제5부 구동·액추에이터·동력전달

5.26 액추에이터·센서 시험과 특성 평가: 동력계·토크 리플·대역폭·효율 맵

5.26.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 동력계 시험으로 액추에이터의 특성(토크 리플·주파수 응답과 대역폭·효율 맵·열 매개변수)을 측정하는 방법과, 측정 신호에서 이 값들을 추정하는 알고리즘과, 측정 불확도가 값에 전파되는 경로를 계산으로 확인한다. 모터·드라이브·서보·감속기가 각각 정의한 지표는 앞선 장이 다루고, 이 장은 그 지표를 어떻게 측정해 얼마의 불확도로 말할 수 있는가를 다룬다. 지표의 정의는 5.1, 사이징과 열 모델은 5.2, 코깅과 토크 리플의 원인은 5.5, 전류 리플은 5.6, 전력 소자 손실의 측정은 5.8, 서보 루프 대역폭은 5.9, 감속기의 정격 조건은 5.10~5.12, 시험 설계 일반은 26.27·26.15, 센서 자체의 특성은 6.1~6.6, 센서 교정은 6.21이다.

배우는 것:

• 시험 설비 — 동력계의 구성, 토크 센서의 배치, 시험의 종류와 IEC 60034-2-1이 요구하는 계측 조건.
• 측정 불확도 — GUM의 Type A·B 평가, 합성 표준 불확도, 효율의 일차 전파와 몬테카를로.
• 토크 리플 — 각도 영역 최소제곱, 시간 영역 DFT의 주파수 변조 감쇠, 센서·축 결합의 공진 이득.
• 주파수 응답 — Welch의 $H_1$·$H_2$·코히런스, 시험 설비 동특성의 소거, 계단 응답과의 환산.
• 효율 맵 — 격자 설계, 손실 모델의 가중 최소제곱, 보간 방법에 따른 오차.
• 열 시험 — 저항법 온도, 계단 가열에서 열 매개변수의 식별 가능성.

선수 지식: 5.1(지표 정의), 5.2(열 모델), 5.5(토크 리플), 5.9(서보 루프).

특히 중요한 독자: 액추에이터 시험 설비를 구축하는 엔지니어, 제조사 사양서의 효율·대역폭·리플 값을 검증하려는 개발자, 시험 성적서의 불확도를 검토하는 인증·조달 담당자.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: (a) JCGM 100:2008(GUM) 전문 — 4.2·4.3(Type A·B), 식 (5)·(7)·(10)·(12)·(18), 6.3.3(포괄 인자 $k=2$). (b) IEC 60034-2-1:2014(Edition 2.0)의 3.15·5절·6.1.2와 IEC 60034-1:2010(Edition 12.0)의 8.6.2·표 5 — law.resource.org에 게시된 사본이며 현행판(2-1은 2024년 3판)은 읽지 못했다 (확인 필요). (c) Urs 외(2022, arXiv:2202.12395v1)의 3·4절(동력계 시험 절차). (d) Wensing 외(2017, IEEE T-RO 33(3))의 계단 시험 절. 서지만 확인한 것: Welch(1967, IEEE Trans. Audio Electroacoust. 15(2), 70–73). 읽지 못한 표준: IEEE Std 112, IEC 61800-9-2, ISO 9283, ISO 10770-1은 번호와 제목으로만 가리킨다. 시험 장면의 매개변수(공진 주파수·손실 계수·센서 등급·열 매개변수)는 모두 이 장의 가정이며 어떤 제품·설비의 값도 아니다. 수치는 모두 이 장의 순수 파이썬 모의이다.

5.26.2 개념 — 사양의 유효 숫자는 시험 설비와 불확도가 정한다

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 효율은 토크·속도·전기 입력의 곱과 비이므로 상대 불확도가 구성 값의 제곱합으로 전파되고, 토크 센서의 오차가 정격 대비로 주어지면 저토크에서 상대 불확도가 $1/\tau$로 커진다. 이 장의 가정 설비(정격 $10$ N·m, 한계 $\pm0.02$ N·m)에서 $0.5$ N·m의 효율 $52.3\,\%$는 상대 불확도 $2.31\,\%$이고 공통 오프셋 $0.02$ N·m는 $+4.0\,\%$의 편향을 만든다. ② 토크 리플은 시간 영역이 아니라 각도 영역에서 추정해야 하며, 센서와 축 결합의 공진이 측정값을 최대 $12.5$배로 키울 수 있다. ③ 대역폭은 시험 설비의 동특성을 소거한 뒤 구해야 하고, 반복 측정의 Type A 불확도($0.05$ Hz)는 주파수 분해능에서 오는 편향($-2.1$ Hz)을 드러내지 못한다. ④ 효율 맵은 효율을 직접 보간하지 말고 손실을 보간하거나 손실 모델을 적합해야 하며 오차가 $0.94$에서 $0.06$ %p로 줄어든다. ⑤ 열 매개변수는 시험 시간과 표본 간격이 식별 정밀도를 정한다.

5.26.3 원리

5.26.3.1 시험 설비 — 동력계와 계측 조건

동력계는 시험 액추에이터의 출력축을 부하 기계(속도 제어 또는 토크 제어)에 연결하고 그 사이에서 토크를 측정하는 설비이다. IEC 60034-2-1은 토크를 인라인 토크계로 측정하는 방식과 크래들(cradle) 구조의 동력계로 측정하는 방식을 구분하고, 크래들 구조나 토크계와 시험 기기 사이에 베어링이 있으면 부하 기계 베어링의 마찰 손실을 보상하는 토크 보정 시험을 하도록 요구한다($T=T_d+T_c$). 평행 부하를 줄이려면 축 정렬과 가요 커플링을 사용한다. 이 표준은 상용 전원으로 구동되는 회전 기기를 대상으로 하므로(적용 범위의 서술) 인버터로 구동되는 서보 액추에이터에는 직접 적용되지 않으며 계측 조건의 유추로만 사용한다 (해석). 표준은 방법마다 가정이 달라 다른 방법으로 구한 효율을 서로 비교하지 않도록 권한다.

읽은 계측 요건은 다음과 같다. 토크계는 등급 $0.2$ 이상이어야 하고 측정 토크가 토크계 정격의 $10\,\%$ 이상이어야 하며 등급 $0.1$이면 $5\,\%$까지 허용된다. 전기량 계측기는 직접 시험에서 등급 $0.2$, 합성 불확도 지시값의 $0.2\,\%$ 이내를 요구한다. 속도는 $0.1$ rpm 이내, 온도 계측은 $\pm1$ K이다. 토크 센서의 온도 영향은 정격의 $0.15\,\%$로 제한하거나 보정한다. 직접 측정 방법(방법 2-1-1A)은 열 평형(온도 변화율이 반 시간에 $1$ K 이하)에 도달한 뒤 $U$·$I$·$P_{el}$·$n$·$T$를 기록하고 $P_{mech}=2\pi Tn$, 전동 운전에서 $\eta=P_{mech}/P_{el}$로 계산한다. 하중 점마다 수백 표본을 $15$ s 이내에 자동으로 취해 평균한다.

Urs 외(2022)의 액추에이터 시험은 이 구조를 로봇 관절에 적용한 사례이다. 정지 상태에서 $q$축 전류를 바꾸며 토크 센서 값과 직선 적합해 $K_T$를 구하고, 외부 구동으로 역구동하며 선간 전압을 측정해 $K_B$를 구한다. 효율은 부하 액추에이터를 속도 제어, 구동 액추에이터를 토크 제어로 두고 $1838$개 조건(7.5:1 액추에이터)에서 직류 버스 전력과 기계 출력을 비교했다. 각 조건은 부하 액추에이터의 속도 램프 $0.1$ s, 지연 $0.1$ s, 구동 액추에이터의 토크 램프 $0.1$ s, 유지 $0.8$ s의 순서이다. 효율의 정의는 양의 일 상한(전동)에서 기계 출력을 전기 입력으로 나눈 값이고 음의 일 상한(발전)에서는 뒤집으며, 두 쪽에서 동력을 흡수하면 음의 효율이 된다.

5.26.3.2 측정 불확도 — GUM의 전파

GUM은 측정 결과에 불확도를 붙이는 절차를 정한다. 반복 관측으로 구하는 Type A 평가는 평균의 실험 분산 $s^2(\bar q)=s^2(q_k)/n$(식 5)이고, 사양서·교정서의 한계 $\pm a$만 알 때의 Type B 평가는 직사각 분포를 가정해 $u^2=a^2/3$(식 7)이다. 측정량 $Y=f(X_1,\dots,X_N)$의 합성 표준 불확도는 입력이 독립일 때 $u_c^2(y)=\sum(\partial f/\partial x_i)^2u^2(x_i)$(식 10)이고, $Y$가 거듭제곱의 곱이면 상대 불확도의 제곱합 $[u_c(y)/y]^2=\sum[p_iu(x_i)/x_i]^2$(식 12)이다. 확장 불확도는 $U=ku_c$(식 18)이며 분포가 대체로 정규이고 자유도가 충분하면 $k=2$가 약 $95\,\%$의 구간을 준다(6.3.3).

효율 $\eta=\tau\omega/P_{in}$은 식 12의 형태이다.

$$\Bigl[\frac{u(\eta)}{\eta}\Bigr]^2=\Bigl[\frac{u(\tau)}{\tau}\Bigr]^2+\Bigl[\frac{u(\omega)}{\omega}\Bigr]^2+\Bigl[\frac{u(P_{in})}{P_{in}}\Bigr]^2.$$

토크 센서의 오차 한계가 정격 대비 $\pm a_{FS}$이면 $u(\tau)=a_{FS}/\sqrt3$로 토크와 무관하므로 첫 항이 $\tau$가 작을수록 커진다. 이 점이 IEC 60034-2-1이 최소 토크를 정격의 $10\,\%$(등급 $0.2$)로 제한하는 이유와 연결된다. 입력 오차가 독립이 아니고 공통이면(영점 오프셋·같은 기준기) 식 (13)의 공분산 항이 필요하며 평균해도 줄지 않는다.

5.26.3.3 토크 리플의 측정

토크 리플은 평균 토크 $\bar T$에 대한 주기 변동이며 이 장은 차수별 진폭 $a_k$와 교류분의 RMS $\sqrt{\sum a_k^2/2}$로 나타낸다(최대-최소 값은 정의가 문헌마다 다르므로 정의를 함께 적는다). 원인은 5.5이 다룬다. 12슬롯 10극($p=5$)에서 역기전력 고조파의 6차 맥동은 기계 1회전당 $6p=30$차, 코깅은 $\mathrm{LCM}(12,10)=60$차로 각도에 고정되므로 속도가 변하면 주파수가 변한다. 따라서 주파수 영역(고정 주파수의 DFT)이 아니라 각도 영역에서 $y=c_0+\sum_k(\alpha_k\cos k\theta+\beta_k\sin k\theta)$를 최소제곱으로 적합하고 $a_k=\sqrt{\alpha_k^2+\beta_k^2}$를 구한다. 속도 리플이 $\dot\theta=\Omega(1+\epsilon\sin\omega_mt)$이면 $k$차 성분의 위상 $k\theta$가 주파수 변조되고, 시간 영역에서 공칭 주파수 $k\Omega/2\pi$의 DFT로 읽은 진폭은 $J_0(\beta)$배로 줄어든다($\beta=k\epsilon\Omega/\omega_m$).

토크 센서와 축 결합은 모터 관성 $J_m$과 결합 강성 $k_s$의 2차계 $H(s)=\omega_n^2/(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)$, $\omega_n=\sqrt{k_s/J_m}$로 근사되어 $k$차 성분을 $\lvert H(jk\Omega)\rvert$배로 바꾼다. $k\Omega=\omega_n$이면 이득이 $1/(2\zeta)$이다. 대책은 두 가지이다. 리플 주파수가 공진보다 충분히 낮도록 저속에서 측정하고(코깅은 준정적 회전), 공진 부근을 피하며 주파수 응답 시험(5.26.3.4)에서 구한 $\lvert H\rvert$로 보정한다. 센서 값은 공극 토크가 아니라 센서 위치의 토크이므로 관성 보정도 필요하다.

5.26.3.4 주파수 응답과 대역폭

선형 시스템의 입력 $x$와 출력 $y$를 랜덤 신호로 측정하고 Welch의 방법(해닝 창, 50 % 겹침)으로 스펙트럼을 평균한다(Welch, 1967). 응답은 $H_1=S_{xy}/S_{xx}$, $H_2=S_{yy}/S_{yx}$이고 코히런스는 $\gamma^2=\lvert S_{xy}\rvert^2/(S_{xx}S_{yy})$이다. 출력에만 잡음이 있으면 $H_1$이 비편향이다. 입력에 독립 잡음 $S_{nn}$이 있으면 $H_1=H\,S_{xx}/(S_{xx}+S_{nn})$으로 낮아지고, 출력 잡음이 있으면 $H_2=H\,(1+S_{n_yn_y}/S_{yy})$로 높아진다. 대역폭은 저주파 이득 대비 $-3$ dB를 처음 지나는 주파수이다.

측정한 응답은 액추에이터 단독이 아니라 센서·결합·증폭기의 동특성을 곱한 것이다. Urs 외(2022)는 액추에이터를 뺀 같은 설비로 시험을 반복해 설비 동특성을 빼냈다. 주파수 분해능 $\Delta f$가 거칠면 공진 봉우리가 평탄해져 교차 주파수가 체계적으로 낮게 추정되며 이 편향은 반복 평균으로 줄지 않는다. 계단 응답으로 대역폭을 구하는 환산 $f_bt_r\approx0.35$는 1차계($\ln9/2\pi=0.3497$, 5.1)의 값이며 감쇠가 작은 2차계에서는 맞지 않는다.

5.26.3.5 효율 맵

효율 맵은 토크-속도 평면의 격자 점마다 열 평형에서 측정한 효율이다. 손실 $P_{loss}=P_{in}-\tau\omega$는 큰 두 값의 차이이므로 상대 불확도가 커지기 쉽고, 구리 손실 $k_{cu}\tau^2$, 마찰 $\tau_c\lvert\omega\rvert$, 속도 의존 손실 $b\omega^2$, 정지 손실 $P_0$의 기저로 가중 최소제곱 적합하면 $\eta=\tau\omega/(\tau\omega+P_{loss})$를 모든 점에서 계산할 수 있다. 가중치는 손실의 일차 불확도 $u^2(P_{loss})=(\omega u_\tau)^2+(\tau\omega u_\omega)^2+(P_{in}u_P)^2$의 역수이다. 효율은 저토크에서 가파르게 변하므로 효율을 직접 보간하는 것보다 손실을 보간하거나 모델을 적합해 효율을 계산하는 쪽이 오차가 작다. 권선 저항이 온도에 의존하므로 맵에는 열 상태(냉시동인가 열 평형인가)를 반드시 적는다. 전동·발전 두 상한의 정의는 5.26.3.1이다.

5.26.3.6 열 시험과 저항법

권선의 평균 온도는 저항으로 구한다. IEC 60034-1은 $(\theta_2+k)/(\theta_1+k)=R_2/R_1$(구리 $k=235$)로 환산하고 시험 종료 후 정지 시간에 따른 보정을 요구한다. 정격 출력 $50$ kW 이하는 전원 차단 후 $30$ s 안의 저항 값을 인정하고, 늦으면 약 1분 간격의 값을 반로그 눈금으로 외삽한다. Urs 외(2022)는 모터를 서미스터처럼 사용하려고 권선을 열화상 카메라로 보며 저항과 평균 온도를 직선 적합($T_w=139.564R_{ll}-177.826$)했고 저항 증가율이 $0.51\,\%$/°C로 구리의 $0.43\,\%$/°C와 다르다고 기록했다(미가열 권선·피복 등 때문이라고 서술). 5.2가 사용한 $\alpha_{\text{Cu}}=0.0039$ K$^{-1}$은 $1/(235+25)=0.00385$와 $1.4\,\%$ 다르다.

열 매개변수는 일정 전력의 계단 가열 또는 랜덤 전압 입력(20 s 유지)에서 얻은 온도 응답을 2노드 열 모델(5.2, 전력 입력과 권선 온도 상승 사이의 2차 전달함수)에 적합해 식별한다(Urs 외). 식별 정밀도는 응답 감도의 Fisher 정보 $\Sigma=\sigma^2(J^\top J)^{-1}$로 평가하며 시험 시간과 표본 간격에 의존한다(5.26.5 ④).

5.26.3.7 센서의 시험 항목

액추에이터 시험에는 센서의 오차가 직접 들어가므로 센서도 함께 시험한다. 센서의 오차 정의와 신호 조절은 6.1, 교정은 6.21가 다룬다.

5.26.4 알고리즘 — 시험에서 특성까지

입력: 시험 액추에이터, 동력계, 센서 불확도(등급·분해능), 시험 계획
 1. 설비 확인: 정렬, 커플링 공진(설비 단독 주파수 응답), 센서 영점·온도
 2. 열 평형 확인(변화율 1 K 이하 / 반 시간) 후 점마다 수백 표본 평균
 3. 효율 맵: 격자 점마다 (tau, w, Pin) -> 손실 -> 가중 최소제곱 -> 모델 -> 맵과 불확도
 4. 토크 리플: 저속 연속 회전 -> 각도 영역 최소제곱 -> 차수별 진폭, 공진 이득 보정
 5. 주파수 응답: 랜덤 입력 -> Welch H1, 코히런스 -> 설비 단독 응답으로 소거 -> -3 dB
 6. 열 시험: 계단 가열 -> 저항 온도 -> 2노드 모델 적합, Fisher 정밀도 확인
 7. 결과에 시험 조건(온도 상태·방법)과 불확도(U, k=2)를 함께 기록

5.26.5 풀이 예제 — 동력계 시험 신호에서 특성 추정

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 각도 영역 최소제곱은 속도 리플이 있어도 $\pm0.6\,\%$(공진 부근 $-3\,\%$) 안에서 리플 진폭을 복원하고, 시간 영역 DFT는 주파수 변조로 $20$ rad/s에서 $-21\,\%$가 된다. ② 설비를 소거한 대역폭이 $169.4$ Hz로 기준 $169.8$ Hz에 $0.4$ Hz 안에서 맞고 설비 포함 값은 $167.0$ Hz이다. ③ 효율의 상대 불확도가 $0.5$ N·m에서 $2.31\,\%$, $10$ N·m에서 $0.17\,\%$이고 일차 전파가 몬테카를로와 같다. ④ 손실 모델 적합의 맵 오차가 $0.06$ %p로 효율 직접 보간($0.94$ %p)보다 작다. ⑤ 열 시험은 $600$ s에서 $R_{th2}$가 $1.1\,\%$, $1800$ s에서 $0.12\,\%$로 식별된다. ⑥ 독립 대조(닫힌 식·SciPy·numpy·몬테카를로)와 모두 일치했다.

코어 코드. 아래는 이 장이 사용하는 추정 알고리즘의 코어이다. 시뮬레이션·열 모델·Fisher 계산은 robotics/fig-src/5.26-bench.py에 있다.

from math import pi, sqrt, cos, sin, hypot, exp
import cmath

def inv(A):
    """가우스-조던 역행렬(부분 피벗)"""
    n = len(A)
    M = [r[:] + [float(i == j) for j in range(n)]
         for i, r in enumerate(A)]
    for c in range(n):
        p = max(range(c, n), key=lambda r: abs(M[r][c]))
        M[c], M[p] = M[p], M[c]
        M[c] = [x / M[c][c] for x in M[c]]
        for r in range(n):
            if r != c:
                f = M[r][c]
                M[r] = [a - f * b for a, b in zip(M[r], M[c])]
    return [r[n:] for r in M]

def wls(X, y, w):
    """가중 최소제곱: (계수, (X'WX)^-1)"""
    n = len(X[0])
    R = range(n)
    N = [[sum(a * r[i] * r[j] for a, r in zip(w, X))
          for j in R] for i in R]
    b = [sum(a * r[i] * v for a, r, v in zip(w, X, y))
         for i in R]
    C = inv(N)
    return [sum(C[i][j] * b[j] for j in R) for i in R], C

def ripple_fit(th, y, orders):
    """각도 영역 최소제곱: 평균과 차수별 진폭"""
    X = []
    for t in th:
        r = [1.0]
        for k in orders:
            r += [cos(k * t), sin(k * t)]
        X.append(r)
    b, _ = wls(X, y, [1.0] * len(y))
    amp = [hypot(b[1 + 2 * i], b[2 + 2 * i])
           for i in range(len(orders))]
    return b[0], amp

def tone_dft(t, y, f):
    """시간 영역: 해닝 창 단일 주파수 DFT 진폭"""
    n = len(y)
    m = sum(y) / n
    s = z = 0.0
    for i in range(n):
        w = 0.5 - 0.5 * cos(2 * pi * i / n)
        s += w
        z += w * (y[i] - m) * cmath.exp(-2j * pi * f * t[i])
    return 2 * abs(z) / s

def fft(x):
    """재귀 기수 2 FFT(길이는 2의 거듭제곱)"""
    n = len(x)
    if n == 1:
        return list(x)
    e, o = fft(x[0::2]), fft(x[1::2])
    h = range(n // 2)
    tw = [cmath.exp(-2j * pi * k / n) * o[k] for k in h]
    return ([e[k] + tw[k] for k in h]
            + [e[k] - tw[k] for k in h])

def welch(x, y, nper):
    """해닝 창 50 % 겹침: H1=Sxy/Sxx, H2=Syy/Syx, 코히런스"""
    c = 2 * pi / nper
    w = [0.5 - 0.5 * cos(c * i) for i in range(nper)]
    m = nper // 2 + 1
    sxx, syy, sxy = [0.0] * m, [0.0] * m, [0j] * m
    for s in range(0, len(x) - nper + 1, nper // 2):
        X = fft([w[i] * x[s + i] for i in range(nper)])
        Y = fft([w[i] * y[s + i] for i in range(nper)])
        for k in range(m):
            sxx[k] += abs(X[k]) ** 2
            syy[k] += abs(Y[k]) ** 2
            sxy[k] += X[k].conjugate() * Y[k]
    h1 = [sxy[k] / sxx[k] for k in range(m)]
    h2 = [syy[k] / sxy[k].conjugate() for k in range(m)]
    coh = [abs(sxy[k]) ** 2 / (sxx[k] * syy[k])
           for k in range(m)]
    return h1, h2, coh

def f3db(f, mag):
    """저주파 이득 대비 -3 dB를 처음 지나는 주파수"""
    lim = sum(mag[1:6]) / 5 / sqrt(2)
    for k in range(2, len(mag)):
        if mag[k] < lim <= mag[k - 1]:
            a = (mag[k - 1] - lim) / (mag[k - 1] - mag[k])
            return f[k - 1] + a * (f[k] - f[k - 1])

def u_eff(tau, uc):
    """GUM 식 (12): eta = tau w / Pin의 상대 표준 불확도"""
    return sqrt((uc['tau'] / tau) ** 2
                + uc['w'] ** 2 + uc['p'] ** 2)

def ploss(t, w, m):
    return m[0] * t * t + m[1] * abs(w) + m[2] * w * w + m[3]

def eta(t, w, m):
    return t * w / (t * w + ploss(t, w, m))

def fit_loss(pts, uc):
    """pts=(tau, w, Pin): 손실을 (tau^2,|w|,w^2,1)로 적합"""
    X, y, wt = [], [], []
    for t, w, p in pts:
        u2 = ((uc['tau'] * w) ** 2 + (t * uc['w'] * w) ** 2
              + (p * uc['p']) ** 2)
        X.append([t * t, abs(w), w * w, 1.0])
        y.append(p - t * w)
        wt.append(1 / u2)
    return wls(X, y, wt)

def bilin(xs, ys, z, x, y):
    """격자 (xs, ys)의 값 z[i][j]를 쌍선형 보간"""
    n, m = len(xs) - 2, len(ys) - 2
    i = max(0, min(n, sum(1 for a in xs if a <= x) - 1))
    j = max(0, min(m, sum(1 for a in ys if a <= y) - 1))
    u = (x - xs[i]) / (xs[i + 1] - xs[i])
    v = (y - ys[j]) / (ys[j + 1] - ys[j])
    lo = (1 - v) * ((1 - u) * z[i][j] + u * z[i + 1][j])
    hi = v * ((1 - u) * z[i][j + 1] + u * z[i + 1][j + 1])
    return lo + hi

① 토크 리플. 오차는 센서 신호의 참 값($a\lvert H\rvert$)이 아니라 공극 토크의 참 값($a$) 대비이다. 60차 리플이다.

공진 부근($26.3$ rad/s)에서 센서 값은 공극 토크의 $12.1$배이므로 보정 없이는 의미가 없다. 각도 영역 최소제곱은 공진 부근을 제외한 모든 속도에서 $\pm0.6\,\%$ 안이고 시간 영역 DFT는 속도가 높을수록 주파수 변조로 줄어든다. 주파수 변조 감쇠 $J_0(\beta)-1$의 예측은 $2$·$10$·$20$ rad/s에서 $-0.2$·$-5.6$·$-21.5\,\%$이고 이 장의 값은 $+0.3$·$-5.1$·$-21.1\,\%$로 $0.5$ %p 안에서 같다(차이는 잡음 $0.6\,\%$ 수준). 공진 부근의 $-3.0\,\%$는 순간 주파수가 변해 센서 이득이 한 회전 안에서 변하기 때문이며 이득 보정으로 해소되지 않는다. 이 속도는 피하는 것이 맞다.

② 주파수 응답과 대역폭.

설비를 포함한 응답은 $167.0$ Hz에서 내려가고 설비를 소거하면 $169.4$ Hz로 기준($169.8$ Hz, 표본화 영차 유지의 이득 감소 $0.3\,\%$ 포함)에 맞는다. 20회 반복의 평균 $167.7$ Hz는 기준보다 $2.1$ Hz 낮은데, 평균의 표준불확도는 $0.05$ Hz에 불과하다. 편향은 주파수 분해능($7.8$ Hz)에서 오며 분해능을 $3.9$ Hz로 줄인 한 번의 기록(30 s)에서는 $0.4$ Hz이므로 분해능의 제곱에 비례하는 것으로 보인다 (추정). 반복 평균으로 보고하는 Type A 불확도만으로는 이 체계적 오차가 드러나지 않으므로 Type B 성분(분해능·교정·설비 소거 오차)을 합성해야 한다.

입력 잡음이 $0.3$인 시험에서 $H_1$은 닫힌 식 $S_{xx}/(S_{xx}+S_{nn})$대로 주파수가 높을수록 낮아지고 $H_2$는 영향을 받지 않으며 대신 출력 잡음 비중이 큰 $300$ Hz에서 높아진다. 단일 빈의 추정이므로 $300$ Hz에서 닫힌 식과 $4\sim5\,\%$ 어긋나며 코히런스가 낮은 빈의 추정 산포로 보인다 (추정).

계단 응답의 환산 $f_bt_r$는 감쇠비가 작을수록 $0.35$에서 멀어진다. $\zeta=0.35$에서 $0.313$($10\,\%$ 낮다)이고 $\zeta=0.2$에서 $0.289$($17\,\%$ 낮다)이므로, 공진이 있는 응답에서 상승 시간으로 구한 대역폭 $0.35/t_r$는 과대하다. 공진이 없는 $\zeta\ge0.707$에서는 $2\,\%$ 안이다.

③ 효율 맵과 불확도.

일차 전파(식 12)와 몬테카를로가 $0.01$ %p 안에서 같다. 토크 센서 등급이 $0.2$에서 $0.1$로 좋아지면 $1$ N·m의 불확도가 반이 되고, $10\,\%$ 정격 아래에서는 등급과 무관하게 급격히 커진다. 표의 마지막 열은 공통 오프셋의 편향(닫힌 식 $\delta/\tau$)이며 평균해도 줄지 않는다.

전력 오차만 있을 때는 공분산 예측 $(X^\top WX)^{-1}$이 $300$회 모의 표준편차와 같다($k_{cu}$ $0.0008$ 대 $0.00083$). 토크 오차가 회귀 변수에도 들어가면 예측이 $k_{cu}$에서 $1.7$배 과소평가된다. 공분산 예측은 회귀 변수의 오차를 포함하지 않기 때문이다. 모수의 평균은 참 값과 같다.

격자 49점에서 효율을 직접 쌍선형 보간하면 RMS $0.94$ %p·최대 $3.21$ %p이고 손실을 보간한 뒤 효율을 계산하면 $0.27$·$1.05$ %p이다. 잡음이 있을 때 손실 모델 적합은 $0.06$·$0.43$ %p로 가장 작다. 모델 구조가 참과 같다는 가정에 의존하므로 실제 액추에이터에서는 잔차 구조를 확인해야 한다.

④ 열 시험의 식별 정밀도와 저항법.

시험 시간 $600$ s(하우징 시정수 $581$ s의 약 1배)에서는 $R_{th2}$의 상대 표준편차가 $1.1\,\%$이고 $1800$ s 이상에서 $0.12\,\%$로 줄어든다. $C_w$는 시험 시간이 아니라 표본 간격에 의존해 $2$ s에서 $1.7\,\%$, $30$ s(권선 시정수 $8.7$ s보다 길다)에서 $17\,\%$이다. 이 값들은 모델 구조(2노드)를 안다는 가정의 통계 정밀도이며 구조 오차는 포함하지 않는다.

저항법 온도의 표준 불확도는 $100$ °C에서 $0.92$ K이다(저항 $\pm0.2\,\%$ 직사각, 냉시동 온도 $\pm1$ K 직사각, 두 값의 한계는 IEC 60034-2-1의 계측 요건). 온도 기준(냉시동 온도)의 오차가 불확도의 큰 몫이다.

⑤ 라이브러리 대조(실행 2026-11-05). numpy 2.5.4와 SciPy 1.18.1(signal.csd·welch·coherence·cont2discrete·dlsim·freqs·step, special.j0, optimize.brentq·curve_fit·least_squares, interpolate.RegularGridInterpolator, linalg.expm)을 사용했다. 같은 정의를 다시 계산하는 것은 독립 검증이 아니므로 닫힌 식(상수 속도 리플의 정확한 복원, 주파수 변조의 $J_0$ 감쇠, 2차계 대역폭, 공진 이득 $1/(2\zeta)$), 다른 구현(몬테카를로, 라이브러리 적합과 보간)과 비교했다. 스크립트는 robotics/fig-src/5.26-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/5.26-libcheck-output.txt에 있다.

모든 항목이 일치한다. Welch·FFT·보간·가중 최소제곱은 같은 정의의 다른 구현이므로 구현 오류를 잡는 대조이고, 모형의 타당성은 닫힌 식($J_0$ 감쇠, 대역폭 식, 공진 이득, 입력·출력 잡음 편향)과 몬테카를로로 확인했다. Fisher 예측과 모의 적합의 표준편차는 $(3600\text{ s},30\text{ s})$의 $C_w$에서 $17$ 대 $23\,\%$로 갈리며, 표본 간격이 시정수보다 긴 영역에서는 선형화가 맞지 않는다. 이 대조는 같은 모형을 다른 경로로 푼 것이며 모형을 실물 설비와 비교한 것이 아니다.

한계. 설비 동특성·센서 등급·손실 모델·열 매개변수는 가정이다. 손실 모델은 참과 같은 구조로 시뮬레이션했으므로 적합 오차가 낙관적이다. 센서의 동특성은 2차계로, 토크 리플의 센서 이득은 순간 주파수에 따른 준정적 근사로 모형화했다. 효율 불확도는 직사각 분포 가정(한계를 $a$로 해석)이고 열 상태·온도 의존성(저항 변화)은 맵 계산에 넣지 않았다.

견해: 로봇 관절 액추에이터의 효율 맵은 격자 점의 효율을 직접 보간하지 말고 손실 모델을 적합해 만들며, 토크 센서 등급과 정격을 정할 때 시험할 최소 토크의 상대 불확도를 먼저 계산하는 것이 낫다고 본다. 근거는 이 장의 계산에서 $0.5$ N·m의 효율 불확도가 $2.31\,\%$(정격의 $5\,\%$)인 데 비해 $10$ N·m에서 $0.17\,\%$였고, 직접 보간의 최대 오차가 $3.21$ %p, 모델 적합이 $0.43$ %p였다는 점이다. 이 결론은 가정한 손실 구조와 센서 한계에 한정된다.

5.26.6 설계 트레이드오프 — 토크 측정 방식의 선택

견해: 시험은 ①로 맵과 $K_T$를 교정한 뒤 ③을 현장의 감시 값으로 사용하는 구성이 낫다고 본다. 근거는 Urs 외(2022)가 수명 시험 중 토크 센서를 제거하고 두 액추에이터의 전류 추정 중앙값으로 효율 점검을 했고, Wensing 외(2017)가 전류 추정 힘이 구조 순응 때문에 외부 센서 값과 어긋난다고 보고했다는 점이다. 현장 추정의 불확도는 이 장이 계산하지 않았다.

5.26.7 응용 축 비교

5.26.8 관련 규격·프로토콜

5.26.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

액추에이터 단품의 시험 방법을 직접 규정하는 로봇 법령은 확인하지 못했다. 연결은 세 가지이다. 첫째, 시험 성적서의 신뢰성은 시험소의 능력 인정(시험소 일반 요구사항의 국제 표준)과 불확도 표기에 달려 있으며 적합성 시험 체계는 41.6, 시험과 기능안전 입증은 41.5가 다룬다. 둘째, 로봇 수준의 성능 시험(정확도·반복 정밀도)은 성능 표준(27.3)이 정하고 단품 시험 값은 그 입력이 된다. 셋째, 모터 에너지 효율의 법적 등급제는 로봇 관절 모터에 어떻게 적용되는지 확인하지 못했다 (확인 필요). 이 장은 조항을 확인하지 않았다.

5.26.10 한계·유의점·미해결

• 시험 표준의 적용 범위. IEC 60034-2-1은 상용 전원 기기의 방법이며 인버터 구동 서보 액추에이터에는 유추로만 적용한다. 서로 다른 방법의 효율은 비교하지 않는다.
• 가정한 설비. 센서 등급·공진·손실 계수·열 매개변수는 가정이다. 실제 설비의 동특성은 시험 전에 설비 단독으로 측정해야 한다.
• 모델 구조. 손실 모델과 열 모델이 참의 구조라고 가정했다. 구조 오차(예: 3노드 열 모델, 속도·토크에 따른 손실 계수의 변화)는 포함하지 않았다.
• 불확도의 해석. 등급을 직사각 분포의 한계로 해석했으며 교정서의 확장 불확도와 다를 수 있다. 상관(공통 오프셋)은 편향으로만 다루었다.
• 정상 상태 가정. 효율은 열 평형을 전제한다. 간헐 고토크 운전(과도 열 상태)의 효율과 열 한계는 별도의 동적 시험이 필요하다.
• 미해결. 감속기의 정격 조건 통일(5.11), 역구동 토크·정지 마찰·강성의 측정 절차, 시험 방법별 불확도 예산의 표준화는 이 장이 다루지 않았다.

5.26.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 효율 $\eta=\tau\omega/P_{in}$의 상대 불확도를 GUM 식 (12)로 유도하고 토크 센서의 한계가 정격 대비일 때 저토크에서 커지는 이유를 설명하라.
2. 속도 리플이 있을 때 시간 영역 DFT의 진폭이 $J_0(\beta)$배가 되는 이유를 위상의 주파수 변조로 유도하라.
3. 센서·결합 2차계의 공진 이득이 $1/(2\zeta)$임을 보이고 토크 리플 시험에서 공진을 피하는 방법을 설명하라.
4. 출력 잡음과 입력 잡음이 $H_1$·$H_2$에 주는 편향을 각각 유도하라.
5. 주파수 분해능이 거칠 때 $-3$ dB 교차 주파수가 낮게 추정되는 이유를 설명하라.
6. 효율을 직접 보간하는 것보다 손실을 보간하는 것이 오차가 작은 이유를 효율의 저토크 거동으로 설명하라.
7. 계단 가열 시험에서 표본 간격이 $C_w$의 식별 정밀도를 정하는 이유를 설명하라.

연구 질문:

• 토크 센서의 공진을 포함한 센서 위치의 토크에서 공극 토크를 복원하는 관성 보정을 시험으로 어떻게 검증하는가(이 장은 이득 보정만 계산했다)?
• 효율 맵의 불확도 예산에 열 상태(저항 변화)와 전동·발전 두 상한의 비대칭을 포함하면 어떻게 달라지는가?
• 제조사 사양서의 토크 밀도·대역폭 정의를 통일하는 시험 절차(5.1의 질문)는 어떤 시험 조건과 불확도 표기를 요구해야 하는가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• JCGM 100:2008, Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement(GUM 1995 with minor corrections), BIPM — 전문 직접 읽음(https://www.bipm.org/documents/20126/2071204/JCGM_100_2008_E.pdf).
• IEC 60034-2-1:2014, Edition 2.0 — 3.15, 5절, 6.1.2 직접 읽음. IEC 60034-1:2010, Edition 12.0 — 8.6.2, 표 5 직접 읽음(law.resource.org 사본).
• K. Urs, C. E. Adu, E. J. Rouse, T. Y. Moore, "Design and Characterization of 3D Printed, Open-Source Actuators for Legged Locomotion," arXiv:2202.12395v1, 2022 — 직접 읽음.
• P. M. Wensing 외, "Proprioceptive Actuator Design in the MIT Cheetah: Impact Mitigation and High-Bandwidth Physical Interaction for Dynamic Legged Robots," IEEE Transactions on Robotics 33(3), 509–522, 2017, doi:10.1109/TRO.2016.2640183 — 저자 제공 판본의 계단 시험 절 직접 읽음.
• P. D. Welch, "The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra: A method based on time averaging over short, modified periodograms," IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics 15(2), 70–73, 1967, doi:10.1109/TAU.1967.1161901 — 서지만 확인.
• numpy 2.5.4, SciPy 1.18.1.

다음 장. 6.1는 제6부 센싱의 첫 장으로 센서의 특성·오차·노이즈·신호 조절을 다룬다. 이 장이 시험 설비의 계측 불확도로 사용한 센서 등급·분해능·온도 영향이 센서 자체의 정의(정확도·정밀도·분해능·비선형·히스테리시스·드리프트)에서 어떻게 정해지는지를 이어서 확인한다.