다. ④ M6 8.8 볼트의 예압은 $8.75$ kN이고 마찰 계수 $0.10\sim0.20$ 산포에서 토크 관리 예압이 $0.77\sim1.41$배이며, 알루미늄 접합부의 하중 분담은 $C=0.349$, 분리 외력은 $13.4$ kN이다. ⑤ 압축 코일 스프링 상수는 $4.840$ N/mm이고 3차원 보 유한요소가 $-0.07\,\%$ 안에서 같다. ⑥ KHK 예제 표의 기어 치수·인벌류트 좌표·이끝 두께·전위 계산·백래시가 표시 자릿수에서 일치한다. ⑦ $m=1$, 20·60 기어의 가로 물림률은 $1.6708$이고 형상 시뮬레이션이 $m=2$, 20·40에서 닫힌 식 $1.6352$와 $0.0094$ 안에서 같다. ⑧ 중심거리 $+0.1$ mm의 원주 백래시는 정확식 $0.07366$ mm, 1차 근사 $0.07279$ mm이다.

4.3.3 원리

4.3.3.1 축

축은 비틀림 $T$와 굽힘 $M$을 동시에 받는다. 정적 강도는 외곽 섬유의 굽힘 응력 $\sigma=32M/(\pi d^{3})$와 비틀림 응력 $\tau=16T/(\pi d^{3})$를 폰 미제스 상당 응력으로 합쳐 항복에 대한 안전율 $n$을 확인한다.

$$\sigma'=\sqrt{\sigma^{2}+3\tau^{2}}=\frac{S_y}{n}\ \Rightarrow\ d_{min}=\Big(\frac{32\,n}{\pi S_y}\sqrt{M^{2}+\tfrac34T^{2}}\Big)^{1/3}.$$

속 빈 축은 $d_i/d$가 커질수록 굽힘·비틀림 단면 계수가 $1-(d_i/d)^{4}$로 줄고 질량은 $(d_i/d)^{2}$만큼 준다. $d_i/d=0.5$이면 질량이 $25\,\%$ 줄고 단면 계수는 $6.25\,\%$ 줄어 응력이 $6.7\,\%$ 늘어난다. 비틀림 강성은 $k_t=GJ/L=G\pi d^{4}/(32L)$이며 직렬 연결에서는 컴플라이언스 $1/k_t$가 더해진다. 계단 외팔보의 끝 처짐은 단위 하중 정리로 $\delta=\frac{P}{E}\sum_i\frac{(L-a_i)^{3}-(L-b_i)^{3}}{3I_i}$이다($[a_i,b_i]$ 구간의 관성 모멘트 $I_i$). 피로 강도·응력 집중은 4.5, 위험 속도와 모드는 4.8에서 다룬다. 정적 식은 반복 하중에서 충분조건이 아니다.

4.3.3.2 키와 키홈

평행 키는 접선력 $F_t=2T/d$를 전단면 $bl$과 지압면 $hl/2$로 전달한다. 전단 응력은 $\tau=F_t/(bl)$, 지압 응력은 $\sigma_b=F_t/(hl/2)$이다. KHK가 발췌한 JIS B 1301:1996 표는 평행 키의 폭×높이(예 6$\times$6·8$\times$7·10$\times$8)와 길이 범위(6$\times$6은 14~70 mm, 8$\times$7은 18~90 mm), 키홈 깊이를 적는다. 이 장은 추출에서 손실된 적용 축 지름 열을 확인하지 못했다 (확인 필요). 키홈은 축의 단면을 줄이고 응력 집중원이므로 4.5의 피로 검토가 별도로 필요하다. 키 없이 마찰이나 형상으로 토크를 전달하는 방식은 4.3.6에서 비교한다.

4.3.3.3 커플링

커플링은 두 축을 토크 전달하며 이으면서 편심·편각·축 방향 오차를 허용한다. 공개 설명(유통사·잡지, 2차 출처)에서 형식별 특성은 다음과 같다.

위 값은 제조사·잡지 설명이며 표준 문서가 아니고 정량 값은 제조사 데이터시트에서 확인해야 한다 (확인 필요). 두 관성 $J_1$·$J_2$가 비틀림 강성 $k$로 이어진 계의 첫 고유진동수는 다음이다. 모터·커플링·부하 사이의 공진이 서보 대역폭 설계의 상한이 된다(5.9).

$$f_1=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{k\,(J_1+J_2)}{J_1J_2}}.$$

4.3.3.4 볼트 체결

볼트 체결은 예압으로 접합면을 눌러 외력을 마찰과 접합부 강성비로 전달한다. 나사의 피치 지름·골 지름·응력 단면적은 $d_2=d-0.6495p$, $d_3=d-1.2269p$, $A_s=\frac\pi4\big(\frac{d_2+d_3}2\big)^{2}$이며 M6$\times$1에서 $A_s=20.12$ mm²이다(이 장은 $\frac\pi4(d-0.9382p)^{2}$ 형태와 수치로 일치함을 확인했으며 ISO 898-1 본문의 표기는 읽지 못했다). KHK가 발췌한 JIS B 0205-4·0209-2는 암나사 골 지름 $D_1=D-1.0825p$(M6 $4.918$ mm)와 육각 구멍 볼트(JIS B 1176:2006) 머리 지름 $d_k=10$ mm·높이 $k=6$ mm, 구멍 지름 $6.6$ mm(JIS B 1176:1974 발췌)를 적는다. 성능 등급 8.8의 시험 하중 응력은 $580$ MPa, 항복은 $640$ MPa, 인장은 $800$ MPa(지름 16 mm 이하)로 검색 요약이 전하며 판·지름 구간에 따라 다르다 (확인 필요: ISO 898-1 본문 미확인).

체결 토크와 예압의 관계는 $T=KF_id$이다. NASA RP-1228은 $K$를 나사 마찰 $\mu$와 좌면 마찰 $\mu_c$로 다음처럼 계산한다고 적는다($d_2$ 나사 피치 지름, $\psi$ 리드각, $\alpha'$ 나사 반각).

$$K=\frac{d_2}{2d}\,\frac{\tan\psi+\mu\sec\alpha'}{1-\mu\tan\psi\sec\alpha'}+0.625\,\mu_c.$$

같은 문서는 흔히 가정하는 $K=0.2$를 맹신하지 말 것, 강-강의 전형값이 $0.15$일 수 있음, 마찰 계수가 $0.04\sim1.10$까지 변할 수 있음을 적고 표 VI에서 $\mu=\mu_c=0.05$·$0.10$·$0.15$·$0.20$에 $K=0.074$·$0.133$·$0.189$·$0.250$을 제시한다. 이 장의 M6 계산은 $0.084$·$0.141$·$0.199$·$0.256$으로 $2.5\sim13\,\%$ 크다. 표 VI의 나사 치수를 확인하지 못해 차이의 원인을 가르지 못했다 (확인 필요). 토크 방식의 예압 정확도는 표 VIII에서 $\pm15\sim\pm30\,\%$, 볼트 신장 측정은 $\pm1\sim\pm8\,\%$로 적혀 있다.

접합부는 볼트(강성 $k_b$)와 부재(강성 $k_m$)의 병렬 스프링이다. 예압 $F_i$인 상태에서 외력 $F_e$는 볼트와 부재에 $C=k_b/(k_b+k_m)$로 나뉜다(RP-1228의 식과 같다).

$$F_b=F_i+C\,F_e,\qquad F_m=F_i-(1-C)F_e,\qquad F_{e,sep}=\frac{F_i}{1-C}.$$

RP-1228은 $R=k_m/k_b$가 강 볼트·강 플랜지에서 약 5라고 적고, 같은 외력이면 $R$이 클수록 볼트 하중 증가가 작아 피로에 유리하다고 설명한다. 부재 강성은 이 장이 유도한 원뿔대 모델로 구한다. 머리 지름 $d_w$에서 두께 방향으로 반각 $\beta=30^\circ$로 퍼지는 속 빈 원뿔대(구멍 지름 $d$, 두께 $t$)의 컴플라이언스는 다음이다.

$$\frac1{k}=\int_0^t\frac{dx}{E\,\frac\pi4\big[(d_w+2x\tan\beta)^{2}-d^{2}\big]}=\frac{1}{\pi E\,d\tan\beta}\ln\frac{(2t\tan\beta+d_w-d)(d_w+d)}{(2t\tan\beta+d_w+d)(d_w-d)}.$$

적분 형태는 이 장이 수치 구적과 대조했다. 반각 $30^\circ$와 머리 지름의 접촉 영역 가정은 교재에서 흔히 사용되는 근사이며 유한요소로 검증하지 않았다 (확인 필요). 접합면의 마찰만으로 토크를 전달하면 $T_{slip}=\mu_s nF_{c}r$($n$ 볼트 수, $F_c$ 체결력, $r$ 볼트원 반지름)이다.

4.3.3.5 압축 코일 스프링

압축 코일 스프링의 선재는 비틀림으로 변형한다. 상수 $k=Gd^{4}/(8D^{3}N_a)$(코일 지름 $D$, 선 지름 $d$, 유효 감김 $N_a$)는 선재 길이 $\pi DN_a$에 대한 비틀림 에너지에서 나온다. 전단 응력은 직선 보의 $8FD/(\pi d^{3})$에 곡률과 직접 전단을 반영한 Wahl 계수 $K_w=\frac{4C-1}{4C-4}+\frac{0.615}{C}$($C=D/d$)를 곱한다(Ames·Roymech 공개 설명). 밀착 높이는 $(N_a+2)d$(양끝 닫힌 감김 각 1)이다. 피치각을 포함한 Castigliano 식 $\delta=FR^{2}\big(\frac{\cos^{2}\alpha}{GJ}+\frac{\sin^{2}\alpha}{EI}\big)\frac{2\pi RN_a}{\cos\alpha}$이 닫힌 식과 $0.17\,\%$ 이내이다(피치 4 mm). 좌굴, 피로, 열처리와 서징은 이 장이 다루지 않는다.

4.3.3.6 기어 기본

인벌류트는 직선이 기초원 위를 미끄럼 없이 구를 때 직선 위의 한 점이 그리는 곡선이다. KHK는 기초원 반지름 $r_b$, 반지름 $r$의 점에서 $\alpha=\cos^{-1}(r_b/r)$, $\mathrm{inv}\,\alpha=\tan\alpha-\alpha$, 좌표 $x=r\cos(\mathrm{inv}\,\alpha)$, $y=r\sin(\mathrm{inv}\,\alpha)$를 적는다. 표준 모듈은 JIS B 1701-2:1999 발췌 표에서 1순위 $0.1$·$0.2$·$0.3$·$0.4$·$0.5$·$0.6$·$0.8$·$1$·$1.25$·$1.5$·$2$·$2.5$·$3$·$4$·$5$·$6$·$8$·$10$·$12$·$16$·$20$·$25$·$32$·$40$·$50$ mm이고 2순위가 별도로 있다(ISO 54와의 대응은 확인하지 못했다 (확인 필요)). 기준 랙은 이끝 높이 $1.00m$, 이뿌리 높이 $1.25m$, 전체 이 높이 $2.25m$, 물림 이 높이 $2.00m$, 틈새 $0.25m$, 이뿌리 필릿 반지름 $0.38m$이며 압력각은 보통 $20^\circ$($14.5^\circ$·$17.5^\circ$도 사용)이다. 피치 원 지름 $d=zm$, 기초원 지름 $d_b=d\cos\alpha$, 기초 피치 $p_b=\pi m\cos\alpha$, 표준 중심거리 $a=(z_1+z_2)m/2$이다.

가로 물림률은 물림 길이 $ab$를 기초 피치로 나눈 값이며 KHK는 1 이상을 유지하라고 적는다. 표준 기어 쌍에서 다음이 성립한다(전위 쌍은 $\alpha\to\alpha_w$, $a$를 작업 중심거리로 대체).

$$\varepsilon_\alpha=\frac{\sqrt{r_{a1}^{2}-r_{b1}^{2}}+\sqrt{r_{a2}^{2}-r_{b2}^{2}}-a\sin\alpha_w}{\pi m\cos\alpha}.$$

언더컷 없는 최소 잇수는 $z_{min}=2/\sin^{2}\alpha$이며 $\alpha=20^\circ$에서 $17.097$이고 KHK는 17이라 적는다. 전위 계수 $x$이면 $z=2(1-x)/\sin^{2}\alpha$, $x_{min}=1-z\sin^{2}\alpha/2$이다($z=12$에서 $0.298$). 전위 쌍의 작업 압력각은 $\mathrm{inv}\,\alpha_w=2\tan\alpha\,\frac{x_1+x_2}{z_1+z_2}+\mathrm{inv}\,\alpha$이고 중심거리 증가 계수는 $y=\frac{z_1+z_2}2\big(\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha_w}-1\big)$, 중심거리 $a=\big(\frac{z_1+z_2}2+y\big)m$이다.

백래시는 이 홈 폭이 이 두께를 넘는 양이다. KHK는 원주 $j_t$(피치원 호 길이)·법선 $j_n$·각 $j_\theta$·반경 $j_r$로 나누고 평기어에서 $j_t=j_n/\cos\alpha$, $j_r=j_n/(2\sin\alpha)$, $j_\theta=360^\circ j_t/(\pi d)$를 제시한다. 백래시를 만드는 방법은 중심거리를 키우거나 이 두께를 줄이는 것이며 후자가 훨씬 흔하다. 이 두께를 두 기어에서 $\Delta s_1$·$\Delta s_2$만큼 줄이면 $j_t=\Delta s_1+\Delta s_2$이다. 중심거리를 $\Delta a$ 키우면 정확히는 $j_t=2a(\mathrm{inv}\,\alpha_w-\mathrm{inv}\,\alpha)$이고 1차로 $j_t\approx2\Delta a\tan\alpha$이다(이 장이 이두께 합과 작업 압력각에서 유도, 표 ⑧). 다단 기어열에서 기어 1을 고정했을 때 기어 4의 누적 백래시는 $j_{tT4}=j_{t1}\,d_3/d_2+j_{t4}$이다(KHK의 식 6.1).

4.3.4 알고리즘

입력: 피크 토크 T, 굽힘 M, 재료 (Sy, G, E), 접합부 (볼트 등급·수, 부재 재료·두께), 기어 (m, z1, z2, α, 허용 백래시)
1. 축:    d ≥ d_min = (32 n sqrt(M² + 0.75 T²)/(π Sy))^(1/3),  비틀림 강성 k_t = G π d⁴/(32 L)
2. 키:    τ = 2T/(d b l) ≤ 0.577 Sy/n,  σ_b = 4T/(d h l) ≤ Sy/n
3. 커플링: f1 = (1/2π) sqrt(k (J1+J2)/(J1 J2)) 가 서보 대역폭의 상한보다 충분히 높은지 확인
4. 볼트:  A_s, F_i = 0.75 Sp A_s,  T = K F_i d,  K의 산포(μ 범위)로 F_i 범위를 구해 증명 하중 이하인지 확인
          k_b, k_m(원뿔대) → C → F_b, F_m, 분리 외력,  T_slip = μ_s n F_c r  ≥  안전율 · T
5. 스프링: k = G d⁴/(8 D³ N_a),  τ = K_w 8 F D/(π d³),  밀착 높이 (N_a + 2) d
6. 기어:  d, d_b, d_a, d_f, a (전위 시 α_w, y),  ε_α ≥ 1 확인(KHK),  z ≥ z_min 또는 x ≥ x_min,  백래시 j_t, j_θ, 다단 누적
출력: 요소 치수, 체결 토크, 체결 순서, 허용 백래시, 시험 계획

4.3.5 풀이 예제 — 요소별 환산과 독립 대조

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 축·키·커플링·볼트·스프링의 식이 닫힌 식과 SciPy·NumPy·3차원 보 유한요소에서 같다. ② 볼트 체결 토크는 마찰 계수 산포로 예압이 $0.77\sim1.41$배로 퍼지고 접합부 하중 분담 $C=0.349$가 알루미늄 부재에서 강-강($R\approx5$)보다 크다. ③ KHK 예제 표의 인벌류트·이끝 두께·표준·전위 평기어·백래시 값이 표시 자릿수에서 일치한다. ④ 형상 시뮬레이션이 백래시 관계($j_t$ 대 $\Delta s$, $\Delta a$)와 물림률을 독립적으로 확인한다.

구현. shaft_d_min·shaft_stress·tip_defl(축), f_two_inertia(커플링), thread·K_nut·frustum_c·joint(볼트), spring_k·wahl(스프링), inv·inv_inv·involute·shifted·contact_ratio·crest·backlash·jt_ctr(기어). 표·도해·캐시는 스크립트에 있다.

from math import pi, sqrt, sin, cos, tan, acos, log, radians

def shaft_d_min(M, T, Sy, n):
    """정적 폰 미제스 최소 지름(안전율 n)"""
    q = sqrt(M * M + .75 * T * T)
    return (32 * n * q / (pi * Sy)) ** (1 / 3)

def shaft_stress(d, M, T, di=0.0):
    I = pi / 64 * (d**4 - di**4)
    J = 2 * I
    s, t = M * d / 2 / I, T * d / 2 / J
    return s, t, sqrt(s * s + 3 * t * t)

def tip_defl(P, L, secs, E):
    """계단 외팔보 끝 처짐: secs = [(시작, 끝, I)]"""
    return P / E * sum(((L - a)**3 - (L - b)**3) / 3 / I
                       for a, b, I in secs)

def f_two_inertia(k, J1, J2):
    return sqrt(k * (J1 + J2) / (J1 * J2)) / (2 * pi)

def thread(d, p):
    d2, d3 = d - .6495 * p, d - 1.2269 * p
    return d2, d3, pi / 4 * ((d2 + d3) / 2) ** 2

def K_nut(d, p, mu, muc, half=radians(30), rb=.625):
    """T = K F d (NASA RP-1228): 나사 mu, 좌면 muc"""
    d2 = d - .6495 * p
    tp, sc = p / (pi * d2), 1 / cos(half)
    f = (tp + mu * sc) / (1 - mu * tp * sc)
    return d2 / (2 * d) * f + rb * muc

def frustum_c(E, d, dw, t, a=radians(30)):
    """속 빈 원뿔대(두께 t)의 압축 컴플라이언스"""
    u1 = dw + 2 * t * tan(a)
    r = ((u1 - d) * (dw + d)) / ((u1 + d) * (dw - d))
    return log(r) / (pi * E * d * tan(a))

def joint(kb, km, Fi, Fe):
    C = kb / (kb + km)
    sep = Fi / (1 - C)
    if Fe >= sep:
        return Fe, 0.0, C, sep
    return Fi + C * Fe, Fi - (1 - C) * Fe, C, sep

def spring_k(G, d, D, Na):
    return G * d**4 / (8 * D**3 * Na)

def wahl(C):
    return (4 * C - 1) / (4 * C - 4) + .615 / C

def inv(a):
    return tan(a) - a

def inv_inv(v):
    a = (3 * v) ** (1 / 3)
    for _ in range(60):
        a -= (inv(a) - v) / tan(a) ** 2
    return a

def involute(rb, r):
    """반지름 r의 점: (x, y, 압력각 [deg])"""
    a = acos(rb / r)
    ph = inv(a)
    return r * cos(ph), r * sin(ph), a * 180 / pi

def shifted(m, z1, z2, x1, x2, al=radians(20)):
    """전위 평기어 쌍: (aw, a, y, ra1, ra2, rb1, rb2)"""
    v = 2 * tan(al) * (x1 + x2) / (z1 + z2) + inv(al)
    aw = inv_inv(v)
    y = (z1 + z2) / 2 * (cos(al) / cos(aw) - 1)
    a = ((z1 + z2) / 2 + y) * m
    ra1 = m * z1 / 2 + (1 + y - x2) * m
    ra2 = m * z2 / 2 + (1 + y - x1) * m
    rb1, rb2 = m * z1 * cos(al) / 2, m * z2 * cos(al) / 2
    return aw, a, y, ra1, ra2, rb1, rb2

def contact_ratio(m, aw, a, ra1, ra2, rb1, rb2,
                  al=radians(20)):
    g1, g2 = sqrt(ra1**2 - rb1**2), sqrt(ra2**2 - rb2**2)
    g = g1 + g2 - a * sin(aw)
    return g / (pi * m * cos(al))

def crest(m, z, x, al=radians(20)):
    """이끝 두께 sa [mm]: 이끝 압력각 ala, 반각 psi"""
    d = z * m
    da = d + 2 * m * (1 + x)
    ala = acos(d * cos(al) / da)
    psi = pi / (2 * z) + 2 * x * tan(al) / z
    psi += inv(al) - inv(ala)
    return psi * da, ala

def backlash(jn, d, al=radians(20)):
    """원주 jt, 중심거리 방향 jr, 각 jtheta [deg]"""
    jt = jn / cos(al)
    return jt, jn / (2 * sin(al)), 360 * jt / (pi * d)

def jt_ctr(z1, z2, m, da, al=radians(20)):
    """중심거리 +da의 원주 백래시 2a(inv aw - inv a)"""
    a0 = m * (z1 + z2) / 2
    a = a0 + da
    aw = acos(a0 * cos(al) / a)
    return 2 * a * (inv(aw) - inv(al)), 2 * da * tan(al)

표 ① 축.

계단 외팔보 처짐은 닫힌 식과 SciPy solve_ivp 적분이 $1.4\times10^{-14}$ µm 안에서 같다(라이브러리 대조 표).

표 ② 키.

키의 전단 기준 허용 토크는 $246$ N·m로 요구 $83$ N·m의 $2.96$배이다. 키홈의 응력 집중과 피로는 포함하지 않았다.

표 ③ 커플링의 2관성 비틀림 고유진동수.

축의 비틀림 컴플라이언스를 커플링에 직렬로 더하면 $1180\to1115$ Hz로 $5.5\,\%$ 낮아진다. 고유진동수가 서보 속도 루프 대역폭의 몇 배 이상이어야 하는지의 기준은 5.9에서 다룬다.

표 ④ 볼트 체결.

마찰 계수 $0.10\sim0.20$ 균등 산포에서 $\mu=0.15$ 기준 토크로 조인 예압의 5~95 % 구간은 $0.79\sim1.35F_i$이고 최댓값은 $1.41F_i$($=1.06S_pA_s$, 응력 $615$ MPa)이다. 증명 응력을 넘고 항복 $640$ MPa에는 미치지 않는다. 최솟값 예압($0.77F_i$)에서도 마찰 체결 토크 $183$ N·m가 요구 $83$ N·m의 $2.2$배이다. 부재 강성이 볼트의 $1.87$배(알루미늄)이므로 하중 분담 $C=0.349$이며 외력 $1000$ N 중 $349$ N이 볼트에 전해진다.

표 ⑤ 압축 코일 스프링.

표 ⑥ KHK 예제 표 재현.

표 ⑦ 기어 단과 언더컷 한계.

표 ⑧ 중심거리 증가에 대한 원주 백래시.

중심거리 $0.1$ mm 증가에서 정확식과 1차 근사는 $1.2\,\%$, $0.2$ mm에서 $2.3\,\%$ 다르다. $m=1$ 기어에서 $\Delta a=0.01$ mm가 $j_t=0.0073$ mm(약 $0.73$배)를 만든다.

라이브러리 독립 대조

이 장의 환산이 SciPy·NumPy·shapely와 반올림 안에서 같다. 기어 형상 시뮬레이션의 원주 백래시가 정확식과 $0.23\sim1.0\,\%$(절대 $1.5\times10^{-4}$ mm 안팎, 다각형 근사와 이분법 허용오차)에서, 이 두께 감소의 $j_t=\Delta s_1+\Delta s_2$와 $1.4\times10^{-4}$ mm 안에서 같다. 이상 징후는 물림률이다. 시뮬레이션의 가로 물림률이 닫힌 식 $1.6352$보다 크고 접촉 판정 거리를 $3\times10^{-5}$·$10^{-4}$·$3\times10^{-4}$ mm로 키우면 $1.6446$·$1.6505$·$1.6615$로 커진다. 판정 거리가 작을수록 닫힌 식에 접근하므로 차이의 원인을 접촉 판정 허용오차와 다각형 근사로 추정하며, 판정 거리를 더 줄여 $1.6352$로 수렴함을 확인하지는 않았다 (확인 필요). 스프링 유한요소는 요소 수를 절반으로 줄여도 $2.9\times10^{-3}$ 달라져 수렴이 요소 수에 의존하며 이 값이 닫힌 식과의 차이($-0.07\,\%$)보다 크지 않다.

한계. 정적 강도와 닫힌 식 위주이며 피로·충격·열팽창·표면 조도·윤활은 포함하지 않았다. 볼트 예압은 마찰 계수의 균등 분포를 가정했다. 접합부 부재 강성은 원뿔대 근사이며 유한요소로 검증하지 않았다. NASA 표 VI와 이 장의 $K$가 $2.5\sim13\,\%$ 다르다. 스프링은 정적 압축만, 기어는 치면 강도(ISO 6336)와 굽힘 강도를 계산하지 않았다. 물성값($S_y$, $G$, $E$)과 커플링 강성·관성은 이 장의 가정이다.

견해: 체결 토크로 예압을 관리하는 볼트 접합부는 마찰 계수 범위를 $\pm33\,\%$ 이상으로 보고 예압 목표를 증명 하중의 $75\,\%$보다 낮게 잡거나 토크-회전 방식으로 산포를 줄이는 것이 맞다고 본다. 근거는 이 장의 계산에서 $\mu=0.10\sim0.20$ 균등 산포가 최댓값 예압을 증명 응력의 $1.06$배까지 올리고(표 ④), NASA RP-1228이 토크 방식 정확도를 $\pm15\sim\pm30\,\%$로 적은 점이다. 실제 체결 공정의 마찰 분포는 이 장이 측정하지 않았다.

4.3.6 설계 트레이드오프 — 백래시 저감 방식

관절 기어열의 백래시를 줄이는 방식은 다음 중에서 고른다(KHK 6.5절).

• ① 이 두께 감소를 작게 한 기어. 중심거리를 정상으로 두고 이 두께 감소가 적은 기어를 사용한다. 가장 단순하나 백래시를 0으로 만들 수는 없고 런아웃이 크면 백래시 변동이 커진다. KHK는 백래시 0에서 기어가 매끄럽게 돌지 않을 수 있다고 경고한다.
• ② 중심거리 조정. 중심거리를 줄여 반경 틈새를 줄인다. 조정이 복잡하고, 이 장의 계산에서 $\Delta a=0.1$ mm가 $0.07$ mm의 백래시를 바꾸므로 마이크로미터 수준의 위치 결정이 필요하다. KHK의 별도 안내문(검색 요약)은 윤활 틈새가 없어지고 과도한 물림이 생긴다는 이유로 중심거리를 줄여 백래시를 없애려는 시도를 권하지 않는다.
• ③ 백래시 조정형 기어(분할·테이퍼). 분할 기어의 위상이나 테이퍼 기어의 축 위치를 조정하며 영 백래시는 아니다.

견해: 로봇 관절의 1단 평기어에는 ①을 기본으로 하고 중심거리 공차를 H7급으로 관리해 백래시 산포를 $2\tan\alpha\,\Delta a$ 수준으로 제한하는 것이 맞다고 본다. 근거는 이 장의 계산에서 중심거리 $0.01$ mm 오차가 $m=1$ 기어에 $0.0073$ mm의 원주 백래시를 만들어 이 두께 공차($\Delta s$ 1:1)와 같은 수준이라는 점이다. KHK 표시와 같은 $j_t$ 공차를 만족하는 공급사의 비용·가용성 비교는 하지 않았다. 감속기 내부의 영 백래시 방식(파동기어·RV)은 5.10·5.11에서 다룬다.

4.3.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 제품별 요구는 다르다. 응용별 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

4.3.8 관련 규격·프로토콜

로봇 플랜지의 기계 인터페이스(ISO 9409)는 27.4에서 다룬다.

4.3.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

기계 요소 자체를 규정하는 로봇 법령은 확인하지 못했다. 간접 연결은 다음이다. 안전 기능을 구성하는 기계 부품의 고장 배제 조건(체결구·스프링 등)은 기능안전 규격에서 규정된다고 알려져 있으나 이 장은 본문을 읽지 못했다 (확인 필요)(26.6). 볼트 풀림·축·기어의 파손은 신뢰성 평가(26.17)와 위험성 평가(26.4)의 고장 모드이다. 협동로봇 관절의 정지 거리와 충돌 힘은 백래시·커플링 강성과 연결된다(26.9).

4.3.10 한계·유의점·미해결

• 정적 닫힌 식의 범위. 반복 하중·충격·응력 집중·열팽창은 반영하지 않았다(4.5). 축 지름의 정적 최소값은 설계 하한이 아니다.
• 자료의 지위. 볼트 성능 등급·커플링 특성·Wahl 계수는 검색 요약과 2차 출처이며, KHK·NASA 표는 직접 읽었으나 단일 출처이다. NASA 표 VI와 이 장의 $K$가 다르며 원인을 확인하지 못했다.
• 모델 가정. 접합부 원뿔대 근사, 마찰 균등 분포, 스프링 선재 물성, 커플링 강성과 관성은 가정이다. 물림률 형상 시뮬레이션은 접촉 판정 허용오차에 의존한다.
• 미해결. 치면 강도·굽힘 강도(ISO 6336), 헬리컬·베벨·웜 기어, 볼트 풀림 거동, 스프링의 피로·서징은 이 장이 다루지 않았다.

4.3.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 폰 미제스 정적 최소 지름 $d_{min}$을 유도하고 내경비 $0.5$인 중공 축의 응력 증가율을 구하라.
2. 키의 전단·지압 응력식을 유도하고 키 길이가 전단 기준과 지압 기준에서 어느 쪽으로 정해지는지 판정하라.
3. 2관성계의 비틀림 고유진동수를 유도하고 커플링 강성이 10배일 때의 비를 구하라.
4. $T=KF_id$에서 마찰 계수 범위가 예압 범위로 어떻게 전달되는지 보이고 증명 하중을 넘지 않는 토크 목표를 정하라.
5. 접합부의 $C$·분리 하중 $F_i/(1-C)$를 유도하고 $R=k_m/k_b$가 클 때와 작을 때의 의미를 설명하라.
6. 인벌류트의 $\alpha=\cos^{-1}(r_b/r)$, $\mathrm{inv}\,\alpha$를 사용해 반지름 $r$ 점의 좌표를 구하고 KHK 표 3.4와 대조하라.
7. $\Delta a$가 $j_t$에 미치는 영향 $2\Delta a\tan\alpha$를 $j_t=2a(\mathrm{inv}\,\alpha_w-\mathrm{inv}\,\alpha)$의 1차 전개로 유도하라.

연구 질문:

• 원뿔대 모델이 알루미늄·강 혼합 접합부의 부재 강성을 어느 오차로 예측하며 반각과 접촉 영역의 가정은 어떻게 보정하는가(이 장은 유한요소로 확인하지 않았다)?
• 형상 시뮬레이션의 접촉 판정 허용오차를 0으로 보낼 때 가로 물림률이 닫힌 식 $1.6352$로 수렴하는가?
• 토크-회전 체결과 신장 측정이 실제 로봇 조립 공정에서 예압 산포를 얼마나 줄이는가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• KHK, Gear Technical Reference(공개 PDF, khkgears.us) — 3.1~3.6, 4.1, 5, 6.1~6.5절과 부록(JIS B 0205-4·0209-2, B 1176, B 1301 발췌)을 읽었다.
• R. T. Barrett, Fastener Design Manual, NASA RP-1228, 1990(NTRS 19900009424) — 토크 계수·하중 분담·토크 측정 정확도를 읽었다.
• Ames 공학 웹 참조 "Compression Spring Formulas"·Roymech "Springs helical" — Wahl 계수·전단 응력식(2차 출처, 검색 요약).
• ISO 898-1 성능 등급 표(검색 요약, 2차 출처); 커플링 형식 설명(Motion Control Tips·Machine Design 등, 2차 출처).
• 서지만 확인: J. H. Bickford, Introduction to the Design and Behavior of Bolted Joints, CRC Press, 2007, doi:10.1201/9780849381874.
• NumPy 2.5.4, SciPy 1.18.1(integrate.solve_ivp·quad, linalg.eigh, optimize.brentq), shapely 2.2.0.

다음 장. 4.4는 구조와 재료를 다룬다. 이 장의 축·체결·기어 요소가 사용하는 재료 물성($S_y$·$E$·$G$)과 알루미늄·주조·복합재·엔지니어링 플라스틱, 위상 최적화를 계산으로 확인한다.