제4부 기계 설계·구조·재료

4.6 정밀도 설계: 반복·절대 정밀도·아베 원리·정확 구속과 키네마틱 커플링·열변형·백래시

4.6.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 로봇의 위치 정밀도를 설계 단계에서 확보하는 방법을 정리한다. 제작 후 측정으로 모델을 고치는 기구학 보정(캘리브레이션), 반복 정밀도와 절대 정확도의 정의와 측정 지표는 2.17과 27.3이 다루고, 이 장은 오차가 생기는 원천을 설계로 줄이고 허용값을 배분하는 계층을 다룬다. 오차 예산(원천별 감도와 RSS 합), 측정 방향이 어긋나서 생기는 아베(사인) 오차, 필요한 만큼만 구속하는 정확 구속과 키네마틱 커플링, 온도 변화에 따른 열변형, 감속기의 백래시와 그로 인한 한계 순환(헌팅)을 닫힌 식과 소규모 계산으로 확인한다. 공차 누적 해석은 4.7, 진동은 4.8, 순응 기구(플렉셔)는 4.9, 기어와 백래시의 기초는 4.3, 감속기별 특성은 5.10·5.11, 서보 제어는 5.9, 열 관리는 8.7에서 이어진다.

배우는 것:

• 정밀도 용어와 오차 분류 — 분해능·반복 정밀도·절대 정확도, 체계 오차와 무작위 오차.
• 오차 예산 — 7R 팔의 원천별 선형 감도, RSS 합과 최악 합, 몬테카를로 비교.
• 아베 원리 — 사인 오차 $h\sin\theta$와 코사인 오차 $l(1-\cos\alpha)$, 측정 축과 작업점의 일치.
• 정확 구속 — 접촉 수와 자유도, 구속 렌치 행렬의 계수, 맥스웰·켈빈 커플링, 과구속 접촉력, 헤르츠 강성과 마찰 반복성.
• 열변형 — 선팽창, 핀(fin) 열전도 신장, 열 구배 굽힘, 시정수, 열 설계의 우선순위.
• 백래시 — 유격 오차, 직렬 구동의 영향, 예압 방식, PI 위치 제어와 한계 순환의 기술 함수 예측.

선수 지식: 2.3(순기구학 DH 관례), 2.8(자코비안), 2.12(정역학과 강성), 2.17(기구학 보정: 오차 모델), 4.4(재료와 선팽창).

특히 중요한 독자: 로봇 팔·스테이지의 정밀도 사양을 오차 원천별로 배분하는 기계 설계자, 센서·툴 마운트의 재장착 반복성을 확보하려는 시스템 통합자, 감속기 백래시와 위치 루프의 상호작용을 점검하는 제어 엔지니어.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: Hale, Principles and Techniques for Designing Precision Machines(MIT 박사 학위 논문, 1999, LLNL UCRL-LR-133066; OSTI·UNT 디지털 라이브러리 공개본)의 2.2절(아베·브라이언 원리와 사인·코사인 오차 식), 2.6절(정확 구속의 기본 진술), 2.8절(열 관리의 우선순위와 열 구배 변위 식), 6.3.1절(키네마틱 커플링의 마찰 효과 추정), 8장 서두(전달 장치와 백래시), 그리고 Slocum의 키네마틱 커플링 총설(Int. J. Mach. Tools Manuf. 50(4), 2010; MIT 공개 원고)의 정확 구속 설계·키네마틱 커플링 절. 선팽창 계수는 위키백과(알루미늄 6061·인바·제로더·폴리카보네이트·강의 서술, 2차 출처)에서 읽은 대표값이다. 오차 예산의 순기구학과 자코비안은 2.17의 Franka Research 3 수정 DH 모형(2.4의 DH 표)이다. 서지만 확인한 것(Crossref로 실재를 확인했고 본문은 읽지 못했다): Bryan(1979, 두 편), Ramesh·Mannan·Poo(2000), Schellekens 외(1998). 확인하지 못한 것: Abbe(1890) 원문, Blanding(1992)·Slocum(1992, Precision Machine Design)의 본문, ISO 9283·ISO 230 계열·JCGM 100의 발행본(iso.org 접근이 막혀 번호와 제목만 적는다), 로봇 제품의 정밀도 제원. 공차·강성·온도·유격 값은 모두 이 장이 정한 예시(가정)이며 어떤 제품의 제원도 아니다. 수치는 모두 이 장의 순수 파이썬 계산이다.

4.6.2 개념 — 오차는 줄이는 순서가 있다

결론부터 적으면 다음과 같다. 정밀도는 측정과 보정으로 올리기 전에 설계에서 오차의 원천과 감도를 정해야 한다. 이 장의 7R 팔 예산(예시 공차)에서 무작위 오차의 RSS 합은 TCP 위치 $0.309$ mm이고 모든 원천이 최악으로 겹친 합은 $1.959$ mm로 $6.3$배이다. 같은 입력의 몬테카를로 RMS가 선형 감도 RSS와 $0.06\,\%$ 차이이므로 RSS 예산이 이 범위에서 신뢰할 만하다. 체계 오차는 무작위 오차와 다르게 보정이나 강성으로 줄이며, 탑재 3 kg의 관절 컴플라이언스(가정 강성)가 $0.864$ mm로 가장 컸다. 아베 오차는 측정 축과 작업점이 $h$만큼 떨어져 있고 슬라이드가 각오차 $\theta$를 가질 때 $h\sin\theta$만큼 생기는 1차 오차이며, $h=100$ mm에서 $20$ 초각이 $9.7\ \mu$m이다. 정확 구속(접촉 수 = 구속할 자유도)은 틈새 공차가 있어도 접촉력이 변하지 않고, 접촉 1개를 더하면 같은 공차($1\ \mu$m)가 접촉력 평균 $13.4$ N을 만든다. 열변형은 선팽창 계수 차이가 지배하며 알루미늄 $0.5$ m 링크는 $10$ K에서 $0.116$ mm 늘고 인바는 $0.006$ mm 늘 뿐이다. 백래시는 위치 루프를 부하측 되먹임으로 닫으면 헌팅을 일으키고(이 장의 예 $3.9$ Hz, 부하 진폭이 유격 반폭의 $0.96$배), 모터측 되먹임으로 닫으면 부하 위치가 유격 반폭 안에서 정해진다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 오차 예산의 무작위 원천 기여는 축 정렬 $0.264$·링크 치수 $0.108$·백래시 $0.097$·전달 오차 $0.065$ mm이고 RSS $0.309$ mm, 최악 합 $1.959$ mm, 몬테카를로 RMS $0.309$ mm(99.7 백분위 $0.686$ mm)이며 RTB 순기구학 감도와 $3.4\times10^{-10}$ 안에서 같다. ② 사인 오차는 $h=10$ mm·$5$ 초각에서 $0.242\ \mu$m, $h=200$ mm·$60$ 초각에서 $58.2\ \mu$m이다. ③ 맥스웰·켈빈 커플링의 구속 렌치 행렬이 계수 $6$이고 접촉 6개에서 접촉력이 $10^{-14}$ N, 7개에서 평균 $13.4$ N(최대 $102$ N)이다. 강 구($R=10$ mm)의 헤르츠 강성이 $43.1$ N/$\mu$m이고 마찰 반복성 추정이 $0.35\ \mu$m이다. ④ 핀 열전도 신장이 SciPy BVP와 $1.2\times10^{-9}$, 열 구배 굽힘이 이중 적분과 $6\times10^{-16}$ 안에서 같다. ⑤ 백래시 한계 순환의 기술 함수 예측이 모터각 진폭에서 $6.5\,\%$, 각진동수에서 $4.0\,\%$ 이내이다.

4.6.3 원리

4.6.3.1 정밀도 용어와 오차의 분류

분해능은 구동·측정이 구별할 수 있는 최소 변위이고, 반복 정밀도는 같은 지령에 대한 도달 위치의 산포이며, 절대 정확도는 지령 위치와 도달 위치 평균의 차이이다. 세 값은 서로 독립이어서 분해능이 좋아도 정확도는 나쁠 수 있다. 산업 로봇의 위치 정확도와 반복 정밀도의 정의와 시험 방법은 ISO 9283에 있다고 알려져 있으며(2.17과 27.3) 이 장은 원문을 확인하지 못했다 (확인 필요). 오차는 같은 조건에서 되풀이되는 체계 오차(기하 오차, 컴플라이언스, 열변형, 아베 오차)와 되풀이마다 달라지는 무작위 오차(마찰 이력, 백래시 변동, 센서 잡음)로 나눈다. 체계 오차는 모델·보정(2.17)으로, 무작위 오차는 설계로만 줄일 수 있다. Hale(1999)는 정밀 기계에서 비반복성의 가장 흔한 원인이 시간에 따라 변하는 온도라고 서술한다(Donaldson, 1972 인용).

4.6.3.2 오차 예산 — 선형 감도, RSS, 최악 합

TCP 위치 $p$가 오차 매개변수 $x_i$(링크 치수·축 정렬·관절각)에 의존하면 작은 오차에서 $\delta p=\sum_i(\partial p/\partial x_i)\,\delta x_i$이다. 감도 $\partial p/\partial x_i$는 2.17의 식별 자코비안이 주는 열이다(회전 기본 변환은 $w\times(p-o)$, 이동 기본 변환은 $w$). 원천이 서로 독립이고 표준편차가 $\sigma_i$이면 위치 공분산의 대각은 다음이다.

$$\sigma_{p,k}^{2}=\sum_i\Bigl(\frac{\partial p_k}{\partial x_i}\Bigr)^{2}\sigma_i^{2},\qquad \text{최악 합: }\ \Delta_k^{\max}=\sum_i\Bigl\lvert\frac{\partial p_k}{\partial x_i}\Bigr\rvert\,t_i .$$

균일 분포의 공차 $\pm t_i$는 $\sigma_i=t_i/\sqrt3$이다. 기여가 같은 균일 분포 원천 $n$개의 최악 합은 RSS의 $\sqrt{3n}$배이므로 최악 합은 과도하게 보수적인 설계가 되고 RSS는 확률적 보장이 필요할 때 사용하며, 3차원 오차 크기는 레일리형 분포여서 99.7 백분위가 RMS의 약 $2.2$배(이 장 계산)이다. 측정 불확도의 합성 일반은 JCGM 100(GUM)에 있다고 알려져 있다(본문 미확인 (확인 필요)). 체계 오차는 RSS에 넣지 않고 크기와 방향을 따로 더한다. 작업 셀 전체의 예산은 로봇(이 장의 팔 원천), 툴(TCP 보정과 장착 반복성), 비전(분해능과 외부 보정, 6.22), 지그(위치결정 반복성, 정확 구속은 다음 소절), 열(주변 온도 변화)의 원천을 같은 방식으로 합산하며 이 장은 이 가운데 로봇 팔 원천만 수치로 계산했다.

4.6.3.3 아베 원리와 사인·코사인 오차

아베 원리(Abbe, 1890)는 측정하려는 거리가 기준 눈금의 직선 연장선 위에 놓여야 한다는 것이다. 두 선이 거리 $h$(아베 편차)만큼 떨어져 있고 이동계가 각운동 $\theta$를 하면 읽은 값과 실제 거리가 다르다. Bryan(1979)의 수정은 변위 측정계가 기능점과 일직선이 아니면 슬라이드가 각운동이 없거나 각운동을 측정해 보상해야 한다는 것이다(Hale 2.2절의 인용). Hale(1999)의 식 (2.2)는 다음이다.

$$e_{\sin}=h\sin\theta\approx h\theta,\qquad e_{\cos}=l\,(1-\cos\alpha)\approx\frac{l\alpha^{2}}{2}.$$

사인 오차는 $\theta$의 1차, 코사인 오차는 2차이므로 보통 각운동(움직이는 동안 변하는 각오차)이 문제이고 일정한 정렬 오차는 코사인 오차로 작다. 로봇에서 아베 편차는 엔코더·스케일이 작업점(TCP)에서 떨어져 있는 거리이고, 관절각 오차 $\theta$가 팔 길이 $r$을 지나 TCP에서 $r\theta$의 사인 오차가 된다(1 분각이 $2.9\times10^{-4}$ rad이므로 $1$ m에서 $0.29$ mm). 따라서 정밀 위치 측정은 작업점의 연장선에 두거나(아베 편차 0) 각오차를 줄이는 구조(슬라이드의 편 하중 방지)를 택한다.

4.6.3.4 정확 구속과 키네마틱 커플링

정확 구속(exact constraint) 설계의 원칙은 구속점의 수가 구속하려는 자유도의 수와 같아야 한다는 것이다(Slocum, 2010). 강체는 6자유도이고 이상적인 점 접촉 하나가 한 방향을 구속하므로 접촉 6개가 위치를 정한다. 접촉점 $c_i$에서 법선 $n_i$ 방향의 단위 힘의 렌치 $w_i=(c_i\times n_i,\ n_i)$를 행으로 쌓은 $W\in\mathbb R^{N\times6}$의 계수가 6이면 6자유도가 모두 구속되고, $N=6$이면 정확 구속, $N>6$이면 과구속이다. 접촉 강성 $k$가 같고 틈새 오차 $g$가 있으면 정적 평형은 $W^{T}KWx=W^{T}Kg$, 접촉력은 $f=K(g-Wx)$이다. $N=6$이면 $W$가 가역이어서 $x=W^{-1}g$이고 $f=0$이므로 공차가 위치만 옮기고 힘을 만들지 않는다. $N=7$이면 잔차가 0이 아니어서 틈새 오차가 접촉력(내부 응력)으로 변하며 크기가 $k\,g$ 규모이다. 이것이 과구속 설계에서 공차가 구조 변형과 베어링 과하중으로 이어지는 이유이다(Slocum, 2010도 과구속 설계는 변형이 민감 부품을 과하중하지 않도록 세심한 주의가 필요하다고 서술).

키네마틱 커플링은 구(球)와 홈으로 접촉 6개를 만든 장치이다. 켈빈 커플링은 구 하나를 사면체 오목부(접촉 3), 둘째 구를 첫째 방향의 V 홈(접촉 2), 셋째 구를 평면(접촉 1)에 둔다(3-2-1). 맥스웰 커플링은 중심을 향하는 V 홈 세 개를 사용한다. 이 장은 두 커플링의 $W$ 계수가 6임을 확인했다(풀이 예제 ③). 점 접촉의 실제 강성은 헤르츠 이론으로 정한다. 구(반지름 $R$)와 평면의 접촉은 다음이다.

$$a=\Bigl(\frac{3FR}{4E^{*}}\Bigr)^{1/3},\quad \delta=\frac{a^{2}}{R},\quad k=\frac{dF}{d\delta}=\frac{3F}{2\delta},\quad p_0=\frac{3F}{2\pi a^{2}},\quad \frac{1}{E^{*}}=\frac{1-\nu_1^{2}}{E_1}+\frac{1-\nu_2^{2}}{E_2}.$$

반복성은 마찰이 정한다. Hale(1999) 6.3.1절은 반복성 추정이 풀리지 않은 마찰력에 커플링의 컴플라이언스를 곱한 값(커플링 전체를 하중 $P$의 헤르츠 접촉 하나로 본 추정)이며 구조가 접촉면보다 유연하면 과소평가한다고 서술한다. 이 장은 같은 취지의 $\delta_f\approx\mu F/k$를 사용했고 식 (6.32)의 원문 형태는 판독하지 못했다 (확인 필요). 같은 절은 대칭 3-V 커플링의 중심잡기 능력(centering force 대 nesting force)이 $0.5-1.3\mu$이고 마찰 계수가 $0.38$ 미만이면 중심으로 들어간다고 서술한다. Slocum(2010)은 3-2-1 고정구의 반복성이 마이크로미터 규모(3~5 $\mu$m)이고, 철강 구·홈이 하중이 큰 조건에서 처음 서브 마이크로미터이다가 수백 회 사용 후 약 10 $\mu$m로 나빠졌으며 질화규소 구·강 홈은 50 nm가 가능했다고 보고한다(보고자의 주장치이며 이 장이 재현하지 않았다 (공개 주장치)). 플렉셔 기반 정확 구속은 4.9에서 다룬다.

4.6.3.5 열변형

길이 $L$의 부재는 온도 변화 $\Delta T$에서 $\Delta L=\alpha L\Delta T$만큼 변하고 선팽창 계수 $\alpha$는 재료마다 다르다(풀이 예제 ④). 구조가 균일하게 가열되면 신장은 비례하지만 실제 로봇은 열원(모터·드라이브)이 한쪽 끝에 있어 온도 분포가 정상 상태에서 균일하지 않다. 단면이 일정하고 둘레로 열을 잃는 부재(핀)는 $\theta''=m^{2}\theta$, $m=\sqrt{hP/(kA)}$이며 끝이 절연이면 $\theta(x)=\theta_0\cosh m(L-x)/\cosh mL$이고 신장은 $\alpha\theta_0\tanh(mL)/m$이다. 단면 높이 방향의 온도 구배 $g$가 있으면 자유 굽힘 곡률이 $\kappa=\alpha g$이고 끝점 처짐이 $\kappa L^{2}/2$이다(Hale 2.8절의 식 (2.27)·(2.28)과 같은 형태). 부재의 열 시정수는 $\tau=\rho c A/(hP)$이다. 국제 표준 온도는 $20\,^\circ$C이며 이외의 온도에서는 열 오차가 있다고 Hale(1999)는 서술한다. Hale 2.8절은 열 설계의 우선순위를 수동에서 능동으로의 순서로 제시한다. ① 감도 줄이기: 대칭 구조, 저팽창 재료. ② 열원 관리: 제거·감소·격리·캐스케이드 방지·열원 일정화. ③ 환경 제어: 실내 온도·구조 온도·작업물 온도. ④ 측정 편차의 보상: 스핀들 성장 보상, 계측 프레임 온도 측정. 같은 문헌은 온도 제어가 가장 신뢰할 만하고 대개 가장 저렴한 수단이라고 서술한다. 로봇 열 관리와 모터 권선 온도는 8.7, 열 드리프트 보정은 2.17과 6.21에서 이어진다.

4.6.3.6 백래시

백래시(유격)는 감속기·기어·나사의 맞물림에서 입력이 반전될 때 출력이 움직이지 않는 구간이다. 출력축 기준 유격 $j$(총 폭)에서 TCP 오차는 팔 반경 $r$에서 $j\,r$이다. 정확 구속의 연장으로 Hale(1999) 8장은 백래시를 예압으로 없앨 수 있으나 마찰과 컴플라이언스의 상호작용으로 일정한 이력이 남고 비용이 든다고 서술하며, 정밀 용도에서는 전달 장치를 꼭 필요할 때만 사용하도록 권고하고 큰 감속비가 부하 관성의 환산을 $R^{2}$으로 줄이고 서보 강성의 환산을 $R^{2}$으로 키운다고 서술한다. 예압 방식에는 예압 기어열과 이중 모터 구동(Hale 8.2·8.3절의 제목이며 본문은 읽지 못했다), 파동기어·사이클로이드 같은 저백래시 감속기(5.10·5.11)가 있으며 방식별 특성은 해당 장에서 다룬다.

위치 루프에서 백래시는 되먹임 위치에 따라 다르게 작용한다. 모터측 엔코더로 닫는 반폐루프는 모터각을 지령에 맞추므로 부하는 유격 반폭 $h$ 안에서 어느 쪽이든 놓이고(정지 오차 $\pm h$) 루프 안에 비선형이 없다. 부하측 엔코더로 닫는 전폐루프는 오차를 없애려고 적분 동작이 유격을 가로질러 모터를 계속 움직이며 한계 순환(헌팅)을 일으킬 수 있다. 유격 $2h$인 백래시에 크기 $A\sin\omega t$($A>h$)의 입력을 넣을 때 기본파 성분의 비, 즉 기술 함수는 다음이다(수치 푸리에 계수와 $5\times10^{-9}$ 이내로 같음을 확인했다).

$$N(A)=\frac1\pi\Bigl[\frac\pi2+\arcsin u+2u\sqrt{\tfrac hA\bigl(1-\tfrac hA\bigr)}\Bigr]-j\,\frac{4h}{\pi A}\Bigl(1-\frac hA\Bigr),\qquad u=1-\frac{2h}{A}.$$

선형 부분의 개루프 전달 함수가 $L(s)$이면 $1+L(j\omega)N(A)=0$의 해 $(A,\omega)$가 한계 순환의 진폭과 각진동수의 예측이다. 기술 함수법은 근사이며(비선형 출력의 고조파를 무시) 정확도는 풀이 예제 ⑤에서 시간 영역 모의와 비교했다.

4.6.4 알고리즘

오차 예산 (자세 q):     J ← 자코비안 열 (∂p/∂x_i);  σ_i ← t_i/√3
                       RSS_k² ← Σ_i (J_ki σ_i)²;  최악_k ← Σ_i |J_ki| t_i;  체계 ← Σ_i J_ki Δ_i
                       몬테카를로: x ← 균일 표본;  e ← |FK(x,q) − FK(0,q)|;  RMS·99.7 백분위
아베:                  e_sin ← h sin θ;  e_cos ← l (1 − cos α)
정확 구속:             w_i ← (c_i × n_i, n_i);  W ← [w_i];  rank(W)=6인지 SVD;  k ← 헤르츠 3F/(2δ)
                       x ← (WᵀKW)⁻¹ WᵀK g;  f ← K (g − W x)
열:                    ΔL ← α L ΔT;  m ← √(hP/(kA));  신장 ← α θ0 tanh(mL)/m;  κ ← α g;  τ ← ρ c A/(hP)
백래시 모의:           e ← −y;  I ← I + e dt;  v ← v + dt (kp (e + I/Ti) − v)/τ;  θ ← θ + v dt;  y ← clip(y, θ−h, θ+h)
기술 함수:             N(A) 닫힌 식;  (A, ω)에 대한 뉴턴법으로 1 + L(jω) N(A) = 0

4.6.5 풀이 예제 — 오차 예산, 아베 오차, 정확 구속, 열변형, 백래시

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 오차 예산의 RSS가 몬테카를로와 $0.06\,\%$, 최악 합은 $6.3$배이다. ② 아베 오차는 편차와 각오차에 비례한다. ③ 정확 구속은 공차가 접촉력을 만들지 않고 과구속은 만든다. ④ 선팽창 계수가 열변형 순위를 정하고 핀 해와 열 구배 굽힘이 수치 해와 같다. ⑤ 백래시 한계 순환이 기술 함수 예측과 일치한다.

구현. abbe_error·cosine_error(아베), wrench·hertz·settle(정확 구속), fin_growth(열), play·hunt_sim·df_backlash·hunt_df(백래시)를 사용한다. 오차 예산의 자세 표본·몬테카를로와 도해는 스크립트에 있고 순기구학과 자코비안은 2.17의 fk_jac를 불러와 사용한다.

from math import sqrt, sin, cos, pi, tanh, asin

def abbe_error(h, th):
    """아베 편차 h와 각오차 th(rad)의 사인 오차"""
    return h * sin(th)

def cosine_error(l, a):
    """정렬 오차 a(rad)의 코사인 오차"""
    return l * (1 - cos(a))

def wrench(c, n):
    """접촉점 c, 법선 n 단위 힘의 렌치 (m, f)"""
    m = [c[1] * n[2] - c[2] * n[1], c[2] * n[0] - c[0] * n[2],
         c[0] * n[1] - c[1] * n[0]]
    return m + list(n)

def hertz(F, R, Es):
    """구-평면 헤르츠 접촉: a, 접근량, 강성, 최대 압력"""
    a = (3 * F * R / (4 * Es))**(1 / 3)
    d = a * a / R
    return a, d, 3 * F / (2 * d), 3 * F / (2 * pi * a * a)

def settle(W, k, g):
    """틈새 오차 g의 평형: x=(WtKW)^-1 WtKg, f=K(g-Wx)"""
    n = len(W)
    A = [[sum(k * W[r][i] * W[r][j] for r in range(n))
          for j in range(6)] for i in range(6)]
    b = [sum(k * W[r][i] * g[r] for r in range(n))
         for i in range(6)]
    x = rb19.solve_lu(A, b)[0]
    f = [k * (g[r] - sum(W[r][i] * x[i] for i in range(6)))
         for r in range(n)]
    return x, f

def fin_growth(alpha, th0, k, h, per, A, L):
    """절연 끝 핀(fin)의 신장 alpha th0 tanh(mL)/m 와 m"""
    m = sqrt(h * per / (k * A))
    return alpha * th0 * tanh(m * L) / m, m

def play(y, x, h):
    """백래시(유격 2h): 입력 x에 대한 출력 y"""
    if x - h > y:
        return x - h
    if x + h < y:
        return x + h
    return y

def hunt_sim(h, tau, kp, ti, T=6.0, dt=5e-5, th0=None):
    """부하측 되먹임 PI 제어 + 1차 지연 속도 루프 + 백래시"""
    th = 3 * h if th0 is None else th0
    v = I = y = 0.0
    out = []
    for k in range(int(T / dt)):
        e = -y
        I += e * dt
        v += dt * (kp * (e + I / ti) - v) / tau
        th += dt * v
        y = play(y, th, h)
        out.append((k * dt, th, y))
    return out

def df_backlash(A, h):
    """백래시의 기술 함수 N(A), 유격 2h"""
    u = 1 - 2 * h / A
    re = (pi / 2 + asin(u)
          + 2 * u * sqrt(h / A * (1 - h / A))) / pi
    return complex(re, -4 * h / (pi * A) * (1 - h / A))

def hunt_df(h, tau, kp, ti, A0, w0):
    """1 + L(jw) N(A) = 0 의 해 (A, w): 2변수 뉴턴법"""
    def F(A, w):
        s = 1j * w
        L = kp * (1 + 1 / (s * ti)) / (s * (1 + s * tau))
        r = 1 + L * df_backlash(A, h)
        return r.real, r.imag
    A, w = A0, w0
    for _ in range(60):
        f0 = F(A, w)
        dA, dw = 1e-7 * h, 1e-7 * w
        fa, fw = F(A + dA, w), F(A, w + dw)
        a11, a21 = (fa[0] - f0[0]) / dA, (fa[1] - f0[1]) / dA
        a12, a22 = (fw[0] - f0[0]) / dw, (fw[1] - f0[1]) / dw
        det = a11 * a22 - a12 * a21
        sA = (-f0[0] * a22 + f0[1] * a12) / det
        sw = (-f0[1] * a11 + f0[0] * a21) / det
        t = 1.0
        while A + t * sA <= h or w + t * sw <= 0:
            t /= 2
        A, w = A + t * sA, w + t * sw
        if abs(sA) < 1e-12 * h and abs(sw) < 1e-12 * w:
            break
    return A, w

① 오차 예산.

예산표의 무작위 원천 중 축 정렬($0.264$ mm)이 링크 치수($0.108$)·백래시($0.097$)·전달 오차($0.065$)보다 크다. 이는 $\pm0.02^\circ$가 수백 mm 길이의 팔에서 $0.1$ mm 이상의 TCP 이동을 만들기 때문이며 허용값을 가정한 결과이다. 원천별 기여의 제곱합 $\sqrt{0.108^2+0.264^2+0.065^2+0.097^2}=0.308$ mm가 자세 평균 RSS $0.309$ mm와 같다. 최악 합 $1.959$ mm는 RSS의 $6.3$배이고, 99.7 백분위 $0.686$ mm가 RMS의 $2.2$배이다. 체계 오차는 컴플라이언스($0.864$ mm)가 열팽창($0.090$ mm)보다 크고 RSS 무작위 오차($0.309$ mm)보다도 크므로 이 예에서는 관절 강성(2.12)과 보정(2.17)이 공차 강화보다 먼저이다. 이 우선순위는 가정한 공차와 강성에 따른 것이다.

② 아베 오차와 코사인 오차.

아베 편차 $100$ mm에서 $20$ 초각이 $9.70\ \mu$m, $60$ 초각이 $29.1\ \mu$m이며 편차에 정비례한다. 아베 편차를 $0$으로 하면(측정 축을 작업점 연장선에 놓으면) 1차 오차가 없다. 코사인 오차는 $\alpha=1$ mrad·$l=500$ mm에서 $0.25\ \mu$m로, 같은 거리 $h=500$ mm에서 같은 크기의 각이 만드는 사인 오차($500\ \mu$m)보다 3자릿수 작다.

③ 정확 구속과 과구속.

두 커플링의 구속 렌치 행렬은 계수 $6$이다(최소 특이값 맥스웰 $0.061$·켈빈 $0.039$; 모멘트 성분이 m 단위여서 값은 길이 척도에 의존하므로 조건수의 절대값에는 의미를 두지 않았다). 헤르츠 접촉은 $F=100$ N에서 접촉 반지름 $187\ \mu$m, 접근량 $3.48\ \mu$m, 강성 $43.1$ N/$\mu$m, 최대 압력 $1.37$ GPa이고 마찰 반복성 추정은 $0.35\ \mu$m이다. 틈새 공차 $1\ \mu$m 표준편차에서 접촉 6개의 접촉력은 $10^{-14}$ N(수치 0)이고 7개는 평균 RMS $13.4$ N, 2000회 중 최대 $102$ N으로 접촉 하중 $100$ N과 같은 크기이다. 회전 변위는 두 경우 $1.7\ \mu$rad로 같아서 위치 감도는 같고 내부 힘만 다르다. 접촉 반복성 추정 $0.35\ \mu$m는 구조가 접촉면보다 유연하면 과소평가한다(Hale). 7번째 접촉의 위치와 강성은 이 장이 정한 예시이다.

④ 열변형.

같은 $\Delta T=10$ K에서 $0.5$ m 링크는 알루미늄 $0.116$ mm, 강 $0.060$ mm, 인바 $0.006$ mm, 폴리카보네이트 $0.338$ mm 늘고 제로더는 $0\pm0.007\times10^{-6}$/K(0~50 °C 평균)으로 사실상 늘지 않는다고 알려져 있다. 알루미늄 관의 한쪽 끝이 $30$ K 오르는 정상 상태에서 신장은 $0.144$ mm로 균일 가열($0.348$ mm)의 $41\,\%$이고 먼 끝의 온도 상승은 $18\,\%$이다. 시정수가 $672$ s(약 $11$ 분)이므로 가열 후 안정까지 수십 분이 걸린다. 단면 높이 방향 온도 차 $5$ K($g=125$ K/m)의 곡률이 $2.9\times10^{-3}$ m⁻¹이고 $0.5$ m 링크 끝이 $0.36$ mm 처지며 기울기는 $5.0$ 분각이다. 균일 열팽창보다 구배가 만드는 굽힘이 TCP를 더 크게 움직일 수 있다.

⑤ 백래시와 한계 순환.

출력축 유격 1 분각은 $0.5$ m 반경에서 $0.145$ mm, $3$ 분각은 $0.436$ mm이다. 부하측 되먹임의 PI 위치 루프는 유격 3 분각에서 $3.86$ Hz($24.25$ rad/s)로 지속 진동하며 모터각 진폭이 $1.96\,h$, 부하각 진폭이 $0.96\,h$(0.5 m 반경에서 $0.210$ mm)이다(그림: 부하각이 $\pm h$에서 평탄해지는 것은 접촉이 풀린 구간이다). 기술 함수는 모터각 진폭 $2.09\,h$와 각진동수 $25.21$ rad/s를 예측하여 시간 영역과 $6.5\,\%$·$4.0\,\%$ 차이이다. 반폐루프 되먹임은 이 한계 순환이 없으나 부하가 유격 안에서 $\pm h$($0.5$ m에서 $\pm0.218$ mm)로 정해진다. 이 장은 속도 루프를 1차 지연으로 단순화했으며 모터·부하 2관성 공진과 마찰은 포함하지 않았다.

⑥ 라이브러리 대조(실행 2026-11-05). 오차 예산의 순기구학과 감도·몬테카를로를 Robotics Toolbox for Python의 수정 DH 로봇과, 아베 오차를 회전 행렬과, 구속 렌치 행렬의 특이값·계수를 numpy와, 과구속 접촉력을 numpy 최소제곱과, 헤르츠 압력 적분을 SciPy quad와, 핀 열전도 신장을 SciPy solve_bvp와, 열 구배 굽힘을 환형 단면의 dblquad 적분과, 백래시 한계 순환을 numpy 모의·수치 푸리에 기술 함수·fsolve와 같은 입력에서 비교했다. 스크립트는 robotics/fig-src/4.6-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/4.6-libcheck-output.txt에 있다.

모든 결정론적 비교가 $10^{-9}$ 이하에서 일치하고, RTB 몬테카를로(자세당 300개)와 감도 RSS의 $4.6\times10^{-2}$ 차이는 표본 수에 따른 통계 오차(상대 표준오차 $1/\sqrt{2\cdot300}=4\,\%$)이다. 이 장의 몬테카를로(자세당 1500개, 30자세)와 RSS는 평균에서 $6\times10^{-4}$이고 자세별 최대 차이는 $3.6\,\%$이다. numpy 시간 영역 모의($\Delta t=20\ \mu$s)와 이 장($50\ \mu$s)의 한계 순환 진폭·각진동수 차이는 $0.1\,\%$ 이하이다. 핀 유한 차분(400절점)과 BVP의 차이 $4.3\times10^{-6}$은 1차 차분 오차이다.

한계. 오차 예산은 선형 감도와 독립 원천을 가정하며 원천 사이의 상관(같은 부품 공차의 공유, 열과 컴플라이언스의 결합)과 비선형 효과를 포함하지 않는다. 공차·강성·유격·열 입력은 모두 가정이며 어떤 제품의 정밀도도 대표하지 않는다. 정확 구속 계산은 선형 탄성 접촉, 같은 강성, 양방향 접촉(분리 없음)을 가정했다. 열 계산은 1차원 핀과 선형 구배이고 대류 계수는 가정이다. 백래시 모의는 1관성 단순 모형이다.

견해: 로봇 팔의 정밀도 설계는 오차 예산에서 체계 오차(컴플라이언스·열)와 무작위 오차(공차·백래시)를 분리해 체계 오차가 큰 원천을 강성 설계와 보정으로 먼저 줄이고, 무작위 오차는 RSS가 사양의 약 $1/3$ 이하가 되도록 공차를 배분하는 순서가 합리적이라고 본다. 근거는 이 장의 계산에서 체계 오차의 한 원천(컴플라이언스 $0.864$ mm)이 무작위 오차 전체 RSS($0.309$ mm)보다 컸고, 몬테카를로의 99.7 백분위가 RMS의 $2.2$배여서 RSS가 사양의 $1/3$이면 $3\sigma$가 사양에 이른다는 점이다. 이 $1/3$은 이 장이 시험으로 정당화하지 않은 경험적 제안이다.

4.6.6 설계 트레이드오프 — 백래시의 대책

감속기 백래시는 다음 방식 중에서 대응한다.

• ① 무백래시·저백래시 감속기 선택. 예압된 기어·파동기어·사이클로이드 감속기 등으로 유격을 구조적으로 줄인다(5.10·5.11). 비용과 비틀림 이력(마찰·컴플라이언스의 상호작용, Hale)이 남는다.
• ② 예압 기구의 추가. 이중 기어(스프링 분할), 이중 모터 구동(길항 토크)으로 유격을 없앤다. 부품과 제어가 늘고 예압 변동이 마찰·발열을 키운다.
• ③ 제어로 보상(부하측 정보 사용). 이중 엔코더(모터측과 부하측)로 위치를 닫고 유격을 모델로 보상한다. 한계 순환을 억제해야 하고 보상 정확도가 유격 모델에 달려 있다.

견해: 정밀 위치 작업이 목적이면 ①을 기본으로 하고 부하측 엔코더(6.2)를 더해 ③의 감시와 보상을 병행하는 것이 안전하다고 본다. 근거는 이 장의 예에서 유격 3 분각의 부하측 PI 루프가 부하 진폭 $0.96\,h$의 헌팅을 일으켜 제어만으로는 유격을 숨기기 어렵고, 반폐루프는 헌팅이 없으나 $\pm h$의 정지 오차를 남긴다는 점이다. 방식별 정량 비교는 이 장이 수행하지 않았다.

4.6.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 응용별 정밀도 사양 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

4.6.8 관련 규격·프로토콜

정밀 설계 원칙 자체의 표준은 확인하지 못했다.

4.6.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

로봇의 위치 정밀도를 직접 규정하는 법령은 확인하지 못했다. 정밀도 사양은 제조사가 ISO 9283 형식으로 표기하는 성능 항목이며(27.3) 인증 대상이 아니다. 간접 연결은 다음과 같다. ① 협동로봇의 안전 감시(속도·위치 한계, 27.10)는 위치추정 오차와 센서 분해능에 의존할 수 있으나 요구 수준은 이 장이 확인하지 않았다 (확인 필요). ② 의료 로봇의 정확도 주장은 인허가 근거의 일부일 수 있다(39.20). ③ 안전 관련 위치 측정에서 열·유격 오차의 영향은 위험성평가(26.4)에서 다룬다.

4.6.10 한계·유의점·미해결

• 자료와 가정. 공차·강성·열·유격 값은 가정이며 정밀도의 절대값을 보증하지 않는다. 실제 로봇은 2.17의 보정과 시험(27.3)으로 확인한다.
• 모형 범위. 선형 감도와 독립 원천(상관·비선형 제외), 정적 선형 탄성 접촉, 1차원 핀, 1관성 백래시 모형이다. 키네마틱 커플링의 마찰 이력·마모·미소 미끄럼, 2차원 열 확산, 2관성 공진과 쿨롱 마찰이 있는 서보는 다루지 않았다.
• 미해결. 로봇 관절 감속기의 백래시·비틀림 이력의 장기 변화(마모), 열과 컴플라이언스가 결합한 드리프트의 온라인 보상, 키네마틱 마운트의 장기 반복성(Slocum의 마모 보고의 재현)은 이 장에서 다루지 못했다.

4.6.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 오차 예산에서 균일 공차 $\pm t$의 표준편차 $t/\sqrt3$를 유도하고, 기여가 같은 원천 $n$개의 최악 합이 RSS의 $\sqrt{3n}$배임을 보여라.
2. 아베 오차 $h\sin\theta$를 회전 행렬로 유도하고, 편차 $0$에서 사라지는 조건을 설명하라.
3. 접촉 6개의 렌치 행렬이 가역이면 틈새 오차에서 접촉력이 $0$임을 보이고, 7개일 때 잔차가 접촉력이 되는 과정을 서술하라.
4. 헤르츠 접촉에서 $k=3F/(2\delta)$를 $F\propto\delta^{3/2}$에서 유도하라.
5. 핀 방정식 $\theta''=m^{2}\theta$의 해와 신장 $\alpha\theta_0\tanh(mL)/m$를 유도하라.
6. 백래시의 기술 함수에서 입력 진폭이 $h$에 가까워질 때 $N(A)\to0$임을 확인하고, $1+L(j\omega)N(A)=0$으로 한계 순환의 조건을 설명하라.

연구 질문:

• 로봇 팔의 오차 예산에서 열·컴플라이언스·백래시가 결합한 비선형 효과와 원천 사이의 상관을 포함하면 RSS 예측이 몬테카를로와 얼마나 달라지는가(이 장은 독립 원천만 시험했다)?
• 부하측 엔코더를 가진 관절에서 백래시 한계 순환을 허용 진폭 안으로 억제하는 제어 이득의 설계 규칙은 무엇인가?
• 로봇 센서·툴 마운트에 키네마틱 커플링을 적용할 때 장기 사용에서 반복성이 어떻게 변하는가(Slocum의 보고를 재현하지 않았다)?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• L. C. Hale, Principles and Techniques for Designing Precision Machines, Ph.D. thesis, MIT, 1999, LLNL UCRL-LR-133066(OSTI ID 8431) — 2.2·2.6·2.8·6.3.1절과 8장 서두를 읽었다.
• A. H. Slocum, "Kinematic couplings: A review of design principles and applications," Int. J. Mach. Tools Manuf. 50(4), 310–327, 2010, doi:10.1016/j.ijmachtools.2009.10.006 — MIT 공개 원고의 정확 구속 설계·키네마틱 커플링 절을 읽었다.
• 위키백과 "6061 aluminium alloy"·"Invar"·"Zerodur"·"Polycarbonate" — 선팽창 계수와 열전도율 범위를 2차 출처로 읽었다.
• 서지만 확인: J. B. Bryan, "The Abbé principle revisited: An updated interpretation," Precision Engineering 1(3), 129–132, 1979, doi:10.1016/0141-6359(79)90037-0; J. B. Bryan, "Design and construction of an ultraprecision 84 inch diamond turning machine," Precision Engineering 1(1), 13–17, 1979, doi:10.1016/0141-6359(79)90071-0; R. Ramesh, M. A. Mannan, A. N. Poo, "Error compensation in machine tools — a review," Int. J. Mach. Tools Manuf. 40, 1235–1256·1257–1284, 2000, doi:10.1016/s0890-6955(00)00009-2·doi:10.1016/s0890-6955(00)00010-9(두 편이 같은 제목으로 등록되어 있고 어느 쪽이 기하·열 오차 편인지는 이 장이 확인하지 않았다); P. H. J. Schellekens 외, "Design for precision: Current status and trends," CIRP Annals 47(2), 557–586, 1998, doi:10.1016/s0007-8506(07)63243-0.
• Robotics Toolbox for Python 1.5.0, numpy 2.5.4, SciPy 1.18.1(integrate.quad·dblquad·solve_bvp, optimize.fsolve).

다음 장. 4.7는 공차 설계와 GD&T를 다룬다. 이 장의 오차 예산이 공차의 RSS 배분을 가정했다면, 다음 장은 치수·기하 공차의 표기(ASME Y14.5·ISO GPS)와 공차 누적의 최악·RSS 해석을 구체적으로 정의한다.