제4부 기계 설계·구조·재료

4.7 공차 설계와 GD&T: ASME Y14.5·ISO GPS·공차 누적 해석(최악·RSS)

4.7.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 부품 도면의 치수·기하 공차를 기능 요구에서 정하는 방법을 다룬다. 공차는 부품이 가질 수 있는 변동의 허용 범위이고, 공차 설계는 조립체의 기능 요구(틈새·예압·정렬)를 부품별 허용 변동으로 배분하고 그 값이 도면에서 하나의 검사 판정으로 해석되도록 표기하는 일이다. 이 장은 ISO 286 방식의 크기 공차와 끼워맞춤, 기하 공차(GD&T)의 구성과 ASME Y14.5·ISO GPS 두 규격 계통의 해석 원칙 차이, 치수 사슬의 누적 해석(최악·RSS·분포 보정·평균 이동·몬테카를로), 비용을 최소로 하는 공차 배분, 체결구 위치도 공식과 최대 실체 조건(MMC) 보너스를 계산으로 확인한다. 로봇 전체의 오차 예산(열변형·백래시·강성·아베 오차)은 4.6, 베어링 끼워맞춤과 예압은 4.2, 축·키·볼트 같은 기계 요소는 4.3, 재료와 변형은 4.4, 기구학 매개변수 보정은 2.17, 제조 공정 능력과 조립성 설계는 4.16, 공차 해석 소프트웨어를 포함한 설계 도구는 4.14, 몬테카를로 방법의 일반 이론은 1.21이 맡는다.

배우는 것:

• 크기 공차와 끼워맞춤 — 공차 단위 $i$와 IT 등급의 폭, 구멍 기준 끼워맞춤의 틈새 범위와 전이 끼워맞춤의 간섭 확률.
• 기하 공차의 구성 — 형상·자세·위치·프로파일·흔들림 범주, 데이텀 참조 틀, 재료 조건(MMC·LMC·RFS), 가상 조건과 보너스 공차, 포락 원칙 대 독립 원칙.
• 치수 사슬 누적 해석 다섯 방법 — 최악, RSS, 분포 보정 계수 $c$, 평균 이동 $\eta_0$를 포함한 통합식, 몬테카를로. 각 방법이 서로 다른 판정을 내는 이유.
• 공차 배분 — 비용 모형 $c_i/t_i$를 최소로 하는 닫힌 식($t\propto\sqrt c$, $t\propto c^{1/3}$).
• 체결구 위치도 공식 — 부동 체결구 $T=H-F$, 고정 체결구 $T=(H-F)/2$의 유도와 검증, MMC가 기능 게이지와 같은 판정이라는 정리.

선수 지식: 1.19(확률변수·가우시안), 1.21(몬테카를로 방법), 4.1(요구조건에서 사양으로의 환산).

특히 중요한 독자: 관절 모듈·하우징·플랜지 도면을 작성하거나 검토하는 기계 설계자, 공급사에 공차와 검사 방법을 요구하는 구매·품질 담당자(41.26), 설계 변경이 안전 요건에 주는 영향을 판단하는 인증 담당자.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: F. Scholz, Tolerance Stack Analysis Methods, A Critical Review(Boeing Information & Support Services 기술 보고서, 1995-11)의 3~5절(최악·RSS·분포 보정 계수·평균 이동·$C_{pk}$ 관계식)과 표 1; Wikipedia의 "IT Grade"(ISO 286-1:2010 표 1을 재현한 표)와 "Engineering fit"(Rapp, Engineers Black Book 2004의 공차 표를 인용); ASME 공식 제품 페이지의 Y14.5 소개문(WebFetch 요약); Keyence 교육 페이지의 ISO·ASME 해석 원칙 비교(제조사 자료). 서지만 확인: Chase & Parkinson(1991), Greenwood & Chase(1987·1988·1990), Requicha(1983), Bender(SAE 680490), Evans(1974·1975), Henzold(2021)(Crossref 등재 형태). 읽지 못한 것: ASME Y14.5-2018 본문, ISO 286-1·ISO 1101·ISO 8015·ISO 14405-1·ISO 2768-1·ISO 273의 본문(iso.org는 접속이 차단되었고 ASME 표준은 유료이다). 따라서 규격 조항·기호의 상세 정의는 단정하지 않고 일반 서술과 (확인 필요)로 구분했다. 이 장의 수치는 모두 이 장이 정한 가정과 직접 실행한 계산에서 나온 것이며 실제 부품의 공정 능력 데이터가 아니다.

4.7.2 개념 — 공차는 변동의 허용 범위이고 누적 해석은 그 범위가 조립체에서 어떻게 합쳐지는가의 모형이다

결론부터 적으면 다음과 같다. 부품 하나의 공차는 그 부품에 허용되는 변동의 범위이고, 조립체의 기능 치수(틈새·예압·정렬 오차)는 여러 부품 치수의 합이므로 공차는 합쳐진다. 합쳐지는 방식을 어떻게 가정하는가에 따라 같은 도면에서도 요구 충족 판정이 달라진다. 최악 해석은 모든 부품이 같은 방향의 한계에 있다고 가정해 충족을 보장하지만 부품 수가 늘수록 공차를 과도하게 조인다. 통계 해석(RSS)은 부품 변동이 독립이고 중심에 모인다고 가정해 공차를 크게 완화하지만 평균 이동과 분포 형상을 무시하면 불량률을 과소평가한다. 기하 공차는 치수 하나의 상하한 대신 형상·자세·위치의 공차 영역을 정하는 표기 체계이며, ASME Y14.5 계통과 ISO GPS 계통이 기본 해석 원칙(포락 대 독립)에서 다르다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 18~50 mm 구간에서 공차 단위 식 $i=0.45\sqrt[3]D+0.001D$와 계수 $7,10,16,25,40,64$는 공개 표의 IT5~IT10 12개 값과 모두 정수 $\mu$m 단위로 같고, 기본 편차 식 5종(f·g·h·k·n)도 공개 표 값과 같다. ② 베어링 두 개와 스페이서로 이루어진 4부품 적층에서 틈새 $G$의 반폭은 최악 $0.2000$ mm(요구 $0.12$ mm의 $167\,\%$), RSS $0.1030$ mm($86\,\%$), 분포 보정 $c=1.5$ $0.1544$ mm, 평균 이동 $\eta_0=0.25$ 통합식 $0.1272$ mm이다. 같은 도면이 RSS에서는 충족이고 나머지에서는 미충족이다. ③ 몬테카를로의 창 밖 비율은 정규 $0.052\,\%$(해석해 $0.047\,\%$), 균등 분포 $3.894\,\%$, 평균 이동 $0.325\,\%$(해석해 $0.327\,\%$)이다. ④ 비용 $\sum c_i/t_i$를 최소로 하는 공차 배분은 균등 배분 대비 최악 제약에서 $9.2\,\%$, RSS 제약에서 $6.1\,\%$ 낮다. ⑤ 체결구 위치도 공식 $T=H-F$(부동)·$T=(H-F)/2$(고정)의 비율 $1$ 이하에서 4구멍 조립 불가는 $0$이고, 비율 $1.25$에서 균등 분포 가정으로 $20.7\,\%$이다. ⑥ MMC 위치도는 합격률을 $89.93\to95.45\,\%$로 올리며 합격 판정이 가상 조건 지름 핀의 삽입 가능 판정과 200만 표본에서 다른 경우가 없다. ⑦ 플랜지 직각도 $0.02$ mm(지름 $100$ mm)는 팔 길이 $0.85$ m에서 말단 $0.170$ mm 오차로 증폭된다. ⑧ SciPy·numpy·SLSQP와 독립 대조했다.

4.7.3 원리

4.7.3.1 크기 공차와 ISO 286 방식의 끼워맞춤

결론은 다음과 같다. 크기 공차의 폭은 호칭 치수와 IT 등급만으로 정해지고, 끼워맞춤의 성격은 구멍과 축의 기본 편차 문자로 정해진다. 이 장은 교과서·공개 요약에서 통용되는 식을 구현하고 18~50 mm 구간의 공개 표와 대조했다. ISO 286-1 본문은 읽지 못했다 (확인 필요). 호칭 치수 구간 $(D_1,D_2]$의 기하 평균을 $D=\sqrt{D_1D_2}$ mm라 하면 공차 단위와 IT 등급의 폭은 다음이다.

$$i=0.45\sqrt[3]{D}+0.001D\ [\mu\text{m}],\qquad T_{ITn}=k_n\,i,\qquad k_{5\dots10}=7,\ 10,\ 16,\ 25,\ 40,\ 64.$$

기본 편차(공차 영역에서 기준선에 가까운 쪽의 편차)는 문자마다 식이 다르다. 이 장이 구현한 것은 $h$($es=0$), $g$($es=-2.5D^{0.34}$), $f$($es=-5.5D^{0.41}$), $k$($ei=+0.6\sqrt[3]D$, IT4~IT7), $n$($ei=+5D^{0.34}$)이며 계산값을 정수 $\mu$m로 반올림한다. 구멍 기준(H) 끼워맞춤은 구멍의 아래 편차 $EI=0$, 위 편차 $ES=T_{IT}$이다. 틈새의 범위는 최소 $EI-es$, 최대 $ES-ei$이다. 최소가 $\ge0$이면 틈새 끼워맞춤, 최대가 $\le0$이면 간섭 끼워맞춤, 그 사이이면 전이 끼워맞춤이다. 전이 끼워맞춤은 조립 때 틈새가 될지 간섭이 될지가 확률로 결정되므로 간섭 확률로 평가한다. 구멍과 축 치수가 정규 분포이고 $\pm3\sigma$가 IT 폭이라고 가정하면 틈새의 평균은 두 중앙값의 차, 표준편차는 $\sqrt{(T_H/6)^2+(T_s/6)^2}$이다. 계산 결과는 풀이 예제의 표 ①②에 있다. 반올림 규칙은 ISO 표와 다를 수 있어 표 ①은 IT10까지만 비교했다(IT11의 계산값 $130.7\,\mu$m는 공개 표에서 $130\,\mu$m이다). 베어링 자리의 끼워맞춤 선정은 4.2, 압입 끼워맞춤의 접촉 압력과 전달 토크는 4.3에서 다룬다.

4.7.3.2 기하 공차의 구성과 재료 조건

기하 공차는 형상·자세·위치의 변동을 공차 영역(부품의 요소가 들어가야 하는 공간 영역)으로 규정한다. ASME 공식 소개문과 2차 요약은 Y14.5가 기호와 데이텀 체계, 형상·자세·위치·프로파일·흔들림의 공차를 다룬다고 기술한다. 이 장이 확인한 것은 이 범주 구분까지이고 개별 기호의 정의는 본문을 읽지 못해 단정하지 않는다 (확인 필요). 일반적으로 알려진 구성은 다음과 같다. 공차 기입 틀은 기호·공차 값·재료 조건·데이텀 참조의 순서로 읽는다. 데이텀 참조 틀은 첫째 데이텀이 평면 접촉으로 3개, 둘째가 2개, 셋째가 1개의 자유도를 구속해 부품을 측정과 조립에서 같은 자세로 놓는 규칙이다. 데이텀 순서를 바꾸면 같은 값의 공차가 다른 검사가 된다.

재료 조건은 공차 영역이 요소의 실제 크기에 의존하는지를 정한다. 최대 실체 조건(MMC)은 재료가 가장 많은 크기(구멍은 최소 지름, 축은 최대 지름)이고, 최소 실체 조건(LMC)은 그 반대이며, 크기 무관(RFS)은 실제 크기와 무관하게 같은 공차를 적용한다. 가상 조건(VC)은 MMC 크기에 기하 공차가 더해진 경계, 구멍에서는 $D_{MMC}-T$이다. MMC에서 요소의 실제 크기가 MMC에서 벗어난 양만큼 기하 공차가 늘어나는 것을 보너스 공차라 한다. 다음 정리가 MMC 위치도의 기능적 의미이다. 구멍의 위치 오차 반지름 $r$(구멍 중심과 이상 위치의 거리), 실제 지름 $D$, MMC 지름 $D_{MMC}$에 대해 판정 조건은 $2r\le T+(D-D_{MMC})$이다. 이 부등식은 $r+p/2\le D/2$, 즉 이상 위치에 고정된 지름 $p=D_{MMC}-T$ 핀이 구멍에 들어가는 조건과 같다. 따라서 MMC 위치도 합격은 가상 조건 지름의 기능 게이지가 들어가는 것과 필요충분이다. 표 ⑨의 200만 표본에서 두 판정이 다른 경우는 없었다.

크기 공차와 형상 공차의 관계는 계통마다 기본 원칙이 다르다. 독립 원칙(ISO 8015)은 도면에 지정된 모든 치수·기하 요구를 별도로 만족해야 한다고 보며 크기 공차가 형상을 제한하지 않는다. 포락 원칙(ASME Y14.5의 Rule #1)은 크기 공차가 MMC 크기의 완전 형상 포락을 함께 요구한다. Keyence 교육 페이지는 ISO가 독립 원칙을 1985년에 채택했고 ASME가 2009판에서 독립을 표시하는 기호를 추가했다고 기술한다(제조사 자료, 규격 본문 미확인). 두 계통을 비교하면 다음과 같다.

이 표는 이 장이 읽은 공개 요약의 범위이며 두 계통의 모든 차이를 포괄하지 않는다. 설계자가 지켜야 할 것은 하나이다. 한 도면에는 한 계통의 기본 원칙을 명시하고, 공급사와 검사 부서가 같은 계통으로 판정하도록 합의한다.

4.7.3.3 치수 사슬과 누적 해석

조립체의 기능 치수 $A$를 부품 치수 $X_i$의 선형 함수 $A=a_0+\sum_i a_iX_i$로 표현한다. $a_i$는 방향 계수(더하는 치수는 $+1$, 빼는 치수는 $-1$)이며 각 $X_i$는 공칭 $\nu_i$ 주위의 $[\nu_i-T_i,\ \nu_i+T_i]$에 있다. 이 절의 다섯 방법은 같은 $A$의 변동 범위를 다른 가정으로 예측한다. 식은 Scholz(1995)가 정리한 것을 읽고 이 장이 구현했다.

• 최악(산술). $T_A^{\text{wc}}=\sum_i\lvert a_i\rvert T_i$. 모든 $X_i$가 공차 안에 있으면 $A$가 이 범위 밖으로 나가는 조립은 없다. 같은 기여 $T$의 $n$개이면 $nT$이다.
• RSS(통계). $T_A^{\text{RSS}}=\sqrt{\sum_i a_i^2T_i^2}$. 각 $X_i$가 독립이고 공칭에 중심을 둔 정규 분포이며 $T_i=3\sigma_i$일 때 $A$도 정규이고 $T_A^{\text{RSS}}=3\sigma_A$이다. 조립의 $99.73\,\%$가 범위에 든다(Scholz가 $\Phi(3)-\Phi(-3)=0.9973$으로 유도). 같은 기여이면 $\sqrt nT$이다.
• 분포 보정. 부품 분포가 정규가 아니거나 퍼짐이 공차에 가까우면 계수 $c_i$를 곱한다: $T_A^{\text{RSS},c}=\sqrt{\sum(c_ia_iT_i)^2}$. Scholz의 표 1은 균등 분포 $c=1.732$, 삼각 분포 $1.225$, 반코사인 $1.306$, 타원 $1.5$를 정리한다. Bender의 계수 $1.5$는 작업자가 말하는 공차가 실제 $\pm3\sigma$ 퍼짐의 $2/3$라는 경험에서 나왔다고 Scholz가 보고한다. 이 장은 Bender의 SAE 논문(680490, 1968)의 서지와 초록만 확인했고 Scholz가 인용한 1962년 문헌과 같은지는 확인하지 못했다.
• 평균 이동을 포함한 통합식. 평균이 공칭에서 $\Delta_i=\eta_iT_i$($\eta_i\le\eta_0$)만큼 이동할 수 있고 공정 능력 $C_{pk}=(T_i-\lvert\Delta_i\rvert)/(3\sigma_i)\ge1$을 유지한다고 가정하면 이동은 최악 방향으로 쌓고 나머지 변동은 RSS로 쌓는다. 반폭은 $T_A^{\Delta}=\eta_0\sum\lvert a_i\rvert T_i+(1-\eta_0)\sqrt{\sum a_i^2T_i^2}$이다. $\eta_0=0$이면 RSS, $\eta_0=1$이면 최악이다. Scholz는 이 형태를 Mansoor(1963)가 제안하고 Greenwood & Chase(1987)가 확장했다고 기술한다.
• 몬테카를로. 각 $X_i$를 가정한 분포에서 표본추출해 $A$의 분포와 창 밖 비율을 직접 센다. 정규·균등·평균 이동 등 분포를 자유롭게 바꿀 수 있고 비선형 $A=f(X)$에도 적용된다. 정밀도는 표본 수의 제곱근에 반비례한다(1.21).

선형이 아닌 조립 기준(각도 오차가 있는 링크 사슬, 접촉에 의한 이동)은 $a_i$를 편미분 $\partial f/\partial X_i$로 바꾼 1차 근사가 한계를 갖는다. Greenwood & Chase는 비선형 문제의 최악·RSS 해석을 각각 1988년·1990년에 다루었다(서지만 확인, 내용은 읽지 못했다). 이 장은 선형 모형에 한정한다. 모든 방법은 독립 가정을 둔다. 같은 가공 설비·같은 로트에서 나온 부품은 공차가 상관을 가지므로 RSS가 낙관적일 수 있다. Scholz의 서술대로 실제 불량은 보고된 것보다 많은 경향이 있다는 경험이 분포 보정과 평균 이동 모형의 동기이다.

4.7.3.4 공차 배분

배분은 같은 요구 $K_0$를 부품별 공차 $t_i$로 나누는 문제이다. 공차가 좁을수록 가공 비용이 커진다고 보고 $c_i/t_i$를 비용 모형(이 장의 가정)으로 두면 최소 비용의 닫힌 식이 나온다. 결론은 다음이다. 비용 계수가 큰 부품(공차를 조이기 어려운 부품)에 더 큰 공차를 배분하며, 최악 제약에서는 $t_i\propto\sqrt{c_i}$, RSS 제약에서는 $t_i\propto c_i^{1/3}$이다. 유도는 라그랑주 승수이다. 최악 제약 $\sum t_i=K_0$이면 $-c_i/t_i^2+\lambda=0$에서 $t_i\propto\sqrt{c_i}$, RSS 제약 $\sum t_i^2=K_0^2$이면 $-c_i/t_i^2+2\lambda t_i=0$에서 $t_i^3=c_i/(2\lambda)$, 즉 $t_i\propto c_i^{1/3}$이다. 실제 공정 비용은 IT 등급마다 계단형이며 구매 부품(베어링 등)의 공차는 설계자가 조정할 수 없으므로 이 식은 출발점이다.

4.7.3.5 체결구 위치도 공식

두 부품을 볼트로 체결하는 구멍 패턴에서 구멍 지름 $H$, 체결구(볼트) 최대 지름 $F$이면 다음이 성립한다. 부동 체결구(두 부품 모두 관통 구멍)는 $T=H-F$, 고정 체결구(한 부품에 나사산 또는 압입 스터드)는 $T=(H-F)/2$이다. 여기서 $T$는 구멍이 모두 MMC일 때 각 구멍에 부여하는 위치도 공차(지름)이다. 유도는 다음과 같다. 한 구멍의 중심은 이상 위치에서 반지름 $T/2$ 이내이므로 두 구멍 중심의 어긋남은 최대 $T$이다. 부동의 경우 볼트가 양쪽 구멍에 들어가려면 어긋남 $\le H-F$이다. 고정의 경우 스터드 중심이 고정되어 있어 관통 구멍 중심과의 거리가 반경 틈새 $(H-F)/2$ 이하여야 한다. 따라서 $T\le H-F$, $T\le(H-F)/2$이다. 이 공식은 구멍 하나 쌍에 대한 것이며 패턴 전체가 평행이동·회전해 정렬되는 자유도는 반영하지 않으므로 보수적이다. 규격 부록(Y14.5)의 해당 공식은 본문을 읽지 못했다 (확인 필요).

4.7.3.6 기하 공차가 말단 오차로 증폭되는 경로

로봇에서는 길이 $L$의 팔이 기하 공차를 증폭한다. 직각도·평행도·동축도 같은 자세 공차 $t$는 요소 길이 $\ell$에서 기울기 각 $t/\ell$이고, 팔 끝에서 $L\,t/\ell$의 변위가 된다. 축방향 치수 오차는 감도가 $1$이다. 이 감도 계수는 기하 모형에서 나온 것으로 4.6의 오차 예산에서 열·강성·백래시와 합쳐진다. 말단 오차의 상한을 줄이려면 플랜지 직각도와 베어링 자리 동축도처럼 $L/\ell$이 큰 항에 공차를 우선 배정한다. 표 ⑩에 값을 적었다.

4.7.4 알고리즘

입력: 기능 요구 G (공칭, 허용 반폭 K0), 치수 사슬 (a_i, 중앙값 nu_i, 공차 T_i), 방법 집합, 비용 계수 c_i
1. 사슬 확정: 접촉면·기준면에서 G까지의 닫힌 치수 루프를 그린다. 더하는 치수 +1, 빼는 치수 -1.
2. 입력 점검: 비대칭 공차는 중앙값과 대칭 공차로 바꾼다. 구매 부품의 공차는 카탈로그에서 읽는다.
3. 해석: T_wc = 합 |a_i| T_i,  T_rss = sqrt(합 (a_i T_i)^2),  보정 c_i 와 eta0 적용
4. 판정: 방법별 반폭을 K0과 비교한다. 의견이 갈리면 몬테카를로로 분포 가정별 창 밖 비율을 계산한다.
5. 미충족이면 ( i ) 비용 모형으로 공차를 다시 배분하거나 ( ii ) 보정 부품(심·스페이서 측정 선택)을 넣거나 ( iii ) 요구를 협의한다.
6. 도면 표기: 크기 공차와 기하 공차(위치도 MMC 등)·데이텀·계통(ASME·ISO)을 기입하고 검사 방법을 합의한다.
출력: 부품 도면의 공차, 해석 방법·가정·창 밖 비율을 적은 공차 해석서

4.7.5 풀이 예제 — 베어링 두 개와 스페이서의 축방향 틈새

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 같은 4부품 사슬이 최악·$c=1.5$·$\eta_0=0.25$에서는 요구 반폭을 넘고 RSS에서만 충족된다. 방법의 선택이 판정을 바꾼다. ② 틈새 분산의 $68\,\%$가 구매 부품인 두 베어링 폭에서 나오므로 가공 부품의 공차만 조여서는 최악 보증이 불가능하다. ③ 몬테카를로는 정규·평균 이동 시나리오에서 해석해와 같고($0.052$ 대 $0.047\,\%$, $0.325$ 대 $0.327\,\%$) 균등 분포 시나리오의 창 밖 비율은 $3.894\,\%$로 가장 높다. ④ 위치도 공식은 비율 $\le1$에서 조립 불가가 $0$이다. ⑤ MMC는 합격률을 $5.51$ %p 올린다.

구현. it_width·shaft_dev·fit_range(끼워맞춤), stack_wc·stack_rss·stack_shift·mc_stack(누적), alloc_wc·alloc_rss(배분), pattern_fail(위치도), mmc_yield(MMC). 표 생성·도해·캐시는 스크립트에 있다.

import random
from math import sqrt, floor, erf, exp, pi

MULT = {5: 7, 6: 10, 7: 16, 8: 25, 9: 40, 10: 64}
EXP = {'f': (5.5, .41), 'g': (2.5, .34), 'n': (5.0, .34)}

def rnd(x):
    return int(floor(x + 0.5))

def it_width(lo, hi, grade):
    """IT 폭 [um]: 공차 단위 i = 0.45 D^(1/3) + 0.001 D"""
    D = sqrt(lo * hi)
    i = 0.45 * D ** (1 / 3) + 0.001 * D
    return rnd(MULT[grade] * i)

def shaft_dev(letter, lo, hi, grade):
    """축 (위 편차 es, 아래 편차 ei) [um]"""
    D, it = sqrt(lo * hi), it_width(lo, hi, grade)
    if letter == 'h':
        return 0, -it
    if letter in ('f', 'g'):
        c, e = EXP[letter]
        es = -rnd(c * D ** e)
        return es, es - it
    if letter == 'k':
        ei = rnd(0.6 * D ** (1 / 3))
    else:
        c, e = EXP['n']
        ei = rnd(c * D ** e)
    return ei + it, ei

def hole_H(lo, hi, grade):
    return it_width(lo, hi, grade), 0

def fit_range(hole, shaft):
    """(최소 틈새, 최대 틈새); 음수는 간섭"""
    (ES, EI), (es, ei) = hole, shaft
    return EI - es, ES - ei

def phi(x):
    return 0.5 * (1 + erf(x / sqrt(2)))

def p_interf(hole, shaft):
    """정규 가정(±3 sigma = IT 폭의 반): P(틈새 < 0)"""
    (ES, EI), (es, ei) = hole, shaft
    mu = (ES + EI) / 2 - (es + ei) / 2
    s = sqrt(((ES - EI) / 6) ** 2 + ((es - ei) / 6) ** 2)
    return phi(-mu / s)

def stack_wc(a, T):
    return sum(abs(x) * t for x, t in zip(a, T))

def stack_rss(a, T, c=1.0):
    return c * sqrt(sum((x * t) ** 2 for x, t in zip(a, T)))

def stack_shift(a, T, eta):
    """평균 이동 비율 eta: eta*최악 + (1-eta)*RSS"""
    return eta * stack_wc(a, T) + (1 - eta) * stack_rss(a, T)

def draw(rng, kind, t, sgn, eta):
    if kind == 'normal':
        return rng.gauss(0, t / 3)
    if kind == 'uniform':
        return rng.uniform(-t, t)
    if kind == 'cpk133':
        return rng.gauss(0, t / 4)
    return sgn * eta * t + rng.gauss(0, (1 - eta) * t / 3)

def mc_stack(a, nom, T, kind, n, seed, lo, hi, eta=0.25):
    """G = nom + sum a_i x_i. (분산, 합격 창 밖 비율, 평균)"""
    rng = random.Random(seed)
    s = s2 = out = 0
    for _ in range(n):
        g = nom
        for x, t in zip(a, T):
            sg = 1 if x > 0 else -1
            g += x * draw(rng, kind, t, sg, eta)
        s += g
        s2 += g * g
        out += g < lo or g > hi
    m = s / n
    return s2 / n - m * m, out / n, m

def alloc_wc(c, T):
    """min sum c/t, sum t = T  ->  t ~ sqrt(c)"""
    r = [sqrt(x) for x in c]
    return [T * v / sum(r) for v in r]

def alloc_rss(c, T):
    """min sum c/t, sum t^2 = T^2  ->  t ~ c^(1/3)"""
    r = [x ** (1 / 3) for x in c]
    k = T / sqrt(sum(v * v for v in r))
    return [k * v for v in r]

def offset(rng, kind, T):
    """구멍 중심의 위치 오차 (지름 T의 공차 영역 안)"""
    while True:
        if kind == 'disk':
            r = T / 2 * sqrt(rng.random())
            return r, 2 * pi * rng.random()
        x, y = rng.gauss(0, T / 6), rng.gauss(0, T / 6)
        if x * x + y * y <= (T / 2) ** 2:
            return sqrt(x * x + y * y), rng.random() * 2 * pi

def pattern_fail(T, lim, nh, kind, n, seed):
    """nh개 구멍 쌍 중 하나라도 어긋남 > lim인 비율"""
    from math import cos, sin
    rng = random.Random(seed)
    bad = 0
    for _ in range(n):
        for _ in range(nh):
            r1, t1 = offset(rng, kind, T)
            r2, t2 = offset(rng, kind, T)
            dx = r1 * cos(t1) - r2 * cos(t2)
            dy = r1 * sin(t1) - r2 * sin(t2)
            if dx * dx + dy * dy > lim * lim:
                bad += 1
                break
    return bad / n

def mmc_yield(T, dmin, dmax, mu, sd, sig, grid=2001):
    """위치도 합격률 (RFS, MMC): 구멍 지름 D는 [dmin,dmax]에서
    잘린 정규, 위치 오차 반지름은 축별 sig의 레일리 분포"""
    ws = []
    h = (dmax - dmin) / (grid - 1)
    ds = [dmin + h * i for i in range(grid)]
    for d in ds:
        ws.append(exp(-0.5 * ((d - mu) / sd) ** 2))
    simp = [1 if i in (0, grid - 1) else (4 if i % 2 else 2)
            for i in range(grid)]
    z = sum(s * w for s, w in zip(simp, ws))
    rfs = 1 - exp(-(T / 2) ** 2 / (2 * sig ** 2))
    mm = 0.0
    for s, w, d in zip(simp, ws, ds):
        b = (T + d - dmin) / 2
        mm += s * w * (1 - exp(-b * b / (2 * sig ** 2)))
    mm /= z
    return rfs, mm

표 ① IT 등급의 폭.

표 ①에서 이 장의 식은 두 구간 모두 IT5~IT10을 공개 표와 같은 정수로 계산한다.

표 ② 끼워맞춤의 한계 치수와 틈새 범위.

$30\sim50$ mm 구간의 H8/f7(틈새 $+25\sim+89\,\mu$m)과 H7/k6($-18\sim+23\,\mu$m)은 Wikipedia 예제(Rapp 표 인용)의 값과 같고, f7·g6·h6·k6·n6의 편차 10쌍(두 구간)이 공개 표와 같다. 같은 H7/k6가 정규 가정에서 $30.7\,\%$의 간섭 확률을 갖는다는 것은 전이 끼워맞춤이 압입 조립과 손 조립이 섞여 나타난다는 뜻이다.

표 ③ 사슬의 입력과 분산 기여.

두 베어링 폭이 분산의 $68.0\,\%$, 하우징 깊이가 $23.6\,\%$를 차지한다. 가공 부품 $H$·$S$의 공차를 모두 $0$으로 줄여야 최악 반폭이 $0.12$ mm(베어링 두 개의 합)가 되어 요구와 정확히 같아진다. 구매 부품의 공차가 지배하는 사슬은 가공 공차의 배분만으로 최악 보증을 달성하기 어렵다.

표 ④ 해석 방법별 틈새의 반폭.

표 ⑤ 분포 가정별 몬테카를로.

표 ④⑤와 도해 2가 이 장의 핵심이다. RSS 판정(충족)은 정규 중심 일치 가정에서 창 밖 비율 $0.05\,\%$와 일치한다. 그러나 평균이 $\eta=0.25$ 이동하면 $0.33\,\%$, 균등 분포이면 $3.89\,\%$로 올라간다. 분포 보정 $c=1.5$와 통합식이 미충족으로 판정하는 것은 이 비율의 상승을 앞서 경고한 것이다. 평균 이동 시나리오는 평균 $0.19$ mm, $\sigma=0.0257$ mm이므로 상한 $0.26$ mm까지 $2.72\sigma$이고 해석해는 $0.327\,\%$의 불량을 예측한다.

표 ⑥ 요구 반폭 $0.12$ mm를 만족하는 부품당 공차(같은 기여 $n$개).

부품 수가 늘수록 최악의 공차는 $1/n$로, RSS는 $1/\sqrt n$로 줄어든다. 12부품에서 최악은 $0.010$ mm로 RSS($0.035$ mm)의 $29\,\%$이다. 평균 이동을 포함한 통합식($\eta_0=0.25$)은 $0.25n=0.75\sqrt n$, 즉 $n=9$에서 $c=1.5$의 RSS와 같아지고 그보다 부품이 많으면 더 엄격하다.

표 ⑦ 공차 배분(비용 $\sum c_i/t_i$).

비용 최소 배분은 균등 배분보다 총비용이 최악 제약에서 $9.2\,\%$, RSS 제약에서 $6.1\,\%$ 낮다. 비용 계수가 $5$인 부품 5는 균등 대비 최악 제약에서 $0.024\to0.036$ mm로, RSS 제약에서 $0.054\to0.070$ mm로 공차가 늘고 계수 $1$인 부품은 줄어든다.

표 ⑧ 위치도 공식의 배수에 대한 4구멍 조립 불가 비율(표본 20000).

공식의 값 이하에서는 두 분포 모두 조립 불가가 $0$이고, 공식의 $1.25$배에서 균등 분포로 $20.7\,\%$, 정규(원판 밖 제거)로 $0.5\,\%$이다. 같은 비율에서 부동·고정 열의 차이가 최대 $0.65$ %p로 표본 20000의 표준오차($0.3$ %p 내외)의 두 배 안에 드는 것은 판정이 $T$와 한계의 비에만 의존하기 때문이다.

표 ⑨ MMC 위치도의 합격률.

가상 조건 지름은 $10.00-0.30=9.70$ mm이다. RFS에서 불합격이지만 MMC에서 합격하는 부품이 $5.51\,\%$이고 이들은 지름 $9.70$ mm 핀이 들어간다.

표 ⑩ 기하 공차의 말단 오차 환산.

라이브러리 독립 대조

모든 닫힌 식은 SciPy의 해석·수치 적분·SLSQP와 $4\times10^{-9}$ 이하에서 같다. 공개 표 대조는 IT 폭 12개, 축 편차 10쌍, 구멍 H7·H8 폭 4개에서 불일치가 없었다. 몬테카를로는 서로 다른 난수 발생기와 표본 수의 두 구현이 표준오차 안($|z|<1.2$)에서 일치한다. 이상 징후는 없었다. 공차 배분 대조에서 무작위 가능해 20만 개의 최소 비용(최악 제약 $455.0$)이 닫힌 식의 값($454.2$)보다 낮지 않았다. 비율 $1.05$에서 부동 체결구 조립 불가가 균등 분포로 $0.73\,\%$, 정규로 $0.004\,\%$로 처음 나타나는 것은 임계 근처에서 어긋남이 영역 경계에 가까운 구멍 쌍이 필요하기 때문이다.

한계. 선형 1차원 사슬만 계산했다. 비선형·3차원 사슬, 부품 간 상관, 조립 조건에 의한 이동량(접촉·간극 보정), 형상 공차가 크기에 더해지는 포락 효과, 측정 불확도는 계산하지 않았다. 분포 시나리오는 이 장이 정한 가정이며 실제 공정 데이터가 아니다. 베어링 폭 공차·구멍 지름·재료 물성은 제품 값으로 검증하지 않았다 (확인 필요). 비용 모형 $c_i/t_i$는 이 장의 가정이다. 위치도 공식은 구멍 하나의 쌍을 대상으로 하며 패턴 정렬 자유도를 반영하지 않는다.

견해: 안전이나 예압이 요구되는 임계 치수의 사슬은 최악 해석 또는 보정 부품(측정 선택 심·스페이서)으로 보증하고, 그 외 치수는 RSS를 기본으로 하되 분포 보정 계수나 평균 이동을 반영해 판정하며, 최종 확인은 공정 데이터에 맞춘 몬테카를로로 하는 혼합이 맞다고 본다. 근거는 이 장의 계산에서 같은 사슬의 판정이 방법에 따라 달라지고(표 ④), 창 밖 비율이 분포 가정에 따라 $0.05\to3.9\,\%$로 두 자릿수 이상 달라지며(표 ⑤), 구매 부품이 분산을 지배하는 사슬은 가공 공차로 최악을 보증할 수 없다는 점이다. 이 혼합이 실제 로봇 관절 모듈에서 불량률과 원가를 줄이는지는 이 장이 검증하지 않았다.

4.7.6 설계 트레이드오프 — 누적 해석 방법의 선택

누적 해석 방법은 다음 중에서 고른다.

• ① 최악(산술). 충족을 보증하므로 안전·예압·조립성처럼 단일 실패의 영향이 큰 요구에 맞다. 부품 수가 늘수록 공차가 $1/n$로 조여져 원가가 오르고, 충족하더라도 실제 변동 범위의 일부만 필요로 한다.
• ② 통계(RSS와 보정). 공차를 $\sqrt n$ 비로 완화한다. 정규·독립·중심 일치 가정이 틀리면 불량률을 과소평가하고, 보정 계수 $c$나 평균 이동 $\eta_0$는 가정을 넣는 방식에 따라 결과가 갈린다(표 ④).
• ③ 몬테카를로와 공정 데이터. 분포·상관·비선형을 직접 반영한다. 입력 분포의 근거(공정 능력 지수, 측정 데이터)가 필요하고 정밀도는 표본 수의 제곱근에 반비례한다. 설계 도구(4.14)가 이를 지원하는지는 제품마다 다르다.

견해: 로봇 관절 모듈에는 ②를 기본으로 하고 임계 사슬(베어링 예압 틈새, 기어 맞물림 중심 거리)만 ①이나 보정 부품으로 보증하며, 양산 전 ③으로 확인하는 것이 합리적이라고 본다. 근거는 관절 수와 부품 수가 많아 ①을 전체에 적용하면 가공 원가가 크게 오르고(표 ⑥의 $n=12$에서 최악 공차는 RSS의 $29\,\%$), ②만 적용하면 평균 이동과 분포 형상의 영향이 가려진다는 점(표 ⑤)이다. 세 방식을 같은 제품에 적용해 불량률·원가를 비교한 증거는 이 장에 없다.

4.7.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 제품별 요구는 다르다. 응용별 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

4.7.8 관련 규격·프로토콜

표준 번호 외에 판·조항은 이 장이 단정하지 않는다. 규격 체계 전반은 27.1이다.

4.7.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

공차를 직접 규정하는 로봇 규제는 이 장이 확인하지 못했다 (확인 필요). 간접 연결은 다음과 같다. 협동 운전에서 끼임·협착을 피하기 위한 틈새의 하한과 접촉 힘 한계(26.9)는 공차 누적의 최악 해석이 요구하는 치수이고, 위험성 평가(26.4)의 대책이 형상 설계이면 그 치수의 공차가 증빙의 일부가 된다. 도면의 기하 공차와 검사는 품질 경영과 출하 시험(41.26)의 근거 문서이다. 부품 표기의 국내 대응 규격(KS)은 이 장이 확인하지 못했다 (확인 필요).

4.7.10 한계·유의점·미해결

• 규격 본문 미독. ASME Y14.5와 ISO GPS의 개별 조항·기호는 읽지 못했다. 이 장의 GD&T 서술은 공개 요약·교과서 수준의 일반 서술이며 도면을 작성할 때는 해당 판의 본문을 확인해야 한다.
• 가정의 지위. 부품 분포(정규·균등·평균 이동), 비용 모형 $c_i/t_i$, 요구 창은 이 장이 정한 가정이다. 실제 공정 능력은 측정 데이터에서 얻어야 한다.
• 독립 가정. 같은 설비에서 나온 치수의 상관, 열과 하중에 의한 변형은 반영하지 않았다(4.6).
• 측정 불확도. 공차 판정의 측정 불확도(좌표측정기·게이지)는 계산하지 않았다. 레이저 트래커·CMM 측정은 2.17에서 다룬다.
• 미해결. 비선형·3차원 공차 해석(편미분 감도, 접촉 조건), 형상 공차와 크기 공차의 통합 통계 모형, 관절 모듈 양산 데이터로 분포 시나리오를 검증하는 것은 이 장이 다루지 않았다.

4.7.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 호칭 치수 $40$ mm에서 IT7 폭과 H7/k6의 틈새 범위를 계산하고(구간 $30\sim50$ mm), 정규 가정의 간섭 확률을 구하라.
2. MMC 위치도 합격이 가상 조건 지름 핀의 삽입 가능과 필요충분임을 부등식으로 증명하라.
3. 표 ③에서 베어링 폭 공차가 $0$이 되면 최악 반폭과 RSS 반폭이 어떻게 변하는지 구하라.
4. 최악·RSS 제약에서 비용 최소 공차 배분을 라그랑주 승수로 유도하라.
5. $M10$ 볼트(관통 구멍 $11$ mm 가정)의 부동·고정 체결구 위치도 공차를 구하고 유도에서 가정한 것을 세 가지 적어라.
6. 같은 사슬에서 평균 이동 $\eta_0$를 $0\to1$로 바꿀 때 통합식의 반폭이 RSS에서 최악까지 선형으로 변함을 보여라.

연구 질문:

• 관절 모듈 양산 데이터에서 치수의 평균 이동과 상관을 측정하면 RSS·몬테카를로의 불량률 예측 오차가 얼마나 줄어드는가(이 장은 계산하지 않았다)?
• 형상 공차(직각도·동축도)와 크기 공차를 함께 포함하는 비선형 사슬에서 1차 근사와 몬테카를로의 차이가 팔 길이에 따라 어떻게 커지는가?
• 구매 부품(베어링·감속기)의 공차 분포를 제조사가 공개하지 않을 때 설계자는 어떤 보수적 가정으로 사슬을 평가해야 하는가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• F. Scholz, Tolerance Stack Analysis Methods, A Critical Review, Boeing Information & Support Services, 1995-11(워싱턴대 공개 PDF) — 3~5절과 표 1을 읽었다.
• Wikipedia, "IT Grade"(ISO 286-1:2010 표 1 재현)·"Engineering fit"(Rapp, Engineers Black Book 2004 인용) — 2차 출처, 공개 표 대조용.
• ASME, Y14.5 제품 페이지(Y14.5-2018 (R2024), 2009판 대체, 형상·자세·프로파일 절 분리) — 소개문만 읽었다.
• Keyence, "International Industrial Standards and GD&T" 교육 페이지 — 제조사 자료. 독립 원칙과 포락 원칙의 비교를 읽었다.
• K. W. Chase, A. R. Parkinson, "A survey of research in the application of tolerance analysis to the design of mechanical assemblies," Research in Engineering Design 3, 23–37, 1991, doi:10.1007/bf01580066 — 서지만 확인.
• W. H. Greenwood, K. W. Chase, "A new tolerance analysis method for designers and manufacturers," J. Eng. Ind. 109, 112–116, 1987, doi:10.1115/1.3187099 — 서지만 확인. 같은 저자들의 J. Eng. Ind. 110, 232–235, 1988(doi:10.1115/1.3187874)과 112, 382–384, 1990(doi:10.1115/1.2899604) — 서지만 확인.
• A. A. G. Requicha, "Toward a theory of geometric tolerancing," Int. J. Robotics Research 2(4), 45–60, 1983, doi:10.1177/027836498300200403 — 서지만 확인.
• A. Bender, "Statistical tolerancing as it relates to quality control and the designer," SAE Technical Paper 680490, 1968, doi:10.4271/680490 — 서지와 초록만 확인.
• D. H. Evans, "Statistical tolerancing: The state of the art," J. Quality Technology 6(4), 188–195, 1974(doi:10.1080/00224065.1974.11980646)와 7(1), 1–12·7(2), 72–76, 1975 — 서지만 확인.
• G. Henzold, Geometrical Dimensioning and Tolerancing for Design, Manufacturing and Inspection, Elsevier, 2021 — 장 서지만 확인.
• ASME Y14.5-2018, ISO 286-1:2010, ISO 1101, ISO 8015, ISO 14405-1, ISO 5459, ISO 2768-1:1989, ISO 14638, ISO 273:1979 — 번호만 확인, 본문 미확인.
• SciPy 1.18.1(stats.norm·rayleigh·truncnorm·optimize.minimize SLSQP·integrate.quad·spatial.transform.Rotation), numpy 2.5.4(random.default_rng).

다음 장. 4.8은 구조의 진동과 동특성(모드 해석·공진 회피)을 다룬다. 이 장이 정한 치수와 형상은 질량·강성을 정하고, 그것이 고유 진동수와 공진 여유를 정한다.