제4부 항법 — GNSS와 그 너머
4.3 관성항법: 센서 등급·오차 전파·순수 관성의 한계
4.3.1 이 장에서 배우는 것 / 선수 지식 / 특히 중요한 독자
이 장은 외부 신호 없이 스스로 위치를 아는 센서인 관성항법을 다룬다. GNSS가 끊긴 뒤 기체가 얼마나 유지하는지를 이 장의 계산이 정한다. 2.6.6이 "허용 위치 오차를 오차 성장률로 나눈 값"이라고 작성한 문장을 여기서 숫자로 바꾼다.
배우는 것:
- 센서의 원리 — MEMS 가속도계·자이로, 광섬유 자이로(FOG)와 링 레이저 자이로(RLG)의 Sagnac 효과와 그 신호의 크기.
- 센서 등급과 Allan 편차 — 소비자·전술·항법급의 오차 계수, 시계열에서 이 계수를 읽는 법.
- 기계화 — 자세 적분, 비력의 좌표 변환, 중력·코리올리 보상, 속도와 위치의 적분.
- 오차 전파 — 가속도계 바이어스의 $\tfrac12 b_a t^2$, 자이로 바이어스의 $\tfrac16 g\varepsilon t^3$, 84.4분 Schuler 진동과 그 뒤의 선형 성장.
- 순수 관성의 한계 시간 — 센서 등급별 오차 성장 곡선과 50 m·100 m에 닿는 시간. 이 값을 4.13가 한 그림으로 모은다.
- 정렬·보정·IMU와 수출통제 — 초기 자세, 진동 정류, 소형 UAS의 IMU, 정밀 관성 부품의 통제.
선수 지식: 4.1(항법 방정식·좌표계), 자세 표현 2.1.3, 진동과 IMU 1.29.5. 칼만 필터 결합은 4.4이 맡고 양자 관성은 4.12이, 오토파일럿의 필터 구조는 2.2·2.10가 맡는다.
특히 중요한 독자: 엔지니어는 4.3.6과 4.3.7(오차 전파와 한계 시간)을 본다. 운용·인증 담당자는 4.3.7의 표와 4.3.11의 워크스루를 본다. 정책·사업 담당자는 4.3.2, 4.3.12, 4.3.13을 먼저 보고 수출통제를 다루는 4.3.10을 본다.
기준 시점과 정직성. 이 장은 2026년 10월 기준이며 지식 한계는 2026년 중반이다. 센서 등급의 오차 범위는
(경험 범위)이고 제품 값은 제조사의 공개 자료에서 읽었다(공개 주장치, 2차 확인). 오차 성장 곡선의 입력은 교육용 가정이며 등급별 값을 4.3.7의 표에 밝혔다. 모형은 수평 한 축이고 방위 오차·수직 채널·환산계수 오차·비직교를 넣지 않은 하한이다. 계산은fig-src/4.3-model.py(표준 라이브러리, 합성 시계열은 고정 시드 79)로 했다. 칼만 필터 이론은 자매서kalmann의 몫이다.
4.3.2 개념·직관 — 가속도를 두 번 적분하고 오차도 두 번 적분된다
관성항법은 가속도계가 재는 비력(중력의 반작용을 포함한 가속도)을 한 번 적분해 속도를, 한 번 더 적분해 위치를 얻는다. 자이로는 기체가 어느 방향을 보는지를 알려 주어 비력을 올바른 방향으로 돌린다. 외부에서 들어오는 것이 없으므로 재밍되지 않고 가려지지 않으며 위장되지 않는다. 위성항법의 정확히 반대 성질이다.
대가는 오차가 적분되어 자란다는 것이다. 속도 바이어스는 시간에 비례하고, 가속도계 바이어스는 시간의 제곱, 자이로 바이어스는 시간의 세제곱으로 위치 오차가 된다(자이로 바이어스가 자세를 틀어 중력의 일부를 수평 가속도로 오인하게 하기 때문이다). 지구 곡률이 만드는 되먹임(Schuler 진동)은 이 성장을 84.4분 주기의 진동 위에 중첩하고 길게 보면 자이로 바이어스만 선형으로 남긴다. 그래서 같은 센서도 시간 척도에 따라 다른 얼굴을 한다. 처음에는 가속도계와 초기 자세가, 그 뒤에는 자이로가 지배한다. 넘어가는 시각은 등급마다 다르다. 4.3.7.1의 가정에서 소비자 MEMS는 약 3.6분, 항법급은 약 39분이다.
세 축에서 용도이 다르다. 민간 UAS의 오토파일럿 IMU는 MEMS이고 본업이 자세 센서다. 위치 항법으로는 GNSS가 끊긴 뒤 1분 안팎만 믿을 수 있다. 군용 드론은 전술급 이상의 관성항법 장치로 GNSS 거부 환경의 연속성을 사는데(4.6·4.13), 정밀 부품은 수출통제 대상이다. AAM은 인증된 관성 기준 장치를 유인기 수준으로 사용하고, 유인 운용의 자세 표시와 비상 비행 절차의 근거가 된다(17.14). 비교표는 4.3.13에 있다.
4.3.3 센서의 원리
4.3.3.1 가속도계
가속도계는 질량이 가속될 때 스프링을 누르는 힘을 잰다. 정지한 기체의 가속도계는 위쪽으로 $+1\,g$를 읽는다(중력에 대한 반작용). 읽는 값은 가속도가 아니라 비력이므로 중력을 따로 계산해 더해야 가속도가 나온다. 소형 UAS의 MEMS 가속도계는 실리콘 질량의 정전용량 변화를 읽고, 전술·항법급은 진동하는 빔(공진 주파수의 변화)이나 서보 진자(석영 플렉스)를 사용한다 (경험, 제품별 확인 필요).
4.3.3.2 자이로
MEMS 자이로는 진동하는 질량에 작용하는 코리올리 힘으로 각속도를 읽는다. 작고 싸고 저전력이지만 바이어스 안정도가 1~수십 °/h에 머문다. 광섬유 자이로(FOG)와 링 레이저 자이로(RLG)는 빛의 Sagnac 효과를 사용한다. 회전하는 고리 안을 서로 반대로 도는 두 빛이 만나면 회전 각속도 $\Omega$에 비례하는 위상차(또는 주파수차)가 생긴다.
$$\Delta\phi_{\text{FOG}}=\frac{2\pi L D}{\lambda c}\,\Omega,\qquad \Delta f_{\text{RLG}}=\frac{4A}{\lambda P}\,\Omega$$
$L$은 코일의 광섬유 길이, $D$는 코일 지름, $A$와 $P$는 레이저 고리의 면적과 둘레다. 신호가 얼마나 작은지 계산하면 정밀 자이로의 어려움이 보인다.
| 자이로 | 가정 | 눈금 | 지구 자전($7.29\times10^{-5}$ rad/s) | $0.01$ °/h |
|---|---|---|---|---|
| FOG | $L=1$ km, $D=8$ cm, $\lambda=1.55$ µm | 1.08 rad per rad/s | 78.9 µrad | 52 nrad |
| FOG(작은 코일) | $L=200$ m, $D=5$ cm | 0.135 rad per rad/s | 9.9 µrad | 6.6 nrad |
| RLG | 정사각 고리, 둘레 0.28 m, $\lambda=632.8$ nm | $1.11\times10^{5}$ Hz per rad/s | 8.07 Hz | 5.4 mHz |
항법급이 요구하는 0.01 °/h는 FOG에서 위상 52 nrad, RLG에서 5.4 mHz다. 이 작은 신호를 재는 광학 부품과 전자 회로가 값을 정한다. RLG는 낮은 회전에서 두 빛이 서로 끌려 들어가 하나로 붙는 lock-in을 막기 위해 고리를 진동(dither)시키는 기계 부품이 필요하다 (경험). MEMS는 이 문제가 없는 대신 신호가 더 크고(코리올리) 잡음도 더 크다.
4.3.4 센서 등급과 Allan 편차
시뮬레이터에서 IMU 잡음 밀도를 표본 간격에 맞춰 이산화하는 법과 그 함정은 8.28.6.1이 다룬다.
4.3.4.1 등급 — 대표 범위
센서 등급은 바이어스 불안정성(bias instability)과 랜덤 워크 계수로 나눈다. 아래 범위는 문헌에 흔한 대표값이다 (경험 범위). 경계는 분류하는 문헌마다 다르다.
| 등급 | 자이로 바이어스 불안정성 [°/h] | 각도 랜덤 워크(ARW) [°/√h] | 가속도계 바이어스 | 대표 용도 |
|---|---|---|---|---|
| 소비자 MEMS | 수 ~ 수십 이상 | 0.2 ~ 1 | 수 mg | 스마트폰, 취미·상용 드론 오토파일럿 |
| 전술 MEMS·소형 FOG | 0.1 ~ 10 | 0.05 ~ 0.2 | 0.05 ~ 1 mg | 소형 무인기 항법, 군용 전술 체계 (공개 범위) |
| 고급 전술 FOG·RLG | 0.01 ~ 1 | 0.01 ~ 0.05 | 수십 ~ 수백 µg | 전술 무인기·유인 헬리콥터 |
| 항법급 | ~0.01 | ~0.002 | 25 ~ 100 µg | 항공기 관성기준장치, 선박 |
| 전략급 | $\lesssim0.001$ | $\lesssim0.0005$ | 수 µg | 잠수함·전략 체계(소형 UAS와 무관) |
공개 자료로 읽은 제품 값은 다음과 같다. Analog Devices ADIS16495-1은 자이로 바이어스 안정도 0.8 °/h, 랜덤 워크 0.09 °/√h, 가속도계 3.2 µg(평균 바이어스 안정도, 정상값)다. Honeywell HG1700 AG58은 NovAtel의 소개 자료에서 자이로 바이어스 1 °/h, 랜덤 워크 0.125 °/√h, 가속도계 바이어스 1 mg다. Honeywell HG9900은 자이로 바이어스 안정도 0.0021 °/h, 가속도계 바이어스 안정도 25 µg이고 0.8 nmi/h의 성능을 표방한다 (이상 공개 주장치, 2차 확인, 판 확인 필요). 데이터시트의 "안정도"는 같은 켜짐 동안의 느린 변화이고 켤 때마다 달라지는 반복성과 온도 의존은 따로 있다. 위치 오차에 들어가는 값은 필터가 추정하고 남은 잔여 바이어스다.
4.3.4.2 Allan 편차를 읽는 법
Allan 편차는 센서 출력을 평균 시간 $\tau$ 단위로 나눠 이웃한 평균의 차를 보는 통계다. 잡음의 종류가 서로 다른 기울기로 드러난다. 규격 절차는 IEEE Std 952(FOG, 현행 952-2020)와 1293(가속도계, 현행 1293-2018)이다. 문헌이 흔히 인용하는 952-1997·1293-1998은 이 판들로 대체되었다.
$$\sigma_A^{2}(\tau)=\tfrac12\left\langle\left(\bar y_{k+1}-\bar y_k\right)^{2}\right\rangle$$
| 구간(로그-로그) | 기울기 | 잡음 | 읽는 법 |
|---|---|---|---|
| 짧은 $\tau$ | $-1/2$ | 각도 랜덤 워크(ARW) $N$ | $\tau=1$ s의 값이 $N$ |
| 최저점 | 0 | 바이어스 불안정성 $B$ | 최저점 값을 0.664로 나눈다 |
| 긴 $\tau$ | $+1/2$ | 각속도 랜덤 워크(RRW, rate random walk) $K$ | $\sigma_A=K\sqrt{\tau/3}$ |
아래 그림은 입력 $N=0.1$ °/√h, $B=1$ °/h(여섯 개 1차 마르코프 과정의 합), $K=0.6$ °/h/√h로 5 Hz·$2\times10^5$ s 자이로 시계열을 만들고(시드 79) 중첩 Allan 편차를 구한 것이다.
| 계수 | 입력 | 읽은 값 | 읽는 법 |
|---|---|---|---|
| $N$ | 0.100 °/√h | 0.100 °/√h | $\tau\le2$ s에서 $\sigma_A\sqrt\tau$의 평균 6.01 °/h·√s를 60으로 나눔 |
| $B$ | 1.0 °/h | 약 0.88 °/h | 최저점($10^3$~$10^4$ s의 네 점)의 평균 0.58 °/h를 0.664로 나눔 |
| $K$ | 0.6 °/h/√h | 0.50~0.61 °/h/√h | $\tau\ge2\times10^4$ s에서 $\sigma_A\sqrt{3/\tau}$ |
$N$과 $K$는 잘 읽히지만 $B$는 12 % 낮게 읽혔다. 이유는 둘이다. 긴 $\tau$의 Allan 편차는 평균을 낼 덩어리 수가 적다. 점 하나의 상대 불확실성 $1/\sqrt{2(n-1)}$($n$은 덩어리 수)이 $\tau=10^3$ s에서 약 5 %, $10^4$ s에서 약 16 %다. 또 합성에 사용한 마르코프 합은 평탄한 최저점의 근사일 뿐이다. 읽는 방식도 값을 바꾼다. 최저점의 평균 대신 최솟값($6.3\times10^3$ s의 0.50 °/h)으로 읽으면 0.75 °/h가 된다. 실제 데이터에서도 최저점 하나의 값을 비행시험 몇 시간에서 읽으면 이 정도 오차가 있다는 뜻이다.
4.3.5 관성항법의 기계화
센서가 기체에 고정된 스트랩다운 방식의 계산은 네 단계다. 아래 그림은 구조이고 식은 4.1.4.1의 속도 방정식이다.
① 자세 갱신 — 자이로의 각속도로 $C_b^n$을 갱신한다. 지구 자전과 이동에 의한 국소 좌표의 회전 $\boldsymbol\omega_{in}^n$을 뺀다. 회전과 진동이 심한 기체에서는 샘플 사이의 운동을 정확히 적분하려고 각도와 속도의 증분(코닝 보상·스컬링 보상)을 사용한다(1.29). ② 비력 회전 — $\mathbf f^n=C_b^n\mathbf f^b$. ③ 중력·코리올리 보정 — $\dot{\mathbf v}^n=\mathbf f^n-(2\boldsymbol\omega_{ie}^n+\boldsymbol\omega_{en}^n)\times\mathbf v^n+\mathbf g^n$. ④ 적분 — 속도와 위치.
보정 항의 크기를 비교하면 어느 등급에서 무엇을 챙겨야 하는지가 보인다.
| 항 | 크기 | 의미 |
|---|---|---|
| 중력 모형 오차: 표준 9.80665 대 서울 위도의 정규 중력 9.79955 m/s² | 0.72 mg | 소비자 MEMS 바이어스(1 mg)과 같은 자릿수. 위도에 맞는 중력 모형을 사용해야 한다(WGS 84 지구 모델, 4.1.3.2) |
| 중력의 높이 변화(자유 공기 기울기, 높이 120 m) | 0.04 mg | 전술급 이하에서는 무시 |
| 코리올리 크기의 상한 $2\omega_{ie}v$, $v=15$ m/s | 0.22 mg | 전술급 가속도계 바이어스(0.05~0.1 mg)보다 크다. 수평 성분은 $\sin\varphi$배(서울 0.14 mg) |
| 코리올리 크기의 상한, $v=100$ m/s | 1.49 mg | 고속 기체에서는 소비자 MEMS도 챙긴다 |
결론은 등급이 올라갈수록 보정해야 할 항이 늘어난다는 것이다. 센서 정밀도를 올리고 모형 항을 빼먹으면 이득이 없다.
4.3.6 오차 전파와 Schuler 진동
4.3.6.1 짧은 시간의 닫힌 식
센서 오차가 위치 오차가 되는 식은 다음이다(작은 각도, 수평 한 축). $b_a$는 가속도계 바이어스, $\varepsilon$는 자이로 바이어스, $\theta_0$는 초기 수평 자세 오차, $N$은 각도 랜덤 워크, $q$는 속도 랜덤 워크(VRW)다.
| 오차 원천 | 위치 오차 1σ | 성장 |
|---|---|---|
| 가속도계 바이어스 $b_a$ | $\tfrac12 b_a t^{2}$ | $t^{2}$ |
| 자이로 바이어스 $\varepsilon$ | $\tfrac16 g\,\varepsilon\,t^{3}$ | $t^{3}$ |
| 초기 기울기 $\theta_0$ | $\tfrac12 g\,\theta_0\,t^{2}$ | $t^{2}$ |
| 각도 랜덤 워크 $N$ | $g\,N\,t^{5/2}/\sqrt{20}$ | $t^{5/2}$ |
| 속도 랜덤 워크 $q$ | $q\,t^{3/2}/\sqrt{3}$ | $t^{3/2}$ |
기울기 1 mrad는 가속도계 바이어스 1 mg와 같다($g\theta_0=9.8\times10^{-3}$ m/s²). 자세를 0.057° 틀리게 아는 것과 가속도계가 1 mg 틀린 것이 같은 오차다. 이 식을 소비자 MEMS($b_a=1$ mg, $\varepsilon=10$ °/h, $\theta_0=0.2°$, $N=0.2$ °/√h)의 60초에 넣으면 가속도 바이어스 17.6 m, 자이로 바이어스 17.1 m, 초기 기울기 61.6 m, 랜덤 워크 3.6 m다. 짧은 시간에는 초기 자세 오차가 지배한다. 위의 랜덤 워크 식 두 개는 공분산 방정식을 따로 적분한 값과 맞는다(60초에 각도 랜덤 워크 3.557 m 대 3.556 m, 속도 랜덤 워크 0.224 m 대 0.223 m).
4.3.6.2 Schuler 진동
지구 곡률이 만드는 되먹임이 있다. 기체가 수평으로 움직이면 지구가 아래로 휘어 기울기 오차가 생기고($\dot\theta=v/R$), 기울기 오차는 수평 가속도 오차($\dot v=-g\theta$)가 된다. 수평 한 축의 오차 방정식을 풀면 진동수가 지구 곡률 반지름과 중력으로만 정해진다.
$$\omega_s=\sqrt{g/R},\qquad T_s=2\pi\sqrt{R/g}=5{,}064\ \mathrm{s}=84.4\ \mathrm{min}$$
($R=6371$ km, $g=9.80665$ m/s²). 이 진동수에서 위치 오차 세 항의 닫힌 식은 다음과 같다.
$$\delta p_{b}=\frac{b_a}{\omega_s^{2}}\left(1-\cos\omega_s t\right),\qquad \delta p_{\theta_0}=\theta_0 R\left(1-\cos\omega_s t\right),\qquad \delta p_{\varepsilon}=\varepsilon R\left(t-\frac{\sin\omega_s t}{\omega_s}\right)$$
가속도계 바이어스와 초기 기울기의 오차는 84.4분 주기로 진동하며 한정되고(최대 $2b_aR/g$, 1 mg이면 12.7 km), 자이로 바이어스는 길게 보면 $\varepsilon R t$로 선형으로 자란다. 후자의 크기를 보면 감각이 선다.
| 자이로 바이어스 $\varepsilon$ | 10 °/h | 1 °/h | 0.1 °/h | 0.01 °/h |
|---|---|---|---|---|
| 성장률 $\varepsilon R$ | 309 m/s | 30.9 m/s | 3.09 m/s | 0.309 m/s |
| 환산 | 600 NM/h | 60 NM/h | 6.0 NM/h | 0.60 NM/h |
($1\ \mathrm{NM/h}\approx0.0167$ °/h.) 짧은 시간의 $\tfrac16g\varepsilon t^3$는 $\omega_s t\ll1$에서만 맞는다. $\omega_s t=1$인 13.4분(806 s)에서 이미 정확해보다 5 % 크고, 그 뒤에는 위의 선형 성장으로 넘어간다. 한정된 진동이 "안전"을 뜻하지 않는다. 1 mg 바이어스의 한계 12.7 km는 어떤 임무에서도 사용할 수 없는 값이다.
4.3.6.3 모형이 넣지 않은 것
수직 채널은 불안정하다. 높이 오차의 되먹임이 양의 방향이어서 e-접힘 시간이 $1/\sqrt{2g/R}=570$ s(9.5분)이다. 그래서 관성 높이는 기압 고도계와 결합하지 않으면 사용하지 못한다(2.8.8). 방위 오차도 이 모형 밖에 있다. 방위가 틀리면 이동 방향이 틀어져 4.1.4.1의 거리에 비례하는 오차가 가산되고, 자이로 바이어스가 방위를 서서히 돌려 결합한다. 그래서 아래 곡선은 실제의 하한이다.
4.3.7 순수 관성의 한계 시간
4.3.7.1 가정과 곡선
네 등급의 입력은 다음 가정이다(교육용 가정, 필터가 추정하고 남은 잔여 값). 각 오차는 독립이고 1σ이며 위치 오차는 제곱합으로 합친다.
| 등급 | 자이로 바이어스 $\varepsilon$ [°/h] | 각도 랜덤 워크 $N$ [°/√h] | 가속도계 바이어스 $b_a$ [mg] | 속도 랜덤 워크 $q$ [m/s/√h] | 초기 기울기 $\theta_0$ [°] |
|---|---|---|---|---|---|
| 소비자 MEMS | 10 | 0.2 | 1.0 | 0.05 | 0.2 |
| 전술 MEMS | 1 | 0.1 | 0.1 | 0.02 | 0.05 |
| 고급 전술 FOG | 0.1 | 0.01 | 0.05 | 0.01 | 0.01 |
| 항법급 RLG·FOG | 0.01 | 0.002 | 0.025 | 0.005 | 0.003 |
| 등급 | 10 s | 1분 | 5분 | 10분 | 30분 | 60분 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 소비자 MEMS | 1.8 m | 66 m | 2.7 km | 17.8 km | 362 km | 1,354 km |
| 전술 MEMS | 0.4 m | 15.7 m | 449 m | 2.3 km | 37.7 km | 136 km |
| 고급 전술 FOG | 0.09 m | 3.2 m | 83 m | 353 m | 4.1 km | 13.7 km |
| 항법급 RLG·FOG | 0.03 m | 1.0 m | 25.5 m | 99.8 m | 709 m | 1.46 km |
항법급의 60분 오차 1.46 km(0.8 NM)는 항법급 관성항법 장치가 표방하는 시간당 1 NM 안팎과 같은 자릿수다 (공개 주장치 0.8 nmi/h와 비교). 소비자 MEMS는 5분에 수 km, 30분에 수백 km이므로 의미 있는 위치가 아니다. 이 표는 단절 순간의 위치·속도 오차를 0으로 둔 값이다. 결합 필터를 거친 실제 단절에서는 소비자·전술 MEMS의 오차가 이보다 작고, 항법급은 GNSS를 짧게 받은 직후라면 남은 속도 불확실성 때문에 더 클 수 있다(4.4.8.2).
4.3.7.2 한계 시간 — 2.6.6의 문장을 정량화한다
2.6.6은 "버틸 수 있는 시간은 허용 위치 오차를 오차 성장률로 나눈 값"이라고 작성했다. 성장률이 일정하다면 맞는 말이다. 그러나 관성 오차는 $t^2$·$t^3$로 자라서 성장률이 상수가 아니다. 허용 오차 $L$에 닿는 시간 $t^*$를 직접 구해야 한다. 한 오차만 지배한다면 닫힌 식이 있다.
$$t^{*}_{b}=\sqrt{\frac{2L}{b_a}},\qquad t^{*}_{\varepsilon}=\left(\frac{6L}{g\,\varepsilon}\right)^{1/3},\qquad t^{*}_{\theta}=\sqrt{\frac{2L}{g\,\theta_0}}$$
소비자 MEMS에서 $L=100$ m이면 각각 143 s, 108 s, 76 s이고 합성 모형은 73 s다. 가장 짧은 항이 지배하되 합치면 더 짧아진다. 모형으로 구한 한계 시간과 6 kg 결합형(순항 13.9 m/s, 2.6.5.2)이 그 시간에 가는 거리는 다음과 같다.
| 등급 | 50 m | 100 m | 1 km | 5 km | 100 m까지 비행 거리 |
|---|---|---|---|---|---|
| 소비자 MEMS | 52 s | 73 s | 204 s | 380 s | 1.0 km |
| 전술 MEMS | 106 s | 149 s | 426 s | 816 s | 2.1 km |
| 고급 전술 FOG | 235 s | 329 s | 963 s | 1,972 s | 4.6 km |
| 항법급 RLG·FOG | 422 s | 601 s | 2,327 s | 2시간 안에 닿지 않음 | 8.3 km |
센서를 10배 좋게 해도 한계 시간은 2~3배만 늘어난다($t^*\propto\varepsilon^{-1/3}$, $b_a^{-1/2}$로 10배 개선이 2.15배, 3.16배). 소비자 MEMS에서 전술 MEMS로 가면 73 s에서 149 s(2.0배), 고급 전술로 329 s(2.2배), 항법급으로 601 s(1.8배)다. 오차가 세제곱·제곱으로 자라는 물리가 만든 한계다. 이 표가 4.13의 "GNSS 거부 시간 대 위치 오차" 그래프에서 관성 곡선들의 근거다. 같은 모형 값은 4.13가 읽을 수 있게 표로 남겼다. 4.13는 이 1σ 값을 95 % 반경(한 축 $\sigma$의 2.448배, 4.1.6)으로 바꿔 쓰므로 같은 허용 오차에 닿는 시간이 더 짧다. 예를 들어 95 % 반경 100 m에 닿는 시간은 소비자 MEMS 47 s, 항법급 381 s다.
4.3.8 정렬 — 초기 자세
관성항법은 시작할 때 자세를 알아야 한다. 수평 정렬은 정지한 기체에서 가속도계가 재는 중력의 방향으로 롤·피치를 구한다. 정확도는 바이어스를 중력으로 나눈 값이다(1 mg이면 0.057°). 방위 정렬(자이로컴퍼싱)은 자이로가 재는 지구 자전의 수평 성분(북쪽 방향)으로 방위를 구한다. 서울의 수평 성분은 11.92 °/h이므로 자이로 바이어스가 이 값보다 충분히 작아야 한다. 방위 오차는 대략 $\delta\psi\approx\arctan\left(\varepsilon/(\Omega\cos\varphi)\right)$다.
| 자이로 바이어스 [°/h] | 10 | 1 | 0.1 | 0.01 |
|---|---|---|---|---|
| 방위 오차(서울) | 40° | 4.8° | 0.48° | 0.048° |
MEMS급은 지구 자전 자체를 못 읽으므로 자력계나 GNSS 속도로 방위를 맞춘다(4.4). 항법급은 자이로컴퍼싱이 수 분 걸린다 (경험 범위). 비행 중에는 GNSS 속도와의 불일치로 정렬을 다듬는 공중 정렬을 사용한다. 정렬이 틀린 채 출발하면 4.3.6의 초기 기울기·방위 오차가 곧바로 위치 오차가 된다.
4.3.9 센서 오차의 보정과 진동 정류
센서의 출력은 참값에 여러 오차가 중첩된 것이다. $\mathbf y=(I+S+M)\mathbf x+\mathbf b(T)+\mathbf g_s\mathbf a+\mathbf n$ 형태로 나타낸다.
| 오차 | 무엇인가 | 보정 |
|---|---|---|
| 바이어스 $\mathbf b(T)$ | 입력이 0일 때의 출력, 온도에 따라 변함 | 온도 챔버 보정, 비행 중 필터 추정 |
| 환산계수 $S$ | 입력에 대한 비례 오차(ppm~%) | 회전 테이블·6면 정지 보정 |
| 비직교·축 비정렬 $M$ | 센서 축이 서로 직각이 아님 | 보정 행렬 |
| g-감도 | 자이로 출력이 가속도에 의존 | 보정 행렬 |
| 진동 정류 | 가속도계가 진동을 직류 바이어스로 바꿈 | 방진, 대역 제한(1.29.5) |
| 잡음 $\mathbf n$ | 랜덤 워크 | 필터 |
진동 정류는 소형 UAS에서 특히 해롭다. 가속도계의 2차 비선형 계수 $k_2$가 진동 진폭의 제곱에 비례하는 직류 바이어스를 만든다($b_{\text{VRE}}=k_2\,a_{\text{rms}}^2$). 가정 값 $k_2=200$ µg/g², 진동 1.5 g rms이면 바이어스 450 µg(0.45 mg)이고 이는 MEMS 가속도계의 바이어스 1 mg와 같은 자릿수다. 이 바이어스는 호버에서 고도·속도가 천천히 흘러가는 증상으로 나타나며(1.29.5), 60초에 7.9 m, 300초에 199 m의 위치 오차($\tfrac12bt^2$)다. 진동 정류는 데이터시트에 잘 적혀 있지 않아 기체에서 시험으로 측정해야 한다(진동 1.29, 진동 환경 시험 8.9, 비행시험 계측 8.20).
4.3.10 소형 UAS의 IMU와 정밀 부품의 통제
소형 UAS의 오토파일럿 IMU는 MEMS 6축 센서(자이로·가속도계)이고 일부는 자력계와 기압계를 함께 둔다. 이중·삼중으로 두고 방진 마운트에 장착하며 일부 제품은 IMU의 온도를 일정하게 유지하는 히터를 사용한다 (제품·판 확인 필요, 24.27). 이 IMU의 주 역할은 자세(고속의 제어 루프)이고 위치 항법은 보조다. 위치는 GNSS와 결합한 필터에서 나오고(4.4), GNSS가 끊기면 위 표대로 1분 안팎만 믿을 수 있다.
정밀 관성 센서와 장치는 통제 대상일 수 있다. 항법급 관성항법 장치와 일정 수준 이상의 자이로·가속도계는 바세나르 협정의 이중용도 품목, 미사일 기술 통제 체제(MTCR), 미국 수출통제(ITAR·EAR), 한국의 전략물자 관리에 걸릴 수 있다. 기준값은 자이로 바이어스 안정도·측정 범위 등으로 정해지지만 수치를 확인하지 못했다 (확인 필요). 개발·조달·수출에서 영향이 크다(19.15·19.16·19.17, 공급망 19.19). 소비자 MEMS는 대체로 통제 범위 밖이지만 군용 정밀 등급은 입수와 이전에 제약이 있다는 점을 전제로 설계해야 한다.
4.3.11 수치 예시·워크스루 — 5 km 밖에서 GNSS를 잃었을 때
6 kg 결합형이 순항 13.9 m/s로 기지에서 5 km 떨어진 곳에서 GNSS를 잃었다. 귀환해 기지 상공 100 m 안에 들어가야 비전 마커(2.7.3)를 잡는다고 하자. 5 km는 360 s의 비행이다. 이 시각의 오차와 한계 시간은 다음과 같다(4.3.7의 가정).
| 등급 | 360 s의 1σ 오차 | 100 m 한도 시간 | 5 km 귀환 가능? |
|---|---|---|---|
| 소비자 MEMS | 4.3 km | 73 s | 불가 — 1.0 km 가서 한계 |
| 전술 MEMS | 678 m | 149 s | 불가 — 2.1 km에서 한계 |
| 고급 전술 FOG | 120 m | 329 s | 한도를 약간 넘는다(120 m) |
| 항법급 RLG·FOG | 37 m | 601 s | 가능(37 m) |
소형 UAS의 MEMS IMU로는 5 km 귀환이 불가능하다. 이것이 2.6.6이 GNSS 상실 때 "현위치에서 낮은 고도로 착륙"을 기본으로 둔 근거다. 시각 항법(4.7)이 사용할 수 있는 구역이면 귀환하고 그렇지 않으면 착륙한다는 판단에서 관성은 판단할 시간을 버는 역할이다. 같은 모형으로 50.9 km 귀환(2.6.5.3의 무풍 귀환 불가점, 3,662 s)을 보면 항법급도 1.48 km, 고급 전술 FOG 13.9 km, 전술 MEMS 139 km, 소비자 MEMS 1,377 km다. 장거리 귀환은 순수 관성으로는 항법급으로도 모자라서 시각·지형 항법과 결합(4.7·4.8·4.13)해야 한다. 이 계산에는 방위 오차가 없다. 방위가 1° 틀리면 5 km에서 87 m의 횡 오차가 더 가산된다(4.1.4.1).
4.3.12 설계 트레이드오프 — 관성에 얼마를 걸 것인가
GNSS 상실에 대비하는 방법은 세 가지다.
① 센서 등급을 올린다. FOG·RLG를 사용한다. 오차 성장이 느려지지만 한계 시간은 센서 10배 개선에 2~3배만 늘어난다. 크기·전력·가격이 크게 늘고 정밀 등급은 수출통제와 공급망 위험이 있다.
② 보조 센서와 결합한다. 기압 고도계(수직 채널), 대기속도와 바람 추정, 자력계나 이중 GNSS 안테나의 방위, 시각 항법의 속도와 위치를 관성에 묶는다. 오차의 성장 구조를 근본에서 바꾼다(4.4·4.7).
③ 요구를 바꾼다. 관성에 의존하는 시간을 짧게 한다. GNSS 상실 때 즉시 낮은 고도로 착륙하거나 가까운 안전 지점으로 간다(2.6.6).
견해: 소형 UAS는 ②와 ③이 효율적이라고 본다. 근거는 4.3.7의 표다. 센서를 10배 좋게 해도 한계 시간이 2~3배인데 비용과 무게는 그보다 훨씬 늘고, 5 km 귀환은 고급 전술 FOG로도 모자라다. 반대로 기압·대기속도·시각의 결합은 오차 구조를 바꿔서 이득이 크다. ③은 가장 값싸고 가장 확실한 대책이다. 군용에서 GNSS 거부가 수십 분 이어지는 임무는 ①이 필요한 구간이 있고, 이때 양자 관성(4.12)이 장기적 선택지다. 이 판단은 임무의 GNSS 거부 시간과 허용 오차에 따라 달라진다.
4.3.13 세 축 비교 — 같은 물리, 다른 요구
| 항목 | 군용 드론 | 민간 UAS | AAM |
|---|---|---|---|
| 관성의 역할 | GNSS 거부 환경의 연속성(전술급 이상) (공개 범위) | 자세 센서, GNSS 상실 후 짧은 시간의 보조 | 인증된 자세·관성 기준, 유인 기체의 표시 |
| 등급 | 전술~항법급, 소형은 고급 MEMS | 소비자·전술 MEMS | 항공 인증 AHRS·관성기준장치 |
| 오차 성장 대응 | 시각·지형·무선 대체 항법과 결합(4.7~4.9) | 즉시 착륙(2.6.6) | 다중 센서·인프라(15.15) |
| 제약 | 수출통제, 크기·전력 | 가격 | 인증 비용 |
| 관련 장 | 4.13·4.12 | 2.6·24.27 | 17.14·15.15 |
4.3.14 관련 규격·프로토콜
| 문서 | 발행 | 무엇을 정하나 | 상세 |
|---|---|---|---|
| IEEE Std 952-2020(952-1997을 대체) | IEEE | 단축 간섭계 광섬유 자이로의 사양과 시험(Allan 분산 분석은 1997판 부록부터 실림) | 이 장 |
| IEEE Std 1293-2018(1293-1998을 대체) | IEEE | 선형 단축 가속도계의 사양 형식과 시험 | 이 장 |
| IEEE Std 647-2006(2022년부터 비활성·보존 상태) | IEEE | 단축 레이저 자이로의 사양 형식과 시험 | 이 장 |
IEEE Std 1554(2005년 발행) (현행 상태 확인 필요) | IEEE | 관성 센서 시험 장비·계측·자료 획득과 분석의 권고 | 이 장 |
ARINC 704·705 (판 확인 필요) | ARINC | 관성 기준 장치와 자세·방위 기준 장치의 특성 | 이 장(장비 승인은 20.4) |
| 바세나르 협정 이중용도 품목 | 바세나르 협정 | 항법·항공전자 범주의 통제 | 19.15 |
4.3.15 관련 규제·인증 요구와의 연결
| 규제·인증 요구 | 관성항법과의 연결 | 상세 |
|---|---|---|
| GNSS 상실 때의 자동 절차 | 관성의 한계 시간이 귀환·착륙 판단의 근거 | 2.6.6·2.5 |
| AAM의 자세 표시·비상 절차 | 관성 기준 장치의 요건과 고장 허용 | 17.14·18.14 |
| 항법 장비의 승인 | 관성 기준 장치의 기술표준품 | 20.4 |
| 정밀 관성의 수출통제 | 바세나르·MTCR·미국·한국 | 19.15·19.16·19.17 |
| 진동과 EMC의 환경 시험 | IMU의 성능은 진동 환경에서 시험해야 한다 | 8.9·8.10 |
4.3.16 함정과 한계
| 오해 | 실제 | 더 볼 곳 |
|---|---|---|
| "관성항법은 GNSS 없이 어디든 간다" | 소비자 MEMS는 1분 안팎(50 m 기준 52 s)이다. 한계 시간은 센서 등급이 정한다 | 4.3.7 |
| "센서를 10배 좋게 하면 10배 오래 간다" | 한계 시간은 2~3배만 늘어난다 | 4.3.7.2 |
| "바이어스가 한정되니 안전하다" | 가속도계 바이어스는 한정되지만 1 mg의 한계가 12.7 km다. 자이로 바이어스는 한정되지 않는다 | 4.3.6.2 |
| "성장률로 나누면 한계 시간이 나온다" | 오차가 $t^2$·$t^3$로 자라므로 성장률이 일정하지 않다. $t^*$를 풀어야 한다 | 4.3.7.2 |
| "자세가 맞으면 위치도 맞다" | 기울기 1 mrad가 가속도계 1 mg와 같아 위치 오차의 큰 몫이다 | 4.3.6.1 |
| "관성 높이를 사용할 수 있다" | 수직 채널은 9.5분 시간 상수로 불안정하다. 기압 고도와 결합한다 | 4.3.6.3 |
| "데이터시트의 바이어스 안정도가 곧 항법 오차다" | 켜짐마다의 반복성·온도·진동 정류가 따로 있고 위치는 잔여 바이어스가 정한다 | 4.3.4.1·4.3.9 |
이 장의 한계도 밝혀 둔다.
- 수평 한 축 모형이어서 방위 오차·수직 채널·환산계수 오차·비직교·g-감도를 넣지 않았다. 곡선은 하한이다.
- 등급별 입력은 교육용 가정이고, 같은 등급 이름의 제품도 값이 크게 다르다. 제품 값은 공개 주장치이며 확인이 필요하다.
- 합성 Allan 편차의 바이어스 불안정성은 근사이고 통계 불확실성이 있다.
- 칼만 결합·무결성(4.4), 양자 관성(4.12), 오토파일럿 필터(2.2)는 다루지 않았다.
4.3.17 체크포인트·연구 질문
체크포인트
- 가속도계 바이어스와 자이로 바이어스가 각각 시간의 제곱과 세제곱으로 위치 오차가 되는 이유를 설명하라.
- 기울기 1 mrad가 가속도계 바이어스 1 mg와 같다는 것을 보이고, 이 사실이 MEMS의 짧은 시간 오차에 어떤 의미를 가지는지 말하라.
- Schuler 주기 84.4분을 $R$과 $g$로 유도하고, 자이로 바이어스 0.01 °/h의 선형 성장률을 NM/h로 환산하라.
- Allan 편차에서 $N$·$B$·$K$를 읽는 방법을 설명하라.
- 소비자 MEMS에서 허용 오차 100 m에 닿는 시간을 세 닫힌 식으로 구하고 합성 값 73 s와의 차이를 설명하라.
- 센서를 10배 좋게 해도 한계 시간이 2~3배만 늘어나는 이유는?
연구 질문 — 이 장에서 파생되는 열린 주제(25.7에 모은다)
- 소형 UAS의 잔여 바이어스 — GNSS가 끊기는 순간 MEMS IMU의 잔여 바이어스와 초기 자세 오차를 어떻게 정량화하는가? 필터가 추정하는 값이 실제 오차를 얼마나 아는가?
- 진동 정류의 측정과 보상 — 진동 정류를 비행 전 시험으로 재는 표준 방법이 있는가? 기체별로 보상할 수 있는가?
- 관성만으로 유지하는 시간의 요건 — 임무(귀환 5 km·50 km)에서 필요한 한계 시간을 허용 위험에서 거꾸로 정하는 방법은 무엇인가?
- 저가 관성 센서의 배열 — 값싼 센서 여럿을 합쳐 전술급에 가까운 성능을 얻을 수 있는가(독립 오차 가정이 깨지는 조건은)?
1차 출처(이 장)
- Titterton, D. H.; Weston, J. L., Strapdown Inertial Navigation Technology, 2nd ed., IET, 2004.
- Groves, P. D., Principles of GNSS, Inertial, and Multisensor Integrated Navigation Systems, 2nd ed., Artech House, 2013.
- Savage, P. G., Strapdown Analytics, Strapdown Associates, 2000.
- Woodman, O. J., "An introduction to inertial navigation," University of Cambridge Computer Laboratory, Technical Report UCAM-CL-TR-696, 2007.
- Allan, D. W., "Statistics of atomic frequency standards," Proceedings of the IEEE, 54(2), 1966.
- El-Sheimy, N.; Hou, H.; Niu, X., "Analysis and modeling of inertial sensors using Allan variance," IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 57(1), 2008.
- Barbour, N.; Schmidt, G., "Inertial sensor technology trends," IEEE Sensors Journal, 1(4), 2001.
- IEEE Std 952-2020, IEEE Std 1293-2018, IEEE Std 647-2006(비활성·보존 상태).
- Analog Devices ADIS16495 데이터시트, Honeywell HG9900·HG1700 제품 자료, NovAtel의 HG1700 소개 자료(공개 주장치).
출처를 찾고 판을 추적하는 방법은 0.9에서 다룬다.
다음 장: 4.4에서 GNSS와 관성을 결합한다. GNSS는 느리지만 오차가 한정되고 관성은 빠르고 매끄럽지만 드리프트한다는 보완 관계를 오차 상태 필터로 구현하는 구조, 약결합·강결합·초강결합의 차이, 무결성 감시와 GNSS 단절 구간의 오차 성장·재획득을 이 장의 오차 모형 위에서 시뮬레이션한다.