제5부 구동·액추에이터·동력전달

5.5 전기 모터 III: 모터 설계와 자석 — 권선·코깅·토크 리플·희토류 자석과 대체 재료

5.5.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자

이 장은 영구자석 동기 모터의 설계 변수 가운데 로봇 관절의 성능을 정하는 것, 곧 권선의 극·슬롯 조합, 코깅 토크, 역기전력 고조파가 만드는 토크 맥동, 자석 재료와 그 온도·감자 한계, 희토류 공급과 대체 재료를 다룬다. 3상 권선의 권선 계수와 기자력(MMF) 스펙트럼을 슬롯 성형도에서 계산하고, 코깅 토크의 주기·진폭·사선(skew) 효과를 자석 에지 모형으로 계산하며, 표면 자석 모터의 기하에서 토크 상수와 모터 상수를 유도한다. 자석은 제조사 카탈로그의 표를 읽어 재료별 잔류 자속 밀도·보자력·온도 계수를 정리하고 온도에 따른 토크와 감자 여유를 계산한다. 모터의 원리와 토크·역기전력 상수는 5.3, 스테퍼·리니어·직접 구동은 5.4, 인버터는 5.6, 벡터 제어와 약계자는 5.7, 프레임리스·축방향 자속 모터는 5.17, 열·수명은 5.25, 토크 리플 측정은 5.26, 소음은 26.26에서 다룬다.

배우는 것:

• 권선 — 슬롯 성형도, 60° 위상대, 권선 계수, 분수 슬롯 집중권과 분포권, MMF 스펙트럼의 부조화와 고조파.
• 토크 상수의 기하 식 — $T=3k_wN_{ph}B_1RLI$, 자기 회로의 공극 자속 밀도, 상저항과 모터 상수, 기하 상사에서의 스케일링.
• 코깅 토크 — 기본 차수 $\mathrm{LCM}(Q,2p)$, 진폭을 정하는 슬롯 투자율 고조파, 자석 호 비율에 따른 소멸, 사선 계수.
• 토크 맥동 — 역기전력 5·7차 고조파가 만드는 6차 맥동 $\lvert E_7-E_5\rvert/E_1$.
• 영구자석 — NdFeB·SmCo·페라이트의 $B_r$·$H_{cJ}$·온도 계수, 온도별 토크와 감자 여유.
• 공급과 대체 — 희토류 채굴·수출 관리·EU 제도의 현황, 대체 재료의 선택 기준.

선수 지식: 5.3(토크 상수·역기전력 상수·모터 상수, 극쌍수), 5.4(디텐트·직접 구동의 스케일링), 푸리에 급수.

특히 중요한 독자: 관절용 모터의 극·슬롯 조합과 자석 등급을 정하는 설계자, 코깅·토크 리플 사양을 데이터시트에서 읽는 시스템 엔지니어, 자석 공급망과 수출 관리를 평가하는 조달·사업·정책 담당자.

출처 방침. 기준 시점은 2026-11-05이다. 직접 읽은 자료: Arnold Magnetic Technologies Neodymium Iron Boron Magnet Catalog(Rev. 210607의 등급 요약표·N35·N42·N42SH·N42UH 등 등급 쪽)과 같은 회사의 2018판(Rev. 181031), Arnold Recoma 소결 SmCo 데이터시트(Rev. 160205a, 2014), Eclipse Magnetics 페라이트·세라믹 자석 데이터시트(발행 연도 표기 없음), Arnold의 2012년 발표 자료(Constantinides, "The Demand for Rare Earth Materials in Permanent Magnets"), 미국 지질조사국 Mineral Commodity Summaries 2026의 희토류 장, 유럽연합 집행위원회의 핵심 원자재법 안내 페이지, SWAT-EM 0.6.3·pyleecan 1.5.2의 소스 일부. 2차 출처(보도): 중국 수출 관리 정지 만료일(Mining Technology 2026-04-27). 서지만 확인한 것(본문은 읽지 못했다): Zhu·Howe(2000)의 코깅 토크 논문, El-Refaie(2010)의 분수 슬롯 집중권 논문, Bianchi 외(2010)의 회전자 손실 논문, Coey(2020)의 희토류 자석 전망(원문 접속 403 — 초록만 읽음), Widmer 외(2015)의 희토류 없는 견인 모터 논문, Gutfleisch 외(2011), Hendershot·Miller(1995)와 Pyrhönen 외의 설계 교재. 읽지 못한 것: IEC 60404-8-1·IEC 60034 시리즈·IEC 60085 본문, REACH·운송 규정, 중국 상무부 공고 원문, IEA 핵심 광물 전망(접속 제한). 모터 기하·권선·슬롯 투자율 모형의 수치는 이 장이 정한 가정이며 특정 제품의 사양이 아니고, 자석 수치는 위 카탈로그의 해당 표에서 읽은 것만 적었다.

5.5.2 개념 — 극·슬롯 조합과 자석이 토크와 맥동을 정한다

결론부터 적으면 다음과 같다. 3상 권선의 슬롯 수 $Q$와 극수 $2p$는 권선 계수 $k_w$(토크 상수), 기자력 스펙트럼의 부조화·고조파(회전자 손실), 코깅 토크의 기본 차수 $\mathrm{LCM}(Q,2p)$를 동시에 정한다. 분수 슬롯 집중권(예: 12슬롯 10극)은 $k_w$가 $0.93$으로 높지만 기자력에 작동 차수의 $71\,\%$에 이르는 고조파(7차)와 부조화(1차)가 포함되고, 분포권(36슬롯 6극)은 기자력의 비작동 고조파가 작지만(이 장의 계산) 코일 단부가 길다(일반 서술). 토크 맥동은 코깅과 역기전력 고조파에서 나오며, 코깅은 자석 호 비율과 사선으로, 역기전력 고조파는 권선 계수와 자석 호 비율로 조정한다. 자석은 토크 상수를 $B_r$에 비례하게 만들고 온도와 감자 한계를 정하며, 같은 기하에서 NdFeB 대신 페라이트를 사용하면 토크 상수가 $0.278$배로 감소한다. 희토류 자석의 공급은 중국의 수출 관리 조치에 노출되어 있다.

이 장의 계산 결과를 미리 적으면 다음과 같다. ① 슬롯 성형도의 권선 계수가 SWAT-EM과 $1.1\times10^{-15}$ 안에서 같고 슬롯 전류에서 구한 MMF 작동 차수 진폭이 $3k_wN_{ph}I/(\pi p)$와 같다. ② 12/10은 $k_w=0.9330$이며 MMF의 부조화(1차)와 7차($0.714$배)를 가지고, 12/14는 5차가 작동 7차의 $1.400$배이다. ③ 코깅 파형의 최대 진폭 차수가 8개 조합 모두 $\mathrm{LCM}(Q,2p)$이고 기본 진폭이 $4p\lvert G_k\rvert\lvert\sin(\mathrm{LCM}\,\alpha_m\pi/2p)\rvert$와 $7.8\times10^{-9}$ 안에서 같다. ④ 12/10의 코깅은 자석 호 비율 $5/6$에서 소멸하고 사선 폭 1주기에서 $0.0039$배로 줄며 토크 상수는 $1.1\,\%$ 감소한다. ⑤ 역기전력 5·7차가 만드는 6차 맥동은 12/10에서 $0.648\,\%$, 12/8에서 $9.024\,\%$이고 닫힌 식과 같다. ⑥ 12/10 모터 예(반지름 $40$ mm, 적층 $25$ mm, N42SH)의 토크 상수는 $0.2798$ N·m/A, 모터 상수는 $0.7496$ N·m/W½이며 슬롯 도체 합이 $3k_wN_{ph}$와 같다. ⑦ 3배 과전류(90 A)의 감자 여유는 N42SH가 20 °C에서 $2.82$, 120 °C에서 $1.34$, 150 °C에서 $0.87$로 1 미만이 되고 Recoma 28HE는 $2.87\to2.01$, 페라이트 C8은 모든 온도에서 1 미만이다. ⑧ 모터 상수의 스케일링 지수가 $2.5$이다.

5.5.3 원리

5.5.3.1 슬롯 성형도와 권선 계수

슬롯 $k$의 전기각은 $\alpha_k=2\pi pk/Q$이다. 이 각도를 전기각 $60^\circ$ 위상대 여섯 개(A+·C−·B+·A−·C+·B−)로 나누면 슬롯마다 위상과 방향이 정해진다(슬롯 성형도, star of slots). 이중층 권선에서 슬롯 $k$에 위 변을 두는 코일은 슬롯 $k+y$($y$: 코일 간격)에 반대 방향의 아래 변을 둔다. 코일의 $\nu$차 고조파 기전력은 $\sin(\nu\,\Delta/2)$(피치 계수)에 코일 중심각의 위상자를 곱한 것이고, 한 상의 코일 위상자를 모두 더해 코일 수로 나눈 크기가 권선 계수 $k_{w\nu}$이다.

$$k_{w\nu}=\frac1{n_c}\left\lvert\sum_{\text{상 A의 코일}}\pm\sin\!\Bigl(\frac{\nu\Delta}{2}\Bigr)e^{\,j\nu(\alpha_k+\alpha_{k+y})/2}\right\rvert,\qquad \Delta=\frac{2\pi py}{Q}$$

슬롯의 순전류가 정해지면 공극 MMF는 슬롯 전류의 계단이고 기계 차수 $h$의 진폭은 다음과 같다.

$$A_h=\frac{1}{\pi h}\Bigl\lvert\sum_k i_ke^{-jh\,2\pi k/Q}\Bigr\rvert,\qquad A_p=\frac{3k_{w}N_{ph}I_{pk}}{\pi p}$$

작동 차수 $p$의 진폭이 $k_w$로 정해진다는 것이 이 식의 함의이며, $Q$와 $p$의 최대공약수가 1이면 $h=1$ 같은 부조화가 생긴다. 분수 슬롯 집중권(FSCW)은 $q=Q/(2pm)<1$로 코일이 한 치(tooth)를 감고, 분포권은 $q\ge1$이다. FSCW의 단부 길이가 짧고 $k_w$가 높다는 이점과 기자력 고조파에 의한 회전자 손실의 불이익은 문헌(El-Refaie 2010, Bianchi 외 2010)이 다루며 이 장은 본문을 읽지 못했다.

5.5.3.2 토크 상수의 기하 식과 모터 상수

표면 자석 모터에서 자석의 공극 자속 밀도 $B_g$는 선형 자기 회로에서 $B_g=B_r/(1+\mu_rk_cg/h_m)$($h_m$: 자석 두께, $g$: 공극, $k_c$: 카터 계수)이고 자석 호 비율 $\alpha_m$의 방사 자화 파형의 기본파는 $B_1=\tfrac4\pi B_g\sin(\alpha_m\pi/2)$이다. 기본파 쇄교 자속과 토크 상수는 다음이다.

$$\lambda_m=\frac{2k_wN_{ph}B_1RL}{p},\qquad K_T=\tfrac32p\lambda_m=3k_wN_{ph}B_1RL$$

결론은 토크가 자속 밀도·권선 계수·직렬 턴 수·반지름·적층 길이의 곱이라는 것이다. 모터 상수는 $K_m=K_T/\sqrt{1.5R_{ph}}$(피크 상전류 기준)이고 상저항은 $R_{ph}=\rho(1+0.00393(T-20))\,l_tN_{ph}/A_w$이며 구리의 온도 계수는 $0.393\,\%/^\circ$C를 사용했다(5.4의 Parker 카탈로그 각주와 같은 값). 기하 상사(모든 치수 $\ell$배, 턴 수 고정)에서 $K_T\propto\ell^2$이고 $R_{ph}\propto\ell^{-1}$이므로 $K_m\propto\ell^{5/2}$이며 5.4.3.7의 스케일링과 같다.

5.5.3.3 코깅 토크 — 주기·진폭·사선

코깅 토크는 무전류에서 자석과 슬롯이 만드는 위치 의존 토크이다. 이 장은 자석 에지 모형을 사용한다. 자석의 자속 밀도 제곱이 자석 호 안에서 일정하다고 보면 공극 에너지의 각도 미분이 자석의 앞·뒤 에지에서의 슬롯 상대 투자율 제곱 $g^2$의 차가 된다.

$$T_{cog}(a)=\sum_{m=0}^{2p-1}\bigl[g^2(\theta^{lead}_m+a)-g^2(\theta^{trail}_m+a)\bigr]$$

$g^2$가 슬롯 피치 $2\pi/Q$의 주기 함수이고 에지가 극 피치 $\pi/p$ 간격이므로 $kQ$가 $2p$의 배수일 때만 합이 남는다. 따라서 기본 차수는 $\mathrm{LCM}(Q,2p)$이고 진폭이 $4p\lvert G_k\rvert\lvert\sin(\mathrm{LCM}\,\alpha_m\pi/2p)\rvert$($G_k$: $g^2$의 슬롯 피치 $k=\mathrm{LCM}/Q$차 계수)이다. 결론은 같은 $Q$·$2p$에서도 자석 호가 코깅 주기 $360^\circ/\mathrm{LCM}$의 정수배일 때 기본 성분이 소멸하고, 슬롯 투자율의 어느 고조파가 진폭을 정하는지가 $k$로 정해진다는 것이다. 사선은 자석(또는 고정자)을 축 방향으로 비틀어 코깅 파형을 폭 $s$에 걸쳐 평균하며, 기본 성분은 $\mathrm{sinc}(s)$ 배, 토크 상수는 $\sin(p\sigma/2)/(p\sigma/2)$배($\sigma$: 사선 각)가 된다. 이 모형은 유한 요소 해석이 아니며 슬롯 개구의 형상은 가정한 매끄러운 계단(개구 $0.35$ 슬롯 피치, 전이 $0.15$, 최소 투자율 $0.4$)이다.

5.5.3.4 역기전력 고조파와 토크 맥동

슬롯 도체의 기전력을 합한 상 기전력의 $\nu$차 진폭은 $E_\nu\propto k_{w\nu}B_\nu$이고 자석 파형의 고조파는 $B_\nu/B_1=\sin(\nu\alpha_m\pi/2)/(\nu\sin(\alpha_m\pi/2))$이다. 기본파와 동위상의 사인 전류를 인가하면 평균 토크가 $1.5E_1I$이고 5차(음순)·7차(양순)는 상 사이에서 4·8차가 상쇄되어 6차 맥동만 남으며 그 진폭이 다음이다.

$$T_6=\tfrac32I\lvert E_7-E_5\rvert,\qquad \frac{T_6}{T_0}=\frac{\lvert E_7-E_5\rvert}{E_1}$$

여기서 $E_5$·$E_7$은 기본파를 사인으로 정렬했을 때의 사인 계수(부호 포함)이다. 코깅과 이 맥동 외에 전류 측정의 오프셋·이득 오차와 위치 센서 오차도 토크 맥동을 만들며 5.6·5.7·5.26이 다룬다.

5.5.3.5 영구자석 재료와 온도 계수

영구자석은 $B_r$(잔류 자속 밀도), $H_{cB}$(보자력), $H_{cJ}$(고유 보자력), $(BH)_{max}$(최대 에너지곱)로 특성화된다. Arnold 카탈로그는 소결 NdFeB의 $B_r$ 온도 계수 $\alpha(B_r)$가 $-0.12\,\%/^\circ$C이고 $H_{cJ}$ 계수 $\alpha(H_{cJ})$가 $-0.51\sim-0.62\,\%/^\circ$C이며 계수가 20~80 °C에서 측정되었다고 적는다. Recoma SmCo는 $\alpha(B_r)=-0.035\sim-0.045\,\%/^\circ$C로 NdFeB보다 작다(20~150 °C 측정). Eclipse 데이터시트의 페라이트는 $\alpha(B_r)=-0.2\,\%/^\circ$C이고 $\alpha(H_{cJ})=+0.27\,\%/^\circ$C로 보자력이 온도가 낮을수록 줄어든다. Arnold의 2012년 자료는 NdFeB가 본래 고온 자석이 아니어서 네오디뮴의 일부를 디스프로슘으로 치환해 고온에서 사용하며, 모터의 실용 상한을 150 °C로 서술하고 페라이트는 150 °C에서 자속이 25 % 줄고 약 −40 °C가 실용 하한이라고 적는다. 어느 등급이 디스프로슘을 얼마나 포함하는지는 카탈로그가 적지 않아 확인하지 못했다 (확인 필요). 두 판의 카탈로그가 같은 등급에서 다른 값을 적는 경우가 있어(N40의 $B_r$ 전형값이 2018판 1285 mT, 2021판 1270 mT) 이 장은 최신판(2021)을 사용했다.

5.5.3.6 작동점과 감자

전기자 MMF $F_a$가 자석을 감자하는 방향으로 작용하면 자석 내부 자계가 선형 회로에서 다음과 같고, 비가역 감자를 피하려면 $\lvert H_m\rvert$가 그 온도의 $H_{cJ}$보다 작아야 한다(감자 여유 $=H_{cJ}/\lvert H_m\rvert>1$).

$$B_m=\frac{B_r-\mu_0\mu_rF_a/h_m}{1+\mu_rg_e/h_m},\qquad H_m=\frac{B_m-B_r}{\mu_0\mu_r}$$

결론은 같은 전류에서 고온일수록(NdFeB·SmCo) 또는 저온일수록(페라이트) 여유가 줄어든다는 것이다. 선형 모형은 $H_{cJ}$에서 곡선의 굴곡점(knee)을 무시하고 $H_{cJ}$를 한계로 둔 근사이다. Recoma 데이터시트도 감자 자계가 강하거나 부하선이 낮으면 최대 작동 온도가 훨씬 낮아질 수 있다고 각주에 적는다.

5.5.3.7 희토류 공급·수출 관리와 대체 재료

미국 지질조사국(USGS)은 희토류의 세계 최대 용도가 자석이라고 적고 2025년 세계 광산 생산을 $390{,}000$ t(산화물 환산 추정)로, 그 가운데 중국을 $270{,}000$ t($69\,\%$)로 제시한다. Arnold의 2012년 자료는 당시 희토류 자석의 약 80 %를 중국이, 약 17 %를 일본이 생산한다고 적으며(2012년 시점) 현재의 비중은 1차 자료로 확인하지 못했다 (확인 필요). 같은 USGS 자료는 2025년 4월 중국이 사마륨·가돌리늄·터븀·디스프로슘·루테튬·스칸듐·이트륨의 합금·화합물·금속·산화물에 수출 관리를 추가했고, 10월에 유로퓸·홀뮴·에르븀·툴륨·이터븀으로 확대했으며, 11월에 10월 조치를 1년 정지했으나 4월 조치는 유지되어 선택된 수출자에게 일반 수출 허가를 발급하기 시작했다고 적는다. 정지 만료일이 2026-11-10이라는 보도가 있으며(2차 출처) 이후 연장 여부는 확인하지 못했다 (확인 필요). 디스프로슘·터븀은 고보자력 NdFeB에, 사마륨은 SmCo에 사용되므로 두 재료 모두 4월 조치의 대상 원소를 포함한다(재료 구성은 일반 서술). EU 핵심 원자재법(Regulation (EU) 2024/1252)의 안내 페이지는 2030년 기준으로 소비량의 추출 10 %·가공 40 %·재활용 25 %·단일 제3국 의존 65 % 이하를 제시하고 영구자석의 대규모 재활용과 재활용 가능성·재활용 함량 요건을 둔다고 서술한다(조항은 읽지 못했다).

대체는 네 방향이다. 첫째 페라이트를 사용하고 자속을 집중시키는 회전자 구조로 토크를 보충하는 것(이 장은 표면 자석 구조만 계산해 페라이트의 토크 상수가 $0.278$배임을 보였다). 둘째 릴럭턴스 토크를 이용해 자석 양을 줄이는 것. 셋째 자석 없는 모터(유도·릴럭턴스·권선형 동기). 넷째 디스프로슘을 줄이는 재료 개선이다. Coey(2020)의 초록은 2011년 희토류 위기 이후 희토류(또는 중희토류)를 적게 사용하는 자석이 재검토되었으나 NdFeB가 폭넓게 최적화되었고 SmCo가 고온 안정성이 필요할 때의 재료이며 Sm–Fe–N은 틈새 용도라고 서술한다. 둘째·셋째 방향의 토크 밀도·효율은 이 장이 계산하지 않았다.

5.5.4 알고리즘

슬롯 성형도(Q, p):        슬롯 k의 위상대 = floor((12 (p k mod Q) + Q) / (2 Q)) mod 6  →  (A+, C−, B+, A−, C+, B−)
권선 계수(Q, p, y, ν):    위상 A 코일마다 ± sin(ν Δ/2) exp(j ν (α_k + α_{k+y})/2)를 합하고 코일 수로 나눈 크기
슬롯 순전류:              코일 (k, k+y)의 위 변 +n_c i, 아래 변 −n_c i를 위상 전류로 합산
MMF 진폭(h):              |Σ_k i_k exp(−j h 2π k/Q)| / (π h)
코깅(Q, p, α_m, a):       Σ_m [g²(앞 에지 + a) − g²(뒤 에지 + a)],  g²: 슬롯 투자율 제곱
토크 맥동(Q, p, y, α_m):  도체 합 EMF e_m(θ)를 만들고 기본파와 동위상 전류로 T(θ) = Σ e_m i_m, 6차 진폭
설계(B_r, μ_r, h_m, g):    B_g → B_1 → K_T = 3 k_w N_ph B_1 R L → R_ph → K_m
감자(B_r, F_a, h_m, g_e):  B_m, H_m → 여유 = H_cJ(T) / |H_m|

5.5.5 풀이 예제 — 12슬롯 10극 표면 자석 모터의 권선·코깅·맥동·자석 선택

결론부터 적으면 다음과 같다. ① 슬롯 성형도의 권선 계수와 MMF 작동 차수 진폭이 SWAT-EM·닫힌 식과 같다. ② 코깅의 기본 차수가 $\mathrm{LCM}(Q,2p)$이고 진폭이 닫힌 식과 같다. ③ 12/10의 코깅은 호 비율 $5/6$에서 소멸하고 사선 1주기로 $0.0039$배가 된다. ④ 6차 맥동 $\lvert E_7-E_5\rvert/E_1$이 도체 합 시간 영역 계산과 같다. ⑤ 모터 예의 $K_T$·$K_m$이 슬롯 도체 합과 일치한다. ⑥ 감자 여유가 온도와 재료에 따라 1을 넘거나 아래로 내려간다.

구현. layout·kw·slot_i·mmf_amp·gap_B·g2·cogging·ripple·design·demag_H. 아래 코드는 순수 파이썬이다. 재료 표·표 작성·그림은 스크립트에 있다.

from math import pi, sin, cos, sqrt, gcd, radians
import cmath

BELTS = [(0, 1), (2, -1), (1, 1), (0, -1), (2, 1), (1, -1)]
MU0 = 4e-7 * pi

def layout(Q, p):
    """슬롯 k의 (위상, 부호): 전기각 60도 위상대"""
    return [BELTS[((12 * ((p * k) % Q) + Q) // (2 * Q)) % 6]
            for k in range(Q)]

def kw(Q, p, y, nu=1):
    """위상 A 코일 EMF 위상자의 합: 권선 계수(크기)"""
    s, n = 0, 0
    for k, (ph, sg) in enumerate(layout(Q, p)):
        if ph == 0:
            a0 = 2 * pi * p * k / Q
            a1 = 2 * pi * p * (k + y) / Q
            s += sg * sin(nu * (a1 - a0) / 2) \
                * cmath.exp(1j * nu * (a0 + a1) / 2)
            n += 1
    return abs(s) / n

def slot_i(Q, p, y, nc, i3):
    """슬롯 순전류: 코일(위 변 k, 아래 변 k+y)의 +-nc*i"""
    isl = [0.0] * Q
    for k, (ph, sg) in enumerate(layout(Q, p)):
        isl[k] += sg * nc * i3[ph]
        isl[(k + y) % Q] -= sg * nc * i3[ph]
    return isl

def mmf_amp(isl, h):
    """공극 MMF의 h차 진폭 |sum i_k e^(-jh th_k)|/(pi h)"""
    Q = len(isl)
    s = sum(i * cmath.exp(-1j * h * 2 * pi * k / Q)
            for k, i in enumerate(isl))
    return abs(s) / (pi * h)

def gap_B(x, Bg, am, p, nmax=61):
    """방사 자화 자석의 공극 자속 밀도(자석 호 비율 am)"""
    return sum(4 * Bg / (n * pi) * sin(n * am * pi / 2)
               * cos(n * p * x) for n in range(1, nmax, 2))

def slot_torque(isl, p, th, Bg, am):
    """도체 합: T/(R L) = sum i_k B(th_k - th)"""
    Q = len(isl)
    return sum(i * gap_B(2 * pi * k / Q - th, Bg, am, p)
               for k, i in enumerate(isl))

def g2(x, Q, beta=0.35, dl=0.15, gs=0.4):
    """슬롯 상대 투자율의 제곱(매끄러운 계단 모형)"""
    u = abs((x * Q / (2 * pi) + 0.5) % 1.0 - 0.5)
    a = beta / 2 - dl / 2
    w = 1.0 if u <= a else 0.0 if u >= a + dl else \
        0.5 * (1 + cos(pi * (u - a) / dl))
    return (1 - (1 - gs) * w) ** 2

def cogging(Q, p, am, a):
    """자석 에지 모형: T = sum [g2(앞 에지) - g2(뒤 에지)]"""
    t = 0.0
    for m in range(2 * p):
        lead = (m + (1 - am) / 2) * pi / p
        t += g2(lead + a, Q) - g2(lead + am * pi / p + a, Q)
    return t

def mag_Bg(Br, mur, hm, g, kc):
    """선형 자기 회로: B_g = Br/(1 + mur kc g/hm)"""
    return Br / (1 + mur * kc * g / hm)

def demag_H(Br, mur, hm, ge, Fa):
    """전기자 MMF Fa가 자석을 감자할 때의 자석 내부 H"""
    Bm = (Br - MU0 * mur * Fa / hm) / (1 + mur * ge / hm)
    return (Bm - Br) / (MU0 * mur)

def dft_amp(f, n, N):
    """주기 함수 샘플의 n차 진폭"""
    c = sum(v * cmath.exp(-2j * pi * n * i / N)
            for i, v in enumerate(f))
    return 2 * abs(c) / N

def ripple(Q, p, y, am, N=360, nc=10):
    """도체 합 EMF(전기 주기 N점)와 토크 6차 맥동"""
    e = [[0.0] * N for _ in range(3)]
    for i in range(N):
        th = 2 * pi * i / N / p
        B = [gap_B(2 * pi * k / Q - th, 1.0, am, p)
             for k in range(Q)]
        for k, (ph, sg) in enumerate(layout(Q, p)):
            e[ph][i] += sg * nc * (B[k] - B[(k + y) % Q])
    X = lambda f, n: 2 * sum(
        v * cmath.exp(-2j * pi * n * i / N)
        for i, v in enumerate(f)) / N
    f1 = cmath.phase(X(e[0], 1)) + pi / 2  # e_A~sin(x+f1)
    E = lambda n: abs(X(e[0], n)) * cos(
        cmath.phase(X(e[0], n)) + pi / 2 - n * f1)
    ph = [cmath.phase(X(e[m], 1)) + pi / 2 for m in range(3)]
    T = [sum(e[m][i] * sin(2 * pi * i / N + ph[m])
             for m in range(3)) for i in range(N)]
    E1, E5, E7 = E(1), E(5), E(7)
    return dict(Q=Q, p=p, y=y, E5=E5 / E1, E7=E7 / E1,
                T0=sum(T) / N, T6=dft_amp(T, 6, N),
                T0c=1.5 * E1, T6c=1.5 * abs(E7 - E5))

def design(d, Br, T=20.0, scale=1.0, mur=None):
    """표면 자석 모터: 자기 회로, K_T, R_ph, K_m"""
    s, p, Q, nc = scale, d['p'], d['Q'], d['nc']
    mur = mur or d['mur']
    Rs = (d['Rr'] + d['g']) * s
    L, hm, g = d['L'] * s, d['hm'] * s, d['g'] * s
    Bg = mag_Bg(Br, mur, hm, g, d['kc'])
    B1 = 4 / pi * Bg * sin(d['am'] * pi / 2)
    k1, Nph = kw(Q, p, d['y']), Q // 3 * nc
    KT = 3 * k1 * Nph * B1 * Rs * L   # = 1.5 p lam_m
    lt = 2 * L + 4 * d['lend'] * pi * Rs / Q
    Aw = d['kfill'] * d['Aslot'] * s * s / (2 * nc)
    Rph = d['rho'] * (1 + 0.00393 * (T - 20)) * lt * Nph / Aw
    return dict(Bg=Bg, B1=B1, kw=k1, Nph=Nph, KT=KT,
                lam=KT / (1.5 * p), Rph=Rph, ge=d['kc'] * g,
                Km=KT / sqrt(1.5 * Rph))

① 권선 조합과 기자력·코깅.

12/10과 12/14는 같은 12슬롯 권선(극 수만 다름)이고 권선 계수가 같으며 부조화 1차를 가진다. 12/14는 비작동 5차가 작동 7차의 $1.400$배이다. 코깅은 12/10(LCM 60)에 비해 12/8(24)이 $5.5$배, 36/6(36)이 $9.7$배이지만 12/14(84)는 $1.12$배, 9/8(72)은 $0.028$배, 24/22(264)는 $0.26$배이다. LCM이 클수록 줄어드는 경향이 있으나 단조롭지 않다. 진폭이 LCM이 아니라 슬롯 투자율의 $k=\mathrm{LCM}/Q$차 고조파와 자석 호의 사인 인자에 달려 있기 때문이다(9/8은 $\alpha_m=0.85$에서 호가 소멸 근처이므로 표는 $\alpha_m=0.70\sim0.90$의 제곱평균).

② 자석 호 비율과 사선.

12/10의 기본 코깅은 $\alpha_m=5/6$에서 $10^{-15}$로 사라지고 비 $0.5937$($=4p\lvert G_5\rvert$)이 일정하다. 사선 폭 $0.996$주기에서 기본 성분이 $0.0039$배이며 토크 상수는 $1.1\,\%$ 줄고, 폭 $0.5$주기에서는 $0.639$배·$0.3\,\%$이다. 이 사선은 코깅 파형의 평균이며 슬롯 개구나 자석 모양의 조정(보조 슬롯, 자석 편심)은 계산하지 않았다.

③ 역기전력 고조파와 토크 맥동.

12/10은 5·7차가 작아 6차 맥동이 $0.648\,\%$이고, 12/8은 5차 권선 계수가 기본파와 같아($k_{w5}=k_{w1}$) $9.024\,\%$이며, 36/6 완전 피치는 $1.800\,\%$, 단절 피치 5는 12/10과 같은 $0.648\,\%$이다. 평균 토크 $1.5E_1I$와 6차 진폭이 닫힌 식과 $10^{-10}$ 안에서 같다. 부호는 분포권 닫힌 식($k_{p\nu}k_{d\nu}$)과 같다(라이브러리 대조 표).

④ 자석 재료(카탈로그 표).

⑤ 모터 예의 토크 상수·모터 상수와 온도·감자.

N42SH는 20 °C에서 여유 $2.82$이나 120 °C에서 $1.34$, 150 °C에서 $0.87$로 1 미만이 된다. 단 $H_{cJ}$ 계수가 20~80 °C에서 측정되어 120~150 °C 값은 선형 외삽이며 (추정), 카탈로그의 최대 작동 온도 150 °C는 하중선을 명시하지 않은 값이다. Recoma 28HE는 토크가 $0.834$배이나 여유가 $2.87\to2.01$이다. 페라이트는 이 암페어턴(NdFeB용으로 정한 설계)에서 모든 온도에서 1 미만이고 $-40$ °C에서 $0.53$으로 더 나쁘다. 페라이트 모터는 자석을 두껍게 하거나 자속 집중 구조로 설계를 다시 해야 하며 이 장은 그것을 계산하지 않았다.

모터 상수가 $\ell=2$에서 $5.6569$배, $\ell=4$에서 $32.0000$배($=\ell^{5/2}$)이다. 슬롯 도체 합 토크가 $3k_wN_{ph}$와 $6$자리 이상 같다(표). 이 스케일링은 이 장의 기하 모형 안에서 대수적 확인이며 설계 프로그램이나 실측으로 확인한 것이 아니다 (확인 필요).

⑥ 라이브러리 대조(실행 2026-11-05). SWAT-EM 0.6.3(pyleecan 1.5.2가 comp_connection_mat에서 사용하는 권선 해석 패키지)으로 권선 계수·LCM·MMF 스펙트럼을, numpy 1.23.1 FFT로 코깅 스펙트럼과 푸리에 계수 $G_k$를, SciPy 1.13.1 uniform_filter1d로 사선 평균을, numpy 벡터 계산으로 시간 영역 맥동을, numpy.linalg.solve로 감자 회로를, scipy.constants로 진공 투자율을 같은 입력에서 비교했다. 스크립트는 robotics/fig-src/5.5-libcheck.py, 출력은 robotics/fig-src/data/5.5-libcheck-output.txt에 있다(Python 3.11 격리 환경).

SWAT-EM 대비 권선 계수는 기계 정밀도로 같고 MMF 상대 진폭의 $5.4\times10^{-5}$ 차이는 SWAT-EM이 MMF를 3601점으로 이산화한 데서 오는 것으로 보인다 (추정). SWAT-EM의 5·7차 권선 계수 부호는 자속파의 방향을 뜻하여 이 장의 사인 계수 부호와 정의가 다르므로 크기만 비교하고 부호는 분포권 닫힌 식으로 대조했다. 두 재료 모두 SWAT-EM·pyleecan의 소스로 정의를 읽었다.

한계. 코깅은 슬롯 투자율 계단 모형이고 유한 요소 해석이 아니다. 자기 포화·누설·회전자 철손·와전류 손실·자석 분할을 포함하지 않으며 선형 B-H와 $H_{cJ}$ 한계의 감자 판정은 근사이다. 모터 예의 기하·권선은 가정이며 R_ph의 단부 길이·충진율이 민감하다. 자석 값은 카탈로그의 전형·최소값이 섞여 있고 판마다 다르다.

견해: 관절용 표면 자석 모터는 12/10 같은 분수 슬롯 집중권과 NdFeB 고보자력 등급(SH 이상)을 기본으로 두고, 고온이 필요하면 코깅·맥동을 키우더라도 SmCo를 검토하며, 페라이트는 자속 집중 구조로 설계를 다시 하는 경우에만 고려한다고 본다. 근거는 이 장에서 12/10이 $k_w=0.933$이면서 코깅 상대 진폭 $1.00$(12/8 $5.52$)과 6차 맥동 $0.648\,\%$(12/8 $9.02\,\%$)를 보이고, 같은 모터에서 N42SH가 SmCo 대비 토크 상수가 $1.20$배이나 감자 여유가 120 °C에서 $1.34$ 대 $2.21$이며, 페라이트의 토크 상수가 $0.278$배라는 점이다. 이 비교는 한 기하·한 과전류(90 A)·선형 감자 모형에 대한 것이며 자석 가격과 수출 관리는 포함하지 않았다.

5.5.6 설계 트레이드오프 — 권선 조합과 자석 재료

권선은 다음 중에서 고른다.

• ① 분수 슬롯 집중권(12/10·9/8·24/22). 권선 계수가 높고 코일이 짧다. MMF에 부조화와 큰 고조파가 있어 회전자 손실이 문제이고 코깅 진폭은 조합에 따라 달라진다.
• ② 분수 슬롯 집중권(12/8·9/6). $q=1/2$로 권선 계수가 $0.866$에 그치고 코깅 기본 차수가 낮아 코깅이 크다.
• ③ 분포권(36/6). $k_w$가 높고 기자력의 비작동 고조파가 작다. 슬롯과 코일이 많고 단부가 길며 코깅 기본 차수가 36에 그친다(이 모형에서 진폭 최대).

자석은 다음 중에서 고른다.

• ① 소결 NdFeB(N42SH 등급). 토크 상수가 가장 크다. 고온에서 $H_{cJ}$가 줄어 감자 여유가 작아지며 고보자력 등급은 디스프로슘 치환에 의존한다(Arnold 2012 서술, 등급별 함량은 확인하지 못함).
• ② 소결 SmCo(Recoma 28HE). 온도 계수가 작고 작동 온도가 높다. $B_r$가 작아 토크 상수가 낮고 사마륨이 수출 관리 대상이다.
• ③ 페라이트(C8). 희토류 없이 저가이다. $B_r$가 작아 같은 기하에서 토크 상수가 $0.278$배이고 저온에서 감자 위험이 있다.

5.5.7 응용 축 비교

이 표는 이 책의 정리이며 장별 요구는 다르다. 응용별 성능 수치는 이 장이 확인하지 않았다.

5.5.8 관련 규격·프로토콜

표준의 본문은 읽지 못했고 번호를 제목으로만 가리킨다.

5.5.8.1 대표 제품과 현황

기준 시점 2026-11-05에 이 장이 읽은 제품 문서는 소결 NdFeB 카탈로그(Arnold, 2021판: N35~N55, M·H·SH·UH 등급과 $T_w$ 60~180 °C), Recoma SmCo(Arnold, 2014 저작권 표기 판: Recoma 18~35E, 최대 작동 온도 250~350 °C), 페라이트·세라믹 데이터시트(Eclipse Magnetics)이다. 모터 제품(프레임리스 토크 모터·축방향 자속 모터)은 46.4, 종합 비교는 46.13, 핵심 부품 공급망은 42.3을 가리킨다.

5.5.9 관련 규제·인증 요구와의 연결

자석 재료 자체를 규정하는 로봇 법령은 확인하지 못했다 (확인 필요). 연결점은 세 가지이다. 첫째, 희토류와 영구자석의 수출 관리·공급 안보는 40.15·40.16와 EU 핵심 원자재법(안내 페이지)이 다루며 중국의 4월 조치는 중희토류 7종의 금속·산화물·합금·화합물·영구자석 재료에 허가를 요구하고(USGS·보도) 10월 조치는 정지되어 있으나 2026-11-10 만료 보도가 있다. 둘째, 모터의 열 등급과 절연은 5.25이 연결한다. 셋째, 자화된 자석의 운송·취급(항공 운송 규정 등)과 정자기장 노출은 별도의 규정과 지침이 있을 수 있으며 ICNIRP(2009)의 정자기장 노출 지침은 서지만 확인했고(5.4.8) 이 장은 한계값과 운송 조항을 읽지 못했다 (확인 필요).

5.5.10 한계·유의점·미해결

• 유한 요소 해석 없음. 코깅·역기전력·인덕턴스는 슬롯 도체 합과 슬롯 투자율 계단 모형이며 자기 포화·누설·슬롯 개구 형상 효과를 포함하지 않는다.
• 감자 판정의 근사. 선형 B-H와 $H_{cJ}$ 한계를 사용했고 계수는 20~80 °C(NdFeB)에서 측정된 것을 외삽했다.
• 가정한 기하. 12/10 예의 치수·권선은 가정이며 상저항·모터 상수의 절대값은 제품과 다르다.
• 자석 값의 판 의존. 카탈로그 판마다 값이 달라(같은 등급 $B_r$ 15 mT 차이) 최신 개정을 확인해야 한다.
• 공급·정책의 시점 의존. 수출 관리는 2026-11-10 전후로 바뀔 수 있으며 이 장은 이후를 확인하지 못했다.
• 제외. 회전자 철손·와전류 손실, 약계자와 $d$축 전류의 설계, 비희토류 자석(MnAl·Fe-N 등) 재료의 상세, 자석 가격은 다루지 않았다.

5.5.11 체크포인트·연구 질문·출처

체크포인트:

1. 슬롯 성형도에서 12/10 권선의 위상과 방향을 구하고 $k_{w1}=0.933$을 코일 위상자의 합으로 계산하라.
2. 슬롯 전류의 계단 MMF에서 $A_h$를 유도하고 작동 차수 진폭이 $3k_wN_{ph}I/(\pi p)$임을 보여라.
3. 자석 에지 모형에서 코깅 기본 차수가 $\mathrm{LCM}(Q,2p)$이고 진폭이 $\lvert\sin(\mathrm{LCM}\,\alpha_m\pi/2p)\rvert$에 비례함을 유도하라.
4. 상 기전력의 5·7차가 6차 토크 맥동 $\tfrac32I\lvert E_7-E_5\rvert$만 남기는 이유(4·8차 상쇄)를 상 사이의 위상 이동으로 설명하라.
5. $K_T=3k_wN_{ph}B_1RL$을 쇄교 자속과 슬롯 도체 합 두 방법으로 유도하라.
6. 선형 자기 회로에서 감자 자계 $H_m$을 유도하고 NdFeB와 페라이트의 감자 여유가 온도에 반대로 변하는 이유를 계수의 부호로 설명하라.
7. 기하 상사에서 $K_m\propto\ell^{5/2}$를 유도하라.

연구 질문:

• 분수 슬롯 집중권의 부조화 MMF가 만드는 회전자 손실을 이 장의 MMF 스펙트럼으로 정량화하려면 무엇이 필요한가(이 장은 손실을 계산하지 않았다)?
• 중희토류를 줄인 NdFeB(입계 확산 등)와 SmCo, 자속 집중 페라이트의 관절용 토크 밀도·감자 여유·공급 위험을 같은 사양에서 비교하면 어느 쪽이 유리한가?
• 슬롯 투자율 계단 모형으로 구한 코깅 진폭을 유한 요소 해석과 실측으로 검증하면 어느 정도 어긋나는가?

1차 출처(조회 2026-11-05).

• Arnold Magnetic Technologies, Neodymium Iron Boron Magnet Catalog, Rev. 210607(2021)과 Rev. 181031(2018) — 등급 요약표와 등급 쪽을 읽음.
• Arnold Magnetic Technologies, Recoma Sintered Samarium Cobalt Magnets, Rev. 160205a(© 2014) — 주요 등급 요약표와 Recoma 20·28HE 쪽을 읽음.
• Eclipse Magnetics, Technical Data Sheet — Ferrite Magnets / Ceramic Magnets — 읽음.
• S. Constantinides, "The Demand for Rare Earth Materials in Permanent Magnets," Arnold Magnetic Technologies, 2012-09 — 슬라이드 일부를 읽음(2012년 시점의 서술).
• U.S. Geological Survey, Mineral Commodity Summaries 2026, "Rare Earths" — 읽음.
• European Commission, "Critical Raw Materials Act" 안내 페이지 — 읽음.
• Mining Technology, "China rare earth export pause nears expiry amid persistent supply concentration," 2026-04-27 — 2차 출처로 읽음.
• SWAT-EM 0.6.3(권선 해석), pyleecan 1.5.2 — 소스 일부를 읽고 대조에 사용.
• Z. Q. Zhu, D. Howe, "Influence of design parameters on cogging torque in permanent magnet machines," IEEE Trans. Energy Conversion 15(4), 407–412, 2000, doi:10.1109/60.900501 — 서지만 확인.
• A. M. El-Refaie, "Fractional-slot concentrated-windings synchronous permanent magnet machines: opportunities and challenges," IEEE Trans. Industrial Electronics 57(1), 107–121, 2010, doi:10.1109/TIE.2009.2030211 — 서지만 확인.
• N. Bianchi, S. Bolognani, E. Fornasiero, "An overview of rotor losses determination in three-phase fractional-slot PM machines," IEEE Trans. Industry Applications 46(6), 2338–2345, 2010, doi:10.1109/TIA.2010.2070472 — 서지만 확인.
• J. M. D. Coey, "Perspective and prospects for rare earth permanent magnets," Engineering 6(2), 119–131, 2020, doi:10.1016/j.eng.2018.11.034 — 초록만 읽음.
• J. Widmer 외, "Electric vehicle traction motors without rare earth magnets," Sustainable Materials and Technologies 3, 7–13, 2015, doi:10.1016/j.susmat.2015.02.001 — 서지만 확인.
• O. Gutfleisch 외, "Magnetic materials and devices for the 21st century: stronger, lighter, and more energy efficient," Advanced Materials 23(7), 821–842, 2011, doi:10.1002/adma.201002180 — 서지만 확인.
• J. Pyrhönen, T. Jokinen, V. Hrabovcová, Design of Rotating Electrical Machines, Wiley, 2nd ed. 2013, doi:10.1002/9781118701591; J. F. Gieras, Permanent Magnet Motor Technology, CRC Press, 2009, doi:10.1201/9781420064414; J. R. Hendershot, T. J. E. Miller, Design of Brushless Permanent-Magnet Motors, Oxford University Press, 1995, doi:10.1093/oso/9780198593898.001.0001 — 서지만 확인.
• numpy 1.23.1(fft·linalg.solve·polyfit), SciPy 1.13.1(ndimage.uniform_filter1d·constants).

다음 장. 5.6은 모터를 구동하는 인버터를 다룬다. 3상 전압형 인버터의 구조, PWM 변조와 데드타임, 전류 측정과 전류 제어기가 이 장의 모터 모형(인덕턴스·역기전력)에 전압과 전류를 공급하는 방식을 이어서 본다.