제5부 구동·액추에이터·동력전달

5.17 고출력 밀도 관절 액추에이터: 프레임리스 토크 모터·축방향 자속 모터·롤러 스크류 리니어 액추에이터

5.17.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 관절 액추에이터의 출력 밀도를 높이는 세 가지 구성, 곧 프레임리스 토크 모터(고정자·회전자를 따로 공급해 관절 구조에 직접 조립하는 모터)와 저감속 기어의 조합, 축방향 자속 모터, 스크류 기반 리니어 액추에이터와 링크 변환을 다룬다. 제조사 데이터시트 49종의 규모 지수와 정지 토크의 열 환산, 극 수와 뒷철 두께와 전기 주파수의 관계, 냉각 방식에 따른 연속 토크, 축방향 자속 모터의 토크 식과 반경 방향 모터와의 토크 비, 사절 링크의 지렛대와 유효 감속비를 계산하고 읽은 보고값을 재계산한다. 규모 법칙·토크 밀도의 정의는 5.1, 모터 원리와 설계는 5.3·5.5, 직접 구동은 5.4, 사이징과 열 한계는 5.2, 감속 구동의 투명성은 5.16, 나사 기구는 5.13, 열 관리는 5.25·8.7, 관절 모듈 설계는 7.2, 제품은 46.4·46.7과 이어진다.

배우는 것:

• 프레임리스 모터의 정격 읽기 — 연속 정지 토크가 열 소산 한도이고 정의가 제조사마다 다름을 데이터시트로 확인.
• 규모 지수의 표본 의존 — $\tau_c/M$, $\tau_c/J$, $K_m^2$의 로그-로그 지수가 표본에 따라 달라지는 폭.
• 극 수와 전기 주파수 — 갭 반지름을 키우면 극 수를 늘려야 뒷철이 얇아지고 전기 주파수가 올라간다.
• 냉각 — 연속 토크가 $1/\sqrt{R_{wa}}$로 늘다가 자기 포화에서 멈추는 것.
• 축방향 자속 모터의 토크 식 — $T=\tfrac\pi2\hat B\hat AR_o^3\lambda(1-\lambda^2)$와 반경 방향 모터 대비 토크 비 $(D/L)\lambda(1-\lambda^2)/4$.
• 선형 구동기의 관절 환산 — $\ell=ab\sin\phi/x$, $N_{eff}=2\pi\ell/L$, 필요 추력 $\tau/\ell$.

선수 지식: 5.1(토크 밀도·모터 상수), 5.3(PMSM의 토크 식), 5.5(극·슬롯·토크 상수), 5.13(나사의 가상일 관계와 효율).

특히 중요한 독자: 휴머노이드·사족 관절의 모터·액추에이터를 정하는 기계·전기 설계자, 데이터시트의 연속·피크 토크 정의를 비교해야 하는 조달·사업 담당자, 선형 구동기의 관절 환산 특성을 모델링하는 제어 엔지니어.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: (a) Zhu의 UCLA 박사 학위논문(2023, eScholarship)의 1~3장(맞춤 모터 표 2.1, 냉각 표 2.3, 액추에이터 변형 표 2.4, 열 모델, 무릎 사절 링크의 설계 링크 힘 15 kN). (b) Liao 외(2024, arXiv:2407.21781v1)의 표 2. (c) Nishanth·Van Verdeghem·Severson의 축방향 자속 모터 리뷰(2021 IEEE ECCE 3745–3752, OSTI 사본)의 sizing 식 (3)~(6). (d) Mingo Hoffman 외(2024, Robotics and Autonomous Systems 182, 104827; arXiv:2312.04161v2)의 Kangaroo 하체(볼스크류 리니어 구동기, 식 (47)). (e) 미국 특허 US 11,131,368 B2(Boston Dynamics, Google Patents 사본)의 설명. (f) Allied Motion의 HT 시리즈 프레임리스 모터 데이터시트(R5, 2015-12-18, 9개 프레임 49종). (g) Kollmorgen의 KBM 프레임리스 직접 구동 카탈로그 발췌 9쪽(인쇄 쪽 번호 91~98·120, 제3자 사본, 제조사 원본은 접속이 거부되어 받지 못했다). (h) Wensing 외(2017)·Gealy 외(2019)·Kau 외(2019)는 5.1·5.16이 읽었다. 서지만 확인한 것: Huang 외(1998, IEEE Trans. Industry Applications 34(1), 92–97), Zhu·Hooks·Hong(2019, AIM 36–43), Forget 외(2018, ICINCO 29–38·39–48). 읽지 못한 것: 롤러 스크류 관절 구동기의 제조사 사양, Tesla·NASA 사례(검색 요약의 2차 서술만 보았고 단정하지 않는다), 축방향 자속 모터의 로봇 제품 사양, 시장 수치. 이 장의 계산 가정은 각 표 앞에 적었고 제품의 값이 아니다.

5.17.2 개념 — 출력 밀도는 모터 형상·열 경로·변환 기구의 세 층에서 정해진다

결론부터 적으면 다음과 같다. 관절 액추에이터의 토크 밀도는 한 부품이 아니라 세 층의 합성이다. 첫째 모터 형상은 토크가 $r_g^2l$이고 질량이 $r_gl$이므로 갭 반지름을 키울수록 밀도가 오르며, 이때 뒷철 두께를 일정하게 두려면 극 수를 갭 반지름에 비례해 늘려야 한다(Zhu 2023). 둘째 열 경로는 연속 토크를 정한다. 같은 모터에서 연속 토크는 $K_m\sqrt{\Delta T/R_{th}}$이고, 냉각을 바꾸면 열저항이 수 배 변해 연속 토크가 같은 배수의 제곱근만큼 변한다. 셋째 변환 기구가 모터의 토크·속도를 관절의 요구로 바꾼다. 회전 관절은 감속비가 고정이지만 스크류 기반 선형 구동기와 링크의 조합은 감속비가 관절각에 따라 변한다. 출력 밀도를 말할 때는 모터 단독인지 감속기·하우징·전자 장치를 포함한 모듈인지를 밝혀야 한다(5.1.2). 이 장의 재계산에서 같은 Zhu의 장치가 모터 단독 $50.6$ N·m/kg(정지 토크), 모듈 피크 $83.3$ N·m/kg(출력 토크), 모듈 지속 $26.7$ N·m/kg으로 나뉜다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 제조사 데이터시트 49종에서 $\tau_c/M$·$\tau_c/J$·$K_m^2$의 지수는 표본에 따라 $0.64\sim1.05$·$-1.54\sim-0.57$·$4.03\sim4.51$로 달라지며 저자 보고의 $0.8$과 $4.1$은 이 범위 안에, $-1.6$은 49종 전체의 $-1.54$에 가깝지만 범위 밖에 있다. ② 연속 정지 토크를 $R_{th}\tau_c^2/K_m^2$로 환산한 온도 상승은 49종에서 $51.6\sim72.7$ K(평균 $65.5$ K)이다. ③ Zhu의 냉각 표에서 연속 토크 비는 $\sqrt{R_{wa}}$ 비의 예상 값의 $0.998\cdot0.977\cdot0.926$(공랭·액랭 포함)이고 침지 냉각에서 $0.733$으로 포화한다. ④ Zhu의 $p=40$ 모터는 뒷철이 $2.0$ mm로 얇고 출력 속도 $23$ rad/s에서 전기 주파수가 $864$ Hz이다. ⑤ 축방향 자속 모터는 $\lambda=1/\sqrt{3}$에서 토크가 최대이고 같은 전기 부하에서 $D/L>10.4$일 때 같은 바깥 반지름의 반경 방향 모터보다 크며 Zhu 모터($D/L\approx10$)는 $0.89\sim0.96$이다. ⑥ 사절 링크 예에서 지렛대가 $23.6\sim60.0$ mm로 변해 유효 감속비가 $29.7\sim75.4$, 반사 관성이 $0.185\sim1.19$ kg·m²로 변한다. ⑦ numpy·SciPy·MuJoCo 독립 대조가 $10^{-11}$ 이하에서 일치한다.

5.17.3 원리

5.17.3.1 프레임리스 토크 모터의 정격 읽기

프레임리스 모터는 하우징·베어링·축 없이 고정자와 회전자를 따로 공급해 관절 구조에 조립하는 모터이다. Kollmorgen은 KBM을 "하우징이 없는 직접 구동"이며 기계 축에 직접 연결하는 키트 모터로 소개하고, Allied Motion은 HT 시리즈를 고토크 밀도·정현 역기전력의 프레임리스 토크 모터로 소개한다. 정격의 정의는 문서마다 다르다.

두 제조사의 연속 토크는 장착과 온도 기준이 달라 직접 비교할 수 없다. 로봇 관절에서는 장착 구조가 열 경로이므로 데이터시트의 연속 값은 상한의 출발점이고 실제 값은 하우징·냉각으로 정해진다(5.25·8.7).

5.17.3.2 규모 법칙의 실측 — 데이터시트 49종

5.1.3.3은 갭 반지름에 대한 지수 $1\cdot-1\cdot3$의 이론과 Wensing 외(2017)가 카탈로그 연속 토크에 적합한 $0.8\cdot-1.6\cdot4.1$을 서술했으나 카탈로그를 읽지 않았다. 이 장은 Allied Motion HT 시리즈 데이터시트에서 모델 49종의 질량·회전자 관성·모터 상수를 읽어 고정자 지름 $D$에 대한 지수를 구했다. 이 시리즈를 Wensing 외가 사용했는지는 확인하지 않았다 (확인 필요).

결과는 5.17.5 ①에 있다.

5.17.3.3 극 수·전기 주파수·뒷철 두께

Zhu(2023)는 모터 토크가 $r_g^2$, 질량이 $r_g$에 비례하려면 반경 방향 두께가 일정해야 하고 그러려면 극 수가 모터 크기에 비례해야 한다고 지적하며 갭 지름 $180$ mm·극쌍수 $40$·적층 $18$ mm의 외전형 맞춤 모터를 만들었다. 극 피치 $\pi r_g/p$에서 한 극의 자속의 절반이 뒷철을 지나므로 뒷철 두께는 $t_y=B_g\pi r_g/(2pB_y)$이다($B_g$: 공극 자속 밀도, $B_y$: 뒷철 포화 자속 밀도, 가정). 극 수의 대가는 전기 주파수 $f_e=pN\omega_{out}/2\pi$이다. 높은 극 수에서 위치 분해능이 더 중요하다는 서술과 함께 Zhu(2023)는 14비트 자기식 절대 엔코더와 $22$ kHz FOC를 사용했다.

표와 재계산은 5.17.5 ②에 있다.

5.17.3.4 냉각과 연속 토크

정상 상태에서 권선의 허용 온도 상승 $\Delta T$를 열저항 $R$로 소산하는 전력은 $P=\Delta T/R$이고 연속 토크는 $\tau_c=K_m\sqrt P$이므로 같은 $K_m$·$\Delta T$에서 $\tau_c\propto R^{-1/2}$이다. Zhu(2023)는 같은 액추에이터에서 냉각 방식만 바꾸어 열저항 $R_{wa}$(표 머리글의 RWA, 권선에서 주위로의 열저항으로 읽힌다 (추정))와 연속 토크를 측정했다.

표와 재계산은 5.17.5 ③에 있다.

5.17.3.5 축방향 자속 모터의 토크 식과 반경 방향 모터와의 비

Nishanth 외(2021)는 반경 방향 자속 영구자석 모터의 토크를 $T=\pi R^2L\hat B\hat A$로 나타낸다($R$: 갭 반지름, $L$: 축 방향 길이, $\hat B$: 자기 부하, $\hat A$: 전기 부하인 선전류 밀도의 피크). 축방향 자속 모터는 갭이 안쪽 반지름 $R_i$에서 바깥 반지름 $R_o$에 걸쳐 단일 갭 반지름이 없고, 전기 부하를 안쪽 반지름에서 정의해 $\hat A(r)\propto1/r$로 두면 단일 갭의 토크가 다음이다.

$$T=\frac\pi2\hat B\hat AR_o^3\,\lambda(1-\lambda^2),\qquad \lambda=\frac{R_i}{R_o},\qquad \frac{T_{ax}}{T_{rad}}=\frac{D_o}{L}\,\frac{\lambda(1-\lambda^2)}{4}.$$

토크가 바깥 반지름의 세제곱에 비례한다. $\lambda(1-\lambda^2)$는 $\lambda=1/\sqrt3$에서 최대인데 이는 이 식의 성질이며, 논문은 출력 밀도가 높은 설계에서 $\lambda\in[0.65,0.75]$가 보고되었다고 적는다(감김 공간·뒷철·냉각 제약은 이 식에 없다). 같은 $\hat B\hat A$를 가정하면 반경 방향 회전자의 가로세로비 $D_o/L$이 $4/(\lambda(1-\lambda^2))$보다 클 때 축방향이 더 크다.

표와 그림은 5.17.5 ④에 있다.

5.17.3.6 선형 구동기의 관절 환산

스크류가 구동하는 선형 구동기를 관절에 연결하면 가상일에서 $\tau_j=F\ell(\phi)$이고 $F=2\pi\eta\tau_m/L$이다($L$: 리드, 5.13.3.1의 $P_h$). 구동기가 한 점 $P$(대퇴, 관절 축에서 거리 $a$)와 다른 점 $Q$(정강이, 거리 $b$, 접합각 $\phi$)를 잇는 사절 링크이면 길이 $x=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\phi}$이고 지렛대가 $\ell=dx/d\phi=ab\sin\phi/x$이다. 모터 각과 관절 각의 비, 곧 유효 감속비는 $N_{eff}=2\pi\ell/L$이며 모터 토크는 $\tau_m=\tau_j/(N_{eff}\eta)$, 반사 관성은 $N_{eff}^2J_m$이다. 지렛대가 $\phi$에 따라 변하므로 감속비와 반사 관성도 변한다. $a>b$이면 지렛대의 최댓값이 $b$($\cos\phi=b/a$에서)이고 $\phi\to0,\pi$에서 $0$이 되어 필요 추력이 발산한다. Zhu(2023)의 무릎 사절 링크는 설계 링크 힘 $15$ kN으로 부재를 정했고 특이 자세 근처에서 링크 힘과 백래시가 급증해 약 $140^\circ$ 범위에서 최대 토크를 유지한다고 서술한다. 이 설계 힘과 표 2.4 둘째 열의 피크 $250$ N·m가 같은 관절의 값이라고 가정하면 허용 최소 지렛대는 $16.7$ mm이다 (추정).

Mingo Hoffman 외(2024)의 Kangaroo는 리니어 구동기 6개를 가진 다리에서 모든 구동기를 골반 근처에 두는 직렬-병렬 혼합 사슬이다. 구동기는 볼스크류 기반이고 식 (47)에서 모터 토크로 축력을 $\tau_m2\pi\eta/L$로 환산하며 $\eta=0.95$, 리드를 다리 길이 구동기 $0.1$ m, 엉덩이·발목 구동기 $0.05$ m로 적는다. 다리 길이 구동기의 최대 추력은 $5000$ N이고 행정은 무릎 $0.15$ m, 발목 $0.04$ m로 제한된다. Boston Dynamics의 특허 US 11,131,368 B2는 무릎 관절 회전 관성이 감속비의 제곱에 비례해 높은 감속비가 반응성을 낮춘다고 서술하고, 가볍고 가는 나사 구동기를 대퇴 안에 두고 모터를 엉덩이 쪽에 두어 무릎의 원위 질량을 줄이는 구성을 제안하며 나사가 유성 롤러 스크류형일 수 있다고 적는다. 이 특허는 설계 서술이며 성능 수치가 아니다.

5.17.3.7 대표 제품과 현황

기준 시점 2026-11-05에 이 장이 읽은 것은 제조사 데이터시트·카탈로그 발췌와 논문이며 제품 비교와 가격은 46.4(프레임리스·축방향 자속 모터 제품)·46.7(리니어 액추에이터·스크류 제품)·46.13에서 다룬다. 밀도 정의가 서로 다르므로 열 끝의 기준을 함께 읽어야 한다.

프레임리스 모터 단독의 연속 밀도는 $1.2\sim2.7$ N·m/kg, 피크 밀도는 $3.7\sim9.0$ N·m/kg이고, 감속기를 포함한 액추에이터 두 종은 같은 열에서 $26.7\sim33.8$·$80.2\sim83.3$ N·m/kg이다(포함 범위는 두 문헌이 상세히 밝히지 않는다). 액추에이터의 값이 큰 것은 감속비($5.9$·$9$)가 토크를 키우기 때문이며 질량 기준이 다르다. Wensing 외(2017)가 시판 프레임리스 HT-5001의 값으로 보고한 $9$ N·m/kg(저자 보고)은 위 HT05001의 피크 밀도 $7.97$, 감자 토크 밀도 $16.6$(감자 토크 $21.3$ N·m÷$1.28$ kg)와 같지 않으며 정의가 달라 확인하지 못했다 (확인 필요).

5.17.4 알고리즘 — 모터·변환 기구 선정 절차

고출력 밀도 관절의 모터와 변환 기구는 다음 순서로 정한다.

입력: 관절 피크 토크·속도, RMS 토크, 허용 질량, 구조·열 경로, 위치 범위
 1. 모터 크기: 갭 반지름을 공간이 허용하는 가장 크게 잡는다 (5.1).
 2. 극 수: 뒷철 두께 t_y = Bg π r_g / (2 p By)로 p를 정하고 전기 주파수 p N ω/2π를 구한다.
 3. 감속비: 요구 피크 토크 / (모터 피크 토크 η)로 N을 구하고 5.16의 투명성 기준을 확인한다.
 4. 열: τ_c = Km sqrt(ΔT / R) 에서 RMS 토크를 넘는 R(냉각 방식)을 고른다 (5.2).
 5. 형상 대안: 축방향 자속의 토크 비 (D/L) λ(1−λ²)/4가 1을 넘는지 확인한다.
 6. 선형 구동기라면 ℓ(φ)를 구해 φ 전 범위의 필요 추력, N_eff, 반사 관성을 확인한다.
 7. 최소 지렛대에서 링크·스크류의 허용 하중과 좌굴을 확인한다 (5.13).

아래 코드가 이 장의 계산 코어이다(표시 폭 62칸 이하, 표준 라이브러리만 사용).

from math import pi, sqrt, sin, cos, log

def slope(xs, ys):
    """로그-로그 최소제곱 기울기(지수)"""
    a = [log(x) for x in xs]
    b = [log(y) for y in ys]
    ma, mb = sum(a) / len(a), sum(b) / len(b)
    return (sum((u - ma) * (v - mb) for u, v in zip(a, b))
            / sum((u - ma)**2 for u in a))

def dT_eff(rth, tc, km):
    """정지 토크 tc를 열저항 rth로 소산하는 온도 상승 [K]"""
    return rth * tc * tc / (km * km)

def tc_thermal(km, dT, rth):
    """연속 정지 토크 = Km sqrt(dT / Rth)"""
    return km * sqrt(dT / rth)

def yoke_t(rg, p, Bg, By):
    """극쌍수 p에서 뒷철의 필요 두께 [m]"""
    return Bg * pi * rg / (2 * p * By)

def f_elec(p, N, w_out):
    """출력 각속도 w_out과 감속비 N의 전기 주파수 [Hz]"""
    return p * N * w_out / (2 * pi)

def t_radial(R, L, B, A):
    """반경 방향 자속: T = pi R^2 L B A"""
    return pi * R * R * L * B * A

def t_axial(R, lam, B, A):
    """축방향 자속 한 갭: T = pi/2 B A R^3 lam (1 - lam^2)"""
    return pi / 2 * B * A * R**3 * lam * (1 - lam * lam)

def ax_over_rad(lam, DL):
    """같은 B, A, R의 토크 비 (D/L) lam (1-lam^2)/4"""
    return DL * lam * (1 - lam * lam) / 4

def lever(a, b, phi):
    """구동기 길이 x와 지렛대 l = a b sin(phi) / x"""
    x = sqrt(a * a + b * b - 2 * a * b * cos(phi))
    return x, a * b * sin(phi) / x

def n_eff(ell, lead):
    """모터 rad 대 관절 rad 유효 감속비 2 pi l / lead"""
    return 2 * pi * ell / lead

def motor_torque(tau_j, ell, lead, eta):
    """관절 토크 tau_j에 필요한 모터 토크"""
    return tau_j / (n_eff(ell, lead) * eta)

5.17.5 풀이 예제 — 데이터시트 지수, 냉각, 축방향 토크 비, 사절 링크

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 데이터시트 49종의 지수가 표본에 따라 크게 움직이고 저자 보고 값 $0.8\cdot4.1$은 그 범위 안에, $-1.6$은 범위 밖 가까이에 있다. ② 정지 토크의 열 환산이 모델 전체에서 거의 일정하다. ③ 냉각 4종의 연속 토크가 $\sqrt{R_{wa}}$ 비례를 따르고 침지에서 포화한다. ④ 축방향 자속 모터의 토크 비 교차 가로세로비가 $10.4\sim13.9$이다. ⑤ 사절 링크의 지렛대 변화가 감속비와 반사 관성을 $2.5\sim6.5$배 바꾼다. ⑥ 독립 라이브러리 대조가 일치한다.

데이터시트 오기(pdftotext로 추출한 값의 단위 쌍 점검, 294쌍):
  HT02503~05의 코깅: Nm 칸 0.25·0.28·0.30이 oz-in 칸 3.5·3.9·4.2 oz-in(0.0247·0.0275·0.0297 N·m)의 10배 → oz-in 값을 사용
  HT05003의 연속 정지 토크: oz-in 칸 8.95(895의 오기로 보임) → Nm 칸 6.32 사용
  HT02304·HT03001의 회전자 관성: oz-in-s² 칸 0.098·0.086(오기로 보임) → kg·m² 칸 사용
  HT00800~02: 질량 0.01·0.03·0.04 kg(유효숫자 1~2자리) → 소형 프레임의 밀도는 정밀도가 낮음

① 규모 지수와 열 환산.

지수는 표본에 따라 $\tau_c/M$이 $0.64\sim1.05$, $\tau_c/J$가 $-1.54\sim-0.57$, $K_m^2$이 $4.03\sim4.51$이다. 49종 전체($0.76\cdot-1.54\cdot4.51$)가 저자 보고(5.1 표: $0.8\cdot-1.6\cdot4.1$)에 가깝고, 지름 $2$ in 이상 $36$종에서는 $\tau_c/J$의 지수가 $-0.57$로 크게 달라진다. 같은 적층 번호 안에서도 지수가 움직이므로 단일 지수는 표본 선택을 밝혀야 한다. 지수가 이론값 $1\cdot-1\cdot3$과 다른 것은 두께가 지름과 함께 변하기 때문이라는 저자의 설명은 이 데이터에서도 방향이 같다.

연속 정지 토크를 정지 줄 열 $\tau_c^2/K_m^2$과 열저항의 곱으로 환산한 온도 상승은 $51.6\sim72.7$ K, 평균 $65.5$ K, 표준편차 $4.5$ K으로 거의 일정하다. 따라서 데이터시트의 연속 정지 토크는 한 온도 상승(약 $65$ K)에 해당하는 열 소산의 결과이며 $\tau_c=K_m\sqrt{\Delta T/R_{th}}$로 읽을 수 있다. 같은 프레임에서 코깅 ÷ 연속 토크는 가장 큰 프레임(HT0500x)에서 $2.8\,\%$이고 소형 프레임에서 $4\sim37\,\%$이다. 5.16의 가정 모터에서 쿨롱 역구동 토크의 능력 대비 비($2.7\sim2.9\,\%$)와 같은 자릿수이다.

소형 프레임의 질량 정밀도가 낮아 전체 표본에서 $\tau_c/M$의 지수가 작게 나온다고 볼 수 있으며(42종에서 $0.92$), $\tau_c/J$의 지수가 $-1.54\to-1.25\to-0.57$로 표본 범위를 좁힐수록 $0$에 가까워지는 원인은 확인하지 못했다 (확인 필요).

② 극 수·전기 주파수·표 재계산.

$B_g=0.9$ T, $B_y=1.6$ T(가정)에서 $p=40$의 뒷철이 $1.99$ mm이고 $p=16$이면 $4.97$ mm이다. 표 2.4의 둘째 열(머리글은 "엉덩이와 발목 피치"이나 본문은 엉덩이·무릎 피치 모터를 서술한다)의 피크 $250$ N·m는 정지 토크 $45$ N·m에 감속비 $5.9$를 곱한 $265.5$ N·m의 $0.942$배로 암시 효율이 $94\,\%$이다. 이 환산은 표 2.1과 표 2.4의 둘째 열이 같은 모터를 가리킨다는 가정이며 논문은 이를 명시하지 않았다 (추정). 정지 토크 $45$ N·m의 정지 줄 열 $1736$ W와 전류 $160.7$ A는 짧은 순간의 값이고 지속 토크 $80$ N·m에서 모터 쪽 줄 열은 $178$ W이다. 전기 주파수 $864$ Hz에서 $22$ kHz 제어의 주기당 표본이 $25.5$개이므로 전류 루프의 위상 지연(5.7·5.8)이 중요하다.

③ 냉각.

측정 토크 비는 예상 비의 $0.998$(컴파운드)·$0.977$(공랭)·$0.926$(액랭)로 $\sqrt{R_{wa}}$ 비례에 가깝고 침지 냉각에서 $0.733$으로 벗어난다. 논문은 침지 냉각 시험의 높은 전류가 고정자 철심을 포화시켜 토크가 더 늘지 않는다고 서술하며, 시스템 복잡도와 함께 액랭을 선택했다. 냉각의 병목이 고정자 권선에서 하우징으로의 열 전달이라는 논문의 결론에 따라 고정자 치 사이를 에폭시 수지로 메워 권선에서 작동 유체로 직접 열을 전달하는 습식 고정자를 제안했다. 이 표의 장치는 표 2.1의 모터(질량 $890$ g)와 질량이 다르므로($646\sim823$ g) 표 2.1의 $K_m$을 표 2.3의 열저항과 곱해 절대 토크를 환산하지 않았다. 표의 질량은 액랭과 침지 냉각에서 냉각 시스템 질량($83$ g·$167$ g)을 포함하며(표 각주) 이 질량 기준의 밀도는 $9.8$에서 $38.0$ N·m/kg으로 늘어난다. Gealy 외(2019)의 열 소산 상수($0.93$ W/°C 팬 사용, $0.3$ W/°C 팬 없음)는 열저항으로 $1.08$·$3.33$ K/W이다.

액랭의 측정 토크 비 $3.254$는 예상 $3.514$의 $0.926$이다. 침지 냉각의 포화는 논문이 서술하나 액랭의 $7\,\%$ 차이는 구리 저항의 온도 상승이나 $K_m$ 변화를 포함하지 않은 단순 모형이 원인일 수 있다 (추정).

④ 축방향 자속.

$\lambda=1/\sqrt3$에서 토크 비가 $1$이 되는 가로세로비는 $10.4$이고 $\lambda=0.7$에서 $11.2$이다. Zhu의 맞춤 모터는 갭 지름 $180$ mm·적층 $18$ mm로 $D/L=10$이어서 같은 전기 부하라면 축방향 자속 모터가 $0.89$($\lambda=0.7$)~$0.96$($\lambda=1/\sqrt3$)배로 비슷하거나 낮다. 논문은 같은 전기 부하라는 가정이 현실과 달라 축방향 구조가 냉각에 유리해 더 높은 전기 부하를 얻을 수 있다고 서술하고, 같은 자석 부피에서 YASA와 단면 축방향이 같은 토크이며 회전자 부피당 토크는 $t_m+t_y<\lambda R_o/2$이면 축방향이 크다고 적는다. 로봇 관절에서의 채택 현황과 실측 출력 밀도는 이 장이 확인하지 못했다 (확인 필요).

⑤ 사절 링크.

지렛대 $\ell$이 $\phi=72.5^\circ$에서 최대 $60.0$ mm이고 $\phi=150^\circ$에서 $23.6$ mm이다. 필요 추력은 $250$ N·m에서 $4.17$ kN($72.5^\circ$)에서 $10.57$ kN($150^\circ$)로 늘고, 유효 감속비는 $75.4$에서 $29.7$로, 모터 토크는 $3.68$에서 $9.35$ N·m로 바뀐다. 이 모터 토크는 HT05001의 피크 토크 $10.2$ N·m 안에 있으나 연속 토크 $3.5$ N·m를 넘는다. 반사 관성은 $0.185$에서 $1.19$ kg·m²로 $6.5$배 변해, 한 관절의 반사 관성이 각도에 따라 변하는 점이 5.16의 고정 감속비 QDD와 다르다. 그림은 $a=120\cdot200\cdot300$ mm의 세 링크에서 $250$ N·m에 필요한 추력이며 $a$가 작을수록 특이 자세 근처에서 추력이 급증하고 $15$ kN 선(Zhu의 설계 링크 힘)을 넘는 각도 범위가 달라진다.

리드가 $2$에서 $20$ mm로 늘면 $\phi=30^\circ$의 유효 감속비가 $124.8$에서 $12.5$로, 반사 관성이 $3.27$에서 $0.033$ kg·m²로 내려가고 모터 토크가 $2.23$에서 $22.26$ N·m로 올라간다. 부하 비례 마찰 모형에서 효율 $0.9$의 역효율은 $0.889$이다(5.13.3.1). 이 모형은 나사의 서술이며 롤러 스크류의 실제 역구동 특성은 확인하지 않았다.

Kangaroo 식 (47)의 리드 $0.1$ m를 그대로 두면 $5000$ N의 추력에 모터 토크 $83.8$ N·m가 필요하고 총 행정 $0.15$ m가 $1.5$회전이다. 리드를 $0.01$ m로 읽으면 $8.38$ N·m이다. 같은 장치의 모터 사양과 리드의 단위를 확인하지 못했고 $0.1$ m가 $0.01$ m의 오기일 가능성을 배제하지 못한다 (확인 필요).

⑥ 라이브러리 독립 대조(실행 2026-11-05). numpy 2.5.4(polyfit·외적), SciPy 1.18.1(integrate.quad·optimize.minimize_scalar·brentq, stats.linregress), MuJoCo 3.17.0(공간 힘줄 ten_J)로 같은 입력에서 비교했다. 스크립트는 robotics/fig-src/5.17-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/5.17-libcheck-output.txt에 있다.

모든 항목이 계산 정밀도 안에서 일치한다. 냉각 4종의 지수가 $-0.471$로 이론 $-0.5$에 가깝고 침지를 포함한 5종에서 $-0.427$이다. 이 대조는 이 장의 식과 같은 모델의 다른 구현과의 비교(적분 대 닫힌 식, 외적 대 식, MuJoCo 힘줄 대 식)이며 모형을 실물과 비교한 것이 아니다. 데이터시트의 값은 제조사 값이며 실측하지 않았다.

한계. 데이터시트는 제조사 정격이고 장착 조건이 연속 토크의 기준이다. 규모 지수는 고정자 지름 $D$에 대한 것이며 갭 반지름과 같지 않다. 축방향 자속 식은 안쪽 반지름의 전기 부하를 같게 둔 이상화이고 뒷철·감김 공간·냉각을 포함하지 않는다. 사절 링크의 기하(a, b)와 리드·효율·모터는 가정이다. 롤러 스크류의 실제 효율·역구동·강성은 5.13의 카탈로그 값을 따라야 하며 이 장이 계산하지 않았다. Kangaroo는 볼스크류이다.

견해: 갭 반지름이 크고 반경 방향 자속인 프레임리스 모터에 한 단 감속을 결합한 회전 관절을 기본으로 두고(5.16), 선형 구동기는 모터를 근위부로 옮겨 원위 질량을 줄여야 하는 하지의 무릎·발목에 한정해 검토하는 것이 합리적이라고 본다. 근거는 이 장에서 반경 방향 모터의 $D/L\approx10$이 축방향 자속의 교차 가로세로비 $10.4\sim13.9$보다 작아 같은 전기 부하에서는 반경 방향이 유리하고, 선형 구동기는 지렛대의 변화로 감속비가 $2.5$배·반사 관성이 $6.5$배 변하며 최소 지렛대에서 추력이 $2.5$배로 커진다는 점이다. 이 판단은 가정 기하와 문헌의 한 모델에 의존하며 축방향 자속 모터가 더 높은 전기 부하를 얻을 수 있다는 논문의 서술을 반영하지 않았다.

5.17.6 설계 트레이드오프 — 출력 밀도를 얻는 세 경로

고출력 밀도 관절은 다음 중에서 고른다.

• ① 프레임리스 모터 + 한 단 감속. 큰 갭 반지름과 높은 극 수의 반경 방향 모터를 관절 안에 두고 감속기를 모터 안쪽에 넣는다(Zhu 2023). 중공축으로 배선을 통과시키고 하우징이 열 경로가 된다. 극 수가 늘면 전기 주파수가 오른다.
• ② 축방향 자속 모터. 토크가 $R^3$에 비례하고 가로세로비가 큰 형상에서 반경 방향보다 유리하다. 이 장의 식에서 교차 가로세로비가 $10.4$ 이상이며 같은 전기 부하를 가정한 값이다.
• ③ 스크류 기반 리니어 구동기 + 링크. 모터를 근위부에 두어 원위 질량을 줄인다(특허, Kangaroo). 감속비가 각도에 따라 변하고 특이 자세가 있다.

견해: 질량 예산이 엄격한 휴머노이드의 하지에서는 ①로 관절 토크를 확보하고 ③을 무릎에 한정하며, ②는 가로세로비가 큰 대직경 관절에서 채택 근거를 별도로 확인한 뒤 검토하는 것이 합리적이라고 본다. 근거는 이 장에서 Zhu의 모듈이 피크 $83.3$ N·m/kg을 낸 ①의 보고, 축방향 자속의 교차 가로세로비 $10.4$ 이상, 선형 구동기의 감속비 변동이다. 세 방식을 같은 과업·질량으로 비교한 시험은 이 장이 확인하지 않았다.

5.17.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 응용별 요구 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

5.17.8 관련 규격·프로토콜

프레임리스 모터의 토크 밀도·연속 토크를 직접 규정하는 표준 정의는 확인하지 못했다 (확인 필요). 표준 전반은 27.1과 부록 A.3에서 다룬다.

5.17.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

고출력 밀도 액추에이터를 직접 규정하는 법령·인증 요건은 확인하지 못했다. 간접 연결은 셋이다. 첫째 네오디뮴 자석의 공급·수출 관리는 5.5이 다룬다. 둘째 선형 구동기와 링크는 최소 지렛대에서 큰 추력이 걸리는 위험원(좌굴·파단)이므로 기계 안전 요구와 부품 안전계수가 관련된다(27.10). 셋째 모터 전기 장비는 전기안전·EMC 적용 대상이다(41.5). 이 장은 규정의 조항을 확인하지 않았다 (확인 필요).

5.17.10 한계·유의점·미해결

• 데이터시트의 성격. 제조사 정격이고 연속 토크의 장착 조건이 서로 달라 직접 비교가 되지 않는다. 데이터시트의 단위 오기 5건과 소형 프레임의 낮은 유효숫자를 처리했으나 PDF 추출의 오독 가능성이 남아 있다(스팟 확인 5종).
• 규모 지수의 대리 변수. 지수는 고정자 지름에 대한 것이며 갭 반지름이 아니다. 같은 시리즈를 Wensing 외가 사용했는지 확인하지 못했다.
• Zhu의 표. 표 2.1의 모터와 표 2.3의 액추에이터가 같은 장치가 아니어서 절대 토크의 환산을 하지 않았고, 암시 효율은 표 2.1·2.4가 같은 모터라는 가정이다.
• 축방향 자속. 식은 전기 부하를 같게 둔 이상화이고 로봇 제품의 채택·사양을 읽지 못했다.
• 스크류. 롤러 스크류 관절 구동기의 제조사 사양·효율·강성을 읽지 못했고 Kangaroo는 볼스크류이며 리드 단위가 모호하다.

5.17.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 연속 정지 토크가 $K_m\sqrt{\Delta T/R_{th}}$임을 보이고, 냉각 방식이 바뀔 때 연속 토크의 비를 열저항 비로 구하라.
2. 뒷철 두께 $t_y=B_g\pi r_g/(2pB_y)$를 극 피치에서 유도하고 극 수와 전기 주파수의 관계를 설명하라.
3. 선전류 밀도 $\hat A(r)=\hat A_iR_i/r$에서 축방향 토크 $T=\tfrac\pi2\hat B\hat AR_o^3\lambda(1-\lambda^2)$를 적분으로 유도하고 최대 $\lambda$를 구하라.
4. 사절 링크의 지렛대 $\ell=ab\sin\phi/x$를 $dx/d\phi$와 외적 모멘트 팔로 각각 유도하라.
5. 리드 $L$과 지렛대 $\ell$에서 유효 감속비 $N_{eff}=2\pi\ell/L$과 반사 관성을 구하고 감속비가 변하는 관절의 제어에 미치는 영향을 논하라.

연구 질문:

• 같은 전기 부하라는 가정을 냉각까지 포함해 풀면 어느 가로세로비에서 축방향 자속 모터가 로봇 관절의 출력 밀도에서 반경 방향 모터를 넘는가?
• 데이터시트의 연속 정지 토크에 해당하는 온도 상승이 $65$ K으로 일정한 것은 제조사의 정격 정의인가, 설계의 자연스러운 결과인가?
• 스크류 구동기의 감속비가 각도에 따라 변하는 관절에서 토크 센서 없이 접촉력을 전류로 추정할 때의 오차(5.16)는 어떻게 달라지는가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• T. Zhu, Design of a Highly Dynamic Humanoid Robot, UCLA Ph.D. dissertation, 2023, eScholarship uc/item/0qz3p57g — 1~3장 직접 읽음.
• Q. Liao 외, "Berkeley Humanoid: A Research Platform for Learning-based Control," arXiv:2407.21781v1, 2024 — 표 2 직접 읽음.
• F. Nishanth, J. Van Verdeghem, E. L. Severson, "Recent Advances in Analysis and Design of Axial Flux Permanent Magnet Electric Machines," 2021 IEEE Energy Conversion Congress and Exposition (ECCE), 3745–3752, doi:10.1109/ecce47101.2021.9595085 — OSTI 사본 직접 읽음.
• E. Mingo Hoffman 외, "Modeling and numerical analysis of Kangaroo lower body based on constrained dynamics of hybrid serial-parallel floating-base systems," Robotics and Autonomous Systems 182, 104827, 2024, doi:10.1016/j.robot.2024.104827, arXiv:2312.04161v2 — 직접 읽음.
• S. D. Potter, Z. J. Jackowski, A. Young, "Screw actuator for a legged robot," US 11,131,368 B2, Boston Dynamics, 2021 — Google Patents 사본의 설명 직접 읽음(법적 지위는 확인하지 않았다).
• Allied Motion Technologies, "HT Series High Torque Brushless Torque Motors" 데이터시트, 2015-12-18 발행 — 직접 읽음.
• Kollmorgen, "KBM Frameless Direct Drives" 카탈로그 발췌 9쪽(인쇄 쪽 번호 91~98·120) — 제3자 사본(micromech.co.uk) 직접 읽음, 원본 개정은 확인하지 못했다.
• P. M. Wensing 외(2017), D. V. Gealy 외(2019), N. Kau 외(2019) — 5.1·5.16의 출처 참조.
• S. Huang, J. Luo, F. Leonardi, T. A. Lipo, "A general approach to sizing and power density equations for comparison of electrical machines," IEEE Trans. Industry Applications 34(1), 92–97, 1998, doi:10.1109/28.658727; T. Zhu, J. Hooks, D. Hong, "Design, Modeling, and Analysis of a Liquid Cooled Proprioceptive Actuator for Legged Robots," 2019 IEEE/ASME AIM, 36–43, doi:10.1109/aim.2019.8868596; J. Forget 외, "Implementation, Identification and Control of an Efficient Electric Actuator for Humanoid Robots," ICINCO 2018, doi:10.5220/0006825500290038 — 서지만 확인.
• numpy 2.5.4, SciPy 1.18.1, MuJoCo 3.17.0.

다음 장. 5.18은 직렬 탄성 액추에이터(SEA)와 가변 강성 액추에이터(VSA)를 다룬다. 이 장과 5.16이 모터의 투명성과 밀도를 높여 스프링 없이 힘을 감지하는 방향이라면, 5.18은 스프링을 구동기에 넣어 충격을 완화하고 힘을 변형으로 측정하는 방향이다.