제5부 구동·액추에이터·동력전달

5.3 전기 모터 I: DC·코어리스 DC·BLDC·PMSM의 원리

5.3.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 로봇 관절에 사용되는 네 종류의 전기 모터(브러시 DC·코어리스 DC·BLDC·PMSM)가 하나의 전자기 변환 원리에서 나오고 정류 방식과 전류·역기전력 파형만 다르다는 점을 식과 계산으로 확인한다. 토크 상수와 역기전력 상수가 SI에서 같다는 점, DC 모터의 정상 특성(정지 토크·무부하 속도·최대 효율의 위치)과 시정수, 철심 모터와 코어리스 모터의 차이(같은 $K_t$·$R$에서 인덕턴스와 회전자 관성), 3상 영구자석 모터의 역기전력·상전류 파형 네 조합이 만드는 평균 토크와 토크 리플, Clarke·Park 변환과 dq 모델의 토크식, 돌극(IPM)의 릴럭턴스 토크와 MTPA 전류각, 극쌍수·선간·피크·실효값 환산을 다룬다. 모터 선택과 지표는 5.1, 사이징은 5.2, 스테퍼·리니어·직접 구동은 5.4, 권선·코깅·토크 리플 설계와 자석은 5.5, 인버터·PWM·전류 제어는 5.6, 벡터 제어(FOC)·센서리스·약계자는 5.7, 서보 루프는 5.9에서 다룬다.

배우는 것:

• 전자기 변환 — 로렌츠 힘과 패러데이 유도에서 $K_t=K_e$, 전력 보존.
• DC 모터 — 등가회로, 정상 특성, $\eta_{\max}=(1-\sqrt{I_0/I_A})^2$, 기계·전기 시정수와 극.
• 코어리스 DC — 철심이 없을 때 달라지는 양(인덕턴스·관성·철손)과 열적 한계.
• BLDC — 3상·6스텝 정류, 사다리꼴 역기전력, DC 모터와의 등가.
• PMSM — Clarke·Park 변환, dq 전압식과 토크식, 돌극과 MTPA.
• 정의와 환산 — 극쌍수 대 극수, 선간 대 상, 피크 대 실효값, 진폭 불변 대 전력 불변.

선수 지식: 5.1(지표), 5.2(DC 등가 모델과 사이징), 1.25(신호와 시스템의 전달함수·극).

특히 중요한 독자: 관절용 모터의 사양서를 읽고 토크 상수·속도 상수를 환산해야 하는 설계 엔지니어, 모터 드라이브와 FOC를 구현하는 개발자, 모터 종류에 따른 토크 리플과 구동 방식을 비교하려는 연구자.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: (a) Modern Robotics(Lynch·Park, 사전 인쇄본 2017-05) 8.9.1절(DC 모터의 $\tau=k_tI$, $V=k_tw+IR+L\,dI/dt$, $k_e=k_t$(SI), 무부하 속도·정지 토크, 브러시 모터와 브러시리스 모터의 정류, 브러시리스 모터가 권선을 하우징에 붙여 열을 더 쉽게 방출한다는 서술). (b) maxon "DC motor and EC motor — Key information"(2009년 5월판; 현행판이 아니다)의 8쪽 전체(전력 균형·속도-토크 선·효율 곡선과 "최대 효율은 정지 토크의 약 1/7에서" 경험칙·기계 시정수 63 %·열 거동·정류 계통의 속도 한계·코어리스 모터에 철손이 없다는 서술·EC 모터의 철손과 다극 모터의 인덕턴스에 의한 전류 형성 제한). (c) Microchip AN885(2003, BLDC 기초: 3상 Y 결선, 사다리꼴·정현 권선, 홀 센서 60°/120°, 6스텝 통전, 역기전력 $\propto N l r B\omega$, 센서리스, 정현 모터가 토크가 매끄럽고 권선이 더 든다는 서술). (d) Texas Instruments BPRA073(1998, Field Orientated Control of 3-Phase AC-Motors)의 3~3.4절(Clarke·Park 투영, $m\propto\psi_Ri_{Sq}$, PMSM에서 $i_{Sd,\text{ref}}=0$). (e) Wensing 외(2017, IEEE T-RO 33(3))의 갭 반지름 규모 분석(저자 제공 판본). 서지만 확인한 것(본문은 읽지 못했다): Park(1929, Trans. AIEE 48(3), 716–727, 2반응 이론), Pillay·Krishnan(1989, IEEE Trans. Industry Applications 25(2), 265–273·274–279, 영구자석 모터 구동의 모델링), Krishnan(Permanent Magnet Synchronous and Brushless DC Motor Drives, CRC Press, doi 10.1201/9781420014235). dq 전압식은 널리 사용되는 표준 형태로 서술하며 위 문헌에서 확인하지 못했다 — 대신 이 장이 abc 전압 방정식 시뮬레이션과 대조했다. 코어리스 모터에 코깅 토크가 없다는 서술은 확인하지 못했다 (확인 필요). 모터 상수·인덕턴스·관성·자속은 모두 이 장이 정한 가정이며 어떤 제품의 제원도 아니다. 수치는 모두 이 장의 순수 파이썬 모의이다.

5.3.2 개념 — 네 모터는 같은 변환을 다른 방식으로 정류한다

결론부터 적으면 다음과 같다. 전기 모터는 자기장 속의 도체에 전류를 흘려 힘을 얻고($F=Bli$), 같은 도체가 움직이며 유도 기전력(역기전력, $e=Blv$)을 만든다. 에너지가 손실 없이 변환된다고 두면 $ei=F v$에서 토크 상수와 역기전력 상수가 SI에서 같다($K_t=K_e$, Modern Robotics 8.9.1절). 네 모터의 차이는 ① 전류를 어느 도체에 언제 흘리는가(정류), ② 전류와 역기전력의 파형, ③ 권선이 회전자와 고정자 중 어디에 있고 철심이 있는가이다. 브러시 DC는 기계식 정류자가 전류를 바꾸고, 코어리스 DC는 같은 방식이되 철심 없는 권선을 사용하며, BLDC와 PMSM은 고정자 3상 권선에 전자식으로 전류를 바꾸고(영구자석 회전자) 사다리꼴(6스텝)이냐 정현(벡터 제어)이냐가 갈린다.

표의 정성 서술은 AN885의 비교표와 Modern Robotics 8.9.1절, maxon 문서에서 읽은 범위이며 실제 모터는 설계에 따라 다르다(코깅·권선 분포는 5.5).

5.3.3 원리

5.3.3.1 전자기 변환과 $K_t=K_e$

도체 길이 $l$, 자속 밀도 $B$, 전류 $i$, 속도 $v$에서 힘은 $F=Bli$이고 유도 기전력은 $e=Blv$이다. 손실이 없으면 전기 입력 $ei$가 기계 출력 $Fv$와 같으므로 $K_t$와 $K_e$가 같은 값이다(Modern Robotics 8.9.1절은 SI에서 두 상수의 수치가 같다고 적는다). 모터 전체로는 $\tau=K_ti$, $e=K_e\omega$이다. AN885는 역기전력이 회전자 속도·회전자 자기장·권선 수에 비례한다고 적는다($E\propto Nl\,r\,B\omega$). 모터 상수 $K_m=K_t/\sqrt R$는 5.1, 갭 반지름 규모 법칙은 5.1에서 다룬다.

5.3.3.2 브러시 DC 모터

등가회로는 저항 $R$, 인덕턴스 $L$, 역기전력의 직렬이고 기계 쪽은 관성 $J$, 점성 $b$, 쿨롱 마찰 $T_0$를 갖는다.

$$V=Ri+L\dot i+K_e\omega,\qquad J\dot\omega=K_ti-b\omega-\tau_L-T_0\,\mathrm{sgn}\,\omega.$$

정상 상태(인덕턴스 무시)에서 속도는 토크의 직선이다. 무부하 속도 $\omega_0=V/K_t$, 정지 토크 $K_tV/R$, 정지 전류 $I_A=V/R$이다. 무부하 전류 $I_0=T_0/K_t$는 마찰 토크에 해당한다(maxon 문서의 서술). 효율은 전류의 함수로

$$\eta=\Bigl(1-\frac{I_0}{i}\Bigr)\Bigl(1-\frac{Ri}{V}\Bigr),\qquad i^{*}=\sqrt{I_0I_A},\qquad \eta_{\max}=\Bigl(1-\sqrt{I_0/I_A}\Bigr)^{2}$$

이고 최대 효율 위치의 출력 토크는 정지 토크의 $1/(1+\sqrt{I_A/I_0})$이다. maxon 문서가 적은 "최대 효율은 정지 토크의 약 1/7"은 $I_A/I_0=36$인 모터에 해당하며 모터마다 다르다. 최대 기계 출력은 무부하 속도의 절반에서 $P_{\max}=V^2/(4R)$(마찰 무시)이고, 최대 효율과 최대 출력은 서로 다른 토크에서 나타난다(maxon 문서).

동특성은 $\tau_m=RJ/K_t^2$(기계)와 $\tau_e=L/R$(전기)로 나타낸다. $K_t=K_e$일 때 속도 응답의 특성방정식은 $\tau_m\tau_es^2+\tau_ms+1=0$이고 극은 $s=-\frac{1}{2\tau_e}\bigl(1\pm\sqrt{1-4\tau_e/\tau_m}\bigr)$이다. $\tau_m>4\tau_e$이면 실극이고 $\tau_m<4\tau_e$이면 복소극이다($\zeta=\tfrac12\sqrt{\tau_m/\tau_e}$). maxon 문서는 전압 스텝에서 회전자가 무부하 속도의 63 %에 도달하는 시간으로 기계 시정수를 정의한다. 이 정의는 전기 시정수가 훨씬 짧을 때($\tau_e\ll\tau_m$)의 근사이며, 이 장의 계산에서 철심 모터(비 $3.2$)의 63 % 도달 시간은 $4.47$ ms로 $\tau_m=4.00$ ms와 $12$ % 어긋나고 코어리스 모터(비 $12.8$)는 $1.07$ ms로 $\tau_m=1.067$ ms와 같다.

브러시 모터의 한계는 정류 계통이다. maxon 문서는 최대 허용 속도가 정류 계통에 의해 정해지고(정류자와 브러시의 마모, 브러시 진동과 스파크에 의한 전기적 침식) 잔류 불평형이 베어링 수명을 줄인다고 서술한다. Modern Robotics는 브러시리스 모터가 브러시 마모가 없고 권선이 하우징에 붙어 있어 열을 더 쉽게 방출하므로 연속 토크가 높다고 적는다.

5.3.3.3 코어리스 DC 모터

코어리스 모터는 철심 없이 자립하는 권선을 회전자로 사용한다. maxon 문서는 코어리스 모터에 철손이 없다고 적고, 코어리스 권선이 열적으로 가장 취약한 지점이며 정격 전류를 넘는 과부하를 허용하는 시간이 소형(지름 6~13 mm)에서 수 초, 대형(60~90 mm)에서 약 1분이라고 서술한다. 철심이 없으면 권선의 인덕턴스와 회전자 관성이 작아져 같은 $K_t$·$R$에서도 기계·전기 시정수가 짧다. 이 장은 철심 모터와 코어리스 모터를 같은 $K_t=0.030$ N·m/A, $R=1.2$ Ω에서 인덕턴스와 회전자 관성만 달리해(가정) 비교한다. 철심의 홈 때문에 생기는 코깅 토크가 없다는 서술은 널리 알려져 있으나 이 장이 원문으로 확인하지 못했다 (확인 필요).

5.3.3.4 BLDC — 사다리꼴 역기전력과 6스텝

BLDC는 영구자석 회전자와 고정자의 3상(보통 Y 결선) 권선으로 구성되며 홀 센서 세 개가 회전자 위치를 6단계로 알려 준다(AN885: 홀 센서는 60° 또는 120° 간격). 전기각 60°마다 통전 상 쌍이 바뀌어 전기 1주기에 6스텝, 기계 1회전에 6$p$스텝이다(AN885·maxon). 한 순간에 한 상은 양, 한 상은 음으로 통전되고 한 상은 열려 있다. 통전 순서를 이 장이 정한 파형(상 $a$의 사다리꼴 역기전력이 $30°\sim150°$에서 $+1$)에서 구하면 다음과 같다.

두 상이 직렬로 통전되므로 DC 모터와 같은 등가가 성립한다. 평탄부 상 역기전력 상수를 $K_{e,ph}$라 하면 통전 중 선간 역기전력이 $2K_{e,ph}\omega$이고 직렬 저항이 $2R_{ph}$이다. 이상 사다리꼴 역기전력에 120° 사각 전류를 흘리면 어느 순간에도 두 상이 $e\,i$를 더하여 토크가 $2K_{e,ph}I$로 일정하다(이 장의 계산). 즉 $K_t=K_{e,LL}=2K_{e,ph}$, $R_{LL}=2R_{ph}$로 DC 모터의 $V=R_{LL}i+K_{e,LL}\omega$가 성립한다. PWM은 통전 상의 평균 전압을 바꾸며 AN885는 PWM 주파수를 모터 최고 전기 주파수의 10배 이상으로 하라는 경험칙을 적는다(5.6). 센서리스 운전은 열린 상의 역기전력 영교차로 위치를 알며 속도가 낮아 역기전력이 작으면 개루프로 기동해야 한다(AN885).

AN885는 사다리꼴 권선과 정현 권선이 코일 연결 방식에서 갈린다고 적고, 정현 모터의 토크가 더 매끄럽지만 권선 연결에 구리가 더 든다고 서술한다. 이 장은 역기전력 모양(정현·사다리꼴)과 상전류 모양(정현·120° 사각)의 네 조합을 이상 전류원 가정에서 비교한다.

5.3.3.5 PMSM — Clarke·Park 변환과 dq 모델

PMSM은 정현 역기전력의 3상 고정자와 영구자석 회전자를 갖고 상전류를 정현으로 흘린다. 3상 전류를 회전자와 함께 도는 좌표(d축: 회전자 자속 방향, q축: 90° 앞)로 투영하면 정상 상태에서 직류가 된다. 진폭 불변 Clarke 변환과 Park 변환은 다음이다.

$$i_\alpha=\tfrac23\bigl(i_a-\tfrac12i_b-\tfrac12i_c\bigr),\quad i_\beta=\tfrac{1}{\sqrt3}(i_b-i_c),\qquad i_d=i_\alpha\cos\theta_e+i_\beta\sin\theta_e,\quad i_q=-i_\alpha\sin\theta_e+i_\beta\cos\theta_e.$$

TI BPRA073의 투영은 $i_{S\alpha}=i_a$, $i_{S\beta}=(i_a+2i_b)/\sqrt3$이며 $i_a+i_b+i_c=0$에서 위 식과 같다. 전기각은 $\theta_e=p\theta_m$이다. 회전자 기준 좌표의 전압·토크 방정식은 다음이다($\lambda_m$은 영구자석이 만드는 상 쇄교 자속 피크).

$$v_d=Ri_d+L_d\dot i_d-\omega_eL_qi_q,\qquad v_q=Ri_q+L_q\dot i_q+\omega_e(L_di_d+\lambda_m),\qquad \tau=\tfrac32p\bigl[\lambda_mi_q+(L_d-L_q)i_di_q\bigr].$$

첫 항 $\tfrac32p\lambda_mi_q$가 자석 토크, 둘째 항이 릴럭턴스 토크이다. 표면 자석(SPM)에서는 $L_d=L_q$이므로 토크가 $i_q$에 비례하고 $i_d=0$으로 둔다(TI: PMSM에서 $i_{Sd,\text{ref}}=0$, $m\propto\psi_Ri_{Sq}$). 자석이 회전자에 묻힌 모터(IPM)는 $L_q>L_d$여서 $i_d<0$이 릴럭턴스 토크를 더한다. 전류 크기 $I_s$에서 토크가 최대인 전류는 $i_d=\frac{\lambda_m}{4(L_q-L_d)}-\sqrt{\bigl(\frac{\lambda_m}{4(L_q-L_d)}\bigr)^2+\frac{I_s^2}{2}}$, $i_q=\sqrt{I_s^2-i_d^2}$이다(MTPA). 전압 한계에서의 약계자와 전류 제어의 구현은 5.7이다. 이상적 토크 생성은 AN885가 서술한 대로 고정자 자기장과 회전자 자기장이 $90°$일 때 최대이며 이는 $i_d=0$, $i_q$만 흘리는 SPM의 조건에 해당한다.

5.3.3.6 정의와 환산 — 같은 모터가 사양서에서 다른 값으로 보이는 이유

극쌍수 $p$와 극수 $2p$를 구분하고 전기각 $\theta_e=p\theta_m$, 전기 속도 $\omega_e=p\omega_m$이다. 3상 모터의 상수는 상·선간, 피크·실효값, 변환의 진폭 불변·전력 불변 규약에 따라 $\sqrt3$, $\sqrt2$, $1.5$, $\sqrt{3/2}$배가 달라진다. 전력 불변 변환($\sqrt{2/3}$ 계수)에서는 $i_{dq}$와 $\lambda_m$이 모두 $\sqrt{3/2}$배가 되어 토크식이 $p[\lambda i_q+\cdots]$(계수 1)가 되지만 같은 물리적 토크를 준다. 아래 표는 $p=7$, $\lambda_m=3$ mWb(가정)에서 같은 모터를 여러 단위로 나타낸 값이다.

5.3.4 알고리즘 — 시뮬레이션과 변환 절차

DC 모터 시뮬레이션:  상태 (i, w),  di/dt = (V - R i - Ke w)/L,  dw/dt = (Kt i - b w - tau_L)/J
3상 토크 파형:       theta를 1주기 훑으며  tau = sum_k e_k(theta) i_k(theta)  (k = a, b, c)
                    통계: 평균, (최대 - 최소)/평균, I_rms
dq 변환:             (a,b,c) -> Clarke -> (alpha,beta) -> Park(theta_e) -> (d,q)
토크 확인:           경로 1 = 1.5 p [lam iq + (Ld - Lq) id iq]
                    경로 2 = p dW/dtheta  (W = i^T L(theta) i / 2 + lam_pm . i, 상전류 고정)
MTPA:               id = lam/(4 dL) - sqrt((lam/(4 dL))^2 + Is^2/2),  iq = sqrt(Is^2 - id^2)

아래 코드는 이 장의 계산 코어이다(표시 폭 62칸 이하, 표준 라이브러리만 사용).

from math import pi, sqrt, sin, cos
import cmath

def dc_poles(R, L, Kt, J, b=0.0):
    """특성방정식 L J s^2 + (R J + L b) s + R b + Kt^2의 근"""
    a, bq, c = L * J, R * J + L * b, R * b + Kt * Kt
    d = cmath.sqrt(bq * bq - 4 * a * c)
    return (-bq + d) / (2 * a), (-bq - d) / (2 * a)

def eta_dc(i, V, R, I0):
    """전류 i에서 효율: (1 - I0/i)(1 - R i/V), I0=마찰 전류"""
    return (1 - I0 / i) * (1 - R * i / V)

def eta_max(V, R, I0):
    """최대 효율과 그 전류: i* = sqrt(I0 IA)"""
    IA = V / R
    return (1 - sqrt(I0 / IA))**2, sqrt(I0 * IA)

def dc_step(V, R, L, Kt, J, dt, T):
    """전압 스텝 응답(RK4) -> 시각별 (i, w) 목록"""
    f = lambda i, w: ((V - R * i - Kt * w) / L, Kt * i / J)
    i = w = 0.0
    out = [(0.0, 0.0)]
    for _ in range(int(T / dt)):
        k1 = f(i, w)
        k2 = f(i + dt / 2 * k1[0], w + dt / 2 * k1[1])
        k3 = f(i + dt / 2 * k2[0], w + dt / 2 * k2[1])
        k4 = f(i + dt * k3[0], w + dt * k3[1])
        i += dt / 6 * (k1[0] + 2 * k2[0] + 2 * k3[0] + k4[0])
        w += dt / 6 * (k1[1] + 2 * k2[1] + 2 * k3[1] + k4[1])
        out.append((i, w))
    return out

def shape(kind, th):
    """상 파형(피크 1): sin·trap(평탄 120°)·rect(120°)"""
    x = (th + pi) % (2 * pi) - pi
    s = 1.0 if x >= 0 else -1.0
    ax = abs(x)
    if kind == 'sin':
        return sin(th)
    if kind == 'rect':
        return s if pi / 6 < ax < 5 * pi / 6 else 0.0
    if ax <= pi / 6:
        return x / (pi / 6)
    if ax <= 5 * pi / 6:
        return s
    return s * (pi - ax) / (pi / 6)

def torque_wave(emf, cur, th):
    """K_e,ph = 1·I_pk = 1에서의 순간 토크 sum(e_k i_k)"""
    ph = (0.0, -2 * pi / 3, 2 * pi / 3)
    return sum(shape(emf, th + p) * shape(cur, th + p)
               for p in ph)

def wave_stats(emf, cur, n=3600):
    ts = [torque_wave(emf, cur, (k + 0.5) * 2 * pi / n)
          for k in range(n)]
    ir = sqrt(sum(shape(cur, (k + 0.5) * 2 * pi / n)**2
                  for k in range(n)) / n)
    m = sum(ts) / n
    return m, (max(ts) - min(ts)) / m, ir

def clarke(a, b, c):
    """진폭 불변(2/3) Clarke: (a, b, c) -> (alpha, beta)"""
    return (2 / 3) * (a - b / 2 - c / 2), (b - c) / sqrt(3)

def park(al, be, th):
    c, s = cos(th), sin(th)
    return al * c + be * s, -al * s + be * c

def inv_dq(d, q, th):
    """역 Park + 역 Clarke: (d, q) -> (a, b, c)"""
    c, s = cos(th), sin(th)
    al, be = d * c - q * s, d * s + q * c
    h = sqrt(3) / 2 * be
    return al, -al / 2 + h, -al / 2 - h

def torque_dq(p, lam, Ld, Lq, id_, iq):
    """진폭 불변 dq 토크: 1.5 p [lam iq + (Ld - Lq) id iq]"""
    return 1.5 * p * (lam * iq + (Ld - Lq) * id_ * iq)

def coenergy(lam, Ld, Lq, i, th):
    """상전류 i 고정의 공동에너지 W=i^T L i/2+lam_pm.i"""
    ph = (0.0, -2 * pi / 3, 2 * pi / 3)
    d = [cos(th + p) for p in ph]
    q = [-sin(th + p) for p in ph]
    z = [1 / 3.0] * 3
    # L_abc = sum_j L_j (T^-1 col j)(T row j), 진폭 불변
    W = 0.0
    for L_, a_, b_ in ((Ld, d, d), (Lq, q, q)):
        x = sum(u * v for u, v in zip(a_, i))
        W += 0.5 * L_ * (2 / 3) * x * x
    W += lam * sum(u * v for u, v in zip(d, i))
    return W

def torque_coenergy(p, lam, Ld, Lq, i, th, h=1e-6):
    """토크 = p dW/d(th) (중심 차분)"""
    return p * (coenergy(lam, Ld, Lq, i, th + h)
                - coenergy(lam, Ld, Lq, i, th - h)) / (2 * h)

def mtpa(lam, Ld, Lq, Is):
    """Lq>Ld 돌극의 최대 토크 대 전류: (id, iq)"""
    dL = Lq - Ld
    k = lam / (4 * dL)
    id_ = k - sqrt(k * k + Is**2 / 2)
    return id_, sqrt(Is * Is - id_ * id_)

5.3.5 풀이 예제 — DC 모터 특성, 철심 대 코어리스, 3상 파형, dq 토크, MTPA

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 가정한 DC 모터($24$ V, $K_t=0.030$ N·m/A, $R=1.2$ Ω, $T_0=1.5$ mN·m)의 정지 토크는 $600$ mN·m, 최대 효율은 $90.2$ %이고 그 토크는 정지 토크의 $1/21$이다. $I_A/I_0=36$일 때만 maxon 문서의 1/7 경험칙이 나온다. ② 철심 모터는 $\tau_m/\tau_e=3.2$로 복소극($-400\pm j200$ 1/s)이고 코어리스 모터는 $12.8$로 실극이며 속도 63 % 도달이 $4.47$에서 $1.07$ ms로 짧아진다. ③ 이상 파형에서 사다리꼴·사각 조합은 평균 토크 $2.0$에 리플 $0$, 정현·정현은 $1.5$에 리플 $0$이고, 정현 역기전력에 120° 사각 전류를 흘리면 평균 $3\sqrt3/\pi=1.654$에 리플 $14.0$ %가 6차 조화로 나타난다. ④ dq 토크식이 abc 공동에너지 미분과 $4.5\times10^{-10}$ N·m 안에서 같다. ⑤ IPM의 MTPA는 $I_s=30$ A에서 전류각 $23.8°$로 $i_d=0$보다 토크가 $13.6$ % 크다. ⑥ 독립 라이브러리 대조가 모두 일치한다.

① DC 모터의 정상 특성과 최대 효율.

최대 효율 닫힌 식이 전류 격자 탐색과 일치하고 정지 토크 대비 최대 효율 토크가 $1/(1+\sqrt{I_A/I_0})$이다. $I_A/I_0=36$에서 정확히 $1/7$이고 이 장의 모터($I_A/I_0=400$)는 $1/21$이다. maxon 문서의 1/7은 그 문서의 대표 모터를 가리키는 경험칙이며 일반 법칙이 아니다.

② 철심 모터와 코어리스 모터.

같은 $K_t$와 $R$에서 코어리스 모터는 $J$가 $0.27$배, $L$이 $0.067$배여서 기계 시정수가 $4.00$에서 $1.07$ ms, 전기 시정수가 $1.25$에서 $0.083$ ms로 줄고 속도 90 % 도달이 $7.58$에서 $2.34$ ms가 된다. 철심 모터는 $\tau_m<4\tau_e$ 조건에 가까워(비 $3.2$) 극이 복소수이고 속도 응답에 감쇠 진동이 있다. 코어리스 모터는 비 $12.8$에서 두 극이 실수이며 느린 극 $-1025$ 1/s가 근사 $-1/\tau_m=-938$ 1/s와 $9$ % 어긋난다. 전압 스텝의 전류 최댓값은 정지 전류 $20$ A에 못 미치며(철심 $14.2$ A, 코어리스 $17.1$ A) 인덕턴스가 작은 코어리스 모터가 정지 전류에 더 가깝게 오른다. 열 용량은 계산하지 않았다.

③ 3상 파형 네 조합.

정현·정현(벡터 제어)과 사다리꼴·사각(6스텝)은 이상 파형에서 토크 리플이 없다. 같은 최대 역기전력 상수·최대 전류에서 평균 토크는 사다리꼴·사각이 $2.0$, 정현·정현이 $1.5$이고 상전류 실효값당 토크는 각각 $2.449$, $2.121$이다. 정현 역기전력에 사각 전류를 흘리면 한 60° 구간의 토크가 $\sqrt3\sin(\cdot)$ 꼴로 $1.5$~$1.732$ 사이에서 움직여 평균 $1.654$, 리플 $14.0$ %가 되고 전기 1주기에 6번 반복되는 6차 조화로 나타난다(FFT). 사다리꼴 역기전력에 정현 전류를 흘려도 리플 $14.6$ %가 생긴다. 이 비교는 이상 전류원·정렬된 위상·역기전력 최대값을 맞춘 가정이며 실제 모터는 전환 구간의 인덕턴스 지연과 비이상 파형으로 달라진다. 같은 구리 손실에서 사다리꼴·사각이 정현·정현보다 $15$ % 높은 토크($1.414$ 대 $1.225$)를 내는 것도 이 가정에서의 값이다.

④ dq 변환과 토크식의 세 경로.

Clarke·Park 왕복이 $10^{-14}$ A 안에서 같고, 돌극 토크 $1.5p[\lambda i_q+(L_d-L_q)i_di_q]$가 abc 영역에서 인덕턴스 행렬 $L_{abc}(\theta)=T^{-1}\mathrm{diag}(L_d,L_q,L_0)T$와 영구자석 쇄교 자속으로 만든 공동에너지의 각 미분과 $4.5\times10^{-10}$ N·m 안에서 같다. 전력 불변 환산($i_{dq}$·$\lambda_m$을 $\sqrt{3/2}$배)에서도 $6.7\times10^{-16}$ N·m 안에서 같은 토크가 나온다. 이 장은 전압 방정식도 abc 시뮬레이션과 대조했다(⑥).

⑤ IPM의 MTPA.

$L_q-L_d=60$ µH($L_q/L_d=2.5$)에서 $I_s=30$ A의 MTPA 전류각은 $23.8°$($i_d=-12.1$ A)이고 토크가 $1.074$ N·m로 $i_d=0$일 때($0.945$ N·m)보다 $13.6$ % 크다. 증가율은 전류가 클수록 커져 $I_s=10$ A에서 $1.9$ %, $40$ A에서 $21.5$ %이며 릴럭턴스 토크가 전체의 $27$ %($40$ A)까지 차지한다. 이 값은 가정한 인덕턴스 차에 의존하며 자기 포화에 따른 $L_d$·$L_q$의 전류 의존성은 넣지 않았다.

⑥ 라이브러리 대조(실행 2026-11-05). SciPy 1.18.1의 integrate.solve_ivp(Radau)·integrate.quad·differentiate.derivative·optimize.minimize_scalar, numpy 2.5.4의 roots·fft·linalg, python-control 0.10.2의 poles·step_info를 같은 입력에서 비교했다. 3상 파형은 numpy의 구간 선형 보간과 sign으로 이 장과 다르게 다시 정의했다. 스크립트는 robotics/fig-src/5.3-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/5.3-libcheck-output.txt에 있다.

모든 항목이 일치한다. 상승 시간의 $1.5\times10^{-3}$ 차이는 이 장 RK4의 걸음(임계 교차를 걸음 단위로 읽음)에서 나온다. 돌극 dq 전압 방정식(교차 결합 포함)이 abc 영역의 $L(\theta)\,di/dt=v-Ri-\omega_e(dL/d\theta)i-d\lambda/dt$ 시뮬레이션과 $9\times10^{-8}$ A 안에서 같다. 다만 이 대조는 같은 모형을 다른 좌표에서 푼 것이며 모형을 실물과 비교한 것이 아니다.

한계. 철손·자기 포화·온도에 따른 $R$·$K_t$ 변화·마찰의 속도 의존을 포함하지 않는다. 3상 파형은 이상 전류원이어서 인덕턴스에 의한 전환 지연·PWM 리플·데드타임은 없다(5.6·5.7). 역기전력의 고조파 함유·슬롯에 의한 코깅(5.5)·위치 센서 오차가 만드는 토크 리플은 계산하지 않았다. 코어리스 모터의 열 거동은 계산하지 않았다. 센서리스 위치추정은 다루지 않았다.

견해: 로봇 관절에는 정현 역기전력의 PMSM을 벡터 제어(5.7)로 구동하는 구성을 기본으로 두고, 6스텝 BLDC는 비용이 중요하고 토크 리플이 허용되는 소형 구동에, 브러시·코어리스 DC는 저전력·소형 정밀 구동과 단순 전자에 사용하는 것이 낫다고 본다. 근거는 이 장의 계산에서 정현 역기전력에 6스텝 전류를 흘리면 같은 피크 전류에서 평균 토크가 $1.654$로 정현 전류(1.5)보다 높지만 실효값당 토크는 $2.026$ 대 $2.121$로 낮고 토크 리플 $14.0$ %가 6차 조화로 생기며, 벡터 제어는 같은 파형에서 리플이 $0$이며 dq 변환으로 토크가 $i_q$에 선형이고 IPM에서는 MTPA로 같은 전류에서 토크를 더 얻을 수 있다는 점이다. 구동 전자의 비용과 센서 요구는 이 장이 비교하지 않았고 이상 파형 가정에서의 결론이므로 결정적 근거는 아니다.

5.3.6 설계 트레이드오프 — 모터 종류의 선택

로봇 구동에서 선택지는 네 가지이다.

• ① 브러시 DC. 구동 전자가 가장 단순하다. 정류 계통이 최대 속도와 수명을 제한한다(maxon).
• ② 코어리스 DC. 인덕턴스·관성이 작아 응답이 빠르고 철손이 없다. 권선이 열적으로 취약해 과부하 허용 시간이 짧다.
• ③ BLDC(6스텝). 브러시가 없고 인버터와 홀 센서만으로 구동한다. 토크 리플은 전환과 파형에 의존한다.
• ④ PMSM(벡터 제어). 정현 파형과 dq 제어로 리플을 낮추고 돌극에서는 MTPA·약계자로 출력을 늘린다. 위치 센서 분해능·전류 센서·연산이 필요하다.

견해: 새 관절 구동기를 설계할 때 사양서의 토크 상수·속도 상수를 먼저 SI 기계 각속도·상 피크 기준으로 환산해(5.3.3.6) 후보를 같은 기준으로 비교하는 것을 기본으로 두는 것이 낫다고 본다. 근거는 이 장의 표에서 같은 모터가 상 피크당 $0.0315$, 실효값당 $0.0445$ N·m/A, 속도 상수 $262$ 또는 $371$ rpm/V로 서로 다른 값으로 나타나 단위를 맞추지 않은 비교가 $\sqrt2$·$\sqrt3$배의 오차를 만든다는 점이다. 제조사별 정의는 이 장이 확인하지 않았으므로 각 사양서에서 확인해야 한다.

5.3.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 장별 요구는 다르다. 응용별 성능 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

대표 제품과 현황(기준 시점 2026-11-05). 이 장은 제조사 카탈로그의 제품 제원을 확인하지 않았다. 직접 읽은 제조사 자료는 maxon의 2009년판 선정 문서(코어리스 DC·EC 모터의 일반 서술)이며 현행 제품의 값과 다를 수 있다 (확인 필요). 제품 비교는 46.3(서보)·46.4(프레임리스 토크 모터)·46.12(스마트 서보)·46.13(종합 비교)에서 다룬다.

5.3.8 관련 규격·프로토콜

모터 상수·파형을 정하는 국제 표준의 조항은 확인하지 못했다. 표준 번호는 제목으로만 가리켰고 내용을 단정하지 않았다. 표준 전반은 27.1과 부록 A.3이다.

5.3.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

모터 원리를 직접 규정하는 법령·인증 요건은 확인하지 못했다. 산업용 전동기의 에너지 효율 규제가 있는 것으로 알려져 있으나 로봇 관절용 서보·프레임리스 모터가 적용 대상인지 확인하지 못했다 (확인 필요). 간접 연결은 세 가지이다. 첫째 전원 차단·정지 시 모터의 동작(역기전력에 의한 제동 토크·단락 제동)은 안전 정지 기능 설계의 입력이다(26.7·5.23). 둘째 인버터가 만드는 전자기 방출과 모터 케이블은 EMC 시험 대상이다(27.27·8.9). 셋째 협동 운전에서 모터의 토크·속도 한계는 충돌 시 힘과 연결된다(26.9·27.10). 이 장은 규정의 조항을 확인하지 않았다 (확인 필요).

5.3.10 한계·유의점·미해결

• 이상 파형. 3상 비교는 이상 전류원·정렬된 위상·역기전력 최대값을 맞춘 가정이다. 전환 구간·고조파는 5.5·5.6에서 다룬다.
• 선형 자기 회로. dq 모델은 자기 포화와 교차 포화를 포함하지 않는다. $L_d$·$L_q$의 전류 의존성은 5.7(벡터 제어)와 5.26(시험·특성 평가)에서 다룬다.
• 열·온도. $R$·$K_t$의 온도 의존은 5.2의 열 모델에서 다룬다.
• 센서리스와 위치 센서. 위치추정과 센서 오차의 영향은 5.7·6.2에서 다룬다.
• 미확인. 코어리스 모터의 코깅, 제조사 사양서별 상수 정의, 표준의 조항은 읽지 못했다.

5.3.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. $ei=Fv$에서 $K_t=K_e$를 유도하고 DC 모터의 무부하 속도·정지 토크를 구하라.
2. $\eta=(1-I_0/i)(1-Ri/V)$의 최댓값과 그 전류를 구하고 maxon의 1/7 경험칙이 성립하는 $I_A/I_0$를 구하라.
3. $K_t=K_e$인 DC 모터의 특성방정식과 극을 유도하고 $\tau_m=4\tau_e$가 실극·복소극의 경계임을 보여라.
4. 6스텝에서 DC 모터 등가($K_t=2K_{e,ph}$, $R_{LL}=2R_{ph}$)를 유도하라.
5. 정현 역기전력과 120° 사각 전류의 평균 토크 $3\sqrt3/\pi$와 리플 $14.0$ %를 한 60° 구간에서 유도하라.
6. 진폭 불변 Clarke·Park 변환과 토크식의 $3/2$ 계수를 전력 불변 변환과 비교하라.
7. 돌극 토크식과 MTPA의 닫힌 식을 유도하라.

연구 질문:

• 사다리꼴·정현 사이의 중간 파형(제3고조파 주입)에서 평균 토크와 리플의 최적 절충은 어디에 있는가(이 장은 네 조합만 계산했다)?
• 전환 구간의 인덕턴스 지연을 넣은 6스텝 토크 리플은 속도·전압에 따라 어떻게 변하는가?
• 코어리스 모터의 짧은 열 시정수를 사이징(5.2)에 반영하는 사이클 기준은 무엇인가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• K. M. Lynch, F. C. Park, Modern Robotics, Cambridge University Press, 2017(사전 인쇄본 2017-05) — 8.9.1절 직접 읽음.
• maxon motor, "maxon DC motor and maxon EC motor — Key information," catalog excerpt, May 2009 edition — 직접 읽음(현행판 아님).
• P. Yedamale, "Brushless DC (BLDC) Motor Fundamentals," Microchip Technology AN885 (DS00885A), 2003 — 직접 읽음.
• Texas Instruments Europe, "Field Orientated Control of 3-Phase AC-Motors," BPRA073, 1998 — 3~3.4절 직접 읽음.
• P. M. Wensing 외, IEEE Transactions on Robotics 33(3), 509–522, 2017, doi:10.1109/TRO.2016.2640183 — 저자 제공 판본 직접 읽음.
• R. H. Park, "Two-reaction theory of synchronous machines — generalized method of analysis — Part I," Transactions of the American Institute of Electrical Engineers 48(3), 716–727, 1929, doi:10.1109/T-AIEE.1929.5055275 — 서지만 확인.
• P. Pillay, R. Krishnan, "Modeling, simulation, and analysis of permanent-magnet motor drives, Part I: the permanent-magnet synchronous motor drive," IEEE Transactions on Industry Applications 25(2), 265–273, 1989, doi:10.1109/28.25541 — 서지만 확인. Part II: the brushless DC motor drive, 25(2), 274–279, doi:10.1109/28.25542 — 서지만 확인.
• R. Krishnan, Permanent Magnet Synchronous and Brushless DC Motor Drives, CRC Press, doi:10.1201/9781420014235 — 서지만 확인(발행 연도는 확인하지 못했다).
• numpy 2.5.4, SciPy 1.18.1, python-control 0.10.2.

다음 장. 5.4은 스테퍼 모터·리니어 모터·직접 구동을 다룬다. 이 장의 토크 상수·역기전력 상수·dq 모델을 단계 구동과 직선 전자기력으로 확장한다.